高中數(shù)學(xué)圓方程典型例題1

1、 高中數(shù)學(xué)圓的方程典型例題 類型一：圓的方程0?1,4)yA()4P(B(3,2)2,與圓的關(guān)且圓心在直線1 例求過(guò)兩點(diǎn)上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程并判斷點(diǎn)、 系P與圓的位置關(guān)系，分析：欲求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，需求出圓心坐標(biāo)的圓的半徑的大小，而要判斷點(diǎn)P若距離等于半徑，與圓心的距離和圓的半徑的大小關(guān)系，只須看點(diǎn)若距離大于半徑，則點(diǎn)在圓外； 則點(diǎn)在圓上；若距離小于半徑，則點(diǎn)在圓內(nèi) 解法一：（待定系數(shù)法）222rb)(x?a)?(y? 設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為0y?0b? 上，故圓心在222ry(x?a)? 圓的方程為)(1,4A)23,B( 又該圓過(guò)兩點(diǎn)、22?r?16(1?a)? ?22?r4?(3a)?220?r1?

2、a? 解之得：，2220?y1)?(x? 所以所求圓的方程為 解法二：（直接求出圓心坐標(biāo)和半徑）lCAB)1,4A()3,2B(上，又因?yàn)楸卦诰€段的垂直平分線、因?yàn)閳A過(guò)兩點(diǎn)，所以圓心2?41?kllABAB)2,3(的方程為：，故的垂直平分線的斜率為1，又的中點(diǎn)為，故 AB31?0?1?y?3?x?2xy 即),01y?0C(? 又知圓心在直線上，故圓心坐標(biāo)為22 204?(11)?r?AC? 半徑2220y?(x1)? 故所求圓的方程為)0(?1,C)42,P( 到圓心的距離為又點(diǎn)22 ?25?r2?1)?4PCd?( P在圓外點(diǎn) 22x?y?4x?2y?4?0y?0相切的圓的方程2 例，與

3、圓4求半徑為相切，且和直線 1 / 21 分析：根據(jù)問(wèn)題的特征，宜用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求解222ry?b)C：(x?a)?( 解：則題意，設(shè)所求圓的方程為圓)4C(a,?C(a,4)CC0?y 相切，且半徑為與直線4，則圓心或圓的坐標(biāo)為21220?2y?x?y4?4x?)1(2,A 的坐標(biāo)為又已知圓，半徑為的圓心3 14?3?CA?7?4?CA3 若兩圓相切，則或222222)4C(a,1(a?2)?7?(4?1(a?2)?(4?1)得故可時(shí)，當(dāng)，或)(無(wú)解，(1)11022?a? 2222224)x?2?210)?(xy?2?210)?(y?4)?44( 所求圓方程為，或222222),a?4C(

4、1?2)(?4?1)?(a7?(?41)?(a2)?故)，或(2)當(dāng)時(shí)，無(wú)解262?2a? 2222224)26)?(y?226)?(y?4)4?4(x?2(x? 所求圓的方程為，或 對(duì)本題，易發(fā)生以下誤解：說(shuō)明：0?y),4C(a如程形，且坐相切且半徑為4，則圓心標(biāo)為方直由題意，所求圓與線222222223)?y?(x?2)1?(0?2yx(?a)?(y4)?4x4?y?4x，其圓心為又圓，即222 3CA?4?10a?2?271)?42)?(?(a?)2,1A(所，故，半徑為3若兩圓相切，則解之得2222224)?10)?(y?10)?(y4)4?4(x?2?2x(?22 ，或以欲求圓的方

5、程為00?y?y下方的情形另外，誤上方的情形，而疏漏了圓心在直線上述誤解只考慮了圓心在直線 解中沒(méi)有考慮兩圓內(nèi)切的情況也是不全面的0y?02x?x?2y)5A(0, ，且與直線例3 求經(jīng)過(guò)點(diǎn)和都相切的圓的方程A又需確定圓心坐標(biāo)與半徑，由于所求圓過(guò)定點(diǎn)故只需確定圓心坐標(biāo)，分析：欲確定圓的方程 圓與兩已知直線相切，故圓心必在它們的交角的平分線上0?y?y?2?02xx 與圓和直線解：相切，C 在這兩條直線的交角平分線上，圓心0?y?2yx?2?0x 的距離相等又圓心到兩直線和x?2yx?2y? 552 / 21 0?yx?3y?03x 兩直線交角的平分線方程是或)50,A( ，又圓過(guò)點(diǎn)C0y?3x

6、? 只能在直線圓心上)3tC(t, 設(shè)圓心 ACC0?2xy 到直線，的距離等于tt?3222)?t5?(3t 520?5?t?6t 化簡(jiǎn)整理得5t?t?1 解得：或555),(155(1,3 圓心是，半徑為，半徑為或圓心是22225y?3)(x?1)?(125)?(y?(x?5)15? 所求圓的方程為或本題解決的關(guān)鍵是分析得到圓心在已知兩直線的交角平分線上，從而確定圓心坐標(biāo)得到說(shuō)明： 圓的方程，這是過(guò)定點(diǎn)且與兩已知直線相切的圓的方程的常規(guī)求法 xy13:，在滿足條件截(1)軸分成兩段弧，其弧長(zhǎng)的比為軸所得弦長(zhǎng)為2；(2)被例4、 設(shè)圓滿足：0?2y：lx (1)(2)的所有圓中，求圓心到直線

7、的距離最小的圓的方程要求圓的方程，只須利用條件求出圓心坐標(biāo)和半徑，便可求得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程滿足兩個(gè)分析：條件的圓有無(wú)數(shù)個(gè)，其圓心的集合可看作動(dòng)點(diǎn)的軌跡，若能求出這軌跡的方程，便可利用點(diǎn)到直線的距離公式，通過(guò)求最小值的方法找到符合題意的圓的圓心坐標(biāo)，進(jìn)而確定圓的半徑，求出圓的方 程r),bP(a ，半徑為設(shè)圓心為解法一： xyabP 軸、則和到軸的距離分別為xx2r?90軸所得劣弧所對(duì)的圓心角為軸所得弦長(zhǎng)為由題設(shè)知：圓截，故圓截 22b?2r y 又圓截軸所得弦長(zhǎng)為2221a?r? 02x?y?)b,(Pa 又到直線的距離為3 / 21 b2a?d 522b5d?a?2 22ab?ba4?4? 22

8、22)b2(?aa?4b? 221b?a?2 5?dba? 當(dāng)且僅當(dāng)”號(hào)，此時(shí)時(shí)取“= min5ba? 這時(shí)有?221a?2b?1?1a?a? 或?1?b1b?2222b?r? 又22222?(y?1)?(x?1)2)?1(x?)(?y?1 或故所求圓的方程為 解法二：同解法一，得b2a?d 5d5a?2b? 222dbd?5?a?4b45 221a?2b? 將代入上式得：220?15?45bd?d2b? 上述方程有實(shí)根，故20?1)d?8(5 ，5?d 55?d1?b將代入方程得 54 / 21 221b?a?21a? 又 a1?2ba?b 同號(hào)、知由22222)?(y?1(x?12?(y?

9、1)(x?1) 故所求圓的方程為或 說(shuō)明：本題是求點(diǎn)到直線距離最小時(shí)的圓的方程，若變換為求面積最小呢？ 類型二：切線方程、切點(diǎn)弦方程、公共弦方程?2242P，4yO：x?O 與圓相切的切線5 已知圓，求過(guò)點(diǎn)例?4P，2O 上，解：點(diǎn)不在圓?4?k?x?2yPT 切線的直線方程可設(shè)為rd? 根據(jù)?2k?4?2 2k?13k? 解得 43?4?2?y?x 所以 43x?4y?10?0 即 因?yàn)檫^(guò)圓外一點(diǎn)作圓得切線應(yīng)該有兩條，可見(jiàn)另一條直線的斜率不存在易求另一條切線為x?2 說(shuō)明：上述解題過(guò)程容易漏解斜率不存在的情況，要注意補(bǔ)回漏掉的解 本題還有其他解法，例如把所設(shè)的切線方程代入圓方程，用判別式等于

10、0解決（也要注意漏2xyryy?xx?的值來(lái)解決，此時(shí)沒(méi)有漏解、，求出切點(diǎn)坐標(biāo) 解）還可以運(yùn)用00002222?Dx?Ey?F?Ey?F0C：x0?xC：y?yx?D?AB兩例6 兩圓相交于、與22211112AB所在直線的方程 點(diǎn)，求它們的公共弦ABBA的方程，但是求兩圓交點(diǎn)坐標(biāo)的過(guò)程、分析：首先求兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再用兩點(diǎn)式求直線太繁為了避免求交點(diǎn)，可以采用“設(shè)而不求”的技巧 CC(x,y)，則有：的任一交點(diǎn)坐標(biāo)為解：設(shè)兩圓 、2100220?y?F?x?yDx?E 1110000220E?y?F?yx?Dx 22000020?yE)?F?F?)D(?Dx(E 得：212020110F?)E?(

11、x)?D(D?EyF?BA 、的坐標(biāo)滿足方程2211215 / 21 0F?E)y?F?(DD)x?(EBA 是過(guò)兩點(diǎn)的直線方程、方程211221BA 又過(guò)兩點(diǎn)的直線是唯一的、CC0?FE)y?F?(D?D)x?(E?AB 、所在直線的方程為兩圓的公共弦21212112BA兩點(diǎn)的坐標(biāo)，雖然設(shè)出了它們的坐標(biāo)，但并沒(méi)有去上述解法中，巧妙地避開(kāi)了求、說(shuō)明：求它，而是利用曲線與方程的概念達(dá)到了目標(biāo)從解題的角度上說(shuō)，這是一種“設(shè)而不求”的技巧，從知識(shí)內(nèi)容的角度上說(shuō)，還體現(xiàn)了對(duì)曲線與方程的關(guān)系的深刻理解以及對(duì)直線方程是一次方程的本 質(zhì)認(rèn)識(shí)它的應(yīng)用很廣泛 221?yx?)3M(2,BAMBMA，求、例7、過(guò)

12、圓、外一點(diǎn)，作這個(gè)圓的兩條切線，切點(diǎn)分別是AB 直線的方程。 練習(xí)：224y1)?(x?(3,1)Ml ，且與圓的方程1求過(guò)點(diǎn)相切的直線0?1?(x?3)kx?y?3ky?1?k 解：設(shè)切線方程為，即，(1,0)2l 圓心到切線，的距離等于半徑1|?3k?|k32?k? ，解得， 42?21k?3?y?(x?3)10?4y?13?3x切線方程為，即 ， 43x?(1,0)2M 到此直線的距離等于半徑當(dāng)過(guò)點(diǎn)，圓心的直線的斜率不存在時(shí)，其方程為，3?x 故直線也適合題意。3x?0313?4y?x?l 的方程是或所以，所求的直線5220?x?y?4x?2y? 相切的直線的方程為2、過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)且與圓

13、2 522kxy?0y?kx?)y?(?1(x?2)，即，圓心為（.解：設(shè)直線方程為圓方程可化為2 212k?10101?x3y?k3k?或-1），半徑為.依題意有，解得或，直線方程為 22321k?1xy?. 322a0?2?x?yx0a?y5x?12?. 3、已知直線 相切，則與圓的值為 5?aa?188?a221?)(x?1?y. 解：圓或，解得，半徑為01的圓心為（，）1，1?2212?5 類型三：弦長(zhǎng)、弧問(wèn)題6 / 21 220?2x?y4y?C:x0?3x?y?6:lAB. 被圓的長(zhǎng)例8、求直線截得的弦 224?x?y0?233x?y 9例得的劣弧所對(duì)的圓心角為截圓、直線 22 2

14、AB?2r?d3?d是等邊三角形，故截，從而，故弦長(zhǎng)OAB解：依題意得，弦心距?AOB?. 得的劣弧所對(duì)的圓心角為 322225?y?2?0xy?x?x?y? 和的公共弦長(zhǎng)例10、求兩圓 類型四：直線與圓的位置關(guān)系224x?y?03?3x?y2. 和圓、已知直線11例，判斷此直線與已知圓的位置關(guān)系 2mmxy?x4?y?. 例12、若直線與曲線的取值范圍有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)222m)?0?4(yx?yx?4?y的取值范，利用數(shù)形結(jié)合法，可得實(shí)數(shù)解：曲線表示半圓22m?2?m?2?. 圍是或229?y?3)(x?3)?(0y?11?3x4 上到直線的距離為例13 圓1的點(diǎn)有幾個(gè)？ll 的方

15、程，從代數(shù)計(jì)算中尋找解答、分析：借助圖形直觀求解或先求出直線2122),3O(39)?(x?3)?(y33r? 解法一：圓的圓心為，半徑13?3?4?3?11Od0?4y?113x?2d?3設(shè)圓心到直線，則的距離為 12243?Ol011?4y?3x與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，這兩的直線如圖，在圓心同側(cè)，與直線平行且距離為111個(gè)交點(diǎn)符合題意 1?23dr? 又7 / 21 0y?11?3x?4 平行的圓的切線的兩個(gè)切點(diǎn)中有一個(gè)切點(diǎn)也符合題意與直線 符合題意的點(diǎn)共有3個(gè)0?11?3x?4y的直線和圓的交點(diǎn)設(shè)解法二：符合題意的點(diǎn)是平行于直線，且與之距離為111?m03x?4y?m1?d? 所求直線為，則，2

16、24?316m?m?11?56?m? ，也即，即，或016?6?0l：3x?4y?l：3x4y? ，或2122dlld9?(y?3)O：(x?3)? 、設(shè)圓的距離為的圓心到直線，則、2121163?43?3?163?3?3?4?3?d1?d ，1222224?343?OOlOOl有兩個(gè)公共點(diǎn)即符合題意的相交，與圓相切，與圓與圓有一個(gè)公共點(diǎn)；與112111 個(gè)點(diǎn)共3 對(duì)于本題，若不留心，則易發(fā)生以下誤解：說(shuō)明：11?33?3?4Od0y?11?3x?432?d? 到直線的距離為，則設(shè)圓心12243?O03x?4y11? 到1的點(diǎn)有兩個(gè)距離為圓1d011?x3?4yrd?，只能說(shuō)明此直線與圓有顯然

17、，上述誤解中的的距離，是圓心到直線 兩個(gè)交點(diǎn)，而不能說(shuō)明圓上有兩點(diǎn)到此直線的距離為1到一條直線的距離等于定值的點(diǎn)，在與此直線距離為這個(gè)定值的兩條平行直線上，因此題中所求的點(diǎn)就是這兩條平行直線與圓的公共點(diǎn)求直線與圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)，一般根據(jù)圓與直線的位置關(guān) 系來(lái)判斷，即根據(jù)圓心與直線的距離和半徑的大小比較來(lái)判斷 22a)a?xy?2ay?0(?01x?y? 的取值范圍是 ：直線練習(xí)1 與圓沒(méi)有公共點(diǎn)，則 1a?0a?. .，解得解：依題意有，12?2?1?a?12?0?a?a?2221)?y?3)(x?2?(2?kxy?k的取值范圍2練習(xí)：若直線與圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則. 是 2k?1441?k(0

18、,)?0k. 解：依題意有，解得的取值范圍是 3321k?8 / 21 2220?4yx?y3?2x?01?y?x 的點(diǎn)共有（ 的距離為）3、 圓上到直線 （4個(gè)D） （C）3個(gè) 個(gè)（A）1個(gè) （B）2 ?22222?1，0?3x?yx?2?4y82?yx?1?為圓心為把分析：半徑化為，222r2? ，所以在圓上共有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于，所以選C，圓心到直線的距離為 ?224?3P，ll4：2x?1?y?C有公共點(diǎn)，如作直線與圓，當(dāng)斜率為何值時(shí)，直線4、 過(guò)點(diǎn) 圖所示 觀察動(dòng)畫(huà)演示，分析思路分析： y l 設(shè)直線的方程為解：?3?xy?4?k 即O x 0?4kx?y?3k E rd? 根據(jù)

19、有4?3k?k?22?P 2k1 整理得 20?43kk 解得4?0?k 3 類型五：圓與圓的位置關(guān)系 問(wèn)題導(dǎo)學(xué)四：圓與圓位置關(guān)系如何確定？22220?4?C:xy?4x?2y26yC:x?2x?6y?0 、判斷圓的位置關(guān)系，與圓例1421 22220?y?y?4?x?y?2x0x 條。的公切線共有和圓 15例：圓 22221?(O1,0)r)?2(O0,4(x?1)?yx1?y?(?2)，的圓心為半徑解：圓的圓心為圓，112 2r?r?rrOOr1?r3?r5?OO,r,r2，.，兩圓相交共有半徑22212111121229 / 21 條公切線。 練習(xí)222222m0?mx?mx?y4?20

20、8?4my?4mx?y?2x的取相切，則實(shí)數(shù)1：若圓與圓. 值集合是 22222r?)(Om,04y?m)?(x9?(y?2m(x?1)的圓心為解：圓，半徑，圓的圓心為11r?rrOO?rOO?3r?)O(2m?1, ，半徑，或圓，且兩相切221122112251222220m?m21?2m?1)(m?1)(?(2m)(?5m?m?m?，或或或，或解得， 25512m,2?,?,0. 實(shí)數(shù)的取值集合是 252252)2(?1P,5?xy. 的圓的方程外切于點(diǎn)2：求與圓，且半徑為22)bO(a,20?b)?(x?a)(yP，兩圓外切于點(diǎn)解：設(shè)所求圓的圓心為，則所求圓的方程為.1112220)?y

21、?6x?3)?(6?b?3,a?)b?(a,(?12) . ，所求圓的方程為，OOOP? 133 類型六：圓中的對(duì)稱問(wèn)題2209?x?6y?2x?y?05?2x?y? 、圓 關(guān)于直線 對(duì)稱的圓的方程是例16 ?xx33A，?l軸反射，反射光線所在軸上，被自點(diǎn)射到發(fā)出的光線17例 y 220x?4y?7?4C：x?y? 相切的直線與M l （1）求光線和反射光線所在的直線方程C A A 到切點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路程（2）光線自N A首先求出點(diǎn)分析、分析思路根據(jù)對(duì)稱關(guān)系，略解：觀察動(dòng)畫(huà)演示，?，3?3CAA的坐標(biāo)為的圓 的切線方程為，其次設(shè)過(guò)的對(duì)稱點(diǎn)G O B x ?33?y?kx? Cr?d 的切線的斜率

22、為，即求出圓根據(jù) A34?kk? 或 43 進(jìn)一步求出反射光線所在的直線的方程為圖03y?303y?4x3?x4? 或10 / 21 x 最后根據(jù)入射光與反射光關(guān)于軸對(duì)稱，求出入射光所在直線方程為0?3x?4y?3x4?3y?3?0 或222?7?CA?MCM?A MA ，可由勾股定理求得光路的距離為x 本題亦可把圓對(duì)稱到軸下方，再求解說(shuō)明： 類型七：圓中的最值問(wèn)題220?4y?10x?y?4x0x?y?14? 18：圓 上的點(diǎn)到直線 的最大距離與最小距離的差是 例 222r?318?(y?2x?2)?(離到，半直徑線的距，圓圓心圓的心為（2，2）解：10r2d?5是差最小距離的點(diǎn)到直線的最大

23、距離與上，直線與圓相離，圓的22?6r)?2r(d?r)?(d?. 22221?4?3)?(y?xO：(y?xdO)y(Px,的最大、最，19例 (1)已知圓上的動(dòng)點(diǎn)，求為圓1 小值2?y221x?2)?yO：(y2x?)(x,yP的求(2)已知圓的最大、最小值，求為圓上任一點(diǎn)， 21?x 最大、最小值 兩小題都涉及到圓上點(diǎn)的坐標(biāo)，可考慮用圓的參數(shù)方程或數(shù)形結(jié)合解決(1)、(2)分析：221)?(y?4(x?3) 解：(1)(法1)由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程?,?cosx?3? 是參數(shù)）可設(shè)圓的參數(shù)方程為（?,siny?4?2222?sinsin?cos?16?d?x8?y9?6cos 則4?tan)?1

24、06?26?coscos(?8sin26? ）（其中 31610?d26?36?26d?10 所以，minmaxdd，圓上點(diǎn)到原點(diǎn)距離加上半徑等于圓心到原點(diǎn)的距離圓上點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最大值(法2)111dd 的最小值等于圓心到原點(diǎn)的距離1減去半徑12226?4?3d?1 所以122?1?4?d34? 2d?1636d? 所以minmax11 / 21 ?,?cosx?2?22?1(x?2)?y?得圓的參數(shù)方程：1)由法是參數(shù) (2) (?,siny?2?2sin?y?2sint?令， 則 ?3cos?x?13cos?2?tcos3?sin2?tt)?2?31?t?sin( 得，33?33?t32

25、? 1?sin()?t 442t1?3?333?tt 所以， minmax442y?33?33 即的最大值為，最小值為 1?x44?)5cos(sin?2?x2y?2?cos?2 此時(shí)5?25?2y2x? ，最小值為所以的最大值為2y?k?02?y?kkx),yP(x是圓上點(diǎn)，當(dāng)直線與圓有交點(diǎn)時(shí)，如設(shè)(法2)，則由于 1?x 圖所示， 兩條切線的斜率分別是最大、最小值2?k?2k3?3?k1?d ，得由 42k?12y?3?333? 的最大值為，最小值為所以 1x?44xt2x?y? ，同理兩條切線在令軸上的截距分別是最大、最小值m2?52?m1d? ，得由5?2?55?2?y?2x的最大值為

26、所以，最小值為 12 / 21 2222 4?3)x(?(y?4),02B()0?A(2,PB?PAP的最小上運(yùn)動(dòng)，則，在圓例20：已知，點(diǎn). 值是 222)yP(x,222222 設(shè)圓心，則解：設(shè).8OP?y?PB2?(x?2)?y?(x?2)?y8?2(x?PA22)4(C3, 2PB?PA. 的最小值為，則為，26?8?2?3 32?5?OC?rOP?min 練習(xí)：221?x(y?)?1),yP(x. 在圓1：已知點(diǎn)上運(yùn)動(dòng)1?yy?2x）求）求1的最大值與最小值. （的最大值與最小值；（2 2x?1?y)x,y(Pkkk?取得.當(dāng)該直線與圓相切時(shí)，與點(diǎn)（）設(shè)解：（12，則1表示點(diǎn)）連線的

27、斜率 2x?k23331y?k?1?. ，最小值為最大值與最小值.由，解得，的最大值為 3332x?21k?mmym?2x?2x?y?my取得最2）設(shè)當(dāng)該直線與圓相切時(shí)，在表示直線軸上的截距. ，則（m1?51?1?55?m?11?yx2?. 大值與最小值.由，解得的最大值為，最小值為52y?22?u1x?y?)P(x,y是任一點(diǎn)，求設(shè)點(diǎn) 是圓2 的取值范圍 1?xxy 、分析一：利用圓上任一點(diǎn)的參數(shù)坐標(biāo)代替，轉(zhuǎn)化為三角問(wèn)題來(lái)解決22?1?x?y),(cossinP 解法一：設(shè)圓上任一點(diǎn)?cos?x)2y?sin0,? ，則有?2sin?u2sinucos?u? ， ?1?cos?)2(?uu

28、cos?sin 2?utan?2?1sin(?)?uu ）（即)2(u?)sin(? 21u? 1sin()? 又u?2?1 21?u3?u解之得： 413 / 21 2?y22?u1?yx?)2?1,(的連線的斜率，利用的幾何意義是過(guò)圓上一動(dòng)點(diǎn)和定點(diǎn)分析二： 1x?22u1x?y 有公共點(diǎn)，可確定出此直線與圓的取值范圍2?y22?u1yx?)00,()?12?u(xy?到，此直線與圓有公共點(diǎn)，故點(diǎn)得：解法二：由 1?x1d? 直線的距離2?u1? 21?u3?u解得： 4221yx?)y?2?u(x?1 與圓另外，直線的公共點(diǎn)還可以這樣來(lái)處理：)?1x2?u(y?2222y0)?u?3)x?

29、(u(ux?1)?(2u4?4u 后得：，由消去?221y?x?22220?3)(u)?u4?4u)u?4(u?1?(2 ，此方程有實(shí)根，故3?u? 解之得： 4u的范圍問(wèn)題轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)的說(shuō)明：這里將圓上的點(diǎn)用它的參數(shù)式表示出來(lái)，從而將求變量 有關(guān)知識(shí)來(lái)求解或者是利用其幾何意義轉(zhuǎn)化成斜率來(lái)求解，使問(wèn)題變得簡(jiǎn)捷方便222P22的在圓，點(diǎn)3、已知點(diǎn)上運(yùn)動(dòng)，求4x?y?)2),2A(?2,?),B(?2,6C(4,? PCPB?PA? .最大值和最小值 類型八：軌跡問(wèn)題1)A(3,0)0O(0,MM. 21、基礎(chǔ)訓(xùn)練：已知點(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn)，求點(diǎn)的軌跡方程的距離的比為例 2 224)?yx(?1ABAB

30、AB上運(yùn)動(dòng)，求線段端點(diǎn)），在圓，、例22已知線段（的端點(diǎn)的坐標(biāo)是43M. 的軌跡方程的中點(diǎn) 22y4?yO：x?2y?BBA過(guò)上運(yùn)動(dòng)，已知圓在直線點(diǎn)與軸的正方向交于點(diǎn)，如圖所示， 23例COABC?H 垂心的切線，切點(diǎn)為做圓，求的軌跡14 / 21 C),yH(xBHyx,點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的關(guān)系非常難由于，找，分析：按常規(guī)求軌跡的方法，設(shè)點(diǎn)隨CBH三點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系而運(yùn)動(dòng)，可考慮， ),(xyCCH)(x,yHAH，連結(jié) ，解：設(shè)AH?BCCH?ABOC?BCBC，是切線，則， OC/AHCH/OAOA?OC， 所以，AOCH是菱形 所以四邊形?y?y?2,? CH?OA?2，得 所以?x?x.?22)

31、y,C(x4?y?x 又滿足，22)0(x?(y2)?x4? 即是所求軌跡方程所以題目巧妙運(yùn)用了三角形垂心的性質(zhì)及菱形的相關(guān)知識(shí)采取代入法求軌跡方程做題時(shí)說(shuō)明：應(yīng)注意分析圖形的幾何性質(zhì)，求軌跡時(shí)應(yīng)注意分析與動(dòng)點(diǎn)相關(guān)聯(lián)的點(diǎn)，如相關(guān)聯(lián)點(diǎn)軌跡方程已知， 可考慮代入法 222PBPA?r?y?x)b(a,PBA，使例24 已知圓的方程為圓內(nèi)有定點(diǎn)，圓周上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，、APBQQ 的頂點(diǎn)求矩形的軌跡方程 利用幾何法求解，或利用轉(zhuǎn)移法求解，或利用參數(shù)法求解分析： PQAB?AB?OMPQABAPBQM ，顯然，如圖，在矩形解法一：，中，連結(jié)，交于 x?ay?b,M()AOM),Q(xy，則在直角三角形中，

32、若設(shè) 2215 / 21 222 OAOM?AM 由，即1x?ay?b22222rb)a?()?(x?)?(y?) ， 42222222)bx(?ya?2r?Q 也即的軌跡方程，這便是222222)y(x,(x,y)BA)y(x,Qr?x?x?y?ry 設(shè)，則、解法二：2121221122ABPQ? 又，即22222)y2ry?2(x?(yb)x?(x?x)?(yy)?x(?a)? 22211112y?x?xy?b?yax?PQAB 的中點(diǎn)重合，故，又，即與2112222)2(xx?a)y?(y?b)?2ry?(x 221122222)ax(?yb?2r? ，有 這就是所求的軌跡方程?)x,B

33、(rcosy,rsin)QA(rcos,rsin() 、解法三：設(shè)、，PQABAPBQ 由于與為矩形，故的中點(diǎn)重合，即有?cosx?a?rcosr? ， ?sin?rsin?b?ry ， ?b?r?brsinsin1?PBPA? 有 又由 ?acos?rcos?ar22222?)?(?abx?y2?rQ 聯(lián)立、消去、，即可得點(diǎn)的軌跡方程為本題的條件較多且較隱含，解題時(shí)，思路應(yīng)清晰，且應(yīng)充分利用圖形的幾何性質(zhì)，否則，說(shuō)明： 將使解題陷入困境之中本題給出三種解法其中的解法一是幾何方法，它充分利用了圖形中隱含的數(shù)量關(guān)系而解法yyxx四個(gè)參二與解法三，從本質(zhì)上是一樣的，都可以稱為參數(shù)方法解法二涉及到了

34、、2112222?r?xy、由于借助了圓故需列出五個(gè)方程；數(shù)，而解法三中，只涉及到兩個(gè)參數(shù)的參數(shù)方程，?，故只需列出三個(gè)方程便可上述三種解法的共同之處是，利用了圖形的幾何特征，借助數(shù)形結(jié) 合的思想方法求解 16 / 21 練習(xí)：2201?yxAPB?PBPAPBPA，則動(dòng)點(diǎn)，、由動(dòng)點(diǎn)向圓，切點(diǎn)分別為引兩條切線=601. 的軌跡方程是 00AP?OA),yP(xAPB?AOP?22 2OP?2OA?，=30，.解：設(shè)=60，.2x?y22224y?4x?x?yP. ，動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是化簡(jiǎn)得)00)(c?,0),B(c,A(?cBAP點(diǎn)的距離的比為定值到為兩定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)練習(xí)鞏固：設(shè)點(diǎn)的距離與到)a?

35、0a(P. ，求點(diǎn)的軌跡22PAy)?(x?ca?)?a(a?0),y(PxP 由，得解：設(shè)動(dòng)點(diǎn).的坐標(biāo)為，PB22y)?c?(x22222220)x?c?(1(1?ax)?(1?aa)y?2c(1a. 化簡(jiǎn)得2ac21?a2)2c(1?a2221?a)x(?c)?y?(222 ，整理得當(dāng)；時(shí)，化簡(jiǎn)得0c?x?x?y? 2221a?a?1a1?1a?0x?. 時(shí)，化簡(jiǎn)得當(dāng)2a?1ac2()c,01a?P 點(diǎn)的軌跡是以為半徑的圓；時(shí)，為圓心，所以當(dāng) 221a?1a?y1a?P. 點(diǎn)的軌跡是時(shí)，當(dāng)軸 PB?2PA )0(1,B)0(?2,APP 滿足 ， ，則點(diǎn) ，如果動(dòng)點(diǎn)2、已知兩定點(diǎn)的軌跡所包

36、圍的面積等于 PBPA?2)(x,yP2222y?yx?2(?1)(x?2)?得是解：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，簡(jiǎn)由，.得化?224P4)2?y(x?. 2，0）為圓心，2為半徑的圓，所求面積為，點(diǎn)的軌跡是以（ 122MBAM?1yx?)0,B(3MABA，上的一點(diǎn)，且是線段上運(yùn)動(dòng)，、已知定點(diǎn)4，點(diǎn)在圓 3M 問(wèn)點(diǎn)的軌跡是什么？11(x?x,y?y)?(3?x,?y)yxM(,),x(,yAMBAM?，解：設(shè).， 11113317 / 21 41?1?x?x?x?(3?x)x? 11?3322221y?x?A1y?x?，.點(diǎn)上運(yùn)動(dòng)，在圓?1114?y?y?y?yy? 1133?44939322M1)?(y(

37、x?12222. 的軌跡方程是，即，點(diǎn)?(x?)?yx?)y( 33164416221?x?y)B(3,0MMABAAOB?的上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)例5、已知定點(diǎn)在圓于點(diǎn)的平分線交則點(diǎn). 軌跡方程是 1OAAM1)M(x,y),A(x,yOMAOB?由變式解：設(shè)，的平分線， .是.MBAM?11 33MBOB93M22. 可得點(diǎn)的軌跡方程是1?(x?)y 164224y?x?1?kx?yOBOABA為鄰邊作平行四練習(xí)鞏固：已知直線兩點(diǎn)，以、與圓、相交于OAPBP. ，求點(diǎn)的軌跡方程邊形)yP(x,OPMMMABOAPB的坐標(biāo)為是，是平行四邊形，的中點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn).解：設(shè)yx),C(01ABOM?CMOM?

38、)(,1kx?y?，且，.直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)， 22yxyxyxy221)?(y?1x?P2的軌跡方程是，化簡(jiǎn)得.點(diǎn)0(,)?(,?1)?()(?1)?CMOM? 2222222221?1)x?(y . 類型九：圓的綜合應(yīng)用220m?y?x?6y?x?O0?x?2y?3QP為原點(diǎn)，且、例25、 已知圓與直線兩點(diǎn)，相交于mOQOP? ，求實(shí)數(shù)的值0y?xy)x?y)(x,y(x,1kk?QP，、兩點(diǎn)的坐標(biāo)為則由，可得分析：設(shè)21122112QOOPyl與圓的方再利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求解或因?yàn)橥ㄟ^(guò)原點(diǎn)的直線的斜率為，由直線 xykk? 的值，從而使問(wèn)題得以解決程構(gòu)造以為未知數(shù)的一元二次方程，由

39、根與系數(shù)關(guān)系得出 OQOPx)y(x,(xy)OQ?OPQP ，得、的坐標(biāo)為設(shè)點(diǎn)解法一：一方面，由2121yy210y?xx?y1?k?k1? ，也即：，即 2112QOPOxx210?2y?3x?xx)y,)y,(x(x是方的實(shí)數(shù)解，即是方程組另一方面，、?212112220xy?x?y6m?18 / 21 2027?4m?5x?10x? 程 的兩個(gè)根4m?27?xx2?x?x ， 21215x?2y?3?0QP上，、 又在直線111(3?x)?(3?x)?9?3(x?x)?xxyy? 2222111142212?m?yy 將代入，得 21503?m? ，代入方程，檢驗(yàn)成立，將、代入，解得3

40、m? 22?x?6y?mx?y0y2?x?3，有，代入圓的方程 解法二：由直線方程可得1m222?)0x?2y)(x?6y)?x(?y2?(x?y， 3922?y0?27)3)xy?(4m(12?m)x(?4m? 整理，得x?0，故可得由于 yy2?4(m?3)?12?m?(4m27)()?0 xxkkk?k?1得， 是上述方程兩根故OPOQQOPO12?m?1m?3 ，解得 4m?27m?3為所求 經(jīng)檢驗(yàn)可知mQP值說(shuō)明：求解本題時(shí)，應(yīng)避免去求兩點(diǎn)的坐標(biāo)的具體數(shù)值除此之外，還應(yīng)對(duì)求出的、 QP存在、進(jìn)行必要的檢驗(yàn)，這是因?yàn)樵谇蠼膺^(guò)程中并沒(méi)有確保有交點(diǎn) y的二次解法一顯示了一種解這類題的通法，解法二的關(guān)鍵在