第三冊分式方程的應用_八年級數(shù)學教案

1、第三冊分式方程的應用_八年級數(shù)學教案 _模板教學目標1.使學生能分析題目中的等量關系，掌握列分式方程解應用題的方法和步驟，提高學生分析問題和解決問題的能力；2.通過列分式方程解應用題，滲透方程的思想方法。教學重點和難點重點：列分式方程解應用題.難點：根據(jù)題意，找出等量關系，正確列出方程.教學過程設計一、復習例解方程：(1)2x+xx+3=1;(2)15x=2 15 x+12;(3)2(1x+1x+3)+x 2x+3=1.解 (1) 方程兩邊都乘以x(3+3), 去分母，得2(x+3)+x2=x2+3x, 即 2x3x= 6所以x=6.檢驗：當 x=6 時， x(x+3)=6(6+3) 0，所以

2、 x=6 是原分式方程的根.(2) 方程兩邊都乘以 x(x+12) ，約去分母，得15(x+12)=30x.解這個整式方程，得x=12.檢驗：當x=12 時 ,x(x+12)=12(12+12)0,所以 x=12 是原分式方程的根.(3) 整理，得2x+2x+3+x 2x+3=1, 即 2x+2+x 2 x+3=1,即方程兩邊都乘以2x+xx+3=1.x(x+3) ，去分母，得2(x+3)+x2=x(x+3),即2x+6+x2=x2+3x,亦即2x3x= 6.解這個整式方程，得x=6.檢驗：當 x=6 時， x(x+3)=6(6+3) 0，所以 x=6 是原分式方程的根.二、新課例 1 一隊學

3、生去校外參觀，他們出發(fā)30 分鐘時，學校要把一個緊急通知傳給帶隊老師，派一名學生騎車從學校出發(fā)，按原路追趕隊伍.若騎車的速度是隊伍進行速度的2 倍，這名學生追上隊伍時離學校的距離是15 千米，問這名學生從學校出發(fā)到追上隊伍用了多少時間請同學根據(jù)題意，找出題目中的等量關系.答：騎車行進路程=隊伍行進路程=15(千米 )；騎車的速度 =步行速度的2 倍；騎車所用的時間=步行的時間 0.5 小時 .請同學依據(jù)上述等量關系列出方程.答案：方法 1設這名學生騎車追上隊伍需x 小時，依題意列方程為?15x=215 x+12.方法2設步行速度為x 千米時，騎車速度為15x 15 2x=12.2x千米時，依題

4、意列方程為解由方法1 所列出的方程，已在復習中解出，下面解由方法2 所列出的方程.方程兩邊都乘以2x，去分母，得3015=x ，所以x=15.檢驗：當 x=15 時， 2x=2150，所以 x=15 是原分式方程的根，并且符合題意.所以騎車追上隊伍所用的時間為15千米30 千米時 =12 小時 .答：騎車追上隊伍所用的時間為30分鐘 .指出：在例 1 中我們運用了兩個關系式，即時間=距離速度，速度 =距離 時間 .如果設速度為未知量，那么按時間找等量關系列方程；如果設時間為未知量，那么按速度找等量關系列方程，所列出的方程都是分式方程.例 2 某工程需在規(guī)定日期內(nèi)完成，若由甲隊去做，恰好如期完成

5、；若由乙隊去做，要超過規(guī)定日期三天完成 .現(xiàn)由甲、乙兩隊合做兩天，剩下的工程由乙獨做，恰好在規(guī)定日期完成，問規(guī)定日期是多少天 ?分析；這是一個工程問題，在工程問題中有三個量，工作量設為s，工作所用時間設為t，工作效率設為m，三個量之間的關系是s=mt,或t=sm，或m=st.請同學根據(jù)題中的等量關系列出方程.答案：方法 1工程規(guī)定日期就是甲單獨完成工程所需天數(shù)，設為程所需的天數(shù)就是(x+3) 天，設工程總量為1，甲的工作效率就是依題意，列方程為x 天，那么乙單獨完成工x1，乙的工作效率是1x+3.2(1x+1x3)+x2 xx+3=1.指出：工作效率的意義是單位時間完成的工作量.方法 2設規(guī)定

6、日期為x 天，乙與甲合作兩天后，剩下的工程由乙單獨做，恰好在規(guī)定日期完成，因此乙的工作時間就是x 天，根據(jù)題意列方程2x+xx+3=1.方法 3根據(jù)等量關系，總工作量甲的工作量=乙的工作量，設規(guī)定日期為x 天，則可列方程1 2x=2x+3+x 2x+3.用方法1方法3 所列出的方程，我們已在新課之前解出，這里就不再解分式方程了重點是找等量關系列方程.三、課堂練習1.甲加工 180 個零件所用的時間，乙可以加工240 個零件，已知甲每小時比乙少加工.5個零件，求兩人每小時各加工的零件個數(shù).2.a，b 兩地相距135 千米，有大，小兩輛汽車從a 地開往 b 地，大汽車比小汽車早出發(fā) 5 小時， 小

7、汽車比大汽車晚到30 分鐘 .已知大、 小汽車速度的比為2：5，求兩輛汽車的速度.答案：1.甲每小時加工15 個零件，乙每小時加工2.大，小汽車的速度分別為18 千米時和20 個零件 .45 千米時.四、小結(jié)1.列分式方程解應用題與列一元一次方程解應用題的方法與步驟基本相同，不同點是，解分式方程必須要驗根 .一方面要看原方程是否有增根，另一方面還要看解出的根是否符合題意 .原方程的增根和不符合題意的根都應舍去.2.列分式方程解應用題，一般是求什么量，就設所求的量為未知數(shù)，這種設未知數(shù)的方法，叫做設直接未知數(shù).但有時可根據(jù)題目特點不直接設題目所求的量為未知量，而是設另外的量為未知量，這種設未知數(shù)

8、的方法叫做設間接未知數(shù).在列分式方程解應用題時，設間接未知數(shù)，有時可使解答變得簡捷.例如在課堂練習中的第2 題，若題目的條件不變，把問題改為求大、小兩輛汽車從a 地到達 b 地各用的時間，如果設直接未知數(shù)，即設，小汽車從 a 地到 b 地需用時間為x 小時，則大汽車從a 地到 b 地需 (x+5 12)小時，依題意， 列方程135 x+5 12： 135x=2： 5.解這個分式方程，運算較繁瑣.如果設間接未知數(shù)，即設速度為未知數(shù)，先求出大、小兩輛汽車的速度，再分別求出它們從a 地到 b 地的時間，運算就簡便多了.五、作業(yè)1.填空：(1) 一件工作甲單獨做要m 小時完成，乙單獨做要n 小時完成，

9、如果兩人合做，完成這件工作的時間是_小時；(2) 某食堂有米m 公斤，原計劃每天用糧a 公斤，現(xiàn)在每天節(jié)約用糧b 公斤，則可以比原計劃多用天數(shù)是_;(3)把 a 千克的鹽溶在b 千克的水中，那么在m 千克這種鹽水中的含鹽量為_千克 .2.列方程解應用題.(1) 某工人師傅先后兩次加工零件各1500 個，當?shù)诙渭庸r，他革新了工具，改進了操作方法，結(jié)果比第一次少用了18 個小時 .已知他第二次加工效率是第一次的2.5 倍，求他第二次加工時每小時加工多少零件?(2) 某人騎自行車比步行每小時多走8 千米，如果他步行12 千米所用時間與騎車行36千米所用的時間相等，求他步行40 千米用多少小時?(

10、3) 已知輪船在靜水中每小時行20 千米，如果此船在某江中順流航行72 千米所用的時間與逆流航行48 千米所用的時間相同，那么此江水每小時的流速是多少千米?(4)a ， b 兩地相距135 千米，兩輛汽車從a 地開往 b 地，大汽車比小汽車早出發(fā)5 小時，小汽車比大汽車晚到30 分鐘 .已知兩車的速度之比是5： 2，求兩輛汽車各自的速度.答案：1.(1)mn m+n;(2)m a b ma;(3)ma a+b.2.(1)第二次加工時，每小時加工125 個零件 .(2) 步行 40 千米所用的時間為 40 4=10(時 ).答步行 40 千米用了 10 小時 .(3)江水的流速為 4 千米時 .

11、課堂教學設計說明1.教學設計中，對于例1，引導學生依據(jù)題意，找到三個等量關系，并用兩種不同的方法列出方程；對于例2，引導學生依據(jù)題意，用三種不同的方法列出方程.這種安排， 意在啟發(fā)學生能善于從不同的角度、不同的方向思考問題，激勵學生在解決問題中養(yǎng)成靈活的思維習慣 .這就為在列分式方程解應用題教學中培養(yǎng)學生的發(fā)散思維提供了廣闊的空間.2.教學設計中體現(xiàn)了充分發(fā)揮例題的模式作用.例 1 是行程問題， 其中距離是已知量，求速度 (或時間 )；例 2 是工程問題， 其中工作總量為已知量，求完成工作量的時間(或工作效率 ).這些都是運用列分式方程求解的典型問題.教學中引導學生深入分析已知量與未知量和題目

12、中的等量關系， 以及列方程求解的思路，以促使學生加深對模式的主要特征的理解和識另別，讓學生弄清哪些類型的問題可借助于分式方程解答，求解的思路是什么.學生完成課堂練習和作業(yè)， 則是識別問題類型，能把面對的問題和已掌握的模式在頭腦中建立聯(lián)系，探求解題思路 .3.通過列分式方程解應用題數(shù)學，滲透了方程的思想方法，從中使學生認識到方程的思想方法是數(shù)學中解決問題的一個銳利武器.方程的思想方法可以用“以假當真 ”和 “弄假成真 ”兩句話形容 .如何通過設直接未知數(shù)或間接未知數(shù)的方法，假設所求的量為x，這時就把它作為一個實實在在的量.通過找等量關系列方程，此時是把已知量與假設的未知量平等看待，這就是 “以假

13、當真 ”通.過解方程求得問題的解，原先假設的未知量x 就變成了確定的量，這就是 “弄假成真 ”.用函數(shù)的觀點看一元二次方程教案設計一、教學目標：1經(jīng)歷探索二次函數(shù)與一元二次方程的關系的過程，體會方程與函數(shù)之間的聯(lián)系2理解拋物線交x 軸的點的個數(shù)與一元二次方程的根的個數(shù)之間的關系，理解何時方程有兩個不等的實根、兩個相等的實數(shù)和沒有實根3能夠利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的近似根。二、教學重點、難點：教學重點：1體會方程與函數(shù)之間的聯(lián)系。2能夠利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的近似根。教學難點：1探索方程與函數(shù)之間關系的過程。2理解二次函數(shù)與x 軸交點的個數(shù)與一元二次方程的根的個數(shù)之間的關系。三

14、、教學方法：啟發(fā)引導合作交流四：教具、學具：課件五、教學媒體：計算機、實物投影。六、教學過程：活動 1 檢查預習引出課題預習作業(yè)：1解方程：（ 1） x2+x 2=0; (2) x2 6x+9=0; (3) x2 x+1=0; (4) x22. 回顧一次函數(shù)與一元一次方程的關系，利用函數(shù)的圖象求方程師生行為： 教師展示預習作業(yè)的內(nèi)容，指名回答，師生共同回顧舊知， 2x 2=0.3x-4=0 的解 .教師做出適當總結(jié)和評價。教師重點關注：學生回答問題結(jié)論準確性，能否把前后知識聯(lián)系起來，2 題的格式要規(guī)范。設計意圖： 這兩道預習題目是對舊知識的回顧， 為本課的教學起到鋪墊的作用 ,1 題中的三個方

15、程是課本中觀察欄目中的三個函數(shù)式的變式， 這三個方程把二次方程的根的三種情況體現(xiàn)出來， 讓學生回顧二次方程的相關知識； 2 題是一次函數(shù)與一元一次方程的關系的問題，這題的設計是讓學生用學過的熟悉的知識類比探究本課新知識。一、教學目標： （一）知識與能力目標：（課件第2 張）1.體會解不等式的步驟，體會比較、轉(zhuǎn)化的作用。2.學生理解、鞏固一元一次不等式的解法.3.用數(shù)軸表示解集，加深對數(shù)形結(jié)合思想的進一步理解和掌握。4.在解決實際問題中能夠體會將文字語言轉(zhuǎn)化成數(shù)學語言，學會用數(shù)學語言表示實際的數(shù)量關系。（二）過程與方法目標：1介紹一元一次不等式的概念。2.通過對一元一次方程的解法的復習和對不等式

16、性質(zhì)的利用，導入對解不等式的討論。3.學生體會通過綜合利用不等式的概念和基本性質(zhì)解不等式的方法。4.學生將文字表達轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言，從而解決實際問題。5.練習鞏固，將本節(jié)和上節(jié)內(nèi)容聯(lián)系起來。（三）情感、態(tài)度與價值目標：（課件第3 張）1.在教學過程中，學生體會數(shù)學中的比較和轉(zhuǎn)化思想。2.通過類比一元一次方程的解法，從而更好的掌握一元一次不等式的解法，樹立辯證統(tǒng)一思想。3.通過學生的討論，學生進一步體會集體的作用，培養(yǎng)其集體合作的精神。4.通過本節(jié)的學習，學生體會不等式解集的奇異的數(shù)學美。二、教學重、難點：1.掌握一元一次不等式的解法。2.掌握解一元一次不等式的階梯步驟，并能準確求出解集。3.能將

17、文字敘述轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言，從而完成對應用問題的解決。三、教學突破：教材中沒有給出解法的一般步驟，所以在教學中要注意讓學生經(jīng)歷將所給的不等式轉(zhuǎn)化為簡單不等式的過程，并通過學生的討論交流使學生經(jīng)歷知識的形成和鞏固過程。在解不等式的過程中，與上節(jié)課聯(lián)系起來，重視將解集表示在數(shù)軸上，從而指導學生體會用數(shù)形結(jié)合的方法解決問題。在研究中，鼓勵學生用多種方法求解，從而鍛煉他們活躍的思維。四、教具：計算機輔助教學.五、教學流程 :（一）、復習：教學環(huán)節(jié)教 師 活 動學 生 活 動設 計 意 圖導入新課1給出方程： (x+4)/3=(3x-1)/2, 抽學生演算。（注意步驟）2學生回憶不等式的性質(zhì)，并說出解不等式

18、的關鍵在哪里。3讓學生舉一些不等式的例子。在學生歸納出一元一次不等式的概念后，據(jù)情況點評。4 新課導入：通過上節(jié)課的學習，我們已經(jīng)掌握了解簡單不等式的方法。這節(jié)課我們來共同探討解一元一次不等式的方法。1學生練習，并說出解一元一次方程的步驟。2認真思考， 用自己的語言描述不等式的性質(zhì)，說出解不等式的關鍵在于將不等式化為xa或 xa的形式。（出示課件第2 頁）3舉出不等式的例子，從中找出一元一次不等式的例子，歸納出一元一次不等式的概念。4明確本課目標，進入對新課的學習。1復習解一元一次方程的解法和步驟。2讓學生回顧性質(zhì)，以加強對性質(zhì)的理解、掌握。3運用類比思維4自然過度，出示課件第3、4 張（二）

19、、新授：教學環(huán)節(jié)教 師 活 動學 生 活 動設 計 意 圖探究一元一次不等式的解法1、學生觀察課本第61 頁例 3，教師說明：解不等式就是利用不等式的三條基本性質(zhì)對不等式進行變形的過程。提醒學生注意步驟。2分析學生的解答，提醒學生在解不等式中常見的錯誤：不等式兩邊同乘（除）同一個負數(shù)不等號方向要改變。3激勵學生完成對(2) 解答，并找學生上講臺演示。4.強調(diào)在數(shù)軸上表示解集時的關鍵（出示課件第8 頁）5出示練習（出示課件第 9 頁）6鼓勵學生討論課本第61 頁的例 4。提示學生： 首先將簡單的文字表達轉(zhuǎn)化成數(shù)學語言。（出示課件第10 頁）7指導學生歸納步驟。8補充適當?shù)木毩?，以鞏固學生所學。（

20、出示課件第12 頁）1.類比解一元一次方程，仔細觀察，理解用不等式的性質(zhì)（3）解不等式的原理，并掌握用數(shù)軸表示不等式的解的方法。2學生類比解一元一次方程的步驟與解一元一次不等式的一般步驟,同時完成練習。 （出示課件第6 頁）3.完成例 3(2)：2(5x+3) x3(12x) 的解答。 教師提示， 組內(nèi)討論后， 檢查自己的解答過程，彌補不足，進一步體會解一元一次不等式的方法。4理解、體會在數(shù)軸上表示解集的方法和關鍵。5學生組內(nèi)討論完成。6認真完成對例題的解答， 在教師的提示下找到不等量關系， 列出不等式：（ x+4 ）/3-（ 3x-1 ） /21, 并求解。 .7組內(nèi)討論并歸納后，看教師所出

21、示的課件。（出示課件第11 頁）8認真完成練習。1電腦逐步演示，讓學生從演示過程中理解不等式的解法。（出示課件第5 張）2鞏固對一般解法的理解、掌握。3通過類比歸納，提高學生的自學能力。（出示課件第7 頁）以訂正學生解答。4讓學生明白不等式的解集是一個范圍，而方程的解是一個值。5培養(yǎng)學生的擴展能力。6類比一元一次方程的解法以加深對一元一次不等式解法的理解。7通過動手、動腦使所學知識得到鞏固。8鞏固所學。（三）、小結(jié)與鞏固：教學環(huán)節(jié)教 師 活 動學 生 活 動設 計 意 圖小結(jié)與鞏固1引導學生對本課知識進行歸納。2學生完成后（出示課件第13、 14 頁）。3練習與鞏固。1學生組內(nèi)討論小結(jié)，組長幫助組員對知識鞏固、提升。2學生加強理解。3完成練習：書63 頁第 4 題，第 5（2、 4）題。1培養(yǎng)學生總結(jié)、歸納的能力。2點撥學生對知識的理解與掌握。3鞏固本課所學。（第 2 課時）一、教學目標1使學生了解判定定理2、 3 的證明方法并會應用2繼續(xù)滲透和培養(yǎng)學生對類比數(shù)學思想的認識和理解3通過了