中值定理的應(yīng)用

1、微分中值定理的應(yīng)用,1.微分中值定理,1)羅爾定理,2)拉格朗日中值定理,3)柯西中值定理,在 上連續(xù), 在 內(nèi)可導(dǎo), 且,在 上連續(xù), 在 內(nèi)可導(dǎo), 則至少存在一,使,在 上連續(xù), 在 內(nèi)可導(dǎo),則至少存在一 使,則至少存在一 使,5) 三個(gè)定理之間的內(nèi)在聯(lián)系,拉格朗日中值定理,羅爾定理,柯西中值定理,4) 判別 的方法,若,則,6) 微分中值定理的主要應(yīng)用,1) 研究函數(shù)或?qū)?shù)的性態(tài),2) 證明恒等式或不等式,3) 證明有關(guān)中值問題的結(jié)論,7). 有關(guān)中值問題的解題方法,利用逆向思維,設(shè)輔助函數(shù),一般解題方法,證明含一個(gè)中值的等式或根的存在,2) 若結(jié)論中涉及含中值的兩個(gè)不同函數(shù),3) 若結(jié)

2、論中含兩個(gè)或兩個(gè)以上的中值,可用原函數(shù)法找輔助函數(shù),多用羅爾定理,可考慮用柯,西中值定理,必須多次應(yīng)用,中值定理,4) 若已知條件中含高階導(dǎo)數(shù),多考慮用泰勒公式,5) 若結(jié)論為不等式,要注意適當(dāng)放大或縮小的技巧,有時(shí)也可考慮對(duì)導(dǎo)數(shù)用中值定理,5. 證明有關(guān)中值問題的結(jié)論,題型一：證明存在,使,例1,證明：（存在與唯一性）設(shè),上可導(dǎo),由零點(diǎn)定理，存在,使,由羅爾定理知，存在,使,即,這與,矛盾,練習(xí),例2. 設(shè),上連續(xù),求證,證明,設(shè),題型二：證明,證明思路,例3. 設(shè),上可導(dǎo),求證,證明,例4,設(shè)函數(shù) f (x) 在 0, 3 上連續(xù), 在( 0, 3 )內(nèi)可導(dǎo),分析: 所給條件可寫為,試證必

3、存在,想到找一點(diǎn) c , 使,證: 因 f (x) 在0, 3上連續(xù),所以在 0, 2 上連續(xù),且在 0, 2 上有最大值 M 與最小值 m,故,由介值定理, 至少存在一點(diǎn),由羅爾定理知, 必存在,且,例5,設(shè)函數(shù) f (x) 具有二階導(dǎo)數(shù),且,試證必存在,證,在 0, 1 上滿足Rolle定理的條件,使,或 的一部分,構(gòu)造輔助函數(shù)的一般方法,1. 將結(jié)論改寫為方程,2. 將方程中的 換成,3. 方程的一端就是 或,題型三：證明有關(guān)中值的等式成立,例6. 設(shè),在,內(nèi)可導(dǎo), 且,證明至少存在一點(diǎn),使,上連續(xù), 在,證,設(shè)輔助函數(shù),顯然,在 0 , 1 上滿足羅爾定理?xiàng)l件,故至,使,即有,少存在一

4、點(diǎn),問題轉(zhuǎn)化為證,分析,練習(xí)1,設(shè) 在 上連續(xù), 在 內(nèi)可導(dǎo), 且,證明存在一點(diǎn) 使,證明: 令,且,即,由已知條件知 在 上連續(xù), 在 內(nèi)可導(dǎo),故由羅爾定理知,使,例7,設(shè) 在 上連續(xù), 在 內(nèi)可導(dǎo), 且,證明存在一點(diǎn) 使,證明: 令,且,即,由已知條件知 在 上連續(xù), 在 內(nèi)可導(dǎo),故由羅爾定理知,使,分析,例8,證,即,證明,練習(xí)1,2,練習(xí)2,設(shè) 在 上連續(xù), 在 內(nèi)可導(dǎo), 且,證明存在一點(diǎn) 使,證明: 令,且,即,由已知條件知 在 上連續(xù), 在 內(nèi)可導(dǎo),故由羅爾定理知,使,練習(xí)3. 若,可導(dǎo), 試證在其兩個(gè)零點(diǎn)間一定有,的零點(diǎn),提示,設(shè),欲證,使,只要證,亦即,作輔助函數(shù),驗(yàn)證,在,上

5、滿足,Rolle定理?xiàng)l件,練習(xí)4,由羅爾定理,練習(xí)4,構(gòu)造輔助函數(shù),構(gòu)造輔助函數(shù),構(gòu)造輔助函數(shù),總結(jié),通過恒等變形,例9. 設(shè) f (x)在a, b上連續(xù), 在(a, b)內(nèi)可微, 試證存在 , (a, b), 使,證 對(duì) f (x)與 x2在a, b上使用柯西中值定理,存在 (a, b), 使,再對(duì) f (x)在a, b上使用拉格朗日中值定理, (a, b), 使,上兩式相除即得, (a, b,練習(xí),例10. 設(shè),在,上連續(xù), 在,試證對(duì)任意給定的正數(shù),內(nèi)可導(dǎo),且,存在,證,轉(zhuǎn)化為證,因,即,由連續(xù)函數(shù)定理可知,存在,使,使,因此,對(duì),分別在,上用拉氏中值定理 , 得,即,1. 設(shè),且在,內(nèi)

6、可導(dǎo), 證明至少存,在一點(diǎn),使,提示,由結(jié)論可知, 只需證,即,驗(yàn)證,在,上滿足Rolle定理?xiàng)l件,設(shè),練習(xí),試證至少存在一點(diǎn),使,2,則f (x)在 1 , e 上,使,因此,證 法一,令,滿足Rolle中值定理?xiàng)l件,分析,即,3,分析,將結(jié)論交叉相乘得,輔助函數(shù)F(x,證,設(shè)輔助函數(shù),因此F(x)滿足Rolle定理的條件,即,得,證畢,4. 設(shè),上連續(xù),求證,分析,證明,設(shè),分析,將所證等式變形為 或,可見，應(yīng)對(duì) 與 在,上應(yīng)用柯西中值定理,5. f (x)在a, b上連續(xù), 在(a, b)內(nèi)可導(dǎo) (0 a b), 證明存在 (a, b), 使,證法一 對(duì) f (x)與 g(x) = lnx 在a, b上用柯西中值定理(條件顯然滿足), 得,整理即得所證結(jié)果,即,證法二 令,容易驗(yàn)證(x)在 a, b上滿足羅爾定理的條件, 故存在 (a, b), 使 ( ) = 0, 即,整理即得,證,6,證明,為單調(diào)增加函數(shù),由lagrange中值定理,7,證,作輔助函數(shù),8.設(shè),上二階可導(dǎo),求證,證明,設(shè),9. 設(shè),上是導(dǎo)數(shù)連續(xù)的函數(shù),求證,證明,設(shè),即,練習(xí)1.設(shè),有界且導(dǎo)函數(shù)連續(xù),求證,證明,設(shè),即,10,證明,1)反證法,10,分析,將結(jié)論交叉相乘移項(xiàng)得,