能控和能觀標(biāo)準(zhǔn)型

1、能控性和能觀性,在現(xiàn)代控制理論中，能控性和能觀性是兩個重要的概念，它是卡爾曼(kalman)在1960年提出的，是最優(yōu)控制和最優(yōu)估計的設(shè)計基礎(chǔ)。,能觀性針對的是系統(tǒng)狀態(tài)空間模型中的狀態(tài)x的能觀測性，它反映系統(tǒng)的內(nèi)部狀態(tài)x（通常是不可以直接測量的）被系統(tǒng)的輸出量y(t)（通常是可以直接測量的）所反映的能力。,能控性嚴(yán)格上說有兩種，一種是系統(tǒng)控制輸入u(t)對系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)x(t)的控制能力，另一種是控制輸入u(t)對系統(tǒng)輸出y(t)的控制能力。但是一般沒有特別指明時，指的都是狀態(tài)x的能控性。,1.能控性的定義,線性連續(xù)定常系統(tǒng)的能控性定義,在有限時間段t0, tf內(nèi),通過改變u，若能使x,由任意初

2、態(tài) x(t0)轉(zhuǎn)移到終態(tài)x(tf)0，則稱系統(tǒng)狀態(tài)完全能控。反之，只要有一個狀態(tài)不能控，就稱系統(tǒng)不能控。,若在有限時間t0, tf內(nèi),通過改變u，能使x,由初態(tài) x(t0)0轉(zhuǎn)移到終態(tài)x(tf)為任意值，則稱系統(tǒng)狀態(tài)完全能達(dá)。,2.能觀性定義,在有限的時間段t0，tf 內(nèi), 通過觀測 y能唯一確定系統(tǒng)全部初始狀態(tài) x(t0)，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)完全能觀測的。,若在有限時間段t0，tf 內(nèi), 通過觀測 y能唯一確定系統(tǒng)全部終端狀態(tài) x(tf )，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)完全能檢測的。,對線性定常連續(xù)系統(tǒng)，能觀性與能檢性是完全等價的。,3.能控標(biāo)準(zhǔn)型與能觀標(biāo)準(zhǔn)型,一.單輸入系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)型,1.能控標(biāo)準(zhǔn)型,將系

3、統(tǒng)變成能控型,其中,【例3-12】試將狀態(tài)空間表達(dá)式變換成能控標(biāo)準(zhǔn)型,2.能控標(biāo)準(zhǔn)型,將系統(tǒng)變成能控型,其中,【例3-13】試將狀態(tài)空間表達(dá)式變換成能控標(biāo)準(zhǔn)型,計算,二.單輸出系統(tǒng)的能觀標(biāo)準(zhǔn)型,1.能觀標(biāo)準(zhǔn)型,若s(a b c)是能觀的,則通過 將s(a b c)化為能觀型,【例3-14】試將狀態(tài)空間表達(dá)式變換成能觀標(biāo)準(zhǔn)型,和例3-13求得的能控型相比較,可知兩者之間互為對偶。,能觀型,能觀型 與能控 型 相對偶,能控 型,能觀型,2.能觀標(biāo)準(zhǔn)型,其中,若s(a b c)是能觀的,則通過 將s(a b c)化為能觀型,能觀型,與能控型相比較,可知兩者之間互為對偶。,和能控型一樣，根據(jù)能觀型，也

4、可直接寫出傳遞函數(shù)：,例3-14 試將狀態(tài)空間表達(dá)式變換成能觀標(biāo)準(zhǔn)型,直接寫出,計算,能觀型,和例3-12求得的能控型相比較,可知兩者之間互為對偶。,能控 型,能觀型,能觀型 與能控 型 相對偶,能控型 與能觀型 相對偶,4.傳遞函數(shù)矩陣的實(shí)現(xiàn)問題,一.實(shí)現(xiàn)問題的基本概念 對于給定的傳遞函數(shù)陣w(s)，若有一狀態(tài)空間表達(dá)式 s：,使其滿足,則稱該狀態(tài)空間表達(dá)式s為傳遞函數(shù)陣w(s)的一個實(shí)現(xiàn)。,(1)傳函陣w(s)中的每個元wik(s)(i=1,2m;k=1,2, r)的分子分母多項(xiàng)式的系數(shù)均為實(shí)常數(shù)。,(2) w(s)中的每個元素wik(s)均為s的真有理分式,nm 當(dāng)nm時，對應(yīng) d=0

5、當(dāng)n=m時, 對應(yīng),根據(jù)嚴(yán)格真有理分式傳遞函數(shù)陣 c(si -a)-1b =w(s) - d尋求形式為s(a,b,c)的實(shí)現(xiàn)。,需指出,并不是任意一個w(s)陣都能找到實(shí)現(xiàn)，它必須滿足物理可實(shí)現(xiàn)條件，即,將w(s)化為嚴(yán)格 的真有理分式。,解 根據(jù)式(3-126)得,二. 系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn),其能控標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn),1.單變量系統(tǒng),其能觀標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn),2. 多變量系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn),對具有個r 輸入和m個輸出的多變量系統(tǒng)，可把mr 維的傳遞函數(shù)陣w(s)寫成和單變量系統(tǒng)相類似的形式，即,分母多項(xiàng)式該傳遞函數(shù)陣的特征多項(xiàng)式。,能控標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn),能觀標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn),例3-18 試求的能控標(biāo)準(zhǔn)型和能觀標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn),r

6、=2 m =2 n =3,3.將系數(shù)代入式(3-128) (3-130),得能控標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn),能控標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn),4.能觀標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn),三. 最小實(shí)現(xiàn),1. 定義 設(shè)w(s)的一個實(shí)現(xiàn)為,如果w(s)不存在其它實(shí)現(xiàn),2.尋求最小實(shí)現(xiàn)的步驟,(1)先求w(s)的能控標(biāo)準(zhǔn)型(或能觀標(biāo)準(zhǔn)型)實(shí)現(xiàn), (若r m采用能控實(shí)現(xiàn);若m r采用能觀實(shí)現(xiàn))。 再判斷其能觀性(或能控性 ),若為能控又能觀,則 s(a b c)便是最小實(shí)現(xiàn)。 (2)否則的話,對以上s(a b c)進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解,找出 既能控又能觀的子系統(tǒng) ,從而得到最 小實(shí)現(xiàn)。,m r采用能觀實(shí)現(xiàn) anm=3 , 若用能控 anr=6,【例3-19】試求w

7、(s)的最小實(shí)現(xiàn)。,能觀標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn) m = 1 n =3,【例3-20 】試求下列傳遞函數(shù)陣的最小實(shí)現(xiàn)。,解 1.先將w(s)化為嚴(yán)格的真有理分式,并寫出 能控標(biāo)準(zhǔn)型。,r =2 m =2 n =3,由例3-18，得能控標(biāo)準(zhǔn)型,所以該能控標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)不是最小實(shí)現(xiàn)。為此必須按能觀性進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解。,3. 根據(jù)式(3-114)構(gòu)造變換陣 ,將系統(tǒng)按能觀性進(jìn)行分解。,2. 判斷能控標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)的狀態(tài)是否完全能觀測。,3. 根據(jù)式(3-114)構(gòu)造變換陣 ,將系統(tǒng)按能觀性進(jìn)行分解。取,于是得變換后的各矩陣,據(jù)上列am , bm , cm , d求系統(tǒng)傳遞函數(shù)陣，則可檢驗(yàn)所得結(jié)果。,4. 檢驗(yàn)所得結(jié)果,當(dāng)系統(tǒng)階數(shù)等于w(s)陣的階數(shù)時，稱該系統(tǒng)為w(s)的一個最小實(shí)現(xiàn)。,3-10 能控性、能觀性與傳遞函數(shù)陣的關(guān)系,單輸入單輸出系統(tǒng)s(a, b, c),定理：系統(tǒng)s(a, b, c)能控又能觀的充要條件是 w(s)中沒有零點(diǎn)、極點(diǎn)對消。,由上述定理可得以下兩個結(jié)論: (1)w(s)表示的是該系統(tǒng)既能控又能觀的那一部分 子系統(tǒng)。 (2) w(s)中若有零、極點(diǎn)對消，則視狀態(tài)變量的選擇不同，系統(tǒng)或是不能控,或是不能觀;或是既不能控又不能觀。,例 設(shè)系統(tǒng)傳遞函數(shù)