中考數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練-旋轉(zhuǎn)模型幾何變換三種模型手拉手-半角-對(duì)角互補(bǔ)

1、中考數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練-旋轉(zhuǎn)模型幾何變換三種模型手拉手-半角-對(duì)角互補(bǔ)幾何變換的三種模型手拉手、半角、對(duì)角互補(bǔ)?等腰三角形手拉手模型等腰直角三角形（包含正方形）等邊三角形（包含費(fèi)馬點(diǎn)）特殊角旋轉(zhuǎn)變換對(duì)角互補(bǔ)模型一般角特殊角角含半角模型一般角等線段變換（與圓相關(guān)）【練1】（2021北京中考）在ABC中，AB AC=，BAC=（060?（1）如圖1，直接寫出ABD的大?。ㄓ煤氖阶颖硎荆?；（2）如圖2，15060BCE ABE=?=?，判斷ABE的形狀并加以證明；（3）在（2）的條件下，連結(jié)DE，若45DEC=?，求的值真題演練知識(shí)關(guān)聯(lián)圖 【練2】 （2021年北京中考）在ABC 中，BA BC BAC

2、 =，M 是AC 的中點(diǎn)，P 是線段上的動(dòng)點(diǎn)，將線段PA 繞點(diǎn)P 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)2得到線段PQ （1）若=60?且點(diǎn)P 與點(diǎn)M 重合（如圖1），線段CQ 的延長線交射線BM 于點(diǎn)D ，請(qǐng)補(bǔ)全圖形，并寫出CDB 的度數(shù)； （2）在圖2中，點(diǎn)P 不與點(diǎn)B M ，重合，線段CQ 的延長線與射線BM 交于點(diǎn)D ，猜想CDB 的大小（用含的代數(shù)式表示），并加以證明； （3）對(duì)于適當(dāng)大小的，當(dāng)點(diǎn)P 在線段BM 上運(yùn)動(dòng)到某一位置（不與點(diǎn)B ，M 重合）時(shí)，能使得線段CQ 的延長線與射線BM 交于點(diǎn)D ，且PQ QD =，請(qǐng)直接寫出的范圍 考點(diǎn)1：手拉手模型：全等和相似 包含：等腰三角形、等腰直角三角形（正方形）

3、、等邊三角形伴隨旋轉(zhuǎn)出全等，處于各種位置的旋轉(zhuǎn)模型，及殘缺的旋轉(zhuǎn)模型都要能很快看出來（1）等腰三角形旋轉(zhuǎn)模型圖（共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)等腰出伴隨全等） （2）等邊三角形旋轉(zhuǎn)模型圖（共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)等邊出伴隨全等） （3）等腰直角旋轉(zhuǎn)模型圖（共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)等腰直角出伴隨全等） （4）不等邊旋轉(zhuǎn)模型圖（共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)不等腰出伴隨相似） 例題精講 【例1】 （14年海淀期末）已知四邊形和四邊形都是正方形 ，且（1）如圖，連接、求證：；（2）如圖，如果正方形，將正方形繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到某一位置時(shí)恰好使得， 求的度數(shù)；請(qǐng)直接寫出正方形的邊長的值 ABCD CEFG AB CE 1BG DG BG DE =2ABCD CEFG C CG

4、 BD BG BD =BDE CEFG【例2】 （2021年西城一模） 四邊形ABCD 是正方形，BEF ?是等腰直角三角形，90BEF =?，BE EF =，連接DF ，G 為DF 的中點(diǎn)，連接EG ，CG ，EC 。（1）如圖24-1，若點(diǎn)E 在CB 邊的延長線上，直接寫出EG 與GC 的位置關(guān)系及ECGC的值；（2）將圖24-1中的BEF ?繞點(diǎn)B 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖24-2所示位置，請(qǐng)問（1）中所得的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)寫出證明過程；若不成立，請(qǐng)說明理由； 圖 圖【例3】 （2021年海淀九上期末）如圖1，在ABC 中，4BC =，以線段AB 為邊作ABD ，使得A D B D =

5、， 連接DC ，再以DC 為邊作C D E ，使得D C D E =，CDE ADB =（1）如圖2 ，當(dāng)45ABC =?且90=?時(shí)，用等式表示線段AD DE ，之間的數(shù)量關(guān)系； （2）將線段CB 沿著射線CE 的方向平移，得到線段EF ，連接BF AF ，若 90=?，依題意補(bǔ)全圖3， 求線段AF 的長；請(qǐng)直接寫出線段AF 的長（用含的式子表示） 圖2 圖3 備用圖 BBBB圖1【例4】 （13年房山一模）（1）如圖1，ABC 和CDE 都是等邊三角形，且B 、C 、D 三點(diǎn)共線，聯(lián)結(jié)AD 、BE 相交于點(diǎn)P ，求證：BE AD =（2）如圖2，在BCD 中，120BCD 下列結(jié)論中正確的

6、是_（只填序號(hào)即可）AD BE CF =；BE C A D C =；60DPE EPC CPA =；（3）如圖2，在（2）的條件下，求證：PB PC PD BE += 圖2AFAB 圖1考點(diǎn)2： 角含半角模型：全等秘籍：角含半角要旋轉(zhuǎn)：構(gòu)造兩次全等 【例1】 （2021年西城期末）已知：如圖，正方形ABCD 的邊長為a ，BM ，DN 分別平分正方形的兩個(gè)外角，且滿足45MAN =?，連結(jié)MC ，NC ，MN 猜想線段BM ，DN 和MN 之間的等量關(guān)系并證明你的結(jié)論 FED CBA G FED CBA AB CDEFFED CBA GABCDEFGACD E ACD EF 【例2】 （202

7、1年平谷一模）（1）如圖1，點(diǎn)分別是正方形的邊上的點(diǎn)，連接， 則之間的數(shù)量關(guān)系是：連結(jié)，交于點(diǎn)，且 滿足，請(qǐng)證明這個(gè)等量關(guān)系；（2）在ABC 中， ，點(diǎn)分別為邊上的兩點(diǎn)如圖2，當(dāng)，時(shí)，應(yīng)滿足的等量關(guān)系是_； 如圖3，當(dāng)，時(shí)，應(yīng)滿足的等量關(guān)系是_【參考：】 E F 、ABCD BC CD 、45EAF =?EF EF BE FD 、EF BE FD =+BD AE AF 、M N 、MN BM DN 、222DN BM MN +=AB AC =D E 、BC 60BAC =?30DAE =?BD DE EC 、BAC =(0?1BD DE EC、1cos sin 22=+A B CD EF 圖1

8、B C DE 圖2ADE 圖3AMN考點(diǎn)3：對(duì)角互補(bǔ)模型常和角平分線性質(zhì)一起考，一般有兩種解題方法（全等型90） （全等型120） （全等型任意角） 【例1】 四邊形被對(duì)角線分為等腰直角三角形和直角三角形，其中和都是直角，另一條對(duì)角線的長度為，求四邊形的面積 OABCE DNOM A BCE DOEDCBA OFEDCBA OEDCBAABCD BD ABD CBD A C AC 2ABCD DCB A 【例2】 已知：點(diǎn)是的平分線上的一動(dòng)點(diǎn)，射線交射線于點(diǎn)，將射線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)交射線于點(diǎn)，且使 （1）利用圖1，求證：PA PB =；（2）如圖1，若點(diǎn)是與的交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求PB 與PC 的比值；

9、 圖1 圖2 P MON PA OM A PAP ON B 180APB MON +=C AB OP 3POB PCB S S ?=CAOPBMNTTNM BP OAC【例3】 (初二期末)已知：如圖，在ABC 中，AB AC =，BAC =，且60120?為ABC 內(nèi)部一點(diǎn)，且PC AC =，120PCA =?-（1）用含的代數(shù)式表示APC ，得APC =_； （2）求證：BAP PCB =； （3）求PBC 的度數(shù) BCPA（ 【練1】（2021年昌平九上期末）如圖，已知ABC 和ADE 都是等腰直角三角形，90BAC DAE =?，AB AC =，AD AE =連接BD 交AE 于M ,

10、連接CE 交AB于N ，BD 與CE 交點(diǎn)為F ，連接AF （1）如圖1，求證：BD CE ；（2）如圖1，求證：AF 是CFD 的平分線； （3）如圖2，當(dāng)2AC =，15BCE =?時(shí)，求CF 的長. FEDCBA圖1NM圖2ABCDEF MN全能突破【練2】 （2021西城九上期末）已知：ABC ，DEF 都是等邊三角形，M 是BC 與EF的中點(diǎn)，連接AD ，BE .（1）如圖1，當(dāng)EF 與BC 在同一條直線上時(shí)，直接寫出AD 與BE 的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；（2）ABC 固定不動(dòng)，將圖1中的D EF 繞點(diǎn)M 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（o 0o 90）角，如圖2所示，判斷（1）中的結(jié)論是否仍然成立，若成

11、立，請(qǐng)加以證明；若不成立，說明理由；（3）ABC 固定不動(dòng)，將圖1中的DEF 繞點(diǎn)M 旋轉(zhuǎn)（）角，作DH BC 于點(diǎn)H 設(shè) BH x ，線段AB ，BE ，ED ，DA 所圍成的圖形面積為S 當(dāng)6AB ，2DE 時(shí)，求S 關(guān)于x 的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應(yīng)的x 的取值范圍 o 0o 90圖2備用圖圖1【練3】 （2021年朝陽一模24題）在ABC 中，AC BC =，在AED 中，AD ED =，點(diǎn)D 、E 分別在CA 、AB 上，（1）圖，若90ACB ADE =?，則CD 與BE 的數(shù)量關(guān)系是_； （2）若120ACB ADE =?，將AED 繞點(diǎn)A 旋轉(zhuǎn)至如圖所示的位置，則CD 與BE 的

12、數(shù)量關(guān)系是_；（3）若2(090)ACB ADE = 【練4】 （2021年燕山九上期末）小輝遇到這樣一個(gè)問題：如圖1，在Rt ABC 中，90BAC ?，AB AC ，點(diǎn)，E 在邊BC 上，45DAE ?若3BD ，1CE ，求DE 的長 D 小輝發(fā)現(xiàn)，將繞點(diǎn)A 按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90o，得到ACF ，連接EF （如圖2），由圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)以及45DAE ?，可證FAE DAE ，得FE DE 解FCE ，可求得EF (即DE )的長請(qǐng)回答：在圖2中，F(xiàn)CE 的度數(shù)是_，DE 的長為_Rt ABC _ 參考小輝思考問題的方法，解決問題：如圖3，在四邊形中，AB AD ，1

13、80B D ?E F ，分別是邊BC CD ，上的點(diǎn)，且12EAF BAD 猜想線段BE EF FD ，之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由 ABCD 圖1ABC DE圖2FABCDE圖3EFDABC 【練5】 （11年石景山一模）已知：如圖，正方形中，,為對(duì)角線，將繞頂點(diǎn)逆時(shí) 針旋轉(zhuǎn)()，旋轉(zhuǎn)后角的兩邊分別交于點(diǎn)、點(diǎn)，交,于點(diǎn)、點(diǎn)，聯(lián)結(jié)、（1）在的旋轉(zhuǎn)過程中，的大小是否改變，若不變寫出它的度數(shù)，若改變，寫出它的變化范圍（直接在答題卡上寫出結(jié)果，不必證明）； （2）探究與的面積的數(shù)量關(guān)系，寫出結(jié)論并加以證明 ABCD AC BD BACA 045FC DBAP E【練6】 （2021年延慶九上期末）已知：

14、ABC 是O 的內(nèi)接三角形，AB AC =，在BAC所對(duì)弧AC 上，任取一點(diǎn)D ，連接AD BD CD ，（1）如圖1，直接寫出ADB 的大?。ㄓ煤氖阶颖硎荆?；（2）如圖2，如果60BAC =?，求證：BD CD AD +=；（3）如圖3，如果120BAC =?，那么BD CD +與AD 之間的數(shù)量關(guān)系是什么？寫出猜測(cè)并加以證明；（4）如果，直接寫出BD CD +與AD 之間的數(shù)量關(guān)系. BAC =BAC =A圖1圖2圖3【練7】 （1)如圖，在四邊形中，分別是邊上的點(diǎn)，且求證：;(2) 如圖在四邊形中，分別是邊上的點(diǎn)，且， (1)中的結(jié)論是否仍然成立？不用證明(3) 如圖，在四邊形中，分別

15、是邊延長線上的點(diǎn)，且， (1)中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明 ABCD 90AB AD B D =?，E F 、BC CD 、12EAF =BAD EF BE FD =+ABCD 180AB AD B +D =?，E F 、BC CD 、12EAF BAD =ABCD AB AD =180B ADC +=?E F ，BC CD ，12EAF BAD =EFDCBAEFD CBAEFDCBA【練8】 小華遇到這樣一個(gè)問題，如圖1,ABC 中，ACB =30o，65BC AC =，在ABC內(nèi)部有一點(diǎn)P ，連接PA PB PC 、，求PA PB PC

16、 +的最小值小華是這樣思考的：要解決這個(gè)問題，首先應(yīng)想辦法將這三條端點(diǎn)重合于一點(diǎn)的線段分離，然后再將它們連接成一條折線，并讓折線的兩個(gè)端點(diǎn)為定點(diǎn)，這樣依據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”，就可以求出這三條線段和的最小值了他先后嘗試了翻折、旋轉(zhuǎn)、平移的方法，發(fā)現(xiàn)通過旋轉(zhuǎn)可以解決這個(gè)問題他的做法是，如圖2，將APC 繞點(diǎn)C 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60o，得到EDC ，連接PD BE 、，則BE 的長即為所求 （1）請(qǐng)你寫出圖2中，PA PB PC +的最小值為_； （2）參考小華的思考問題的方法，解決下列問題：如圖3，菱形ABCD 中，ABC =60o，在菱形ABCD 內(nèi)部有一點(diǎn)P ，請(qǐng)?jiān)趫D3中畫出并指明長度等于PA

17、PB PC +最小值的線段（保留畫圖痕跡，畫出一條即可）；若中菱形ABCD 的邊長為4，請(qǐng)直接寫出當(dāng)PA PB PC +值最小時(shí)PB 的長 B圖3ECB圖2CB圖1 【練9】 （2021年西城二模）在ABC ，BAC 為銳角，AB AC ，AD 平分BAC 交BC 于點(diǎn)D （1）如圖1，若ABC 是等腰直角三角形，直接寫出線段AC ，CD ，AB 之間的數(shù)量關(guān)系；（2）BC 的垂直平分線交AD 延長線于點(diǎn)E ，交BC 于點(diǎn)F 如圖2，若60ABE =?，判斷AC ，CE ，AB 之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系并加以證明； 【練10】 (2021年1月西城八年級(jí)期末試題附加題) 已知：如圖，MAN 為銳角，AD 平分MAN ，點(diǎn)B ，點(diǎn)C 分別在射線AM 和AN 上， AB AC =.（1）若點(diǎn)E 在線段CA 上，線段EC 的垂直平分線交直線AD 于點(diǎn)F ，直線BE 交直線AD 于點(diǎn)G ，求證：EBF CAG =；（2）若