數(shù)學分析第八章不定積分

1、第 八 章 不 定 積 分1 不定積分概念與基本積分公式 正如加法有其逆運算減法 , 乘法有其逆運算除法一樣 , 微分法也有它的逆運 算積分法 .我們已經(jīng)知道 , 微分法的基本問題是研究如何從已知函數(shù)求出它 的導函數(shù) , 那么與之相反的問題是 : 求一 個未 知函 數(shù) , 使其導 函數(shù) 恰好是 某一 已 知函數(shù) .提出這個逆問題 , 首先是因為它出現(xiàn)在許多實際問題之中 .例如 : 已知速 度求路程 ; 已知加速度求速度 ; 已知曲線 上每一 點處 的切線 斜率 ( 或斜率 所滿 足 的某一規(guī)律 ) , 求曲線方程等等 .本章與 其后兩 章 ( 定 積分與 定積 分的 應用 ) 構(gòu) 成 一元函數(shù)

2、積分學 .一 原函數(shù)與不定積分定義 1 設(shè)函數(shù) f 與 F 在區(qū)間 I 上都有定義 .若F( x ) =f ( x) , x I ,則稱 F 為 f 在區(qū)間 I 上的一個原函數(shù) .- 1例如 , 13x3 是 x2 在 ( - , + ) 上的一個 原函數(shù) , 因為 ( 13 1x3 )= x2 ; 又 如2 cos 2 x 與 -2 cos 2 x + 1 都是 sin 2 x 在 ( - , + ) 上的原函數(shù) , 因為( - 1 cos 2 x )= ( - 1 cos 2 x + 1)= sin 2 x .22如果這些簡單的例子都可從基本求導公式反推而得的話 , 那么F( x ) =x

3、arctan x - 1 ln(1 + x2 )2是 f ( x) = arctan x 的一個原函數(shù) , 就不那樣明顯了 .事實上 , 研究原 函數(shù)必須 解 決下面兩個重要問題 :1 . 滿足何種條件的函數(shù)必定存在原函數(shù) ? 如果存在 , 是否唯一 ?2 . 若已知某個函數(shù)的原函數(shù)存在 , 又怎樣把它求出來 ?關(guān)于第一個問題 , 我們用下面兩 個定 理來回 答 ; 至于 第二 個問題 , 其 解答 則 是本章接著要介紹的各種積分方法 .178第八章 不 定 積 分定理 8 .1 若函數(shù) f 在區(qū)間 I 上連續(xù) , 則 f 在 I 上存在原函數(shù) F , 即 F( x)= f ( x) , x

4、I .本定理要到第九章5 中才能獲得證明 .由于初等函數(shù)為連續(xù)函數(shù) , 因此每個初等函數(shù)都有原函數(shù) ( 只是初等函數(shù)的 原函數(shù)不一定仍是初等函數(shù) ) .當然 , 一個函數(shù)如果存在間斷點 , 那么此函數(shù)在其 間斷點所在的區(qū)間上就不一定存在原函數(shù) ( 參見本節(jié)習題第 4 題 ) .定理 8 .2 設(shè) F 是 f 在區(qū)間 I 上的一個原函數(shù) , 則( i)F + C 也是 f 在 I 上的原函數(shù) , 其中 C 為任意常量函數(shù) ; ( ii)f 在 I 上的任意兩個原函數(shù)之間 , 只可能相差一個常數(shù) . 證 ( i) 這是因為 F( x ) + C= F( x ) = f ( x ) , x I .(

5、 ii) 設(shè) F 和 G 是 f 在 I 上的任意兩個原函數(shù) , 則有 F( x ) -G( x ) = F( x) - G( x)=f ( x ) -f ( x ) = 0 , x I .根據(jù)第六章拉格朗日中值定理的推論 , 知道F( x ) - G( x) C, x I . 定義 2 函數(shù) f 在區(qū)間 I 上的全體原函數(shù)稱為 f 在 I 上的不定積分 , 記作f ( x ) d x ,( 1)其中稱為積分號 , f ( x ) 為被積函數(shù) , f ( x) d x 為被 積表達式 , x 為積 分變量 . 盡管記號 (1 ) 中各 個部 分都 有其 特定 的 名稱 , 但 在使 用時 必

6、須 把它 們 看作 一 整 體 .由定義 2 可見 , 不定積分 與原 函數(shù) 是總 體 與個 體的 關(guān)系 , 即若 F 是 f 的 一 個原函數(shù) , 則 f 的不定積分是一個函數(shù)族 F + C , 其中 C 是 任意常 數(shù) .為方 便 起見 , 寫作f ( x) d x = F( x ) + C .( 2)這時又稱 C 為積分常數(shù) , 它可取任一實數(shù)值 .于是又有f ( x) d x = F( x ) + C=f ( x ) ,( 3)df ( x ) d x = d F( x) + C =f ( x) d x .( 4)按照寫法 (2 ) , 本節(jié)開頭所舉的幾個例子可寫作這里 既把 C 看

7、作常量 函數(shù) , 又 把它作 為該 常量 函數(shù) 的 函數(shù) 值 .在 不 致混 淆 時 , 以 后 常 說“ C 為 任意常數(shù)”.不 久可看 到 , 被積 表達式 可認 同為 f 的原函 數(shù) F 的微分 , 即 d F = F( x ) d x = f ( x ) d x .1 不定積分概念與基本積分公式179x2 d x = 13x3 + C,sin 2 x d x = - 1 cos 2 x + C,2arctan x d x =x arctan x - 1 ln( 1 + x2 ) + C .2此外 , 一個函數(shù)“ 存在不定積分”與“ 存在原函數(shù)”顯然是等同的說法 .不定積分的幾何意 義

8、若 F 是 f 的一 個原 函數(shù) , 則稱 y = F( x ) 的 圖象 為 f 的 一條 積分 曲 線 .于 是 , f 的不 定積 分在 幾何 上 表示 f 的某 一 積分曲線沿縱軸方 向任 意 平移 所得 一切 積分 曲 線組成的曲線族 ( 圖 8 - 1 ) .顯然 , 若在 每一 條積 分曲線上橫坐標相同的點處作切線 , 則這些切線 互相平行 .在求原函數(shù)的具體問題中 , 往往先求出全體 原函數(shù) , 然后 從 中 確 定一 個 滿 足 條 件 F ( x0 ) =圖 8 - 1y0 ( 稱為初始條件 , 它由具體問題所規(guī)定 ) 的原函數(shù) , 它就是積分曲線族中通過點 ( x0 ,

9、y0 ) 的那一條積分曲線 .例如 , 質(zhì)點作勻加速直線運動時 , a( t ) = v( t) = a , 則v( t) =ad t = at + C .若已知 v( t0 ) = v0 , 代入上式后確定積分常數(shù) C = v0 - at0 , 于是就有v( t ) = a( t -t0 ) + v0 .又因 s( t) = v( t ) , 所以又有s( t) = a( t - t0 ) + v0 d t= 122 a( t - t0 )+ v0 t + C1 .若已知 s( t0 ) = s0 , 則 C1 = s0 - v0 t0 , 代入上式得到s( t) = 1 a( t -t0

10、)2 + v0 ( t -t0 ) + s0 .2二 基本積分表怎樣求原函數(shù) ? 讀者很快就會發(fā)現(xiàn) 這要 比求 導數(shù)困 難得 多 .原因在 于原 函 數(shù)的定義不像導數(shù)定義那樣具有構(gòu)造性 , 即 它只 告訴 我們其 導數(shù) 恰好等 于某 個 已知函數(shù) f , 而沒有指出怎樣由 f 求 出它 的原函 數(shù)的 具體 形式和 途徑 .因 此 , 我180第八章 不 定 積 分們只能先按照微分法的已知結(jié)果去試探 .首先 , 我們把基本導數(shù)公式改寫成基本積分公式 :1.2.0d x = C .1d x =d x =x + C .+ 13.xd x = x + 1+ C ( - 1 , x 0) .4.5. 1

11、 d x = ln | x | + C ( x 0) . xe x d x = ex + C .6.ax d x = a xln a+ C ( a 0 , a 1 ) .7.8.9.10 .11 .12 .cos ax d x = 1 sin ax + C ( a 0 ) .asin ax d x = - 1 cos ax + C ( a 0 ) .asec2 x d x = tan x + C .csc2 x d x = - cot x + C .sec x tan x d x = sec x + C .csc xcot x d x = - csc x + C .13 . d x1 -x2=

12、 arc sin x + C = - arccos x + C1 .14 . d x1 + x2= arctan x + C = - arccot x + C1 .上列基本積分公式 , 讀者必須牢牢記住 , 因為其他函數(shù)的不定積分經(jīng)運算變 形后 , 最后歸為這些基本不定積分 .當然 , 僅有這些基本公式是不夠用的 , 即使像 ln x , tan x , cot x , sec x , csc x , arcsin x , arctan x 這樣一 些基 本初 等函數(shù) , 現(xiàn) 在 還不知道怎樣去求得它們的原函數(shù) .所以我 們還 需要 從一些 求導 法則去 導出 相 應的不定積分法則 , 并逐步

13、擴充不定積分公式 .公 式 4 適 用于不 含坐 標原點 的任何 區(qū)間 , 讀 者容 易驗證( ln | x | + C)= 1 , x 0 .x1 不定積分概念與基本積分公式181最簡單的是從導數(shù)線性運算法則得到不定積分的線性運算法則 :定理 8 .3 若函數(shù) f 與 g 在 區(qū) 間 I 上 都存 在 原函 數(shù) , k1 、k2 為 兩 個任 意 常 數(shù) , 則 k1 f + k2 g 在 I 上也存在原函數(shù) , 且 k1 f ( x ) + k2 g( x) d x =k1 證 這是因為f ( x) d x + k2g( x ) d x .( 5)k1f ( x ) d x + k2g(

14、x) d x =k1f ( x ) d x + k2g( x) d x =k1 f ( x) + k2 g( x) . 線性法則 (5 ) 的一般形式為nn ki fi ( x )d x = kifi ( x) d x.( 6)i = 1i = 1 根據(jù)上述線性運算法則和基本積分公式 , 可求得一些簡單函數(shù)的不定積分 .nn - 1例 1 p( x) = a0 x + a1 x+ an - 1 x + an .p ( x ) d x = a0xn + 1 + a1 xn + an - 1 x2 + ax + C .n + 1n2n4 例 2 x+ 1d x =( x2 - 1 + 2) d x

15、x2 + 1= 133 xx2 + 1-x + 2 arctan x + C .22=例 3d xcos2 x sin2 xcos x + sin x cos2 x sin2 x d x=( csc2 x + sec2 x ) d x = - cot x + tan x + C . 例 4 cos 3 x sin x d x = 1( sin 4 x - sin 2 x) d x2= 12 ( - 14 cos 4 x + 12 cos 2 x ) + C= - 1 8( cos 4 x - 2cos 2 x ) + C .例 5 ( 10 x - 10 - x ) 2 d x =(102 x

16、 + 10 - 2 x - 2 ) d x= (102 ) x + (10 - 2 ) x - 2 d x= 12 x2 ln10 ( 10- 10- 2 x) - 2 x + C .習 題1 . 驗證下列等式 , 并與 ( 3) 、(4 )兩式相比照 :182第八章 不 定 積 分 ( 1)f( x) d x = f ( x ) + C; ( 2)d f ( x) = f ( x) + C .2 . 求一曲線 y = f ( x ) , 使 得 在 曲 線 上 每 一 點 ( x , y ) 處 的 切 線 斜 率 為 2 x , 且 通 過 點(2 , 5) .23 . 驗證 y = x

17、sgn x 是 | x | 在 ( - , + ) 上的一個原函數(shù) .24 . 據(jù)理說明為什么每一個含有第一類間斷點的函數(shù)都沒有原函數(shù) ?5 . 求下列不定積分 : ( 1)(1 - x + x3 - 1) d x; (2 )( x - 1 )2 d x ;3x2x ( 3) d x 2 gx( g 為正常數(shù) ) ;(4 )(2 x + 3 x )2 d x ;2 ( 5) 3d x;(6 ) xd x;4 - 4 x23(1 + x2 ) ( 7) ( 9)tan2 xd x ;(8 ) cos 2 xcos x - sin x d x ;(10)sin2 x d x ; cos 2 xco

18、s2 x sin2 x d x; ( 11)10 t 32 t d t ;(12)xxx d x ;1 - x + ( 13)1 + x1 - xd x ;(14)1 + x( cos x + sin x)2d x ; ( 15)cos x cos 2 xd x ;(16)( ex - e - x ) 3 d x .2 換元積分法與分部積分法一 換元積分法由復合函數(shù)求導法 , 可以導出換元積分法 .定理 8 .4 ( 換元積分法 ) 設(shè) g( u ) 在 , 上有 定義 , u = ( x) 在 a , b 上 可導 , 且 ( x ) , x a , b , 并記f ( x ) = g( (

19、 x ) ) ( x ) , x a, b . ( i) 若 g( u) 在 , 上存在原函數(shù) G( u ) , 則 f ( x ) 在 a , b 上 也存在原 函 數(shù) F( x ) , F( x) = G( ( x) ) + C, 即f ( x) d x =g ( x) ) ( x) d x =g( u ) d u= G( u) + C =G( ( x) ) + C .( 1) ( ii) 又若 ( x ) 0 , x a , b , 則上述命題 ( i ) 可逆 , 即當 f ( x ) 在 a , b 上2 換元積分法與分部積分法183存在原函 數(shù) F ( x ) 時 , g ( u

20、) 在 , 上 也 存 在 原 函 數(shù) G ( u ) , 且 G ( u ) =F( - 1 ( u) ) + C, 即g( u) d u =g ( x) ) ( x) d x =f ( x ) d x= F( x) + C = F(- 1 ( u) ) + C .( 2) 證 ( i) 用復合函數(shù)求導法進行驗證 : d d x G( x) ) =G( ( x ) ) ( x )= g( ( x ) ) ( x ) =f ( x) .所以 f ( x) 以 G( ( x) ) 為其原函數(shù) , (1 ) 式成立 .( ii) 在 ( x ) 0 的條件下 , u = ( x ) 存在反函數(shù) x

21、 = - 1 ( u ) , 且于是又能驗證 (2 ) 式成立 :d xd u = 1( x )x =- 1.( u ) d- 1 1 1d u F( ( u) ) = F( x) ( x ) =f ( x ) ( x )= g( ( x ) ) ( x) 1( x)= g( ( x ) ) =g( u ) . 上述換元積分法中的公式 (1 ) 與 ( 2) 反映了正、逆兩種換元方式 , 習慣上分別 稱為第一換元積分法和第二換元積分法 ( 公式 ( 1) 與 ( 2) 分別 稱為 第一換 元公 式 與第二換元公式 ) .下面的例 1 至例 5 采用第一換元 積分 法求 解 .在使用 公式 (

22、1 ) 時 , 也 可把 它 寫成如下簡便形式 :g( ( x ) ) ( x ) d x =g( ( x ) ) d( x) =G( ( x) ) + C .( 1) 例 1 求ta n x d x .解 由tan x d x =sin x d x = -cos x ( cos x)cos xd x ,可令 u = cos x , g ( u ) = 1u, 則得utan x d x = -1 d u = - ln | u | + C= - ln | cos x | + C .2 例求d x a2 + x2( a 0 ) .184第八章 不 定 積 分解 d xd x 1 axa2 + x2

23、 = a1 +2 ( 令 u =) xaa= 1a= 1 d u1 + u2 = x 1a arctan u + Ca arctan a + C .對換元積分法較熟練后 , 可以不寫出換元變量 u , 而直接使用公式 (1) .例 3 求d xa2 -x2( a 0) .d x解 d x= 1 d x aa2a2 -x2=1 -x1 -a x2a= arcsin xa+ C .4例求d xx2 -a2( a 0 ) .解 d x1x2 -a2 = 2 a 1x -a - 1x + a d x= 1d( x -a)d( x + a)2 a x -a- x + a= 1 2 aln | x -a

24、| - ln | x + a |+ C= 1 2 a ln例 5 求sec x d x . x -ax + a+ C .解 解法一 利用例 4 的結(jié)果可得sec x d x =cos x d x =d( sin x)cos2 x1 - sin2 x= 11 + sin x 解法二 2 ln 1 - sin x+ C .sec x d x =sec x( sec x + tan x)sec x + tan xd x=d( sec x + tan x )sec x + tan x2 換元積分法與分部積分法185= ln | sec x + tan x | + C .這兩種解法所得結(jié)果只是形式上的不

25、同 , 請讀者將它們統(tǒng)一起來 .從以上幾例看到 , 使用第一換 元積 分法的 關(guān)鍵 在于 把 被積 表達 式 f ( x) d x湊成 g( ( x ) ) ( x ) d x 的 形 式 , 以 便 選 取 變 換 u = ( x ) , 化 為 易 于 積 分 的g( u ) d u . 最終不要忘記把新引入的變量 ( u) 還原為起始變量 ( x) .第二換元公式 (2 ) 從形式上看是公 式 ( 1 ) 的逆 行 , 但目的 都是 為了化 為容 易 求得原函數(shù)的形式 ( 最終同樣不要忘記 變量還 原 ) .以下例 6 至例 9 采用 第二 換 元積分法求解 .3例 6 求d u.u +

26、u解 為去掉被積函數(shù)中的根式 , 取根次數(shù) 2 與 3 的 最小公倍數(shù) 6 , 并 令 u =x6 , 則可把原來的不定積分化為簡單有理式的積分 :5d u 6 x2 13u +u=3x+ x32 d x = 6 ( x2-x + 1 -x + 1) d x= 6x 3- x 2+ x - ln | x + 1 |+ C366= 2u - 3u + 6u - 6ln |u + 1 | + C . 例 7 求 a2 -x2 d x ( a 0) .解 令 x = asin t , | t | 0) .解 令 x = asec t , 0 t 0) .解 令 x = a tan t , | t |

27、 0) ;( x + 1)3x2 + a25 ( 27)d x( a 0) ;( 28) xd x;( x2 + a2 )362/1 - x2 ( 29)xd x;( 30) x + 1 - 1d x .31 -xx + 1 + 12 . 應用分部積分法求下列不定積分: ( 1) ( 3) ( 5)arcsin xd x;( 2)x2 cos x d x;( 4)( ln x )2 d x;( 6)ln xd x ;ln x d x ; x3xarctan xd x; ( 7)ln( ln x) + 1 ln xd x;( 8)( arcsin x) 2 d x; ( 9)sec3 xd x;

28、( 10)x2 a2 d x ( a 0) .3 . 求下列不定積分 : ( 1) ( 3) f ( x ) f ( x)d x ( - 1) ; (2 ) f ( x ) f ( x) d x;1 + f ( x ) 2f ( x )f ( x) d x; (4 )ef ( x) d x .4 . 證明: ( 1) 若 In =tan n xd x , n = 2 , 3 , 則190第八章 不 定 積 分 In = 1n - 1 tann - 1x - In - 2 . ( 2) 若 I( m , n) =cos m xsin n x d x , 則當 m + n0 時 ,m - 1n+

29、1+I ( m , n) = cosxsinxm + n m - 1m + nI( m - 2 , n)m + 1n - 1+= - cosxsinxm + nn , m = 2 , 3 ,. 5 . 利用上題的遞推公式計算 : n - 1m + n I( m , n - 2 ) , ( 1) ( 3)tan3 xd x ; (2)tan4 x d x;cos2 xsin4 x d x .6 . 導出下列不定積分對于正整數(shù) n 的遞推公式 : ( 1) In =xn ekx d x;(2) In =( ln x) n d x; ( 3) In =( arcsin x) n d x ;(4) I

30、n =ea x sin n x d x .7 . 利用上題所得遞推公式計算 : ( 1) ( 3)x3 e2 x d x;(2)( ln x )3 d x;( arcsin x) 3 d x;(4)e x sin3 x d x .3 有理函數(shù)和可化為有理函數(shù)的不定積分至此我們已經(jīng)學得了一些最基本的積分方法 .在此基礎(chǔ)上 , 本節(jié)將討論某些 特殊類型的不定積分 , 這些不定積分無論怎樣復雜 , 原則上都可按一定的步驟把 它求出來 .一 有理函數(shù)的不定積分 有理函數(shù)是指由兩個多項式函數(shù)的商所表示的函數(shù) , 其一般形式為nn - 1R( x) = P( x)0 x+ 1 x+ n m=,( 1)Q(

31、 x)0 x+ 1 xm - 1+ m其中 n , m 為非負整數(shù) , 0 , 1 , , n 與0 , 1 , , m 都 是常數(shù) , 且 0 0 , 0 0 .若 m n , 則稱它為 真 分 式 ; 若 m n , 則 稱 它為 假 分 式 .由 多項 式 的除 法 可 知 , 假分式總能化為一個多項式與一個真分式之和 .由于多項式的不定積分是容 易求得的 , 因此只需研究真分式的不定積分 , 故設(shè) (1 ) 為一有理真分式 .根據(jù)代數(shù)知識 , 有理真分式必定可以表示成若干個部分分式之和 ( 稱為部分3 有理函數(shù)和可化為有理函數(shù)的不定積分191分式分解 ) .因而問題歸結(jié)為求那些部分分式

32、的不定積分 .為此 , 先把怎樣分解部 分分式的步驟簡述如下 ( 可與后面的例 1 對照著做 ) :第一步 對分母 Q( x ) 在實系數(shù)內(nèi)作標準分解 :22Q( x) = ( x -a1 )1( x -as ) s ( x+ p1 x + q1 ) 1( x+ pt x + qt ) t ,( 2)其中 0 = 1 , i , j ( i = 1 , 2 , s; j = 1 , 2 , t ) 均為自然數(shù) , 而且st2i + 2 j =m ; pj - 4 qj 0 , j = 1 , 2 , t .i = 1j = 1 第二步 根據(jù)分母的各個因式分別 寫出 與之 相應的 部分 分式 :

33、 對于 每個 形 如 ( x - a) k 的因式 , 它所對應的部分分式是 A1x -a + A2( x -a )2 + Ak( x -a) k ;對每個形如 ( x2 + px + q) k 的因式 , 它所對應的部分分式是 B1 x + C1x2 + px + q + B2 x + C2( x2 + px + q) 2 + Bk x + Ck( x2 + px + q) k .把所有部分分式加 起 來 , 使 之等 于 R ( x ) .( 至 此 , 部 分 分 式 中 的常 數(shù) 系 數(shù) Ai , Bi , Ci 尚為待定的 .)第三步 確定待定系數(shù) : 一般方法是將所有部分分式通分相加 , 所得分式的 分母即為原分母 Q( x) , 而其 分 子亦 應與 原分 子 P ( x ) 恒 等 .于是 , 按同 冪項 系 數(shù)必定相等 , 得到一