2007年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（北京卷）數(shù)學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)類）參考答案

1、 北京清大師德教育研究院 北京清大師德教育顧問中心 中國教育教研協(xié)會(huì)2007年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（北京卷）數(shù)學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)類）參考答案一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）1C2B3D4A5B6D7A8D二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）910311121314三、解答題（本大題共6小題，共80分）15（共13分）解：（I），因?yàn)?，成等比?shù)列，所以，解得或當(dāng)時(shí)，不符合題意舍去，故（II）當(dāng)時(shí)，由于，所以。又，故當(dāng)n=1時(shí)，上式也成立，所以16（共14分）解法一：（I）由題意，是二面角是直二面角，又二面角是直二面角，又，平面，又平面，平面平面（II）作，垂足為

2、，連結(jié)（如圖），則，是異面直線與所成的角在中，又在中，異面直線與所成角的大小為（III）由（I）知，平面，是與平面所成的角，且當(dāng)最小時(shí)，最大，這時(shí)，垂足為，與平面所成角的最大值為解法二：（I）同解法一。（II）建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，異面直線與所成角的大小為（III）同解法一17（共14分）解：（I）因?yàn)檫吽谥本€的方程為，且與垂直，所以直線的斜率為又因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以邊所在直線的方程為，即（II）由解得點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)榫匦蝺蓷l對角線的交點(diǎn)為所以為矩形外接圓的圓心又從而矩形外接圓的方程為（III）因?yàn)閯?dòng)圓過點(diǎn)，所以是該圓的半徑，又因?yàn)閯?dòng)圓與圓外切，所以，即故點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為

3、的雙曲線的左支因?yàn)閷?shí)半軸長，半焦距所以虛半軸長從而動(dòng)圓的圓心的軌跡方程為18（共13分）解：由圖可知，參加活動(dòng)1次、2次和3次的學(xué)生人數(shù)分別為10、50和40（I）該合唱團(tuán)學(xué)生參加活動(dòng)的人均次數(shù)為（II）從合唱團(tuán)中任選兩名學(xué)生，他們參加活動(dòng)次數(shù)恰好相等的概率為（III）從合唱團(tuán)中任選兩名學(xué)生，記“這兩人中一人參加1次活動(dòng)，另一人參加2次活動(dòng)”為事件，“這兩人中一人參加2次活動(dòng)，另一人參加3次活動(dòng)”為事件，“這兩人中一人參加1次活動(dòng)，另一人參加3次活動(dòng)”為事件易知；又的分布列：012的數(shù)學(xué)期望：19（共13分）解：（I）依題意，以的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系（如圖），則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為點(diǎn)的縱坐標(biāo)滿足方

4、程，解得，其定義域?yàn)椋↖I）記，則令，得因?yàn)楫?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以是的最大值因此，當(dāng)時(shí)，也取得最大值，最大值為即梯形面積的最大值為20（共13分）（I）解：集合不具有性質(zhì)集合具有性質(zhì)，其相應(yīng)的集合和是，（II）證明：首先，由中元素構(gòu)成的有序數(shù)對共有個(gè)因?yàn)?，所以；又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，從而，集合中元素的個(gè)數(shù)最多為，即（III）解：，證明如下：（1）對于，根據(jù)定義，且，從而如果與是的不同元素，那么與中至少有一個(gè)不成立，從而與中也至少有一個(gè)不成立故與也是的不同元素可見，中元素的個(gè)數(shù)不多于中元素的個(gè)數(shù)，即，（2）對于，根據(jù)定義，且，從而如果與是的不同元素，那么與中至少有一個(gè)不成立，從而與中也不至少有一個(gè)不成立，故與也是的不同元素可見，中元素的個(gè)數(shù)不多于中元素的個(gè)數(shù)，即，