高中數(shù)學(xué)第2課時(shí)分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用學(xué)案新人教A版選修2-3

1、小學(xué)+初中+高中第 2 課時(shí)分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.進(jìn)一步理解和掌握分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理(重點(diǎn))2.能根 據(jù)具體問(wèn)題的特征，選擇兩種計(jì)數(shù)原理解決一些實(shí)際問(wèn)題(重、難點(diǎn))3.會(huì)根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的 特征，合理地分類或分步(難點(diǎn)、易混點(diǎn))自 主 預(yù) 習(xí)探 新 知1分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理的區(qū)別和聯(lián)系(1) 聯(lián)系：分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理，回答的都是有關(guān)做一件事的不同方 法種數(shù)的問(wèn)題(2) 區(qū)別：分類加法計(jì)數(shù)原理針對(duì)的是分類問(wèn)題，其中各種方法相互獨(dú)立，用其中任何 一種方法都可以做完這件事分步乘法計(jì)數(shù)原理針對(duì)的是分步問(wèn)題，各個(gè)步驟中的方法相互

2、依存，只有各個(gè)步驟都完成之后才算做完這件事2應(yīng)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決計(jì)數(shù)問(wèn)題的標(biāo)準(zhǔn)(1) 分類要做到不重不漏，分類后再分別對(duì)每一類進(jìn)行計(jì)數(shù)，最后用分類加法計(jì)數(shù)原理 求和，得到總數(shù)(2) 分步要做到步驟完整，步與步之間要相互獨(dú)立，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，把完成每 一步的方法數(shù)相乘得到總數(shù)基礎(chǔ)自測(cè)1判斷(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1) 某校高一年級(jí)共 8 個(gè)班，高二年級(jí)共 6 個(gè)班，從中選一個(gè)班級(jí)擔(dān)任星期一早晨升旗 任務(wù)，安排方法共有 14 種 ( )(2) 在一次運(yùn)動(dòng)會(huì)上有四項(xiàng)比賽，冠軍在甲、乙、丙三人中產(chǎn)生，那么不同的奪冠情況共有 43種( )(3)有三只口袋裝有小球，一只裝有 5 個(gè)白色小球，

3、一只裝有 6 個(gè)黑色小球，一只裝有 7 個(gè)紅色小球，若每次從中取兩個(gè)不同顏色的小球，共有 36 種不同的取法解析 (1) 根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，擔(dān)任星期一早晨升旗任務(wù)可以是高一年級(jí)， 也可以是高二年級(jí)，因此安排方法共有 8614(種)(2) 因?yàn)槊總€(gè)項(xiàng)目中的冠軍都有 3 種可能的情況，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理共有 34 種 不同的奪冠情況(3) 分為三類：一類是取白球、黑球，有 5630 種取法；一類是取白球、紅球， 有 5735 種取法；一類是取黑球、紅球，有 6742 種取法所以由分類加法計(jì)數(shù)原理共有 303542107(種)不同的取法答案 (1) (2) (3)小學(xué)+初中+高中小學(xué)+初中+高

4、中2從集合1,2,3,4,5中任取 2 個(gè)不同的數(shù)，作為方程 axby0 的系數(shù) a，b 的值， 則形成的不同直線有( )a18 條c25 條b20 條d10 條a第一步，取 a 的值，有 5 種取法；第二步，取 b 的值，有 4 種取法，其中當(dāng) a1，b2 時(shí)與 a2，b4 時(shí)是相同的方程；當(dāng) a2，b1 時(shí)與 a4，b2 時(shí)是相同的方程， 故共有 54218 條3由 1,2,3,4 組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為_(kāi).【導(dǎo)學(xué)號(hào)：95032014】24 由題意知可以組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為 43224.4一個(gè)科技小組中有 4 名女同學(xué)，5 名男同學(xué)，從中任選一名同學(xué)參加學(xué)科競(jìng)賽，共

5、有不同的選派方法_種；若從中任選一名女同學(xué)和一名男同學(xué)參加學(xué)科競(jìng)賽，共有不 同的選派方法_種9 20由分類加法計(jì)數(shù)原理得從中任選一名同學(xué)參加學(xué)科競(jìng)賽共 549 種選派方法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理得從中任選一名女同學(xué)和一名男同學(xué)參加學(xué)科競(jìng)賽共 5420 種 選派方法合 作 探 究攻 重 難抽取與分配問(wèn)題在 7 名學(xué)生中，有 3 名會(huì)下象棋但不會(huì)下圍棋，有 2 名會(huì)下圍棋但不會(huì)下象棋， 另 2 名既會(huì)下象棋又會(huì)下圍棋現(xiàn)在從這 7 人中選 2 人分別同時(shí)參加象棋比賽和圍棋比賽， 共有多少種不同的選法？【導(dǎo)學(xué)號(hào)：95032015】思路探究 本題應(yīng)先分類，再分步確定分類標(biāo)準(zhǔn) 確定類數(shù) 逐類分步計(jì)算 結(jié)論解

6、法一：分四類：第1 類，從 3 名只會(huì)下象棋的學(xué)生中選 1 名參加象棋比賽，同時(shí) 從 2 名只會(huì)下圍棋的學(xué)生中選 1 名參加圍棋比賽，有選法 326(種)；第 2 類，從 3 名只會(huì)下象棋的學(xué)生中選 1 名參加象棋比賽，同時(shí)從 2 名既會(huì)下象棋又會(huì) 下圍棋的學(xué)生中選 1 名參加圍棋比賽，有選法 326(種)；第 3 類，從 2 名只會(huì)下圍棋的學(xué)生中選 1 名參加圍棋比賽，同時(shí)從 2 名既會(huì)下象棋又會(huì) 下圍棋的學(xué)生中選 1 名參加象棋比賽，有選法 224(種)；第 4 類，從2 名既會(huì)下象棋又會(huì)下圍棋的學(xué)生中各選 1 名分別參加象棋比賽和圍棋比賽， 有選法 212(種)故不同的選法共有 6642

7、18(種)小學(xué)+初中+高中小學(xué)+初中+高中法二：分兩類：第 1 類，從 3 名只會(huì)下象棋的學(xué)生中選 1 名參加象棋比賽，這時(shí) 7 人中 還有 4 人會(huì)下圍棋，從中選 1 名參加圍棋比賽有選法 3412(種)第 2 類，從 2 名既會(huì)下象棋又會(huì)下圍棋的學(xué)生中選一名參加象棋比賽，這時(shí) 7 人中還有 3 人會(huì)下圍棋，從中選 1 名參加圍棋比賽有選法 236(種)故不同的選法共有 126 18(種)規(guī)律方法 求解抽取(分配)問(wèn)題的方法1 當(dāng)涉及對(duì)象數(shù)目不大時(shí)，一般選用枚舉法、樹(shù)狀圖法、框圖法或者圖表法2 當(dāng)涉及對(duì)象數(shù)目很大時(shí)，一般有兩種方法：1 直接法：直接使用分類加法計(jì)數(shù)原理或分步乘法計(jì)數(shù)原理2 間

8、接法：去掉限制條件，計(jì)算所有的抽取方法數(shù)，然后減去所有不符合條件的抽取方 法數(shù)即可跟蹤訓(xùn)練13 個(gè)不同的小球放入 5 個(gè)不同的盒子，每個(gè)盒子至多放一個(gè)小球，共有多少種方法？ 解 法一：(以小球?yàn)檠芯繉?duì)象)分三步來(lái)完成：第一步：放第一個(gè)小球有 5 種選擇；第二步：放第二個(gè)小球有 4 種選擇；第三步：放第三個(gè)小球有 3 種選擇根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理得：共有方法數(shù) n54360.法二：(以盒子為研究對(duì)象)盒子標(biāo)上序號(hào) 1,2,3,4,5，分成以下 10 類：第一類：空盒子標(biāo)號(hào)為(1,2)：選法有 3216(種)；第二類：空盒子標(biāo)號(hào)為(1,3)：選法有 3216(種)；第三類：空盒子標(biāo)號(hào)為(1,4)：選

9、法有 3216(種)；分類還有以下幾種情況：空盒子標(biāo)號(hào)分別為(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)， (4,5)，共 10 類，每一類都有 6 種方法根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理得，共有方法數(shù) n66660(種)組數(shù)問(wèn)題用 0,1,2,3,4 這五個(gè)數(shù)字可以組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的：(1)四位密碼？(2)四 位數(shù)？(3)四位奇數(shù)？【導(dǎo)學(xué)號(hào)：95032016】思路探究 (1)利用分步乘法計(jì)數(shù)原理；(2)數(shù)字“0”不能排在首位，先排首位，再 用分步乘法計(jì)數(shù)原理；(3)注意到個(gè)位只能是“1 或 3”，首位不能是“0”，然后利用分步 乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算小學(xué)+初中+高中小學(xué)+初中+高

10、中解 (1)完成“組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位密碼”這件事，可以分為四步：第一步，選取左邊第一個(gè)位置上的數(shù)字，有 5 種選取方法；第二步，選取左邊第二個(gè)位 置上的數(shù)字，有 4 種選取方法；第三步，選取左邊第三個(gè)位置上的數(shù)字，有 3 種選取方法； 第四步，選取左邊第四個(gè)位置上的數(shù)字，有 2 種選取方法由分步乘法計(jì)數(shù)原理，可以組成不同的四位密碼共有 n5432120 個(gè)(2)直接法：完成“組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)”這件事，可以分四步：第一步，從 1,2,3,4 中選取一個(gè)數(shù)字作千位數(shù)字，有 4 種不同的選取方法；第二步，從 1,2,3,4 中剩余的三個(gè)數(shù)字和 0 共四個(gè)數(shù)字中選取一個(gè)數(shù)字作百位數(shù)字，有 4

11、種不同的選取 方法；第三步，從剩余的三個(gè)數(shù)字中選取一個(gè)數(shù)字作十位數(shù)字，有3 種不同的選取方法；第 四步，從剩余的兩個(gè)數(shù)字中選取一個(gè)數(shù)字作個(gè)位數(shù)字，有 2 種不同的選取方法由分步乘法計(jì)數(shù)原理，可以組成不同的四位數(shù)共有 n443296 個(gè)間接法：將 5 個(gè)數(shù)字不重復(fù)排在 4 個(gè)位置上有 5432120 種排法，其中不合要求 的有 43224 種排法所以排成無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)為 1202496 個(gè)(3)完成“組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)”這件事，可以分四步：第一步，定個(gè)位，只能 從 1,3 中任取一個(gè)有 2 種方法；第二步，定首位，把 1,2,3,4 中除去用過(guò)的一個(gè)還有 3 個(gè)可 任取一個(gè)有 3 種方

12、法；第三步，第四步把剩下的包括 0 在內(nèi)的還有 3 個(gè)數(shù)字先排百位有 3 種方法，再排十位有 2 種方法由分步乘法計(jì)數(shù)原理共有 233236 個(gè)規(guī)律方法1 對(duì)于組數(shù)問(wèn)題，一般按特殊位置(一般是末位和首位)由誰(shuí)占領(lǐng)分類，分類中再按特 殊位置(或者特殊元素)優(yōu)先的方法分步完成；如果正面分類較多，可采用間接法從反面求解2 解決組數(shù)問(wèn)題，應(yīng)特別注意其限制條件，有些條件是隱藏的，要善于挖掘排數(shù)時(shí)， 要注意特殊元素、特殊位置優(yōu)先的原則跟蹤訓(xùn)練28 張卡片上寫(xiě)著 0,1,2，7 共 8 個(gè)數(shù)字，取其中的三張卡片排放在一起(1) 可組成多少個(gè)不同的三位數(shù)？(2) 可組成多少個(gè)不同的三位偶數(shù)？解 (1)先排放百

13、位，從 1,2，7 共 7 個(gè)數(shù)中選一個(gè)有 7 種選法；再排十位，從除 去百位的數(shù)外，剩余的 7 個(gè)數(shù)(包括 0)中選一個(gè)，有 7 種取法；最后排個(gè)位，從除前兩步選 出的數(shù)外，剩余的 6 個(gè)數(shù)中選一個(gè)，有 6 種選法由分步乘法計(jì)數(shù)原理共可以組成 776 294(個(gè))不同的三位數(shù)(2)首先分兩類，第一類是 0 排個(gè)位，由分步乘法計(jì)數(shù)原理得 17642 個(gè)第二類是 2,4,6 排個(gè)位，由分步乘法計(jì)數(shù)原理得 366108 個(gè)，所以由分類加法計(jì) 數(shù)原理為 42108150 個(gè)小學(xué)+初中+高中小學(xué)+初中+高中探究問(wèn)題1用 3 種不同顏色填涂圖 111涂色與種植問(wèn)題中 a，b，c，d 四個(gè)區(qū)域，且使相鄰區(qū)

14、域不同色，若按從左到右依次涂色，有多少種不同的涂色方案？a b c圖 111d提示 涂 a 區(qū)有 3 種涂法，b，c，d 區(qū)域各有 2 種不同的涂法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理 將 a，b，c，d 四個(gè)區(qū)域涂色共有 322224(種)不同方案2在探究 1 中，若恰好用 3 種不同顏色涂 a，b，c，d 四個(gè)區(qū)域，那么哪些區(qū)域必同色？ 把四個(gè)區(qū)域涂色，共有多少種不同的涂色方案？提示 恰用 3 種不同顏色涂四個(gè)區(qū)域，則 a，c 區(qū)域，或 a，d 區(qū)域，或 b，d 區(qū)域必同色由分類加法計(jì)數(shù)原理可得恰用 3 種不同顏色涂四個(gè)區(qū)域共 321321 32118(種)不同的方案3在探究 1 中，若恰好用 2 種不同

15、顏色涂完四個(gè)區(qū)域，則哪些區(qū)域必同色？共有多少 種不同的涂色方案？提示 若恰好用 2 種不同顏色涂四個(gè)區(qū)域，則 a，c 區(qū)域必同色，且 b、d 區(qū)域必同色先從 3 種不同顏色中任取兩種顏色，共 3 種不同的取法，然后用所取的 2 種顏色涂四個(gè)區(qū)域共 2 種不同的涂法由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得恰好用 2 種不同顏色涂四個(gè)區(qū)域共有 326(種) 不同的涂色方案將紅、黃、綠、黑四種不同的顏色涂在如圖 112 個(gè)區(qū)域的顏色都不相同，則有多少種不同的涂色方法？所示的圖中，要求相鄰的兩【導(dǎo)學(xué)號(hào)：95032017】圖 112思路探究 給圖中區(qū)域標(biāo)上記號(hào) a，b，c，d，e，則 a 區(qū)域有 4 種不同的涂色方法，

16、b 區(qū)域有 3 種，c 區(qū)域有 2 種，d 區(qū)域有 2 種，但 e 區(qū)域的涂色取決于 b 與 d 涂的顏色，如 果 b 與 d 顏色相同有 2 種，如果不相同，那么只有 1 種因此應(yīng)先分類后分步解 法一：給圖中區(qū)域標(biāo)上記號(hào) a，b，c，d，e，如圖所示1 當(dāng) b 與 d 同色時(shí)，有 4321248 種2 當(dāng) b 與 d 不同色時(shí)，有 4321124 種故共有 482472 種不同的涂色方法法二：按涂色時(shí)所用顏色種數(shù)多少分類：小學(xué)+初中+高中小學(xué)+初中+高中第一類，用 4 種顏色此時(shí) b，d 區(qū)域或 a，e 區(qū)域同色，則共有 2432148 種不同涂法第二類，用 3 種顏色此時(shí) b，d 同色，a

17、，e 同色，先從 4 種顏色中取 3 種，再涂色， 共 432124 種不同涂法由分類加法計(jì)數(shù)原理共 482472 種不同涂法母題探究：1.如圖 113所示，一環(huán)形花壇分成 a，b，c，d 四塊，現(xiàn)有 4 種不同的花供選種，要求在每塊里種 1 種花，且相鄰的 2 塊種不同的花，則不同的種法總數(shù)為( )a96c60圖 113b84d48b 法一：分為兩類第一類：當(dāng)花壇 a、c 中花相同時(shí)有 431336 種第二類：當(dāng)花壇 a、c 中花不同時(shí)有 432248 種共有 364884 種，故選 b.法二：分為四步第一步：考慮 a，有 4 種；第二步：考慮 b，有 3 種；第三步：考慮 c，有兩類，一是

18、 a 與 c 同，c 的選法有 1 種，這樣第四步 d 的選法有 3 種二是 a 與 c 不同，c 的選法是 2 種，此時(shí)第四步 d 的選法也是 2 種共有 43(1322)84(種)規(guī)律方法 求解涂色(種植)問(wèn)題一般是直接利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理求解，常用方法有： (1)按區(qū)域的不同以區(qū)域?yàn)橹鞣植接?jì)數(shù)，用分步乘法計(jì)數(shù)原理分析；(2) 以顏色(種植作物)為主分類討論，適用于“區(qū)域、點(diǎn)、線段”問(wèn)題，用分類加法計(jì) 數(shù)原理分析；(3) 對(duì)于涂色問(wèn)題將空間問(wèn)題平面化，轉(zhuǎn)化為平面區(qū)域涂色問(wèn)題跟蹤訓(xùn)練3.將 3 種作物種植在如圖 114所示的 5 塊試驗(yàn)田里，每塊種植一種作物且相鄰的試驗(yàn)田不能種植同一種作物，不同的種植方法共有多少種？小學(xué)+初中+高中小學(xué)+初中+高中圖 114解 從左往右 5 塊試驗(yàn)田分別有 3,2,2,2,2 種種植方法，共有 3222248 種方法，其中 5 塊試驗(yàn)田只種植 2 種作物共有 321116 種方法，所以有 486 42 種不同的種植方法當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)固 雙 基1定義集合 a 與 b 的運(yùn)算 a b 如下：a b(x，y)|xa，yb，若 aa，b，c， ba，c，d，e，則集合 a b 的元素個(gè)數(shù)為( )a34 b43 c12 d16c確定 ab 中元素(x，y)，可分為兩步，第一步，確定x，共有 3 種方法；第二步，確定 y，