[理學(xué)]數(shù)字邏輯電路第2章.ppt

1、第二章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ),2.1 概述,二值邏輯：只有兩種對(duì)立邏輯狀態(tài)的邏輯關(guān)系 在二值邏輯中的變量取值：0/1， 0和1表示兩個(gè)對(duì)立的邏輯狀態(tài)。 例如：電位的低高（0表示低電位，1表示高電位）、開關(guān)的開合等。 邏輯：事物的因果關(guān)系 邏輯運(yùn)算：當(dāng)兩個(gè)二進(jìn)制數(shù)碼表示不同的邏輯狀態(tài)時(shí)，它們之間可以按照指定的某種因果關(guān)系進(jìn)行推理運(yùn)算，稱之為邏輯運(yùn)算。 布爾代數(shù)：進(jìn)行邏輯運(yùn)算的數(shù)學(xué)方法。 邏輯變量：邏輯代數(shù)中用字母表示變量，稱之為邏輯變量。 數(shù)字電路要研究的是電路的輸入輸出之間的邏輯關(guān)系，所以數(shù)字電路又稱邏輯電路，相應(yīng)的研究工具是邏輯代數(shù)（布爾代數(shù)）。,2.2 邏輯代數(shù)中的三種基本運(yùn)算,與（AND） 或（

2、OR） 非(NOT),例：三種不同因果關(guān)系的電路,邏輯代數(shù)的基本運(yùn)算： 與（AND）、或（OR）、非(NOT),邏輯“與”,決定事物結(jié)果的全部條件同時(shí)具備時(shí)，結(jié)果才會(huì)發(fā)生 Y=A AND B = A,=A +A(B+C)+BC ; AA=A,=A(1+B+C)+BC ;,=A 1+BC ; 1+B+C=1,=A+BC ; A 1=A,=左邊,公式（17）的證明（真值表法）：,2.3.2 若干常用公式,吸收規(guī)則:,1. 原變量的吸收：,A+AB=A,證明：,A+AB=A(1+B)=A1=A,利用該運(yùn)算規(guī)則可以對(duì)邏輯式進(jìn)行化簡(jiǎn)。,例：,吸收是指吸收多余（冗余）項(xiàng)，多余（冗余）因子被取消、去掉 被消

3、化了。,2. 反變量的吸收：,證明：,例：,3. 混合變量的吸收：,證明：,例：,2.4 邏輯代數(shù)的基本定理,2.4.1 代入定理 -在任何一個(gè)包含A的邏輯等式中，若以另外一個(gè)邏輯式代入式中A的位置，則等式依然成立。,2.4.1 代入定理,應(yīng)用舉例： 式（17） A+BC = (A+B)(A+C) A+B(CD) = (A+B)(A+CD) = (A+B)(A+C)(A+D),2.4 邏輯代數(shù)的基本定理,2.4.2 反演定理,對(duì)任意一個(gè)邏輯式Y(jié)，若將其中所有的“”換成“+”，“+”換成“”，0換成1，1換成0，原變量換成反變量，反變量換成原變量，則得到的結(jié)果就是Y。 變換規(guī)則： 先括號(hào)、然后乘

4、、最后加； 不屬于單個(gè)變量上的反號(hào)應(yīng)保留不變。,2.4.2 反演定理,應(yīng)用舉例：,變換規(guī)則： 先括號(hào)、然后乘、最后加； 不屬于單個(gè)變量上的反號(hào)應(yīng)保留不變。,變換規(guī)則： 先括號(hào)、然后乘、最后加； 不屬于單個(gè)變量上的反號(hào)應(yīng)保留不變。,2.4.2 反演定理,變換規(guī)則： 先括號(hào)、然后乘、最后加； 不屬于單個(gè)變量上的反號(hào)應(yīng)保留不變。,2.4.2 反演定理,可以用列真值表的方法證明：,德 摩根 (De Morgan)定理：,2.4.2 反演定理,例：證明已知二變量的德摩根定理也適用于多變量的情況。 證明：已知二變量的德摩根定理是 (A+B)=A+B 和 (AB) =A+B 今以（B+C）代入左邊等式中B的

5、位置，同時(shí)以(BC)代入右邊等式中B的位置，得到： (A+(B+C)=A(B+C)=ABC (A(BC) =A+(BC)= A+B+C 以此類推，德摩根定理也適用于更多變量的情況。,2.4 邏輯代數(shù)的基本定理,2.4.3 對(duì)偶定理,若兩邏輯式相等，則它們的對(duì)偶式也相等。 對(duì)任意一個(gè)邏輯式Y(jié)，若將其中所有的“”換成“+”，“+”換成“”，0換成1，1換成0，得到的結(jié)果就是Y對(duì)偶式Y(jié)D。,2.5.1 邏輯函數(shù) 若以邏輯變量為輸入，運(yùn)算結(jié)果為輸出，則輸入變量值確定以后，輸出的取值也隨之而定。輸入/輸出之間是一種函數(shù)關(guān)系。 Y=F(A,B,C,) 在二值邏輯中，輸入/輸出都只有兩種取值0/1。,2.5

6、 邏輯函數(shù)及其表示方法,2.5.2 邏輯函數(shù)的表示方法,真值表 邏輯函數(shù)式 邏輯圖 波形圖 卡諾圖 計(jì)算機(jī)軟件中的描述方式 各種表示方法之間可以相互轉(zhuǎn)換,真值表,邏輯函數(shù)式 將輸入/輸出之間的邏輯關(guān)系用與/或/非的運(yùn)算式表示就得到邏輯函數(shù)式。 邏輯圖 用邏輯圖形符號(hào)表示邏輯運(yùn)算關(guān)系，與邏輯電路的實(shí)現(xiàn)相對(duì)應(yīng)。 波形圖 將輸入變量所有取值可能與對(duì)應(yīng)輸出按時(shí)間順序排列起來(lái)畫成時(shí)間波形。,例：舉重裁判電路,電路圖,真值表,邏輯函數(shù)式,邏輯圖,各種形式的相互轉(zhuǎn)換：,真值表 邏輯式 例：奇偶判別函數(shù)的真值表 A=0,B=1,C=1使 ABC=1 A=1,B=0,C=1使 ABC=1 A=1,B=1,C=0

7、使 ABC =1 這三種取值的任何一種都使Y=1, 所以 Y= ? Y=ABC+ABC+ABC,真值表 邏輯函數(shù)式 找出真值表中使 Y=1 的輸入變量取值組合。 每組輸入變量取值對(duì)應(yīng)一個(gè)乘積項(xiàng)，其中取值為1的寫原變量，取值為0的寫反變量。 將這些變量相加即得 Y。 把輸入變量取值的所有組合逐個(gè)代入邏輯式中求出Y值，列表即可。,邏輯式 邏輯圖 1. 用圖形符號(hào)代替邏輯式中的邏輯運(yùn)算符。 2. 從輸入到輸出逐級(jí)寫出每個(gè)圖形符號(hào)對(duì)應(yīng)的邏輯運(yùn)算式。,真值表 波形圖,n 變量邏輯函數(shù)的最小項(xiàng) m： m是包含n個(gè)因子的乘積項(xiàng) n個(gè)變量均以原變量和反變量的形式在m中出現(xiàn)一次,對(duì)于n變量函數(shù) 有2n個(gè)最小項(xiàng),

8、2.5.3 邏輯函數(shù)的兩種標(biāo)準(zhǔn)形式 最小項(xiàng)之和 最大項(xiàng)之積,最小項(xiàng)舉例：,兩變量A, B的最小項(xiàng) 三變量A,B,C的最小項(xiàng),最小項(xiàng)的編號(hào)：,最小項(xiàng)的性質(zhì),在輸入變量任一取值下，有且僅有一個(gè)最小項(xiàng)的值為1。 全體最小項(xiàng)之和為1 。 任何兩個(gè)最小項(xiàng)之積為0 。 兩個(gè)相鄰的最小項(xiàng)之和可以合并，消去一對(duì)因子，只留下公共因子。 -相鄰：僅一個(gè)變量不同的最小項(xiàng) 如,邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)之和形式：,例：,利用公式 可將任何一個(gè)函數(shù)化為,邏輯函數(shù)最小項(xiàng)之和的形式：,例：,最大項(xiàng)：,n變量邏輯函數(shù)的最大項(xiàng)M 是包含n個(gè)因子的相加項(xiàng)； n個(gè)變量均以原變量和反變量的形式在M中出現(xiàn)一次。 如：兩變量A, B的最大項(xiàng),對(duì)于

9、n變量函數(shù) 有2n個(gè)最大項(xiàng),最大項(xiàng)的性質(zhì),在輸入變量任一取值下，有且僅有一個(gè)最大項(xiàng)的值為0； 全體最大項(xiàng)之積為0； 任何兩個(gè)最大項(xiàng)之和為1； 只有一個(gè)變量不同的最大項(xiàng)的乘積等于各相同變量之和。,最大項(xiàng)的編號(hào)：,最大項(xiàng)與最小項(xiàng)的關(guān)系： Mi=mi,2.6 邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)法,邏輯函數(shù)的最簡(jiǎn)形式 最簡(jiǎn)與或 -包含的乘積項(xiàng)最少，每個(gè)乘積項(xiàng)的因子也最少，稱為最簡(jiǎn)的與-或邏輯式。,2.6.1公式化簡(jiǎn)法 反復(fù)應(yīng)用基本公式和常用公式，消去多余的乘積項(xiàng)和多余的因子。 并項(xiàng)法：AB+AB=A 例：,2.6.1公式化簡(jiǎn)法 反復(fù)應(yīng)用基本公式和常用公式，消去多余的乘積項(xiàng)和多余的因子。 吸收法：A+AB=A 例：,2.6

10、.1公式化簡(jiǎn)法 反復(fù)應(yīng)用基本公式和常用公式，消去多余的乘積項(xiàng)和多余的因子。 消項(xiàng)法：AB+AC+BC=AB+AC 例： 消因子法：A+AB=A+B 例：,2.6.1公式化簡(jiǎn)法 反復(fù)應(yīng)用基本公式和常用公式，消去多余的乘積項(xiàng)和多余的因子。 配項(xiàng)法： A+A=A 例： A+A=1 例：,2.6.1公式化簡(jiǎn)法 反復(fù)應(yīng)用基本公式和常用公式，消去多余的乘積項(xiàng)和多余的因子。 例：,2.6.2 卡諾圖化簡(jiǎn)法,邏輯函數(shù)的卡諾圖表示法 實(shí)質(zhì)：將邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)之和的以圖形的方式表示出來(lái) 以2n個(gè)小方塊分別代表 n 變量的所有最小項(xiàng)，并將它們排列成矩陣，而且使幾何位置相鄰的兩個(gè)最小項(xiàng)在邏輯上也是相鄰的（只有一個(gè)變量

11、不同），就得到表示n變量全部最小項(xiàng)的卡諾圖。,表示最小項(xiàng)的卡諾圖,二變量卡諾圖,4變量的卡諾圖,三變量的卡諾圖,五變量的卡諾圖,用卡諾圖表示邏輯函數(shù),將函數(shù)表示為最小項(xiàng)之和的形式 。 在卡諾圖上與這些最小項(xiàng)對(duì)應(yīng)的位置上添入1，其余地方添0。,用卡諾圖表示邏輯函數(shù),例：,用卡諾圖化簡(jiǎn)函數(shù),依據(jù)：具有相鄰性的最小項(xiàng)可合并，消去不同因子。 在卡諾圖中，最小項(xiàng)的相鄰性可以從圖形中直觀地反映出來(lái)。,合并最小項(xiàng)的原則： 兩個(gè)相鄰最小項(xiàng)可合并為一項(xiàng)，消去一對(duì)因子 四個(gè)排成矩形的相鄰最小項(xiàng)可合并為一項(xiàng)，消去兩對(duì)因子 八個(gè)相鄰最小項(xiàng)可合并為一項(xiàng)，消去三對(duì)因子,兩個(gè)相鄰最小項(xiàng)可合并為一項(xiàng)，消去一對(duì)因子,化簡(jiǎn)步驟：

12、 -用卡諾圖表示邏輯函數(shù) -找出可合并的最小項(xiàng) -化簡(jiǎn)后的乘積項(xiàng)相加 （項(xiàng)數(shù)最少，每項(xiàng)因子最少）,用卡諾圖化簡(jiǎn)函數(shù),卡諾圖化簡(jiǎn)的原則,化簡(jiǎn)后的乘積項(xiàng)應(yīng)包含函數(shù)式的所有最小項(xiàng)，即覆蓋圖中所有的1。 乘積項(xiàng)的數(shù)目最少，即圈成的矩形最少。 每個(gè)乘積項(xiàng)因子最少，即圈成的矩形最大。,例：,A,BC,A,BC,A,BC,化 簡(jiǎn) 結(jié) 果 不 唯 一,例：,AB,CD,AB,CD,約束項(xiàng) 任意項(xiàng) 邏輯函數(shù)中的無(wú)關(guān)項(xiàng)：約束項(xiàng)和任意項(xiàng)可以寫入函數(shù)式，也可不包含在函數(shù)式中，因此統(tǒng)稱為無(wú)關(guān)項(xiàng)。,在邏輯函數(shù)中，對(duì)輸入變量取值的限制，在這些取值下為1的最小項(xiàng)稱為約束項(xiàng),在輸入變量某些取值下，函數(shù)值為1或?yàn)?不影響邏輯電路的功能，在這些取值下為1的最小項(xiàng)稱為任意項(xiàng),2.7具有無(wú)關(guān)項(xiàng)的邏輯函數(shù)及其化簡(jiǎn)2.7.1 約束項(xiàng)、任意項(xiàng)和邏輯函數(shù)式中的無(wú)關(guān)項(xiàng),2.7.2 無(wú)關(guān)項(xiàng)在化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)中的應(yīng)用,合理地利用無(wú)關(guān)項(xiàng)，可得更簡(jiǎn)單的化簡(jiǎn)結(jié)果。 加入（或去掉）無(wú)關(guān)項(xiàng)，應(yīng)使化簡(jiǎn)后的項(xiàng)