自然數(shù)平方和公式推導(dǎo)

1、我們把 S(n) 拆成數(shù)字排成的直角三角形：12 23 3 34 4 4 4n n n這個三角形第一行數(shù)字的和為11 1 1 2 2 2，第二行數(shù)字和為22,第n行數(shù)字和為n2,因此 S(n) 可以看作這個三角形里所有數(shù)字的和接下來我們注意到三角形列上的數(shù)字，左起第一列是 1,2,3,n，第二列是2,3,4, n這些列的數(shù)字和可以用等差數(shù)列的前 n 項和來算出， 但是它們共性不明顯， 無法 加以利用如果求的數(shù)字和是1,2,3,n , 1,2,3,n -1這樣的，便可以像求 1+(1+2)+(1 +2+3)+(1+2+3+n) 一樣算出結(jié)果，那么該怎樣構(gòu)造出這樣的列數(shù) 字呢注意上面那個直角三角三

2、角形空缺的部分， 將它補全成一個正方形的話， 是這樣 的：最后一列(第n-1列)是1+2+3+n-1，根據(jù)等差數(shù)列前n項和公式，這個三角形第n列的數(shù)字和是(1+n)*n/2=n 2/2+n/2，所以T(n)相當(dāng)于(1 2/2+1/2)+(2 2/2+2/2)+(3 2/2+3/2)+(n -1) 72+(n-1)/2將各個擴號內(nèi)的第一項和第二項分別相加，得2 2 2 2T(n)=1 +2 +3 +(n-1) /2+(1+2+3+ +n-1)/2=S( n-1)/2+( n-1)* n/4=S(n-1)/2+n 2/4-n/432也就是說，S(n)=n /2+n /2-T(n)=n 3/2+n

3、2/2-S( n-1)-n 74+n/4=n /2+n /4+n/4-S(n- 1)/2 因為 S(n)=1 2 +22+32+n2，S(n-1)=1 2+22+32+(n-1) 2可以看出，S(n)=S(n-1)+n 2，即S(n-1)=S(n)-n 2，代入式，得到3 2 2S(n)=n /2+n /4+n/4-S(n)/2+n/23S(n)/2=n 3/2+3n2/4+n/43S( n)=n 3+3n2/2+n/2S(n)=n 3/3+3 n2/6+n/6上面這個式子就是我們熟悉的S( n)=n(n+1)(2 n+1)/6% = %-1 + 幾n3 - (n - 1)=J-1 +另外一種

4、經(jīng)典的方法33n5 - (n - I)3 n2 - (n- 1) J-l * T + ；32- (n - I)3 n2 - (r- l)2 n - (n - 1)An-l + + + n2 n(n - I)3(n - 1)2(n - 1)- = 326326這是卞帛數(shù)數(shù)列11=.Q26nit二 a】326Il II IIa耳=+326這于方袪?wèi)?yīng)該經(jīng)了，前無古人后無來者#而且可以解決三扶#四次五次等等 就是麻理一點設(shè)：S=12+22+32+n2另設(shè)：Si=12+22+32+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2(n+n)2，此步設(shè)題是解題的關(guān)鍵，一般人不會這么去設(shè)想。有了此步設(shè)題，第一：

5、Si=12+22+32+- +n2+(n+1)2+(n+2) 2+(n+3)2+- +(n+n) 2 中的12+22+32+ +n2=S, (n+1) 2+(n+2) 2+(n+3)2(n+n)2 可以展開為(n2+2 n+1 2)+( n2+2X2 n+22)+( n2+2X3n+32)+ +( n2+2Xnn+n2)=n3+2n(1+2+3+ +n)+ 1 2+22+32+n2,即3Si=2S+n3+2 n( 1+2+3+ +n) .(1)第二：S1=12+22+32+n2+(n+1)2+(n+2) 2+(n+3) 2+(n+n) 2 可以寫為： S1=12+32+52 + (2n-1)2

6、+22+42+62 +(2 n)2,其中：22+42+62 +(2 n)2=2 2(1 2+22+32+n 2)=4S .(2)22+ (2n-1)2 2 2 2 2 212+32+52+(2n-1)2=(2 X-1)2+(2 X-1)2+(2 X3-1)=(22 X2-2 XX+1) +(2 2 X22-2 XX2+1)2+(22 X32-2 XX3+1)2+2 2 2(22X?-2 XXn+1)22 2 2 2 2 2 2 2=22X12+22X?2+22 X32+22 Xn2-2 XX1-2 XX2-2 XX3-2 XXn+n=22 X12+22+32+n2)-2 X 2 (1+2+3+

7、 +n)+n=4S-4(1+2+3+ +n)+n).(3由(2)+ (3)得：S1 =8S-4(1+2+3+ +n)+n .(4)由與得：2S+ n3+2n( 1+2+3+ +n) =8S -4(1+2+3+n)+n即：6S= n3+2n(1+2+3+ +n)+ 4(1+2+3+ +n)-n2=nn +n (1+ n)+2(1+ n)-12=n(2n +3 n+1) =n(n+1)(2 n+1)S= n(n+1)(2 n+1)/ 6亦即：S=1 2+22+32+n2= n(n+1)(2n+1)/6 (5)以上可得各自然數(shù)平方和公式為 n(n+1)(2n+1)/6，其中n為最后一位自然數(shù)。由代入

8、得自然數(shù)偶數(shù)平方和公式為2n(n+1)(2n+1)/3，其中2n為最后一位 自然數(shù)。由(5)代入得自然數(shù)奇數(shù)平方和公式為 n(2n-1)(2n+1)/3，其中2n-1為最后一 位自然數(shù)。由自然數(shù)平方和公式推導(dǎo)自然數(shù)立方和公式設(shè) S=13+23+33+n3 .(1)有 S=n3+(n-1)3+(n-2)3+13 .(2)由(1)+ 得：2S=n3+13+(n-1)3+23+(n-2)3+33+n3+132=(n+1)(n -n+1)+(n+1)(n-1) 2-2(n-1)+22)+2 2(n+1)(n-2) 2-3(n-2)+3 2)+2 2(n+1)(1 -n(n-n+1)( n-n+1+ n

9、 )即 2S=( n+1)2(1 2+22+32+n2)-n-2(n-1) -3(n-2)-n(n-n+1) (3)由 12+22+32+n2=n(n+1)(2n+1)/ 6 代入 得：2S=(n+1)2n(n+ 1)(2n+1)/6-n-2n-3n- nn+2X 1+3 x 2+n(n1)=(n+1)2n(n+1)(2n+1)/6- n(1+2+3+n)+(1+1) x 1+(2+1) x 2+(+1)(n-1)=(n+1)2n(n+1)(2n+1)/6-n 2 (1+ n)/2+1 2+1+22+2+(n-1)2+ (n-1)=(n+1)2n(n+1)(2n+1)/6-n 2(1+ n)/

10、2+1 2+22+(n-1)2+1 +2+ + (n-1) (4) 由 12+22+(n-1)2= n(n+1)(2n+1)/6-n 2, 1+2+(n -1)=n(n-1)/2 代入得： 2S=(n+1)3n(n+1)(2n+1)/6-n 2+n(n-1)/2=n 2( n+1)2/2即 S=1 3+23+33+n3= n2(n+1)2/4結(jié)論：自然數(shù)的立方和公式為n2(n+1)2/4,其中n為自然數(shù)。 自然數(shù)偶數(shù)立方和公式推導(dǎo)設(shè) S=23+43+63+(2n)3有 S=23(13+23+33+n3)=8n2(n+1)2/4=2n2(n+1) 2結(jié)論：自然數(shù)偶數(shù)的立方和公式為2n2(n+1)

11、2，其中2n為最后一位自然偶數(shù)。自然數(shù)奇數(shù)立方和公式推導(dǎo)設(shè)S=1 3+23+33+(2n) 3由自然數(shù)的立方和公式為n2(n+1)2/4,其中n為自然數(shù) 代 入 左 邊 有n2(2 n+1)2=23+43+63+(2 n)3+13+33+53 +(2n-1)3=2 n2(n+1) 2+13+33+53 +(2 n-1)3移項得：13+33+53 +(2 n-1)3 =n 2(2 n+1)2-2 n2(n+1)2=n2(2 n2-1)結(jié)論：自然數(shù)奇數(shù)的立方和公式為n2(2n2-1)，其中2n-1為最后一位自然奇數(shù)，即n的取值。33 3 344 4 4 n n n n這個正方形所有的數(shù)字和為 n*(1+n)*n/2=n 3 4/2+n 2/2而我們補上的數(shù)字是哪些呢？1 1 1 1