(2021年整理)2009年全國高考理科數學試題及答案-全國2卷

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2、及答案（全國卷）一、選擇題：1。 a. b。 c. d。 解：原式。故選a。2. 設集合，則=a. b. c。 d. 解：。.故選b.3。 已知中， 則a. b. c. d。 解:已知中，。 故選d.4.曲線在點處的切線方程為a。 b. c. d。 解:,故切線方程為,即 故選b.5. 已知正四棱柱中，為中點，則異面直線與所成的角的余弦值為a. b。 c。 d. 解：令則,連 異面直線與所成的角即與所成的角.在中由余弦定理易得。故選c6. 已知向量，則a. b。 c。 d. 解：.故選c7. 設，則a。 b. c. d. 解: 。故選a。8。 若將函數的圖像向右平移個單位長度后，與函數的圖像重

3、合，則的最小值為a b. c。 d. 解:,又.故選d9. 已知直線與拋物線相交于兩點，為的焦點，若,則a. b. c。 d。 解：設拋物線的準線為直線 恒過定點p 。如圖過分 別作于，于, 由，則，點b為ap的中點.連結,則， 點的橫坐標為， 故點的坐標為， 故選d10。 甲、乙兩人從4門課程中各選修2門。則甲、乙所選的課程中至少有1門不相同的選法共有a。 6種 b. 12種 c. 30種 d. 36種解：用間接法即可。種. 故選c11。 已知雙曲線的右焦點為，過且斜率為的直線交于兩點，若，則的離心率為m a b. c. d。 解：設雙曲線的右準線為,過分 別作于，于， ，由直線ab的斜率為

4、，知直線ab的傾斜角為,由雙曲線的第二定義有.又 故選a12。紙制的正方體的六個面根據其方位分別標記為上、下、東、南、西、北。現有沿該正方體的一些棱將正方體剪開、外面朝上展平，得到右側的平面圖形，則標“的面的方位是a. 南 b. 北c. 西 d。 下解：展、折問題。易判斷選b第ii卷（非選擇題,共90分)二、填空題：本大題共4小題,每小題5分,共20分。把答案填在答題卡上。13. 的展開式中的系數為 6 。解：,只需求展開式中的含項的系數：14. 設等差數列的前項和為，若則 9 。解：為等差數列,15.設是球的半徑，是的中點,過且與成45角的平面截球的表面得到圓。若圓的面積等于，則球的表面積等

5、于 。解：設球半徑為,圓的半徑為, 因為。由得.故球的表面積等于.16. 已知為圓：的兩條相互垂直的弦，垂足為，則四邊形的面積的最大值為 。解：設圓心到的距離分別為，則.四邊形的面積三、解答題：本大題共6小題,共70分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟17(本小題滿分10分）設的內角、的對邊長分別為、，,，求。分析:由，易想到先將代入得然后利用兩角和與差的余弦公式展開得;又由，利用正弦定理進行邊角互化，得，進而得.故。大部分考生做到這里忽略了檢驗,事實上,當時,由，進而得，矛盾，應舍去。也可利用若則從而舍去。不過這種方法學生不易想到。評析：本小題考生得分易，但得滿分難。18(本小題滿分1

6、2分） 如圖,直三棱柱中，、分別為、的中點，平面（i）證明:(ii）設二面角為60，求與平面所成的角的大小。（i）分析一：連結be，為直三棱柱， 為的中點,.又平面，(射影相等的兩條斜線段相等）而平面，(相等的斜線段的射影相等）。分析二：取的中點，證四邊形為平行四邊形，進而證,，得也可.分析三：利用空間向量的方法。具體解法略.（ii）分析一：求與平面所成的線面角,只需求點到面的距離即可。作于，連，則，為二面角的平面角，。不妨設,則.在中，由，易得. 設點到面的距離為,與平面所成的角為。利用,可求得，又可求得 即與平面所成的角為分析二：作出與平面所成的角再行求解。如圖可證得，所以面.由分析一易知

7、:四邊形為正方形,連,并設交點為，則，為在面內的射影。.以下略。分析三：利用空間向量的方法求出面的法向量，則與平面所成的角即為與法向量的夾角的余角。具體解法詳見高考試題參考答案.總之在目前，立體幾何中的兩種主要的處理方法:傳統方法與向量的方法仍處于各自半壁江山的狀況。命題人在這里一定會兼顧雙方的利益.19（本小題滿分12分)設數列的前項和為 已知(i）設，證明數列是等比數列（ii）求數列的通項公式.解：(i)由及,有由， 則當時，有得又，是首項，公比為的等比數列（ii)由（i)可得，數列是首項為，公差為的等比數列， 評析：第（i）問思路明確,只需利用已知條件尋找第（ii)問中由（i)易得,這個

8、遞推式明顯是一個構造新數列的模型：,主要的處理手段是兩邊除以總體來說，09年高考理科數學全國i、這兩套試題都將數列題前置,主要考查構造新數列(全國i還考查了利用錯位相減法求前n項和的方法），一改往年的將數列結合不等式放縮法問題作為押軸題的命題模式。具有讓考生和一線教師重視教材和基礎知識、基本方法基本技能，重視兩綱的導向作用.也可看出命題人在有意識降低難度和求變的良苦用心。20(本小題滿分12分）某車間甲組有10名工人，其中有4名女工人;乙組有5名工人，其中有3名女工人，現采用分層抽樣方法（層內采用不放回簡單隨機抽樣）從甲、乙兩組中共抽取3名工人進行技術考核。(i）求從甲、乙兩組各抽取的人數；（

9、ii）求從甲組抽取的工人中恰有1名女工人的概率；（iii)記表示抽取的3名工人中男工人數，求的分布列及數學期望.分析：(i）這一問較簡單，關鍵是把握題意，理解分層抽樣的原理即可。另外要注意此分層抽樣與性別無關。(ii）在第一問的基礎上，這一問處理起來也并不困難。 從甲組抽取的工人中恰有1名女工人的概率(iii）的可能取值為0，1,2，3，,分布列及期望略。評析:本題較常規(guī)，比08年的概率統計題要容易.在計算時，采用分類的方法，用直接法也可，但較繁瑣，考生應增強靈活變通的能力。21（本小題滿分12分） 已知橢圓的離心率為,過右焦點f的直線與相交于、兩點,當的斜率為1時，坐標原點到的距離為 （i）

10、求，的值； （ii）上是否存在點p，使得當繞f轉到某一位置時，有成立?若存在,求出所有的p的坐標與的方程;若不存在，說明理由。解:（i)設，直線，由坐標原點到的距離為 則,解得 .又。(ii)由（i）知橢圓的方程為。設、由題意知的斜率為一定不為0，故不妨設 代入橢圓的方程中整理得,顯然。由韋達定理有：。假設存在點p，使成立，則其充要條件為：點，點p在橢圓上，即。整理得.又在橢圓上，即.故將及代入解得，=，即。當;當.評析:處理解析幾何題，學生主要是在“算”上的功夫不夠。所謂“算”，主要講的是算理和算法。算法是解決問題采用的計算的方法，而算理是采用這種算法的依據和原因,一個是表，一個是里,一個是現象,一個是本質。有時候算理和算法并不是截然區(qū)分的。例如：三角形的面積是用底乘高的一半還是用兩邊與夾角的正弦的一半，還是分割成幾部分來算？在具體處理的時候，要根據具體問題及題意邊做邊調整,尋找合適