概率論與數(shù)理統(tǒng)計03-第三節(jié)-條件概率與全概率公式

1、第三節(jié)條件概率與全概率公式先由一個簡單的例子引入條件概率的概念內(nèi)容分布圖示概念引入條件概率的定義乘法公式例1例2例4例5例6例3全概率公式例7例8例9貝葉斯公式例10例11例12例13例14內(nèi)容小結(jié)課堂練習(xí)習(xí)題1-4內(nèi)容要點：一、條件概率的概念在解決許多概率問題時，往往需要在有某些附加信息(條件)下求事件的概率如在事 件A發(fā)生的條件下，求事件B發(fā)生的條件概率，記作P(B|A).定義1設(shè)A,B是兩個事件,且P(A) 0，則稱P(B|A)P(AB)=P(A)(1)為在事件A發(fā)生的條件下，事件B的條件概率相應(yīng)地，把P(B)稱為無條件概率。一般地，P(B | A) -P(B).注：1.用維恩圖表達(1

2、)式若事件A已發(fā)生，則為使B也發(fā)生，試驗結(jié)果必須是既在 A中 又在B中的樣本點，即此點必屬于 AB .因已知A已發(fā)生，故A成為計算條件概率P(B|A)新的樣本空間2.計算條件概率有兩種方法：a) 在縮減的樣本空間 A中求事件B的概率，就得到 P(B | A)；b) 在樣本空間S中，先求事件P(AB)和P(A)，再按定義計算 P(B|A)。二、乘法公式由條件概率的定義立即得到：P(AB) =P(A)P(B | A) (P(A) 0)注意到AB =BA，及A，B的對稱性可得到：P(AB)二P(B)P(A| B) (P(B) 0)和(3)式都稱為 乘法公式，利用它們可計算兩個事件同時發(fā)生的概率三、全

3、概率公式全概率公式是概率論中的一個基本公式。它使一個復(fù)雜事件的概率計算問題，可化為在不同情況或不同原因或不同途徑下發(fā)生的簡單事件的概率的求和問題。定理1設(shè)A，凡,，An，是一個完備事件組，且P(A)Oi=1,2,，則對任一事件B,有P(B)=P(AjP(B| AM卜 P(An)P(BlAj 注：全概率公式可用于計算較復(fù)雜事件的概率，公式指出：在復(fù)雜情況下直接計算P(B)不易時，可根據(jù)具體情況構(gòu)造一組完備事件,使事件B發(fā)生的概率是各事件A(i ,2，)發(fā)生條件下引起事件 B發(fā)生的概率的總和四、貝葉斯公式利用全概率公式，可通過綜合分析一事件發(fā)生的不同原因、情況或途徑及其可能性來求得該事件發(fā)生的概率

4、下面給出的貝葉斯公式則考慮與之完全相反的問題，即，一事件已經(jīng)發(fā)生，要考察該事件發(fā)生的各種原因、情況或途徑的可能性例如，有三個放有不同數(shù)量和顏色的球的箱子，現(xiàn)從任一箱中任意摸出一球，發(fā)現(xiàn)是紅球，求該球是取自1號箱的概率或問:該 球取自哪號箱的可能性最大 ？定理2設(shè)A，A2,，代,是一完備事件組，則對任一事件B,P(B) 0,有P(A |B)=P(A B)P(bTP(Ai)P(B|Ai) P(Aj)P(B| Aj) ji =1,2/ ,貝葉斯公式注：公式中，P(A)和P(A | B)分別稱為原因的 驗前概率 和驗后概率 P(AJ(i =1,2，)是 在沒有進一步信息(不知道事件B是否發(fā)生)的情況下

5、諸事件發(fā)生的概率當獲得新的信息(知道B發(fā)生),人們對諸事件發(fā)生的概率P(A |B)有了新的估計貝葉斯公式從數(shù)量上刻劃了這種變化特別地若取n =2,并記A = A ,則A2 = A，于是公式成為P(A|B)=Pp(a)p(B|P(B) P(A)P(B |A) +P(A)P(B| A)例題選講：條件概率例1 (講義例1) 一袋中裝有10個球，其中3個黑球，7個白球，先后兩次從袋中各取一 球(不放回)(1) 已知第一次取出的是黑球，求第二次取出的仍是黑球的概率；(2) 已知第二次取出的是黑球，求第一次取出的也是黑球的概率解 記Ai為事件 第i次取到的是黑球”(i =1,2).(1) 在已知A1發(fā)生，

6、即第一次取到的是黑球的條件下，第二次取球就在剩下的2個黑球、7個白球共9個球中任取一個，根據(jù)古典概率計算，取到黑球的概率為2/9,即有P(A2| A) =2/9(2) 在已知A2發(fā)生，即第二次取到的是黑球的條件下，求第一次取到黑球的概率但第一次取球發(fā)生在第二次取球之前，故問題的結(jié)構(gòu)不像(1)那么直觀.我們可按定義計算 P(A| | A?)更方便一些由 P(A|A2)=P32P2115p(A2)嗚=,P(A IA2)二P(AiA2)P(A2)例2(講義例2)袋中有5個球，其中3個紅球2個白球現(xiàn)從袋中不放回地連取兩個已知第一次取得紅球時，求第二次取得白球的概率解法1 設(shè)A表示 第一次取得紅球”，B

7、表示 第二次取得白球”，依題意要求P(B| A).縮減樣本空間 a中的樣本點數(shù)，即第一次取得紅球的取法為p3p4，其中，第二次取得白球的取法有P3P2種，所以P(B|A) =_密=丄p3p42也可以直接用公式(1)計算，因為第一次取走了一個紅球，袋中只剩下4個球，其中有兩個白球，再從中任取一個，取得白球的概率為 2/4,所以P(B| A) 2/4 1/2.解法2 設(shè)A表示 第一次取得紅球”，B表示 第二次取得白球”，求P(B | A).在5個球中不放回連取兩球的取法有F52種，其中，第一次取得紅球的取法有P3P4種，第一次取得紅球第二次取得白球的取法有p3p2種，所以P(A)二p3p42W，P

8、(AB)P3P21P5210由定義得 P(B | A) =P(AB)二3!0 JP(A) 3/52乘法公式例3 (講義例3) 一袋中裝10個球，其中3個黑球、7個白球，先后兩次從中隨意各取一球(不放回)，求兩次取到的均為黑球的概率 分析：這一概率，我們曾用古典概型方法計算過，這里我們使用乘法公式來計算在本例中，問題本身提供了兩步完成一個試驗的結(jié)構(gòu)，這恰恰與乘法公式的形式相應(yīng)，合理地利用問題本身的結(jié)構(gòu)來使用乘法公式往往是使問題得到簡化的關(guān)鍵解 設(shè)A表示事件 第i次取到的是黑球”(i =1,2)，則A1 A2表示事件 兩次取到的均為黑球”.由題設(shè)知P(AJ 3，p(a2|A)=2109于是根據(jù)乘法

9、公式，有P(A A2)二P(A1)P(A2| A)-10 915例4設(shè)袋中裝有r只紅球，t只白球每次自袋中任取一只球，觀察其顏色然后放回，并再放入a只與所取出的那只球同色的球若在袋中連續(xù)取球四次，試求第一，二次取到紅球且第三，四次取到白球的概率.解以Aj(i =1,2,3,4)表示事件 第i次取到紅球”，則A3,A4分別表示事件第三、四次取到白球所求概率為卩3上2瓦3瓦4)=P(Ai) P(A2|A0 P(A3|Aia2)P(A4|AAA3)_ r r a tt ar t r t a r t 2a r t 3a.例5 (講義例4)設(shè)某光學(xué)儀器廠制造的透鏡，第一次落下時打破的概率為 1/2,若第

10、- 次落下未打破，第二次落下打破的概率為 7/10,若前兩次落下未打破，第三次落下打破的概 率為9/10.試求透鏡落下三次而未打破的概率解 以A (i =1,2,3)表示事件透鏡第i次落下打破”，B表示事件透鏡落下三次而未打破”.為B二A,A2A3,故有P(B)北(人入2耳)=P(A)P(A2 IA1)P(A3lAAj2 10 10 200.例 6 已知 P(A) =0.3, P(B) =0.4， P(A|B)=0.5,試求 P(B| A B), P(A B | A B).因此 P(B | A)二 P(AB) n02P(A) 0.3P(B| A B)二P(B(A B)P(A B)解由乘法公式，

11、P(AB) =P(A|B)P(B) =0.5 0.4 =0.2, =2,又因為B二A B,所以B(A B)二B,從而3P(B)044P(AB) _10.23P(A B) - 一 0.5 一 5P(A) P(B) - P(AB) 0.3 0.4 -0.2 5P(A B | A B) =P(AB|A B)=1_P(AB|A B) =1例7 一袋中裝有10個球，其中3個黑球、7個白球，從中先后隨意各取一球(不放回) ， 求第二次取到的是黑球的概率 .解 這一概率，我們前面在古典概型中已計算過，這里我們用一種新的方法來計算將事件 第二次取到的是黑球”根據(jù)第一次取球的情況分解成兩個互不相容的部分，分別計

12、算其概率，再求和.記A, B為事件 第一、二次取到的是黑球”，則有P(B)二P(AB) P(AB)= P(A)P(B| A) P(A)P(B| A)3723由題設(shè)易知 P(A) , P(A) , P(B |A), P(B| A) ,101099于是 P(B) 3 2 3310 9 10 9 10全概率公式例8 (講義例5)人們?yōu)榱私庖恢Ч善蔽磥硪欢〞r期內(nèi)價格的變化，往往會去分析影響股票價格的基本因素，比如利率的變化.現(xiàn)假設(shè)人們經(jīng)分析估計利率下調(diào)的概率為60%,利率不變的概率為 40%.根據(jù)經(jīng)驗，人們估計，在利率下調(diào)的情況下，該支股票價格上漲的概率 為80%，而在利率不變的情況下，其價格上漲的概

13、率為 40%,求該支股票將上漲的概率.解 記A為事件 利率下調(diào)”，那么A即為 利率不變”，記B為事件 股票價格上漲” 依題設(shè)知 P(A) =60%，P(A) =40%，P(B|A) =80%，P(B|A) =40%，于是P(B) =P(AB) P(AB) =P(A)P(B| A) P(A)P(B| A) =60% 80% 40% 40% =64%.例9某商店收進甲廠生產(chǎn)的產(chǎn)品30箱，乙廠生產(chǎn)的同種產(chǎn)品20箱，甲廠每箱裝100個，廢品率為0.06,乙廠每箱裝120個，廢品率為0.05,求：(1) 任取一箱，從中任取一個為廢品的概率；(2) 若將所有產(chǎn)品開箱混放，求任取一個為廢品的概率.解 記事件

14、A、B分別為甲、乙兩廠的產(chǎn)品，C為廢品，貝U303202 P(A), P(B), P(C | A) =0.06, P(C |B) =0.05505505由全概率公式，得 P(C) =P(A)P(C |A) P(B)P(C|B) =0.056(2) P(A)二30 和 0030 100 20 120P(B)二20 心2030 100 20 120P(C |A) =0.06, P(C | B) =0.05由全概率公式，得 P(C) =P(A)P(C|A) P(B)P(C|B) ： 0.056.例10 一袋中有10個球，其中3個黑球，7個白球，從中先后隨意各取一球(不放回),假設(shè)已知二次取到的球為黑

15、球，求 第一次取到的也是黑球”的概率.解 設(shè) 第一次取到的是黑球”這一事件為A,第二次取到的是黑球 ”這一事件為B,則問題歸結(jié)為求條件概率P(A|B).根據(jù)貝葉斯公式，有P(A|B)二P(A)P(B| A)P(A)P(B|A) P(A)P(B | A)據(jù)題涉及例7的結(jié)果易知P(A) =3/10, P(B | A) =2/9, P(A) =7/10, P(B | A) =2/9,從而P(A(3/10)爲囂爲(3/9)例11 (講義例6)對以往數(shù)據(jù)分析結(jié)果表明，當機器調(diào)整得良好時，產(chǎn)品的合格率為 98%,而當機器發(fā)生某種故障時 ，其合格率為55%.每天早上機器開動時，機器調(diào)整良好的 概率為95%.

16、試求已知某日早上第一件產(chǎn)品是合格時 ，機器調(diào)整得良好的概率是多少 ？解 設(shè)A為事件 產(chǎn)品合格”，B為事件 機器調(diào)整良好”.P(A|B) =0.98, P(A| B) =0.55, P(B) =0.95, P(B)=0.05,所求的概率為 P(B|A) =P(A|B)P(B)_一一 =0.97.P(A|B)P(B) +P(A|B)P(B)這就是說，當生產(chǎn)出第一件產(chǎn)品是合格時，此時機器調(diào)整良好的概率為0.97.這里，概率0.95是由以往的數(shù)據(jù)分析得到的，叫做先驗概率而在得到信息(即生產(chǎn)的第一件產(chǎn)品是合格品)之后再重新加以修正的概率(即0.97)叫做 叫做后驗概率例12 設(shè)某批產(chǎn)品中,甲，乙 丙三廠

17、生產(chǎn)的產(chǎn)品分別占45%, 35%, 20%,各廠的產(chǎn)品的次品率分別為4%, 2%, 5%,現(xiàn)從中任取一件，(1) 求取到的是次品的概率；(2) 經(jīng)檢驗發(fā)現(xiàn)取到的產(chǎn)品為次品，求該產(chǎn)品是甲廠生產(chǎn)的概率.解 記事件A :該產(chǎn)品是次品”，事件A :該產(chǎn)品為乙廠生產(chǎn)的”，事件A3 :該產(chǎn)品為 丙廠生產(chǎn)的”，事件B:該產(chǎn)品是次品”.由題設(shè)，知P(A)=45%, P(A2)=35%, P(A3)=20%, P(B|Ai)=4%, P(B|A2)=2%, P(B|A3)=5%,3(1) 由全概率公式得 P(B)=瓦P(A)P(B|A) =3.5%.i A(2) 由貝葉斯公式(或條件概率定義)，得卩=嗨=比凹空

18、51.4%.P(B) P(B)例13根據(jù)以上的臨床記錄，某種診斷癌癥的是眼睛有如下的效果：若以A表示事件“試驗反應(yīng)為陽性”，以C表示事件“被診斷者患有癌癥”，則有P(A|C) =0.95, P(A|C) =0.95 現(xiàn)在對自然人群進行普查，設(shè)備試驗的人患有癌癥的概率為0.005,即P(C) =0.005，試求P(C|A).解由題設(shè)，有P(C) =1 - P(C) =0.995, P( A| C) =1 - P(A |C) =0.05,由貝葉斯公式，得 P(C| A)P(A|C)P(C)0.087.P(A|C)P(C) +P(A|C)P(C)注：本題表明，雖然P(A|C) =0.95, P(A|C) =0.95,這兩個概率都比較高，但P(C |A) =0.087,即平均1000個具有陽性反應(yīng)的人中大約只有87人確患癌癥.例14 8支步槍中有5支已校準過，3支未校準.一名射手用校準過的槍射擊時 ，中靶的 概率為0.8;用未校準的槍射擊