概率公式總結(jié)

1、一、隨 機(jī) 事 件 和 概 率1隨機(jī)事件及其概率運(yùn)算律名稱表達(dá)式交換律結(jié)合律分配律德摩根律2、概率的定義及其計算公式名稱公式表達(dá)式求逆公式加法公式條件概率公式乘法公式全概率公式貝葉斯公式（逆概率公式）伯努力概型公式兩件事件相互獨(dú)立相應(yīng)公式P(AB) P(A)P(B) ； P(BA)P(B) ；P(b|a)P(B A)；P(B A) P(BA)1 ；P(B A)P(B A)1、隨機(jī)變量及其分布1分布函數(shù)性質(zhì)2、散型隨機(jī)變量0 - 1 分布 B(1, p)二項(xiàng)分布B(n, p)泊松分布P()幾何分布G(p)超幾何分布H(N,M,n)分布名稱分布律3、續(xù)型隨機(jī)變量分布名稱密度函數(shù)分布函數(shù)均勻分布U

2、(a, b)指數(shù)分布E()止態(tài)分布N( , 2)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)三、多維隨機(jī)變量及其分布1離散型二維隨機(jī)變量邊緣分布2、離散型二維隨機(jī)變量條件分布x y3、連續(xù)型二維隨機(jī)變量(X，丫 )的分布函數(shù)F(x,y)f(u,v)dvdu4、連續(xù)型二維隨機(jī)變量邊緣分布函數(shù)與邊緣密度函數(shù)x分布函數(shù)：Fx (x)f(u,v)dvdu 密度函數(shù)：fx (x) f (x,v)dv5、二維隨機(jī)變量的條件分布四、隨機(jī)變量的數(shù)字特征1數(shù)學(xué)期望離散型隨機(jī)變量:E(X)XkPk 連續(xù)型隨機(jī)變量：E(X)xf (x)dx2、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì) 若XY相互獨(dú)立則：E(XY) E(X)E(Y)3、方差： D(X) E(X2

3、) E2(X)4、方差的性質(zhì)(1) D(X Y) D(X) D(Y) 2Cov(X,Y)若 XY相互獨(dú)立則：D(X Y) D(X) D(Y)5、 協(xié)方差：Cov(X,Y) E(X,Y) E(X)E(Y) 若 XY相互獨(dú)立則：Cov(X,Y) 06、 相關(guān)系數(shù)：XY (X,Y) Cov(X,Y) 若XY相互獨(dú)立則：XY 0即XY不相關(guān)Jd(x)(d(y)7、協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)8常見數(shù)學(xué)分布的期望和方差分布數(shù)學(xué)期望方差0-1 分布 B(1, p)二行分布B( n, p)泊松分布P()幾何分布G(p)超幾何分布 H(N,M, n)均勻分布U(a,b)止態(tài)分布N( , 2)指數(shù)分布E()五、大數(shù)定

4、律和中心極限定理1、切比雪夫不等式若E(X) ,D(X)2,對于任意0 有 PX E(X)或 PX E(X) 12、大數(shù)定律：若Xi Xn相互獨(dú)立且n(1)若 Xi Xn 相互獨(dú)立，E(Xi) i,D(Xi)時,nD -E(Xi)n i 1n i 1nni2且2 m 貝y：1p1-Xi-E(Xi),(n)n i 1n i 1 若X1 Xn相互獨(dú)立同分布，且E(Xi) i則當(dāng)n 時:3、中心極限定理(1)獨(dú)立同分布的中心極限定理：均值為，方差為20的獨(dú)立同分布時，當(dāng)n充分大時有:(2)拉普拉斯定理：隨機(jī)變量n(n 1,2) B(n, p)則對任意X 有:n近似計算：P(a Xk b)k 1P(a

5、nnnXknk 1b n)nn )六、數(shù)理統(tǒng)計1、總體和樣本總體X的分布函數(shù)F(x)樣本(X1，X2 Xn)的聯(lián)合分布為F(X1，X2 Xn)nF(Xk)k 12、統(tǒng)計量(1)樣本平均值：X1 nXin i 11 n(2)樣本方差：S2 (Xin 1 i 1X)22 2 (Xi2 nx )1(3)樣本標(biāo)準(zhǔn)差：sX)2 (4)樣本k階原點(diǎn)距:Xik,k 1,21樣本k階中心距:1- kBk Mk (Xi X) ,k 2,3n i 1次序統(tǒng)計量：設(shè)樣本(X1,X2 Xn)的觀察值(X1 , X2Xn)，將 X1,X2Xn按照由小到大的次序重新排列，得到X(1) X(2)X(n)，記取值為X(i)的

6、樣本分量為X(i)，則稱(i)X(1) min(XX2Xn)為最小次X(1) X(2) X(n)為樣本(X1,X2 Xn)的次序統(tǒng)計量。序統(tǒng)計量；X(n) max(XX2 Xn)為最大次序統(tǒng)計量。3、三大抽樣分布(1) 2分布：設(shè)隨機(jī)變量 X1,X2 Xn相互獨(dú)立，且都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)，則隨機(jī)變量2 X12 x2x2所服從的分布稱為自由度為n的2分布，記為2- 2(n)性質(zhì)：E 2( n) n, D 2( n) 2n設(shè)X - 2(m),丫2( n)且相互獨(dú)立，則X 丫2(m n)(2)t分布：設(shè)隨機(jī)變量EE 2(n)，且X與丫獨(dú)立，則隨機(jī)變量：t爲(wèi)所服從的分布稱為自由度的n的t分布

7、，記為Tt( n)性質(zhì)： Et(n)0,Dt(n) ,(n 2) lim t(n)n 2nN (0,1)1.2 e(x )22 2F分布：設(shè)隨機(jī)變量U 2( nJ,V - 2短)，且U與V獨(dú)立，則隨機(jī)變量F(m, n2) 空所服從的分布稱為自由度 g, n2)的F分布，記為FF(m, %)Vn2性質(zhì)：設(shè) X F(m,n)，則丄 F(n,m)X七、參數(shù)估計1、參數(shù)估計(1) 定義：用(Xi,X2, Xn)估計總體參數(shù)，稱(Xl,X2, Xn)為 的估計量，相應(yīng)的(X1，X2，Xn)為總體 的估計值。(2) 當(dāng)總體是正態(tài)分布時，未知參數(shù)的矩估計值二未知參數(shù)的最大似然估計值2、 點(diǎn)估計中的矩估計法：(總體矩二樣本矩)n_離散型樣本均值：X E(X) -Xi連續(xù)型樣本均值：x E(X) xf(x, )dxn i 1d n離散型參數(shù)：E(X2) -n i 13、點(diǎn)估計中的最大似然估計最大似然估計法：X1,X2, Xn取自X的樣本，設(shè)xf(x,)或P(X Xi) P()則可得 nnn到概率密度：f (x1,x2,xn,) f(xi,)或P(xX1,X2,xnxn)P(x