空間中直線與直線之間的位置關系

1、空間中直線與直線之間的位置關系學習目標1.會判斷空間兩直線的位置關系.2.理解兩異面直線的定義，會求兩異面直線所成的角.3.能用公理4解決一些簡單的相關問題.知識點一空間中兩條直線的位置關系1.異面直線(1)定義：不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線.要點分析：異面直線的定義表明：異面直線不具備確定平面的條件.異面直線既不相交，也不平行.不能誤認為分別在不同平面內(nèi)的兩條直線為異面直線.如圖中，雖然有a，b，即a，b分別在兩個不同的平面內(nèi)，但是因為abO，所以a與b不是異面直線.(2)畫法：畫異面直線時，為了充分顯示出它們既不平行也不相交，即不共面的特點，常常需要畫一個或兩個輔助平面作為襯

2、托，以加強直觀性、立體感.如圖所示，a與b為異面直線.(3)判斷方法方法內(nèi)容定義法依據(jù)定義判斷兩直線不可能在同一平面內(nèi)定理法過平面外一點與平面內(nèi)一點的直線和平面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線為異面直線(此結論可作為定理使用)反證法假設這兩條直線不是異面直線，那么它們是共面直線(即假設兩條直線相交或平行)，結合原題中的條件，經(jīng)正確地推理，得出矛盾，從而判定假設“兩條直線不是異面直線”是錯誤的，進而得出結論：這兩條直線是異面直線2.空間中兩條直線位置關系的分類(1)按兩條直線是否共面分類(2)按兩條直線是否有公共點分類思考(1)分別在兩個平面內(nèi)的兩條直線一定是異面直線嗎？(2)兩條垂直的直線必相交嗎？答(1)

3、不一定.可能相交、平行或異面.(2)不一定.可能相交垂直，也可能異面垂直.知識點二公理4(平行公理)文字語言平行于同一條直線的兩條直線互相平行，這一性質(zhì)叫做空間平行線的傳遞性符號語言ab圖形語言知識點三空間等角定理1.定理文字語言空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補.符號語言OAOA，OBOBAOBAOB或AOBAOB180圖形語言作用判斷或證明兩個角相等或互補2.推廣如果兩條相交直線與另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角(或直角)相等.思考如果兩條直線和第三條直線成等角，那么這兩條直線平行嗎？答不一定.這兩條直線可能相交、平行或異面知識點四異面直線所成的角1

4、.概念：已知兩條異面直線a，b，經(jīng)過空間任一點O作直線aa，bb，我們把a與b所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角).2.異面直線所成的角的取值范圍：090.3.如果兩條異面直線所成的角是直角，就說這兩條異面直線互相垂直.兩條互相垂直的異面直線a，b，記作ab.4.異面直線所成的角的兩種求法(1)在空間任取一點O，過點O分別作aa，bb，則a與b所成的銳角(或直角)為異面直線a與b所成的角，然后通過解三角形等方法求角.(2)在其中一條直線上任取一點(如在b上任取一點)O，過點O作另一條直線的平行線(如過點O作aa)，則兩條直線相交所成的銳角(或直角)為異面直線所成的角(如b與

5、a所成的角)，然后通過解三角形等方法求角(如圖).題型一空間兩條直線的位置關系的判定例1若a和b是異面直線，b和c是異面直線，則a和c的位置關系是()A.平行 B.異面 C.相交 D.平行、相交或異面答案D解析可借助長方體來判斷.如圖，在長方體ABCDABCD中，AD所在直線為a，AB所在直線為b，已知a和b是異面直線，b和c是異面直線，則c可以是長方體ABCDABCD中的BC，CC，DD.故a和c可以平行、相交或異面.跟蹤訓練1如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，判斷下列直線的位置關系：(1)直線A1B與直線D1C的位置關系是_；(2)直線A1B與直線B1C的位置關系是_；(3)直

6、線D1D與直線D1C的位置關系是_；(4)直線AB與直線B1C的位置關系是_.答案(1)平行(2)異面(2)相交(4)異面解析序號結論理由(1)平行因為A1D1綊BC，所以四邊形A1BCD1為平行四邊形，所以A1BD1C(2)異面A1B與B1C不同在任何一個平面內(nèi)(3)相交D1DD1CD1(4)異面AB與B1C不同在任何一個平面內(nèi)題型二公理4、等角定理的應用例2E，F(xiàn)分別是長方體ABCDA1B1C1D1的棱A1A，C1C的中點，求證：四邊形B1EDF是平行四邊形.證明設Q是DD1的中點，連接EQ，QC1.因為E是AA1的中點，所以.又因為在矩形A1B1C1D1中，所以.所以四邊形EQC1B1為

7、平行四邊形.所以.又因為Q，F(xiàn)分別是矩形DD1C1C兩邊D1D，C1C的中點，所以.所以四邊形DQC1F為平行四邊形.所以.又因為，所以.所以四邊形B1EDF為平行四邊形.跟蹤訓練2如圖，已知E，F(xiàn)，G，H分別是空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點.(1)求證：E，F(xiàn)，G，H四點共面；(2)若四邊形EFGH是矩形，求證：ACBD.證明(1)在ABD中，E，H分別是AB，AD的中點，EHBD.同理FGBD，則EHFG.故E，F(xiàn)，G，H四點共面.(2)由(1)知EHBD，同理ACGH.又四邊形EFGH是矩形，EHGH.故ACBD.題型三異面直線所成的角例3如圖所示，在空間四邊形ABC

8、D中，ABCD，ABCD，E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點，求EF和AB所成的角.解如圖，取BD的中點G，連接EG，F(xiàn)G.因為E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點，ABCD，所以EGCD，GFAB，且EGCD，GFAB.所以GFE就是EF與AB所成的角或其補角，EGGF.因為ABCD，所以EGGF.所以EGF90.所以EFG為等腰直角三角形.所以GFE45，即EF與AB所成的角為45.跟蹤訓練3空間四邊形ABCD中，ABCD且AB與CD所成的角為30，E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點，求EF與AB所成角的大小.解取AC的中點G，連接EG，F(xiàn)G，則EGAB，GFCD.故直線GE，EF所成的銳角即為AB與EF所成

9、的角，直線GE，GF所成的銳角即為AB與CD所成的角.AB與CD所成的角為30，EGF30或150.由ABCD，知EGFG，EFG為等腰三角形.當EGF30時，GEF75；當EGF150時，GEF15.故EF與AB所成的角為15或75.轉化與化歸思想例5在空間四邊形ABCD中，ADBC2a，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點，EFa，求異面直線AD，BC所成的角.分析要求異面直線AD，BC所成的角，可在空間中找一些特殊點，將AD，BC平移至一個三角形中.此題已知E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點，故可尋找一邊中點，如BD的中點M，則EMF(或其補角)為所求角.解如圖，取BD的中點M.由題意，知EM為BAD

10、的中位線，所以EMAD且EMAD.同理，MFBC且MFBC.所以EMa，MFa，且EMF(或其補角)為所求角.在等腰MEF中，取EF的中點N，連接MN，則MNEF.又因為EFa，所以ENa.故有sinEMN.所以EMN60，所以EMF2EMN120.因為EMF12090，所以AD，BC所成的角為EMF的補角，即AD和BC所成的角為60.反證法的合理應用例6如圖，三棱錐PABC中，E是PC上異于點P的點.求證：AE與PB是異面直線.分析利用定義直接證明，即從不同在任何一個平面內(nèi)中的“任何”開始入手，一個平面一個平面地尋找是不可能實現(xiàn)的，因此必須找到一個間接證法來證明，反證法即是一種行之有效的方法

11、.證明假設AE與PB不是異面直線，設AE與PB都在平面內(nèi)，因為P，E，所以PE.又因為CPE，所以C.所以點P，A，B，C都在平面內(nèi).這與P，A，B，C不共面(PABC是三棱錐)矛盾.于是假設不成立，所以AE與PB是異面直線.1.若空間兩條直線a和b沒有公共點，則a與b的位置關系是()A.共面 B.平行 C.異面 D.平行或異面2.一條直線與兩條異面直線中的一條平行，則它和另一條的位置關系是()A.平行或異面 B.相交或異面 C.異面 D.相交3.設P是直線l外一定點，過點P且與l成30角的異面直線()A.有無數(shù)條 B.有兩條 C.至多有兩條 D.有一條4.如圖所示，G，H，M，N分別是正三棱

12、柱的頂點或所在棱的中點，則表示直線GH，MN是異面直線的圖形有_.(填序號)5.在正方體ABCDA1B1C1D1中，E為C1D1的中點，則異面直線AE與A1B1所成角的余弦值為_.一、選擇題1.分別和兩條異面直線平行的兩條直線的位置關系是()A.一定平行 B.一定相交C.一定異面 D.相交或異面2.已知空間兩個角，與的兩邊對應平行，且60，則等于()A.60 B.120 C.30 D.60或1203.在正方體ABCDA1B1C1D1中，異面直線BA1與CC1所成的角為()A.30 B.45 C.60 D.904.下面四種說法：若直線a、b異面，b、c異面，則a、c異面；若直線a、b相交，b、c

13、相交，則a、c相交；若ab，則a、b與c所成的角相等；若ab，bc，則ac.其中正確的個數(shù)是()A.4 B.3 C.2 D.15.空間四邊形的對角線互相垂直且相等，順次連接這個四邊形各邊中點，所組成的四邊形是()A.梯形 B.矩形 C.平行四邊形 D.正方形6.若空間四邊形ABCD的兩條對角線AC，BD的長分別是8,12，則過AB的中點E且平行于BD，AC的截面四邊形的周長為()A.10 B.20 C.8 D.47.如圖，三棱柱ABCA1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中點，則下列敘述正確的是()A.CC1與B1E是異面直線B.C1C與AE共面C.AE與B1C1是異面直

14、線D.AE與B1C1所成的角為60二、填空題8.在四棱錐PABCD中，各棱所在的直線互相異面的有_對.9.一個正方體紙盒展開后如圖所示，在原正方體紙盒中有如下結論：ABEF；AB與CM所成的角為60；EF與MN是異面直線；MNCD.以上結論中正確的序號為_.10.如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，異面直線A1B與AD1所成的角為_.三、解答題11.如圖所示，等腰直角三角形ABC中，BAC90，BC，DAAC，DAAB，若DA1，且E為DA的中點，求異面直線BE與CD所成角的余弦值.12.如圖，E，F(xiàn)，G，H分別是空間四邊形ABCD各邊上的點，且有AEEBAHHDm，CFFBCGGD

15、n.(1)證明：E，F(xiàn)，G，H四點共面；(2)m，n滿足什么條件時，四邊形EFGH是平行四邊形？(3)在(2)的條件下，若ACBD，試證明：EGFH.當堂檢測答案1.答案D解析若直線a和b共面，則由題意可知ab；若a和b不共面，則由題意可知a與b是異面直線.2.答案B解析如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AA1與BC是異面直線，又AA1BB1，AA1DD1，顯然BB1BCB，DD1與BC是異面直線，故選B.3.答案A解析我們現(xiàn)在研究的平臺是錐空間.如圖所示，過點P作直線ll，以l為軸，與l成30角的圓錐面的所有母線都與l成30角.4.答案解析中，G，M是中點，AG綊BM，GM綊AB綊

16、HN，GHMN，即G，H，M，N四點共面；中，H，G，N三點共面，且都在平面HGN內(nèi)，而點M顯然不在平面HGN內(nèi)，H，G，M，N四點不共面，即GH與MN異面；中，G，M是中點，GM綊CD，GM綊HN，即GMNH是梯形，則HG，MN必相交，H，G，M，N四點共面；中，同，G，H，M，N四點不共面，即GH與MN異面.5.答案解析設棱長為1，因為A1B1C1D1，所以AED1就是異面直線AE與A1B1所成的角.在AED1中，cosAED1.課時精練答案一、選擇題1.答案D解析可能相交也可能異面，但一定不平行(否則與條件矛盾).2.答案D解析由等角定理，知與相等或互補，故60或120.3.答案B解析如

17、圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，BB1CC1，故B1BA1就是異面直線BA1與CC1所成的角，故為45.4.答案D解析若a、b異面，b、c異面，則a、c相交、平行、異面均有可能，故不對.若a、b相交，b、c相交，則a、c相交、平行、異面均有可能，故不對.若ab，bc，則a、c平行、相交、異面均有可能，故不對.正確.5.答案D解析如圖，因為BDAC，且BDAC，又因為E，F(xiàn)，G，H分別為對應邊的中點，所以FGEHBD，HGEFAC.所以FGHG，且FGHG.所以四邊形EFGH為正方形.6.答案B解析設截面四邊形為EFGH，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點，EFGHAC4，

18、FGHEBD6，周長為2(46)20.7.答案C解析由于CC1與B1E都在平面C1B1BC內(nèi)，故C1C與B1E是共面的，所以A錯誤；由于C1C在平面C1B1BC內(nèi)，而AE與平面C1B1BC相交于E點，點E不在C1C上，故C1C與AE是異面直線，B錯誤；同理AE與B1C1是異面直線，C正確；而AE與B1C1所成的角就是AE與BC所成的角，E為BC中點，ABC為正三角形，所以AEBC，D錯誤.綜上所述，故選C.二、填空題8.答案8解析以底邊所在直線為準進行考察，因為四邊形ABCD是平面圖形，4條邊在同一平面內(nèi)，不可能組成異面直線，而每一邊所在直線能與2條側棱組成2對異面直線，所以共有428(對)異面直線.9.答案解析把正方體的平面展開圖還原成原來的正方體，如圖所示，ABEF，EF與MN是異面直線，ABCM，MNCD，只有正確.10.答案60解析連接BC1，A1C1，BC1AD1，異面直線A1B與AD1所成的角即為直線A1B與BC1所成的角.在A1BC1中，A1BBC1A1C1，A1BC160，故異面直線A1B與AD1所成的角為60.三、解答題11.解取AC的中點F，連接EF，BF，在ACD中，E，F(xiàn)分別是AD，AC的中點，EFCD，BEF即為所求的異面直線BE與CD所成的角(或其補角).在RtABC中，BC，ABAC，ABAC1，在RtEAB中，AB1，AEAD，BE