【畢業(yè)論文】淺談數(shù)學(xué)美

1、【畢業(yè)論文】淺談數(shù)學(xué)美 【標(biāo)題】?淺談數(shù)學(xué)美 【作者】胡 欣 【關(guān)鍵詞】?數(shù)學(xué)美特征功能激發(fā)學(xué)習(xí)興趣 【指導(dǎo)老師】簡(jiǎn)大權(quán) 【專業(yè)】數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 【正文】1、引言：對(duì)美的追求起源于古代。畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)，在相同張力作用下的弦，當(dāng)它們的長(zhǎng)度成簡(jiǎn)單的整數(shù)比時(shí)，擊弦發(fā)出的聲音聽(tīng)起來(lái)是和諧的。正是基于這種認(rèn)識(shí)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派定出了音律。順便指出，我國(guó)在古代也以同樣的方式確定了音律。這是人類第一次確立了可理解的東西與美之間的內(nèi)在聯(lián)系，是人類歷史上一個(gè)真正重大的發(fā)現(xiàn)。牛頓的萬(wàn)有引力公式，愛(ài)因斯坦的質(zhì)能轉(zhuǎn)換公式，既是美，又是真。數(shù)學(xué)是美的。大數(shù)學(xué)家克萊因認(rèn)為：“數(shù)學(xué)是人類最高超的智力成就，也是人類心靈最獨(dú)特的

2、創(chuàng)作。音樂(lè)能激發(fā)或撫慰情懷，繪畫使人賞心悅目，詩(shī)歌能動(dòng)人心弦，哲學(xué)使人獲得智慧，科學(xué)可改善物質(zhì)生活，但數(shù)學(xué)能給予以上的一切。”發(fā)現(xiàn)美、認(rèn)識(shí)美和運(yùn)用美，這是人類生存的要求。反過(guò)來(lái)，美又是人類進(jìn)步的動(dòng)力。追求美的實(shí)質(zhì)就是追求自然界的數(shù)學(xué)美。人類一步一步地揭示自然界的數(shù)學(xué)規(guī)律，人類就越了解我們所處的宇宙的美。希臘箴言說(shuō)，美是真理的光輝。因而追求美就是追求真。英國(guó)詩(shī)人濟(jì)慈寫道：?美就是真，真就是美，-這就是你所知道的，?和你應(yīng)該知道的。?法國(guó)數(shù)學(xué)家阿達(dá)瑪說(shuō)：“數(shù)學(xué)家的美感猶如一個(gè)篩子，沒(méi)有它的人永遠(yuǎn)成不了數(shù)學(xué)家?！笨梢?jiàn)，數(shù)學(xué)美感和審美能力是進(jìn)行一切數(shù)學(xué)研究和創(chuàng)造的基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)追求的目標(biāo)是，從混沌中找出秩

3、序，使經(jīng)驗(yàn)升華為規(guī)律，將復(fù)雜還原為基本。所有這些都是美的標(biāo)志。但長(zhǎng)期以來(lái)，我們忽視對(duì)數(shù)學(xué)的美的教育。學(xué)生為了考試已經(jīng)把學(xué)習(xí)當(dāng)作是一種任務(wù)，形成了被動(dòng)式的學(xué)習(xí)，在這樣的情況下講述數(shù)學(xué)之美不僅有利于培養(yǎng)鑒賞力數(shù)學(xué)美，還有利于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。值得注意的是，在歷史上，重大課題的選擇與結(jié)果的評(píng)價(jià)，美學(xué)價(jià)值是一個(gè)重要的標(biāo)準(zhǔn)。數(shù)學(xué)作為自然學(xué)的基礎(chǔ)，其本身具有許多美的特征，它們是形象、生動(dòng)而具體的。把數(shù)學(xué)美的現(xiàn)象展示出來(lái)，再?gòu)臄?shù)學(xué)角度重新認(rèn)識(shí)，這不僅是對(duì)人們觀念的一種啟迪，同時(shí)可幫助人們?nèi)ニ季S探索、研究、發(fā)掘。數(shù)學(xué)教學(xué)中實(shí)施美育是教育方針的要求，數(shù)學(xué)方法論告訴我們：通

4、過(guò)數(shù)學(xué)知識(shí)本身的美來(lái)實(shí)施美育是必要途徑之一，我們可以讓學(xué)生從數(shù)學(xué)史里學(xué)習(xí)美的數(shù)字、式子和美妙的數(shù)學(xué)思想方法過(guò)程中，受到美的熏陶，獲得美的啟迪。數(shù)學(xué)教學(xué)的目的之一，應(yīng)當(dāng)是讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)美具有一定的審美能力，這不僅有利于激發(fā)他們對(duì)數(shù)學(xué)科學(xué)的愛(ài)好，也有助于他們的創(chuàng)造發(fā)明能力。數(shù)學(xué)美感和審美能力是進(jìn)行一切數(shù)學(xué)研究和創(chuàng)造的基礎(chǔ)。2、數(shù)學(xué)美的特征2.1?簡(jiǎn)單性?簡(jiǎn)單性是數(shù)學(xué)美的基本內(nèi)容，數(shù)學(xué)具有形式簡(jiǎn)潔、有序、規(guī)整和高度統(tǒng)一的特點(diǎn)，許多紛繁復(fù)雜的現(xiàn)象，可以歸納為簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)公式，例如，各種各樣三角形的面積可以統(tǒng)一用一個(gè)公式表示：S=ah2；又如，用字母表示數(shù)，這是算術(shù)到代數(shù)的飛躍，不論從結(jié)構(gòu)或是形式上，都使人

5、感到式簡(jiǎn)意明。2.2?嚴(yán)謹(jǐn)性?嚴(yán)謹(jǐn)性是數(shù)學(xué)獨(dú)特的內(nèi)在美。它表現(xiàn)在數(shù)學(xué)推理的嚴(yán)密，數(shù)學(xué)定義準(zhǔn)確揭示概念的本質(zhì)屬性，數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)、協(xié)調(diào)、完備等。例如，數(shù)學(xué)語(yǔ)言的敘述極其概括嚴(yán)密、簡(jiǎn)潔、有序，給讀者以美的感受。明代程大位在算法統(tǒng)宗里用四句?優(yōu)美的詩(shī)來(lái)表達(dá)“韓信點(diǎn)兵”問(wèn)題的解法，詩(shī)曰?：“三人同行七十稀，五樹(shù)梅花廿一枝，七子團(tuán)圓正半月，除百零五便得知?！?這首優(yōu)美的詩(shī)，把枯燥的數(shù)字，賦在人和美麗的梅花上；又把70與成語(yǔ)，15與月半，巧妙地聯(lián)系在一起，?語(yǔ)言通俗生動(dòng)，朗朗上口的韻律，既有音樂(lè)之美，又有記憶之效。反映了數(shù)學(xué)語(yǔ)言美的感染力。每一句的內(nèi)容是那么簡(jiǎn)潔嚴(yán)密，形式整齊，增一字嫌多余，減一字感不足，讀

6、起來(lái)朗朗上口，富有節(jié)奏感和音樂(lè)性，可與詩(shī)歌比美。2.3?對(duì)稱性?數(shù)學(xué)里的幾何圖形中，很多是軸對(duì)稱圖形，如正方形、等腰三角形、圓等，都是優(yōu)美的圖畫。三角形是金字塔的縮影，圓是太陽(yáng)的象征，圓柱是龍雕廳柱的簡(jiǎn)化。形象逼真的扇形，梅花瓣樣的組合圖形，銅錢式的圓中方，更顯出幾何圖形的美。通過(guò)對(duì)這些圖形的觀察、分析、研究、解答，學(xué)生在解答知識(shí)的同時(shí)，受到美的熏陶。數(shù)學(xué)中不僅包括圖形的優(yōu)美，還有公式的對(duì)稱美，例如勾股定理a?+b?=c?,左右兩邊除了字母的變化，都是平方式。2.4奇異性?數(shù)學(xué)中新穎的結(jié)論，巧妙的解題方法都表現(xiàn)出一種獨(dú)特的奇異美。比如一題多解、一圖多變的練習(xí)，顯示出異曲同工之美。對(duì)一些難以解答

7、的數(shù)學(xué)問(wèn)題，運(yùn)用“轉(zhuǎn)化”、“假設(shè)”等思想和方法，可以化繁為簡(jiǎn)，化難為易，化未知為已知，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思想和方法的奇異和靈巧。?2.5?和諧性?數(shù)量的和諧，空間的協(xié)調(diào)對(duì)稱是構(gòu)成數(shù)學(xué)美的重要因素。例如加、減、乘、除的運(yùn)算意義和各部分，構(gòu)成一個(gè)整體之間的相依關(guān)系、相反關(guān)系。從橫向分析，加與減，乘與除之間存在著可逆的關(guān)系；從縱向分析，加與乘，減與除之間又存在著相互轉(zhuǎn)換的關(guān)系。分?jǐn)?shù)除法可以轉(zhuǎn)化為乘法，乘法也可以轉(zhuǎn)化為除法。學(xué)生從和諧關(guān)系中，真切的感受到數(shù)學(xué)知識(shí)的和諧美和結(jié)構(gòu)美。3、展示數(shù)學(xué)美培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力?無(wú)數(shù)實(shí)踐證明，數(shù)學(xué)美對(duì)于人們進(jìn)行數(shù)學(xué)創(chuàng)造具有重要意義，可以從以下三個(gè)方面來(lái)講。首先，對(duì)數(shù)學(xué)美感的追求

8、是人們進(jìn)行數(shù)學(xué)創(chuàng)造的動(dòng)力來(lái)源之一。其次，數(shù)學(xué)美感是數(shù)學(xué)創(chuàng)造能力的一個(gè)有機(jī)組成部分。第三，數(shù)學(xué)美的方法也是數(shù)學(xué)創(chuàng)造的一種有效方法。因此，在教學(xué)中，教師應(yīng)充分展示教材中的數(shù)學(xué)美，使學(xué)生受到美的熏陶，同時(shí)激發(fā)他們的創(chuàng)新意識(shí)，培養(yǎng)他們的創(chuàng)新能力。3.1?展示數(shù)學(xué)簡(jiǎn)潔美，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)簡(jiǎn)潔美包括了符號(hào)、公式、技巧、邏輯上的簡(jiǎn)潔。數(shù)學(xué)提供了抽象整潔的形式化語(yǔ)言來(lái)表達(dá)豐富的數(shù)學(xué)內(nèi)涵。在教學(xué)中，如能通過(guò)學(xué)習(xí)實(shí)踐，展示出數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美，從而讓學(xué)生領(lǐng)會(huì)到豐富的數(shù)學(xué)內(nèi)涵，則不僅會(huì)引起學(xué)生濃厚的學(xué)習(xí)興趣，更會(huì)激起他們強(qiáng)烈的創(chuàng)新意識(shí)。3.2?展示數(shù)學(xué)層次美，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新欲望數(shù)學(xué)的層次美是指數(shù)學(xué)的知識(shí)層次結(jié)構(gòu)能夠給學(xué)生一

9、個(gè)循序漸進(jìn)的學(xué)習(xí)認(rèn)識(shí)過(guò)程的一種美。教師在課堂教學(xué)中必須遵循知識(shí)的層次結(jié)構(gòu)。如：“分?jǐn)?shù)的意義”分為以下幾個(gè)層次教學(xué)。其一，說(shuō)明分?jǐn)?shù)產(chǎn)生的背景，展示分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生過(guò)程。其二，把一個(gè)物體或一個(gè)計(jì)量單位平均分成（ 2?份、 3?份、 4?份），表示其中的一份或幾份的數(shù)，用幾分之一或幾分之幾表示，然后歸納分?jǐn)?shù)的意義。其三，把單位“ 1?”平均分成若干份，表示其中的一份或幾份。其四，認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)中的各部分名稱，理解分子、分母的含義，會(huì)讀寫分?jǐn)?shù)。這樣，通過(guò)以上四個(gè)層次的教學(xué)，使學(xué)生明白了分?jǐn)?shù)的概念。這樣的教學(xué)，無(wú)形中使學(xué)生形成一個(gè)循序漸進(jìn)的學(xué)習(xí)認(rèn)識(shí)過(guò)程，從而激發(fā)起他們的創(chuàng)新欲望。3.3?展示數(shù)學(xué)對(duì)稱美，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新

10、能力形體的對(duì)稱美在自然界中處處可見(jiàn)，數(shù)學(xué)中的對(duì)稱美更是其顯著的特征之一。如幾何圖形的對(duì)稱，公式的對(duì)稱等等。它還可以更廣泛地解釋為某種相應(yīng)性：如乘與除、加與減、乘方與開(kāi)方等都是具有某種廣義的對(duì)稱性。在數(shù)學(xué)教學(xué)中若能充分揭示出幾何的對(duì)稱美，則可使學(xué)生把握住幾何形體的許多性質(zhì)，并用簡(jiǎn)捷靈活的方法求解，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造思維，促進(jìn)學(xué)生創(chuàng)新能力的提高。3.4?展示數(shù)學(xué)統(tǒng)一美，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神統(tǒng)一美體現(xiàn)于數(shù)的統(tǒng)一，運(yùn)算的統(tǒng)一，形和數(shù)的統(tǒng)一。數(shù)學(xué)知識(shí)是一個(gè)具有邏輯關(guān)系的體系，教師在教學(xué)中要善于引導(dǎo)學(xué)生挖掘數(shù)學(xué)的統(tǒng)一美。即謀求在更高層次上實(shí)現(xiàn)統(tǒng)一，激發(fā)創(chuàng)新意識(shí)，形成創(chuàng)新習(xí)慣。如任何一條直線、曲線、一個(gè)面都可以用代

11、數(shù)方程表示，而任何一個(gè)代數(shù)方程也可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)、線和面，對(duì)于某些數(shù)學(xué)應(yīng)用題，也可以用形（如線段圖）解釋。對(duì)于某些形的面積和周長(zhǎng)，則可借助數(shù)的運(yùn)算求得。在學(xué)習(xí)實(shí)踐中引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念和思想作簡(jiǎn)明而統(tǒng)一的考慮，這是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神的重要手段之一。例如：學(xué)習(xí)長(zhǎng)方體、正方體、圓柱體等體積計(jì)算公式如下:? V長(zhǎng)=?V正=?V圓柱=?可以通過(guò)知識(shí)結(jié)構(gòu)圖，把直棱柱和圓柱的體積計(jì)算公式用一個(gè)統(tǒng)一公式表示為：V=Sh其中S為棱柱或圓柱底面的面積，h為它們的高數(shù)學(xué)的統(tǒng)一美，揭示了知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系。把學(xué)生所學(xué)的分散的知識(shí)有機(jī)地連接在一起，形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，能夠提高了學(xué)生的創(chuàng)新能力，有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神。3.5?展示

12、數(shù)學(xué)奇異美，激勵(lì)學(xué)生創(chuàng)新精神數(shù)學(xué)的奇異美指數(shù)學(xué)所得出的結(jié)果或有關(guān)的發(fā)展給人以出乎意料感受的一種美。數(shù)學(xué)的奇異美即奇異性是數(shù)學(xué)發(fā)展的先異和動(dòng)因。教師在教學(xué)過(guò)程中應(yīng)激勵(lì)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)奇異美，創(chuàng)造奇異美。下面是一個(gè)獵狗問(wèn)題：甲乙兩個(gè)獵人，分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā),相向而行,甲的身邊帶者一只獵狗,出發(fā)時(shí)跑向乙,途中遇到乙即旋而跑向甲,遇甲后又轉(zhuǎn)而跑向乙,已知A.B兩地相距50km,甲速：3km/時(shí)，乙速：2km/時(shí)，狗速：5km/時(shí)，當(dāng)甲乙和狗都碰到一起時(shí)，問(wèn)狗一共跑了多少km?常規(guī)解法是：分別求出狗每次和甲、乙相遇時(shí)跑過(guò)的各段路程,再把各段路程加起來(lái),這樣既困難又復(fù)雜。如果考慮在甲乙行走的同時(shí)，狗在不停

13、地奔跑，所以相遇的時(shí)間，就是狗來(lái)回奔跑的時(shí)間，即50/（3+2）=10（時(shí)）則狗一共跑了50km的路。解法簡(jiǎn)明、巧妙,令人拍案叫絕,有奇異之美。教師應(yīng)珍視學(xué)生奇異的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)和鼓勵(lì)他們的創(chuàng)新精神，從而激發(fā)起他們創(chuàng)造美的欲望。還有我們中學(xué)接觸過(guò)的圓、橢圓、雙曲線以及拋物線的概念和圖形。首先，我們知道圓的概念表述為：平面上與定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合（軌跡）是圓，如圖1：（圖1）橢圓的概念表述為：平面上與兩個(gè)定點(diǎn)F?、F?的距離的和等于常數(shù)（大于F F?）的點(diǎn)的集合（軌跡）叫做橢圓，如圖2：?（圖2）雙曲線的概念表述為：平面上與兩個(gè)定點(diǎn)F?、F?的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)（小于F F?）的點(diǎn)的

14、集合（軌跡）叫做雙曲線，如圖3：?（圖3）人們發(fā)現(xiàn)從平面上與定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的的點(diǎn)的集合（軌跡）為圓的美的結(jié)果，激發(fā)人們?nèi)ヌ角笃矫嫔吓c兩個(gè)定點(diǎn)的距離的和為一個(gè)常數(shù)（定長(zhǎng)）的點(diǎn)的集合（軌跡）和平面上與兩個(gè)定點(diǎn)的距離的差為一個(gè)常數(shù)（定長(zhǎng)）的點(diǎn)的集合（軌跡）也應(yīng)該是美麗的幾何圖形的創(chuàng)新欲望，從而引導(dǎo)人們發(fā)現(xiàn)了橢圓和雙曲線及其相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)方程。數(shù)學(xué)處處充滿了美的韻律，教師應(yīng)認(rèn)真體會(huì)教材中美的內(nèi)涵，引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)、欣賞、創(chuàng)造數(shù)學(xué)美，從而培養(yǎng)學(xué)生的美感和良好情操，促進(jìn)學(xué)生創(chuàng)新素質(zhì)的發(fā)展。4、數(shù)學(xué)美的功能數(shù)學(xué)中蘊(yùn)含著如此豐富的美的因素，為美育提供了取之不盡的源泉。教師要善于挖掘美的素材，借助行之有效和靈活多樣

15、的教學(xué)藝術(shù)，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)的美育功能，使所有學(xué)生在美的感受中積極思維，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，掌握知識(shí)，做到既提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量，又加強(qiáng)審美能力的培養(yǎng)。審美教育的范圍正日益廣泛地滲透到人類社會(huì)的各個(gè)領(lǐng)域之中。人們不僅通過(guò)音樂(lè)、藝術(shù)，而且也通過(guò)自然美、社會(huì)美、科學(xué)美，得到美的熏陶，美化精神境界。數(shù)學(xué)教學(xué)的目的之一，應(yīng)當(dāng)是讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)美具有一定的審美能力，這不僅有利于激發(fā)他們對(duì)數(shù)學(xué)科學(xué)的愛(ài)好，也有助于他們的創(chuàng)造發(fā)明能力。4.1?數(shù)學(xué)美能夠培養(yǎng)人們創(chuàng)造發(fā)明數(shù)學(xué)的能力首先，我們可以看一看如下例子。據(jù)說(shuō)，古希臘數(shù)學(xué)家帕普斯是丟番圖最得意的一個(gè)學(xué)生，他很小的時(shí)候就跟隨丟番圖學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。有一天他向老師請(qǐng)教一個(gè)問(wèn)題：有四個(gè)數(shù)，把其中每3個(gè)相加，其和分別為22、24、27、20，求這四個(gè)數(shù)。這個(gè)問(wèn)題看起來(lái)很簡(jiǎn)單，但具體做起來(lái)卻有一定的復(fù)雜性。帕普斯請(qǐng)教丟番圖有沒(méi)有什么巧妙的方法可以解答這個(gè)問(wèn)題。丟番圖提出了一個(gè)巧妙的解法，他不是分別設(shè)四個(gè)未知數(shù)，而是設(shè)四個(gè)數(shù)之和為x，那么四個(gè)數(shù)就分別為x-22,x-24,x-27和x-20,于是有