二次函數(shù)性質(zhì)的再研究

1、4 二次函數(shù)性質(zhì)的再研究1二次函數(shù)的圖像變換及參數(shù)a，b，c，h，k對其圖像的影響(1)函數(shù)yx2和yax2(a0)的圖像之間的關(guān)系二次函數(shù)yax2(a0)的圖像可由yx2的圖像各點的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腶倍得到，參數(shù)a的取值不同，函數(shù)及其圖像也有區(qū)別，a決定了圖像的開口方向和在同一直角坐標(biāo)系中的開口大小當(dāng)a0時，二次函數(shù)yax2的圖像開口向上，當(dāng)a0時，圖像開口向下而且，當(dāng)a0時，a的值越大，函數(shù)yax2的圖像開口越小，a的值越小，函數(shù)yax2的圖像開口越大；當(dāng)a0時，a的值越小，函數(shù)yax2的圖像開口越小，a的值越大，函數(shù)yax2圖像開口越大也就是說，|a|越大，拋物線的開口越?。环粗?，|a|

2、越小，拋物線的開口越大(2)函數(shù)yax2和ya(xh)2k(a0)的圖像之間的關(guān)系函數(shù)ya(xh)2k(a0)的圖像能夠由函數(shù)yax2(a0)的圖像向左(h0)或向右(h0)平移|h|個單位，再向上(k0)或向下(k0)平移|k|個單位得到h決定了二次函數(shù)圖像的左右平移，而且“h正左移，h負右移”；k決定了二次函數(shù)圖像的上下平移，而且“k正上移，k負下移”可簡記為“左加右減，上加下減”因為只實行了圖像的平移變換，所以函數(shù)ya(xh)2k(a0)的圖像與函數(shù)yax2(a0)的圖像形狀相同，僅僅位置不同(3)函數(shù)yax2和yax2bxc(a0)的圖像之間的關(guān)系二次函數(shù)yax2bxc(a0)通過配方

3、能夠得到其恒等形式y(tǒng)a(xh)2k(a0)，從而能夠知道，由yax2的圖像如何平移就得到y(tǒng)ax2bxc(a0)的圖像對于二次函數(shù)yax2bxc(a0)，即(a0)，二次項系數(shù)a決定著函數(shù)圖像的開口方向和在同一直角坐標(biāo)系中的開口大小；b和a共同決定拋物線對稱軸的位置，拋物線的對稱軸是直線，它是一條平行于y軸或與y軸重合的直線；a，b，c共同決定拋物線頂點的位置，c的大小決定拋物線yax2bxc與y軸交點的位置，當(dāng)c0時，拋物線經(jīng)過坐標(biāo)原點，當(dāng)c0時，拋物線與y軸的交點在y軸的正半軸，當(dāng)c0時，交點在y軸的負半軸【例11】(1)由y2x2的圖像，如何得到y(tǒng)2(x1)23的圖像？(2)把y2x2的圖

4、像，向右平移3個單位長度，再向上平移4個單位長度，能得到哪個函數(shù)的圖像？(3)將函數(shù)y4x22x1寫成ya(xh)2k的形式，并說明它的圖像是由y4x2 的圖像經(jīng)過怎樣的變換得到的？解：(1)把y2x2的圖像向左平移1個單位長度，再向下平移3個單位長度就得到y(tǒng)2(x1)23的圖像(2)把y2x2的圖像，向右平移3個單位長度，再向上平移4個單位長度，就得到函數(shù)y2(x3)24，即y2x212x22的圖像(3)y4x22x1.把y4x2的圖像向左平移個單位長度，再向上平移個單位長度，就可得到函數(shù)y4x22x1的圖像【例12】在同一坐標(biāo)系中作出下列函數(shù)的圖像，并分析如何把yx2的圖像變換成y2x24

5、x的圖像(1)yx2；(2)yx22；(3)y2x24x.分析：解答本題可就每個函數(shù)列表、描點連線，作出相對應(yīng)圖像，然后利用圖像以及二次函數(shù)的平移變換規(guī)律分析yx2與y2x24x的圖像之間的關(guān)系解：(1)列表：x3210123yx29410149yx227212127y2x24x301660206描點、連線即得相對應(yīng)函數(shù)的圖像，如圖所示(2)y2x24x2(x22x)2(x22x11)2(x1)22.由yx2到y(tǒng)2x24x的變化過程如下方法一：先把yx2的圖像橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍得到y(tǒng)2x2的圖像，然后把y2x2的圖像向下平移2個單位長度得到y(tǒng)2x22的圖像，最后把y2x22的圖像

6、向右平移1個單位長度得到y(tǒng)2(x1)22，即y2x24x的圖像方法二：先把yx2的圖像向右平移1個單位長度得到y(tǒng)(x1)2的圖像，然后把y(x1)2的圖像橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍得到y(tǒng)2(x1)2的圖像，最后把y2(x1)2的圖像向下平移2個單位長度便可得到y(tǒng)2(x1)22，即y2x24x的圖像析規(guī)律 yx2與其他二次函數(shù)的關(guān)系所有二次函數(shù)的圖像均能夠由函數(shù)yx2的圖像經(jīng)過變換得到，變換前，先將二次函數(shù)的解析式化為頂點式，再確定變換的步驟常用的變換步驟如下：yx2yax2yax2kya(xh)2k，其中a決定開口方向及開口大小(或縱坐標(biāo)的拉伸)；h決定左、右平移，k決定上、下平移【例1

7、3】已知二次函數(shù)f(x)ax2bxc與函數(shù)y2x23x有相同的開口方向和大小，與函數(shù)有相同的對稱軸，與函數(shù)y4x2x1在y軸上有相同的交點(1)求f(x)(2)由yx2的圖像能得到f(x)的圖像嗎？分析：(1)根據(jù)a，b，c對f(x)的圖像影響，由y2x23x確定a，由確定b，由y4x2x1確定c；(2)由yx2的圖像得f(x)的圖像要分步驟：yx2yax2ya(xh)2ya(xh)2k，因此先將f(x)的解析式化為f(x)a(xh)2k的形式解：(1)f(x)與y2x23x有相同的開口方向和大小，a2.f(x)與函數(shù)有相同的對稱軸，.又a2，b1.f(x)與函數(shù)y4x2x1在y軸上有相同的交

8、點(0，1)，c1.f(x)2x2x1.(2)f(x).將函數(shù)yx2圖像的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍得到函數(shù)y2x2的圖像；將函數(shù)y2x2的圖像向右平移個單位，再向下平移個單位得到函數(shù)的圖像，即函數(shù)y2x2x1的圖像談重點 由yx2的圖像得到y(tǒng)ax2bxc的圖像的基本要求解決本題的關(guān)鍵是明確a，b，c對函數(shù)yax2bxc(a0)圖像的影響以及利用配方法將yax2bxc化為ya(xh)2k的形式，這是一項基本要求，往往由于配方過程中出現(xiàn)錯誤導(dǎo)致后面解答全部錯誤2二次函數(shù)圖像的草圖畫法畫二次函數(shù)的圖像時，重點體現(xiàn)拋物線的特征“三點一線一開口”“三點”中有一個點是頂點，另兩個點是拋物線上關(guān)

9、于對稱軸對稱的兩個點，常取與x軸的交點；“一線”是指對稱軸這條直線；“一開口”是指拋物線的開口方向根據(jù)這些特征，在坐標(biāo)系中可快速畫出拋物線的草圖，使畫圖的操作更簡便，使圖像更精確【例2】畫出函數(shù)y2x24x6的草圖解：y2x24x62(x22x)62(x22x11)62(x1)2162(x1)28.函數(shù)圖像的開口向上，頂點坐標(biāo)為(1，8)，對稱軸為直線x1.令y0得2x24x60，即x22x30，x1或x3，故函數(shù)圖像與x軸的交點坐標(biāo)為(1,0)，(3,0)畫法步驟：(1)描點畫線：在平面直角坐標(biāo)系中，描出點(1，8)，(1，0)，(3,0)，畫出直線x1；(2)連線：用光滑的曲線連點(1，8

10、)，(1,0)，(3,0)，在連線的過程中，要保持關(guān)于直線x1對稱，即得函數(shù)y2x24x6的草圖，如圖所示3二次函數(shù)解析式的求法求二次函數(shù)的解析式，應(yīng)根據(jù)已知條件的特點，靈活地運用解析式的形式，選取最佳方案，用待定系數(shù)法求之(1)當(dāng)已知拋物線上任意三點時，通常設(shè)所求二次函數(shù)為一般式y(tǒng)ax2bxc(a，b，c為常數(shù)，a0)，然后列出三元一次方程組求解(2)當(dāng)已知二次函數(shù)圖像的頂點坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸方程與最大(小)值，則設(shè)所求二次函數(shù)為頂點式y(tǒng)a(xh)2k(其頂點是(h，k)，a0)(3)當(dāng)已知二次函數(shù)圖像與x軸的兩個交點的坐標(biāo)為(x1,0)，(x2,0)，則設(shè)所求二次函數(shù)為交點式y(tǒng)a(xx1)(xx

11、2)(a0)【例3】已知二次函數(shù)的圖像的頂點坐標(biāo)是(1，3)，且經(jīng)過點P(2,0)，求這個函數(shù)的解析式分析：本題已知圖像上兩點的坐標(biāo)(1，3)和(2,0)，若不考慮已知點的特點，設(shè)二次函數(shù)的一般式y(tǒng)ax2bxc(a0)似乎差一個條件，但注意到點(1，3)是拋物線的頂點，再利用對稱軸方程，就可以列出關(guān)于a，b，c的三元一次方程組，從而得解；根據(jù)頂點坐標(biāo)是(1，3)，也可設(shè)二次函數(shù)的頂點式y(tǒng)a(x1)23(a0)，只需將點P(2,0)的坐標(biāo)代入，即可求出a；若看到P(2,0)點是圖像與x軸的交點，利用對稱性即可求出圖像與x軸的另一個交點，設(shè)二次函數(shù)的交點式y(tǒng)a(xx1)(xx2)也能求解解：(方法

12、1)設(shè)所求函數(shù)的解析式為yax2bxc(a0)，由題意，得解得所求函數(shù)的解析式為y3x26x.(方法2)設(shè)所求函數(shù)的解析式為ya(x1)23(a0)，由圖像經(jīng)過點P(2,0)，得a(21)230，解得a3.所求函數(shù)的解析式為y3(x1)23，即y3x26x.(方法3)二次函數(shù)的圖像的頂點坐標(biāo)為(1，3)，其對稱軸為直線x1.又圖像與x軸的一個交點坐標(biāo)為P(2,0)，由對稱性可知，圖像與x軸的另一個交點坐標(biāo)為(0,0)可設(shè)所求函數(shù)的解析式為ya(x0)(x2)(a0)圖像的頂點坐標(biāo)是(1，3)，a(10)(12)3，解得a3.所求函數(shù)的解析式為y3x(x2)，即y3x26x.析規(guī)律 二次函數(shù)圖像

13、對稱性的一個用途若二次函數(shù)yf(x)的圖像與x軸的兩個交點坐標(biāo)為(x1,0)和(x2,0)，則其對稱軸方程為，由此可以看出，已知二次函數(shù)的對稱軸及其與x軸的一個交點坐標(biāo)，即可求出另一個交點的坐標(biāo)4二次函數(shù)的性質(zhì)二次函數(shù)f(x)ax2bxc可以通過配方轉(zhuǎn)化為f(x)，結(jié)合圖像觀察得到其主要性質(zhì)，如下表：a0a0圖像開口方向向上向下頂點坐標(biāo)對稱軸直線x單調(diào)區(qū)間f(x)在上是減少的，在上是增加的f(x)在上是增加的，在上是減少的最值當(dāng)x時，函數(shù)取得最小值當(dāng)x時，函數(shù)取得最大值由上表可以看出，函數(shù)的性質(zhì)就是函數(shù)圖像特征的具體描述，因此可借助于圖像特征來理解記憶二次函數(shù)的主要性質(zhì)以上大部分性質(zhì)在初中都已

14、了解，新增加的是單調(diào)區(qū)間，所以，教科書首先通過圖像觀察得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，然后利用單調(diào)性的定義進行了嚴格的證明，用定義證明函數(shù)單調(diào)性的方法和步驟在前面已經(jīng)學(xué)過【例41】分別指出下列二次函數(shù)圖像的開口方向、頂點坐標(biāo)、對稱軸方程，寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及最大值或最小值(1)yx24x9；(2)y2x24x3.分析：首先將所給的二次函數(shù)解析式配方化成頂點式，然后利用圖像研究其性質(zhì)解：(1)yx24x9(x2)25，由于x2的系數(shù)是正數(shù)，所以函數(shù)圖像開口向上；頂點坐標(biāo)為(2,5)；對稱軸方程為x2；函數(shù)在區(qū)間(，2上是減少的，在區(qū)間2，)上是增加的；函數(shù)有最小值，沒有最大值，函數(shù)的最小值是5.(2)y2x

15、24x32(x1)21，由于x2的系數(shù)是負數(shù)，所以函數(shù)圖像開口向下；頂點坐標(biāo)為(1，1)；對稱軸方程為x1；函數(shù)在區(qū)間(，1上是增加的，在區(qū)間1，)上是減少的；函數(shù)有最大值，沒有最小值，函數(shù)的最大值是1.【例42】拋物線y8x2(m1)xm7的頂點在x軸上，則m_.解析：拋物線y8x2(m1)xm7的頂點在x軸上，其頂點的縱坐標(biāo)0，即m230m2250，(m15)20，m15.答案：15析規(guī)律 拋物線頂點的用途拋物線yax2bxc(a0)的頂點坐標(biāo)為，當(dāng)頂點在x軸上時，其縱坐標(biāo)0；當(dāng)頂點在y軸上時，其橫坐標(biāo)0.【例43】若函數(shù)yx22(a1)x2在(，4上是減函數(shù)，則a的取值范圍是()A(，3

16、B3，)C(，5 D5，)解析：易知函數(shù)yx22(a1)x2是二次函數(shù)，其圖像的開口向上，對稱軸是直線x1a，此函數(shù)在區(qū)間(，1a上是減少的，若函數(shù)在(，4上是減函數(shù)，則區(qū)間(，4是(，1a的子區(qū)間，故1a4，a3.答案：A5給定區(qū)間上二次函數(shù)的最值或值域的求法求二次函數(shù)的最值或值域，基本的方法是配方法，當(dāng)限定在某個閉區(qū)間上時，關(guān)鍵是確定函數(shù)圖像的開口方向和對稱軸與所給區(qū)間的相對位置，結(jié)合函數(shù)圖像確定該函數(shù)的單調(diào)性、最大值或最小值是在端點處取得還是在頂點處取得談重點 f(x)ax2bxc(a0)在區(qū)間p，q上的最值一般地，二次函數(shù)f(x)ax2bxc(a0)在閉區(qū)間p，q上的最值有下列四種情況

17、：(1)當(dāng)p，即對稱軸在區(qū)間p，q的左邊時，畫出草圖如圖，從圖像上易得f(x)在p，q上是增加的，則f(x)minf(p)，f(x)maxf(q)(2)當(dāng)p，即對稱軸在區(qū)間p，q的左端點與區(qū)間中點之間時，畫出草圖如圖.從圖像上易得f(x)在p，q上的最值情況是f(x)minf，f(x)maxf(q)(3)當(dāng)q，即對稱軸在區(qū)間p，q的中點與右端點之間時，畫出草圖如圖.從圖像上易得f(x)在p，q上的最值情況是f(x)minf，f(x)maxf(p)(4)當(dāng)q，即對稱軸在區(qū)間p，q的右邊時，畫出草圖如圖.從圖像上易得f(x)在p，q上是減少的，則f(x)minf(q)，f(x)maxf(p)【例5

18、】已知函數(shù)f(x)x22ax2，x5,5(1)當(dāng)a1時，求函數(shù)f(x)的最大值和最小值；(2)用a表示出函數(shù)在5,5上的最值；(3)求實數(shù)a的取值范圍，使yf(x)在5,5上是單調(diào)函數(shù)分析：f(x)x22ax2(xa)22a2.(1)當(dāng)a1時，由于對稱軸x1在區(qū)間5,5內(nèi)，則由圖像知函數(shù)f(x)的最大值是f(5)，最小值是f(1)；(2)中對稱軸xa，要根據(jù)對稱軸與區(qū)間5,5的相對位置來討論最值，因此要對對稱軸的位置分類討論； (3)切入點是單調(diào)函數(shù)，結(jié)合圖像可知對稱軸不能在區(qū)間5,5內(nèi)部，因此也要討論對稱軸的位置解：(1)當(dāng)a1時，f(x)x22x2(x1)21，x5,5，其圖像如圖，由圖可

19、知，圖當(dāng)x1時，f(x)取得最小值，f(x)minf(1)1.當(dāng)x5時，f(x)取得最大值，f(x)maxf(5)(51)2137.(2)函數(shù)yf(x)(xa)22a2圖像的對稱軸為xa.當(dāng)a5，即a5時，函數(shù)在區(qū)間5,5上是增加的，所以f(x)maxf(5)2710a，f(x)minf(5)2710a；當(dāng)5a0，即0a5時，函數(shù)圖像如圖所示，由圖可知，f(x)maxf(5)2710a，f(x)minf(a)2a2；當(dāng)0a5，即5a0時，函數(shù)圖像如圖所示，圖 圖由圖可知，f(x)maxf(5)2710a，f(x)minf(a)2a2；當(dāng)a5，即a5時，函數(shù)在區(qū)間5,5上是減少的，所以f(x)m

20、inf(5)2710a，f(x)maxf(5)2710a.(3)由(2)可知若函數(shù)f(x)在區(qū)間5,5上是單調(diào)函數(shù)，則有a5或a5.析規(guī)律 利用二次函數(shù)圖像的對稱性求最值當(dāng)函數(shù)的解析式中含有參數(shù)或給定的區(qū)間不固定時，求二次函數(shù)在此區(qū)間上的最值，應(yīng)按開口方向或?qū)ΨQ軸與所給區(qū)間的相對位置進行正確合理的討論討論時要考慮二次函數(shù)的對稱軸在區(qū)間的某側(cè)還是在區(qū)間內(nèi)，從而確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；當(dāng)對稱軸在區(qū)間內(nèi)部時，還要考慮區(qū)間的兩個端點與對稱軸的距離的遠近，當(dāng)開口向上時，離對稱軸越遠，函數(shù)值越大，離對稱軸越近，函數(shù)值越??；反之，當(dāng)開口向下時，離對稱軸越遠，函數(shù)值越小，離對稱軸越近，函數(shù)值越大6一元二次方程與二

21、次函數(shù)的關(guān)系一元二次方程與二次函數(shù)的關(guān)系是方程與函數(shù)關(guān)系的特例，是研究函數(shù)與方程關(guān)系的典范一元二次方程ax2bxc0(a0)的根就是相應(yīng)的二次函數(shù)yax2bxc的函數(shù)值為0時的自變量x的值，從圖像上看，就是拋物線與x軸交點的橫坐標(biāo)談重點 二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系當(dāng)一元二次方程的判別式0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根，此時對應(yīng)的二次函數(shù)的圖像與x軸有兩個不同的交點；當(dāng)0時，方程有兩個相等的實數(shù)根，此時對應(yīng)的二次函數(shù)的圖像與x軸只有一個公共點；當(dāng)0時，方程沒有實數(shù)根，此時對應(yīng)的二次函數(shù)的圖像與x軸沒有交點當(dāng)a0時，它們之間的關(guān)系如下圖所示：求解一元二次方程根的問題，一般使用求根公式或根與系數(shù)的關(guān)

22、系，但有些問題用這種方法解決比較繁瑣，甚至無法求解，此時若借助于二次函數(shù)及圖像，則問題會轉(zhuǎn)化為易于理解和表達的問題例如，實數(shù)a為何值時，關(guān)于x的一元二次方程x2(a1)x2a0有一根小于1，另一根大于1?顯然，如果使用根與系數(shù)的關(guān)系或求根公式求解非常困難，我們可以利用相應(yīng)的二次函數(shù)的圖像解決該問題設(shè)f(x)x2(a1)x2a，畫出該函數(shù)的圖像(如下圖)，方程的兩根中一根小于1，另一根大于1，等價于函數(shù)的圖像與x軸的一個交點在1的左側(cè)，另一個交點在1的右側(cè)，只需由此可解得a.通過上述實例，我們可以看到，借助函數(shù)利用數(shù)形結(jié)合的思想解決一元二次方程根的分布問題，使難以處理的問題轉(zhuǎn)化的非常直觀簡單一般

23、情況下，用二次函數(shù)的圖像處理一元二次方程根的分布問題，要從多個方面考慮使結(jié)論成立的等價條件，如判別式、對稱軸、函數(shù)值的正負大小等【例61】已知f(x)1(xa)(xb)，并且m，n是方程f(x)0的兩根，則實數(shù)a，b，m，n的大小關(guān)系可能是()AmabnBamnbCambn Dmanb解析：由f(x)1(xa)(xb)可知，二次函數(shù)f(x)的開口向下，且f(a)f(b)10.m，n是方程f(x)0的兩根，f(m)f(n)0.由f(x)的圖像可知，實數(shù)a，b，m，n的關(guān)系可能是mabn(如圖所示)答案：A【例62】若方程在(1,1)上有實根，求k的取值范圍分析：顯然利用求根公式求解不可取，我們可

24、以利用相應(yīng)二次函數(shù)的圖像解決該問題，或?qū)⑵滢D(zhuǎn)化為二次函數(shù)在區(qū)間(1,1)上的值域問題解：(方法1)設(shè)f(x)x2xk，函數(shù)f(x)的圖像開口向上，對稱軸為直線.若方程x2xk在(1,1)上有兩實根，則函數(shù)f(x)的圖像如圖甲所示，故即.若方程在(1,1)上有一實根，則函數(shù)f(x)的圖像如圖乙、丙所示，故即.綜上所述，實數(shù)k的取值范圍是.(方法2)方程可以看作是k關(guān)于x的二次函數(shù)，配方得，其對稱軸方程為，函數(shù)在區(qū)間上是減少的，在區(qū)間上是增加的(圖像如圖所示)由函數(shù)的單調(diào)性可知，此函數(shù)在區(qū)間(1,1)上的值域為，f(1)(1)2(1)，實數(shù)k的取值范圍是.7二次函數(shù)在實際生活中的應(yīng)用在實際生活中，有很多最優(yōu)化問題可以通過建立二次函數(shù)模型，并借助二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)加以解決，其解題的關(guān)鍵是列出二次函數(shù)解析式，轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值問題例如：某桶裝水經(jīng)營部每天的房租、人員工資等固定成本為200元，每桶水的進價是5元銷售單價