中值定理的應用

1、微分中值定理的應用,1.微分中值定理,1)羅爾定理,2)拉格朗日中值定理,3)柯西中值定理,在 上連續(xù), 在 內可導, 且,在 上連續(xù), 在 內可導, 則至少存在一,使,在 上連續(xù), 在 內可導,則至少存在一 使,則至少存在一 使,5) 三個定理之間的內在聯(lián)系,拉格朗日中值定理,羅爾定理,柯西中值定理,4) 判別 的方法,若,則,6) 微分中值定理的主要應用,1) 研究函數或導數的性態(tài),2) 證明恒等式或不等式,3) 證明有關中值問題的結論,7). 有關中值問題的解題方法,利用逆向思維,設輔助函數,一般解題方法,證明含一個中值的等式或根的存在,2) 若結論中涉及含中值的兩個不同函數,3) 若結

2、論中含兩個或兩個以上的中值,可用原函數法找輔助函數,多用羅爾定理,可考慮用柯,西中值定理,必須多次應用,中值定理,4) 若已知條件中含高階導數,多考慮用泰勒公式,5) 若結論為不等式,要注意適當放大或縮小的技巧,有時也可考慮對導數用中值定理,5. 證明有關中值問題的結論,題型一：證明存在,使,例1,證明：（存在與唯一性）設,上可導,由零點定理，存在,使,由羅爾定理知，存在,使,即,這與,矛盾,練習,例2. 設,上連續(xù),求證,證明,設,題型二：證明,證明思路,例3. 設,上可導,求證,證明,例4,設函數 f (x) 在 0, 3 上連續(xù), 在( 0, 3 )內可導,分析: 所給條件可寫為,試證必

3、存在,想到找一點 c , 使,證: 因 f (x) 在0, 3上連續(xù),所以在 0, 2 上連續(xù),且在 0, 2 上有最大值 M 與最小值 m,故,由介值定理, 至少存在一點,由羅爾定理知, 必存在,且,例5,設函數 f (x) 具有二階導數,且,試證必存在,證,在 0, 1 上滿足Rolle定理的條件,使,或 的一部分,構造輔助函數的一般方法,1. 將結論改寫為方程,2. 將方程中的 換成,3. 方程的一端就是 或,題型三：證明有關中值的等式成立,例6. 設,在,內可導, 且,證明至少存在一點,使,上連續(xù), 在,證,設輔助函數,顯然,在 0 , 1 上滿足羅爾定理條件,故至,使,即有,少存在一

4、點,問題轉化為證,分析,練習1,設 在 上連續(xù), 在 內可導, 且,證明存在一點 使,證明: 令,且,即,由已知條件知 在 上連續(xù), 在 內可導,故由羅爾定理知,使,例7,設 在 上連續(xù), 在 內可導, 且,證明存在一點 使,證明: 令,且,即,由已知條件知 在 上連續(xù), 在 內可導,故由羅爾定理知,使,分析,例8,證,即,證明,練習1,2,練習2,設 在 上連續(xù), 在 內可導, 且,證明存在一點 使,證明: 令,且,即,由已知條件知 在 上連續(xù), 在 內可導,故由羅爾定理知,使,練習3. 若,可導, 試證在其兩個零點間一定有,的零點,提示,設,欲證,使,只要證,亦即,作輔助函數,驗證,在,上

5、滿足,Rolle定理條件,練習4,由羅爾定理,練習4,構造輔助函數,構造輔助函數,構造輔助函數,總結,通過恒等變形,例9. 設 f (x)在a, b上連續(xù), 在(a, b)內可微, 試證存在 , (a, b), 使,證 對 f (x)與 x2在a, b上使用柯西中值定理,存在 (a, b), 使,再對 f (x)在a, b上使用拉格朗日中值定理, (a, b), 使,上兩式相除即得, (a, b,練習,例10. 設,在,上連續(xù), 在,試證對任意給定的正數,內可導,且,存在,證,轉化為證,因,即,由連續(xù)函數定理可知,存在,使,使,因此,對,分別在,上用拉氏中值定理 , 得,即,1. 設,且在,內

6、可導, 證明至少存,在一點,使,提示,由結論可知, 只需證,即,驗證,在,上滿足Rolle定理條件,設,練習,試證至少存在一點,使,2,則f (x)在 1 , e 上,使,因此,證 法一,令,滿足Rolle中值定理條件,分析,即,3,分析,將結論交叉相乘得,輔助函數F(x,證,設輔助函數,因此F(x)滿足Rolle定理的條件,即,得,證畢,4. 設,上連續(xù),求證,分析,證明,設,分析,將所證等式變形為 或,可見，應對 與 在,上應用柯西中值定理,5. f (x)在a, b上連續(xù), 在(a, b)內可導 (0 a b), 證明存在 (a, b), 使,證法一 對 f (x)與 g(x) = lnx 在a, b上用柯西中值定理(條件顯然滿足), 得,整理即得所證結果,即,證法二 令,容易驗證(x)在 a, b上滿足羅爾定理的條件, 故存在 (a, b), 使 ( ) = 0, 即,整理即得,證,6,證明,為單調增加函數,由lagrange中值定理,7,證,作輔助函數,8.設,上二階可導,求證,證明,設,9. 設,上是導數連續(xù)的函數,求證,證明,設,即,練習1.設,有界且導函數連續(xù),求證,證明,設,即,10,證明,1)反證法,10,分析,將結論交叉相乘移項得,