蘇教版高中數(shù)學(xué)《三角恒等變換》教學(xué)設(shè)計(jì)及習(xí)題

1、第三章 三角恒等變換一、課標(biāo)要求：本章學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容是兩角和與差的正弦、余弦、和正切公式，以及運(yùn)用這些公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的恒等變換.三角恒等變換位于三角函數(shù)與數(shù)學(xué)變換的結(jié)合點(diǎn)上.通過(guò)本章學(xué)習(xí)，要使學(xué)生在學(xué)習(xí)三角恒等變換的基本思想和方法的過(guò)程中，發(fā)展推理能力和運(yùn)算能力，使學(xué)生體會(huì)三角恒等變換的工具性作用，學(xué)會(huì)它們?cè)跀?shù)學(xué)中的一些應(yīng)用.1. 了解用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式的過(guò)程，進(jìn)一步體會(huì)向量方法的作用；2. 理解以兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系；3. 運(yùn)用上述公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的恒等變換，以引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)半角公式，積化和差、和差化

2、積公式（不要求記憶）作為基本訓(xùn)練，使學(xué)生進(jìn)一步提高運(yùn)用轉(zhuǎn)化的觀點(diǎn)去處理問(wèn)題的自覺(jué)性，體會(huì)一般與特殊的思想，換元的思想，方程的思想等數(shù)學(xué)思想在三角恒等變換中的應(yīng)用.二、編寫(xiě)意圖與特色1. 本章的內(nèi)容分為兩節(jié)：“兩角和與差的正弦、余弦和正切公式”，“簡(jiǎn)單的三角恒等變換”，在學(xué)習(xí)本章之前我們學(xué)習(xí)了向量的相關(guān)知識(shí)，因此作者的意圖是選擇兩角差的余弦公式作為基礎(chǔ)，運(yùn)用向量的知識(shí)來(lái)予以證明，降低了難度，使學(xué)生容易接受；2. 本章是以兩角差的余弦公式作為基礎(chǔ)來(lái)推導(dǎo)其它的公式；3. 本章在內(nèi)容的安排上有明暗兩條線，明線是建立公式，學(xué)會(huì)變換，暗線是發(fā)展推理和運(yùn)算的能力，因此在本章全部?jī)?nèi)容的安排上，特別注意恰時(shí)恰點(diǎn)

3、的提出問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生用對(duì)比、聯(lián)系、化歸的觀點(diǎn)去分析、處理問(wèn)題，強(qiáng)化運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法指導(dǎo)設(shè)計(jì)變換思路的意識(shí)；4. 本章在內(nèi)容的安排上貫徹“刪減繁瑣的計(jì)算、人為技巧化的難題和過(guò)分強(qiáng)調(diào)細(xì)枝末葉的內(nèi)容”的理念，嚴(yán)格控制了三角恒等變換及其應(yīng)用的繁、難程度，尤其注意不以半角公式、積化和差、和差化積公式作為變換的依據(jù)，而只把這些公式的推導(dǎo)作為變換的基本練習(xí).三、教學(xué)內(nèi)容及課時(shí)安排建議本章教學(xué)時(shí)間約8課時(shí)，具體分配如下：3.1兩角和與差的正弦、余弦、和正切公式 約3課時(shí)3.2簡(jiǎn)單的恒等變換 約3課時(shí)復(fù)習(xí) 約2課時(shí)3.1 兩角和與差的正弦、余弦和正切公式一、課標(biāo)要求：本節(jié)的中心內(nèi)容是建立相關(guān)的十一個(gè)公式，通過(guò)探

4、索證明和初步應(yīng)用，體會(huì)和認(rèn)識(shí)公式的特征及作用.二、編寫(xiě)意圖與特色本節(jié)內(nèi)容可分為四個(gè)部分，即引入，兩角差的余弦公式的探索、證明及初步應(yīng)用，和差公式的探索、證明和初步應(yīng)用，倍角公式的探索、證明及初步應(yīng)用.三、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)1. 重點(diǎn)：引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)獨(dú)立探索和討論交流，導(dǎo)出兩角和差的三角函數(shù)的十一個(gè)公式，并了解它們的內(nèi)在聯(lián)系，為運(yùn)用這些公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的恒等變換打好基礎(chǔ)；2. 難點(diǎn)：兩角差的余弦公式的探索與證明.第一課時(shí) 兩角和與差的余弦教學(xué)目標(biāo)：掌握兩角和與差的余弦公式，能用公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的求值；培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì).教學(xué)重點(diǎn)：余弦的差角公式及簡(jiǎn)單應(yīng)用教學(xué)難點(diǎn)：余弦的差角公式的推導(dǎo)教學(xué)過(guò)

5、程：.課題導(dǎo)入在前面咱們共同學(xué)習(xí)了任意角的三角函數(shù)，在研究三角函數(shù)時(shí)，我們還常常會(huì)遇到這樣的問(wèn)題：已知任意角、的三角函數(shù)值，如何求、或2的三角函數(shù)值?即：、或2的三角函數(shù)值與、的三角函數(shù)值有什么關(guān)系?.講授新課接下來(lái)，我們繼續(xù)考慮如何把兩角差的余弦cos（）用、的三角函數(shù)來(lái)表示的問(wèn)題.在直角坐標(biāo)系xoy中，以ox軸為始邊分別作角、，其終邊分別與單位圓交于p1（cos，sin）、p2（cos，sin），則p1op2.由于余弦函數(shù)是周期為2的偶函數(shù)，所以，我們只需考慮0的情況.設(shè)向量a（cos，sin），b（cos，sin），則：ababcos （）cos （）另一方面，由向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，有

6、abcoscossinsin所以：cos （）coscossinsin （c（）兩角和的余弦公式對(duì)于任意的角、都是成立的，不妨，將此公式中的用代替，看可得到什么新的結(jié)果?cos （）cos cos （）sinsin（）cos cos sinsin即：cos （）cos cos sinsin （c（）請(qǐng)同學(xué)們觀察這一關(guān)系式與兩角差的余弦公式，看這兩式有什么區(qū)別和聯(lián)系?(1)這一式子表示的是任意兩角與的差的余弦與這兩角的三角函數(shù)的關(guān)系.(2)這兩式均表示的是兩角之和或差與這兩角的三角函數(shù)的關(guān)系.請(qǐng)同學(xué)們仔細(xì)觀察它們各自的特點(diǎn).(1)兩角之和的余弦等于這兩角余弦之積與其正弦之積的差.(2)兩角之差的

7、余弦等于這兩角余弦之積與其正弦之積的和.不難發(fā)現(xiàn)，利用這一式子也可求出一些與特殊角有關(guān)的非特殊角的余弦值.如：求cos 15可化為求cos（4530)或cos（6045）利用這一式子而求得其值.即：cos 15cos（4530）cos 45cos 30sin45sin30或：cos 15cos （6045）cos 60cos 45sin60sin45請(qǐng)同學(xué)們將此公式中的用代替，看可得到什么新的結(jié)果?cos（）coscos sinsinsin即：cos（）sin再將此式中的用代替，看可得到什么新的結(jié)果.cos（）cossin（）即：sin（）cos.課堂練習(xí)1.求下列三角函數(shù)值cos （4530

8、）cos 105解：cos（4530）cos 45cos 30sin45sin30cos 105cos （6045）cos 60cos 45sin60sin452.若cos cos ，cos（）1，求sinsin.解：由cos（）coscossinsin得：sinsincoscoscos（）將coscos，cos（）1代入上式可得：sinsin3.求cos 23cos 22sin23sin22的值.解：cos 23cos 22sin23sin22cos（2322）cos 454.若點(diǎn)p(3，4)在角終邊上，點(diǎn)q（1，2）在角的終邊上，求cos （）的值.解：由點(diǎn)p（3，4）為角終邊上一點(diǎn)；點(diǎn)q

9、（1，2)為角終邊上一點(diǎn)，得：cos ，sin；cos，sin.cos（）coscossinsin（）（）（）5.已知cos（），cos（），求：tantan的值.解：由已知cos（），cos（）可得：cos（）cos（）即：2coscoscos（）cos（）1即：2sinsin1由得tantantantan的值為.6.已知coscos，sinsin，求：cos （）的值.解：由已知coscos得：cos 22cos cos cos 2 由sinsin得：sin22sinsinsin2由得：22（coscossinsin）即：22cos（）cos（）.課時(shí)小結(jié)兩公式的推導(dǎo)及應(yīng)用.課后作業(yè)課本p

10、96習(xí)題 1，2，3兩角和與差的余弦1下列命題中的假命題是 （ ）a.存在這樣的和的值，使得cos（）coscossinsinb.不存在無(wú)窮多個(gè)和的值，使得cos（）coscossinsinc.對(duì)于任意的和，都有cos（）coscossinsind.不存在這樣的和值，使得cos（）coscossinsin2在abc中，已知cos acos bsinasin，則ab一定是鈍角三角形嗎？3已知sinsin，求coscos的最大值和最小值.4已知：（，），（0，），且cos（），sin（）求：cos （）.5已知：、為銳角，且cos，cos（），求cos的值.6在abc中，已知sina，cosb，求

11、cos c的值.兩角和與差的余弦答案1b2在abc中，已知cos acos bsinasin，則ab一定是鈍角三角形嗎？解：在abc中，0c，且abc即：abc由已知得cos acos bsinasinb0，即：cos（ab）0cos（c）cos c0，即cos c0c一定為鈍角abc一定為鈍角三角形.3已知sinsin，求coscos的最大值和最小值.分析：令coscosx，然后利用函數(shù)思想.解：令coscosx，則得方程組：22得22cos ()x2cos ()|cos ()|1， | |1解之得：xcoscos的最大值是，最小值是.4已知：（，），（0，），且cos（），sin（）求：c

12、os （）.解：由已知：（，）（，）（，0）又cos （）， sin（）由（0，）（，）又sin（）sin（）sin（）即sin（）， cos（）又（）（）cos（）cos（）（）cos（）cos（）sin（）sin（）（）5已知：、為銳角，且cos，cos（），求cos的值.解：0，0由cos （），得sin（）又cos，sincoscos（）cos（）cos sin（）sin（）評(píng)述：在解決三角函數(shù)的求值問(wèn)題時(shí)，一定要注意已知角與所求角之間的關(guān)系.6在abc中，已知sina，cosb，求cos c的值.分析：本題中角的限制范圍就隱含在所給的數(shù)字中，輕易忽視，就會(huì)致錯(cuò).解：由sina知0a4

13、5或135a180，又cos b，60b90，sinb若135a180則ab180不可能.0a45，即cos a.cos ccos（ab）.第二課時(shí) 兩角和與差的正弦教學(xué)目標(biāo)：掌握s（）與s（）的推導(dǎo)過(guò)程及公式特征，利用上述公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的求值與證明；培養(yǎng)學(xué)生的推理能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì).教學(xué)重點(diǎn)：兩角和與差的正弦公式及推導(dǎo)過(guò)程.教學(xué)難點(diǎn)：靈活應(yīng)用所學(xué)公式進(jìn)行求值證明.教學(xué)過(guò)程：.課題導(dǎo)入首先，同學(xué)們回顧一下咱們前面所推導(dǎo)的兩角和與差的余弦公式.首先，我們利用單位圓及兩點(diǎn)間的距離公式結(jié)合三角函數(shù)的定義，推導(dǎo)出了兩角和的余弦公式，進(jìn)而推導(dǎo)出了兩角差的余弦公式及兩個(gè)誘導(dǎo)公式，不妨，將cos （）s

14、in中的用代替，看會(huì)得到什么新的結(jié)論?.講授新課一、推導(dǎo)公式由sincos（）得：sin（）cos （）cos（）cos（）cos sin（）sin又cos（）sin，sin（）cos sin（）sincos cos sin這一式子對(duì)于任意的，值均成立.將此式稱為兩角和的正弦公式：s（）：sin（）sincoscossin在前面，當(dāng)我們推出兩角和的余弦公式c（）時(shí)，將其中的用代替，便得到了兩角差的余弦公式，這里，也不妨將s（）中的用代替，看會(huì)得到什么新的結(jié)論?sin（）sincos（）cossin（）sincoscossin即：sin（）sincoscossin這一式子對(duì)于任意的，的值均成立.

15、這一式子被稱為兩角差的正弦公式：s（）：sin（）sincoscossin下面，看他們的應(yīng)用.二、例題講解例1利用和(差)角公式求75，15的正弦、余弦、正切值.分析：首先應(yīng)將所求角75，15分解為某些特殊角的和或差.解：sin75sin（4530）sin45cos 30cos 45sin30cos 75cos（4530）cos 45cos 30sin45sin30tan752sin15sin（4530)sin45cos 30cos 45sin30或sin15sin（6045）sin60cos 45cos 60sin45或sin15sin（9075）cos 75cos 15cos （4530）

16、cos 45cos 30sin45sin30或cos 15cos （6045）或cos 15cos（9075）sin75tan152例2已知sin，（，），cos，（，），求sin（），cos（），tan（）.分析：觀察此題已知條件和公式c（），s（），要想求sin（），cos （），應(yīng)先求出cos，sin.解：由sin且（，) 得：cos ；又由cos且（，）得：sin.sin（）sincoscossin（）（）（）cos（）coscossinsin（）（）（）由公式s（）可得sin（）tan（）.課堂練習(xí)1.求證：證明：右左.原式得證.2.在abc中，sina (0a45)，cos b (

17、45b90)，求sinc與cos c的值.解：在abc中，abc180即c180（ab）又sina且0a45 cos acos b且45b90 sinbsincsin180（ab）sin（ab）sinacos bcos asinbcos ccos 180（ab）cos （ab）sinasinbcos acos b對(duì)于練習(xí)1這種類型的習(xí)題，首先要仔細(xì)觀察題目的結(jié)構(gòu)，回憶有關(guān)公式，認(rèn)真分析，一般遵循由繁到簡(jiǎn)的原則.對(duì)于練習(xí)2這種類型的習(xí)題，要仔細(xì)觀察已知角與所求角的關(guān)系.做好準(zhǔn)備工作，然后著手求解.課時(shí)小結(jié)在前面推導(dǎo)出的c（）與cos（）sin的基礎(chǔ)上又推導(dǎo)出兩公式，即：sin（）sincosco

18、ssin (s（）sin（）sincoscossin（s（）同學(xué)們要注意它們之間的區(qū)別與聯(lián)系，從而熟練掌握，以便靈活應(yīng)用其解決一些相關(guān)的問(wèn)題.課后作業(yè)課本p100習(xí)題 1，2，3.第三課時(shí) 兩角和與差的正切教學(xué)目標(biāo)：掌握t（），t（)的推導(dǎo)及特征，能用它們進(jìn)行有關(guān)求值、化簡(jiǎn)；提高學(xué)生簡(jiǎn)單的推理能力，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì).教學(xué)重點(diǎn)：兩角和與差的正切公式的推導(dǎo)及特征.教學(xué)難點(diǎn)：靈活應(yīng)用公式進(jìn)行化簡(jiǎn)、求值.教學(xué)過(guò)程：.復(fù)習(xí)回顧sin（）sincoscossin（s（）sin（）sincoscossin（s（）cos（）coscossinsin（c（）cos（）coscossinsi

19、n（c（）要準(zhǔn)確把握上述各公式的結(jié)構(gòu)特征.講授新課一、推導(dǎo)公式上述公式結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，我們不難得出：當(dāng)cos（）0時(shí)tan（） 如果coscos0，即cos0且cos0，我們可以將分子、分母都除以coscos，從而得到：tan（）不難發(fā)現(xiàn)，這一式子描述了兩角與的和的正切與這兩角的正切的關(guān)系.同理可得：tan（）或?qū)⑸鲜街械挠么?，也可得到此?這一式子又描述了兩角與的差的正切與這兩角的正切的關(guān)系.所以，我們將這兩式分別稱為兩角和的正切公式、兩角差的正切公式，簡(jiǎn)記為t（），t（）.但要注意：運(yùn)用公式t（）時(shí)必須限定、都不等于k（kz），因?yàn)閠an（k）不存在.下面我們看一下它們的應(yīng)

20、用二、例題講解例1不查表求tan75，tan15的值.解：tan75tan（4530）2tan15tan（4530）2例2求下列各式的值（1） （2）(1)分析：觀察題目結(jié)構(gòu)，聯(lián)想學(xué)過(guò)的公式，不難看出可用兩角差的正切公式.解：tan（7126）tan451(2)分析：雖不可直接使用兩角和的正切公式，但經(jīng)過(guò)變形可使用之求解.解：由tan150tan（7575）得：222cot1502cot（18030）2cot302說(shuō)明：要熟練掌握公式的結(jié)構(gòu)特征，以靈活應(yīng)用.例3利用和角公式計(jì)算的值.分析：因?yàn)閠an451，所以原式可看成這樣,我們可以運(yùn)用正切的和角公式，把原式化為tan（4515）,從而求得原

21、式的值.解：tan451tan（4515)tan60說(shuō)明：在解三角函數(shù)題目時(shí)，要注意“1”的妙用.例4若tan（），tan（），求tan（）的值.分析：注意已知角與所求角的關(guān)系，則可發(fā)現(xiàn)（）（），所以可將化為（）（），從而求得tan（）的值.解：tan（）tan（）（)將tan（），tan（)代入上式，則，原式例5已知tan，tan（），求tan（2).解：（）2tan（2）tan（2）tan（2）tan（)4.證明tantan分析：細(xì)心觀察已知等式中的角，發(fā)現(xiàn)它們有隱含關(guān)系：2x，xsinxsincoscossin cosxcos2x2coscos即得：tantan.課堂練習(xí)1.化簡(jiǎn)下列各式

22、(1)tan（）（1tantan） (2) 1(3) 解：（1）tan（）（1tantan）（1tantan）tantan(2) 11 1tantan1tantan(3) tan（）tan說(shuō)明：這一題目若將tan（）用兩角差的正切公式展開(kāi)，則誤入歧途，要注意整體思想.2.求值：(1) (2) (3)tan21（1tan24）tan24解：(1) tan（3525）tan60 (2) tan（8626）tan60（3）分析：因?yàn)閠an21tan（4524）又因?yàn)閠an451所以，1tan241tan45tan24這樣，可將原式化為：tan（4524）（1tan45tan24）tan24從而求得原

23、式的值.解：tan21（1tan24）tan24tan（4524）（1tan45tan24）tan24（1tan45tan24）tan241 .課時(shí)小結(jié)正切的和、差角公式以及它們的等價(jià)變形.即：tan（）tantantan（）1tantan1tantan這些公式在化簡(jiǎn)、求值、證明三角恒等式時(shí)都有不少用處.課后作業(yè)課本p105習(xí)題 1，2，3，43.2 簡(jiǎn)單的三角恒等變換（3個(gè)課時(shí)）一、課標(biāo)要求：本節(jié)主要包括利用已有的十一個(gè)公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的恒等變換，以及三角恒等變換在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用二、編寫(xiě)意圖與特色本節(jié)內(nèi)容都是用例題來(lái)展現(xiàn)的通過(guò)例題的解答，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)變換對(duì)象目標(biāo)進(jìn)行對(duì)比、分析，促使學(xué)生形成對(duì)解題過(guò)程

24、中如何選擇公式，如何根據(jù)問(wèn)題的條件進(jìn)行公式變形，以及變換過(guò)程中體現(xiàn)的換元、逆向使用公式等數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí)，從而加深理解變換思想，提高學(xué)生的推理能力三、教學(xué)目標(biāo)通過(guò)例題的解答，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)變換對(duì)象目標(biāo)進(jìn)行對(duì)比、分析，促使學(xué)生形成對(duì)解題過(guò)程中如何選擇公式，如何根據(jù)問(wèn)題的條件進(jìn)行公式變形，以及變換過(guò)程中體現(xiàn)的換元、逆向使用公式等數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí)，從而加深理解變換思想，提高學(xué)生的推理能力四、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：引導(dǎo)學(xué)生以已有的十一個(gè)公式為依據(jù)，以推導(dǎo)積化和差、和差化積、半角公式的推導(dǎo)作為基本訓(xùn)練，學(xué)習(xí)三角變換的內(nèi)容、思路和方法，在與代數(shù)變換相比較中，體會(huì)三角變換的特點(diǎn)，提高推理、運(yùn)算能力教學(xué)難點(diǎn)

25、：認(rèn)識(shí)三角變換的特點(diǎn)，并能運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法指導(dǎo)變換過(guò)程的設(shè)計(jì)，不斷提高從整體上把握變換過(guò)程的能力五、學(xué)法與教學(xué)用具學(xué)法：講授式教學(xué)六、教學(xué)設(shè)想：學(xué)習(xí)和（差）公式，倍角公式以后，我們就有了進(jìn)行變換的性工具，從而使三角變換的內(nèi)容、思路和方法更加豐富，這為我們的推理、運(yùn)算能力提供了新的平臺(tái)第四課時(shí) 兩角和與差的余弦、正弦、正切(一)教學(xué)目標(biāo)：掌握s（），（)及t（）的靈活應(yīng)用，綜合應(yīng)用上述公式的技能；培養(yǎng)學(xué)生觀察、推理的思維能力，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到事物間是有聯(lián)系的，培養(yǎng)學(xué)生判斷、推理的能力、加強(qiáng)化歸轉(zhuǎn)化能力的訓(xùn)練，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì).教學(xué)重點(diǎn)：s（），c（），t（）的靈活應(yīng)用.教學(xué)難點(diǎn)：靈活應(yīng)用和、差角公

26、式進(jìn)行化簡(jiǎn)、求值、證明.教學(xué)過(guò)程：.復(fù)習(xí)回顧請(qǐng)同學(xué)們回顧一下這一段時(shí)間我們一起所學(xué)的和、差角公式.sin（）sincoscossin(s（）cos（）coscossinsin(c（）tan（）（t（）.講授新課這三個(gè)公式即為兩角和(差)公式.下面請(qǐng)同學(xué)們思考這一組公式的區(qū)別與聯(lián)系.首先，可考慮一下這組公式的推導(dǎo)體系.我們?yōu)橥茖?dǎo)這組公式先引入平面內(nèi)兩點(diǎn)間距離公式，然后利用單位圓，三角函數(shù)的定義，最先推導(dǎo)出余弦的和角公式（），然后按如下順序推導(dǎo)其余公式：（）（）s（）s（）t（）t（）.它們又有什么內(nèi)在聯(lián)系呢?下面，結(jié)合例題來(lái)看一下如何靈活運(yùn)用這組公式：例1求證1分析：證明三角恒等式，一般要遵循“

27、由繁到簡(jiǎn)”的原則，另外“化弦為切”與“化切為弦”也是在三角式的變換中經(jīng)常使用的方法.證明：左邊11右邊， 原式成立.或：右邊1 左邊 原式成立.例2已知sinmsin（2），求證：tan（）tan分析：仔細(xì)觀察已知式與所證式中的角，不要盲目展開(kāi)，要有的放矢，看到已知式中的2可化為結(jié)論式中的與的和，不妨將作為一整體來(lái)處理.證明：由sinmsin（2）sin（）sin（）sin（）coscos（）sinsin（）coscos（）sin（1m）sin（）cos（1m）cos（）sintan（）tan評(píng)述：此方法是綜合法，利用綜合法證明恒等式時(shí)，必須有分析的基礎(chǔ)，才能順利完成證明.例3求tan70ta

28、n50tan50tan70的值.分析：觀察所求式子，聯(lián)想有關(guān)公式t（），注意到它的變形式：tantantan（）（1tantan）.運(yùn)用之可求解.解：原式tan（7050）（1tan70tan50）tan50tan70（1tan70tan50）tan50tan70tan70tan50tan50tan70原式的值為.課堂練習(xí)1.化簡(jiǎn)下列各式：(1)cos（）cossin（）sin(2)sinxcosx解：(1)cos（）cossin（）sincos（）cos這一題可能有些學(xué)生要將cos（）與sin（）按照兩角和的正、余弦公式展開(kāi)，從而誤入歧途，老師可作適當(dāng)提示，讓學(xué)生仔細(xì)觀察此題結(jié)構(gòu)特征，就整個(gè)

29、式子直接運(yùn)用公式以化簡(jiǎn).(2) sinxcosxsinxcosx（sinxcosx）（sinxcosx）0這一題目運(yùn)用了解三角函數(shù)題目時(shí)常用的方法“切割化弦”.2.證明下列各式(1) (2)tan（）tan（）（1tan2tan2）tan2tan2(3) 2cos（） 證明：(1)右邊左邊 (2）左邊tan（）tan（）（1tan2tan2）（1tan2tan2）（1tan2tan2）tan2tan2右邊(3)左邊2cos（）右邊3.(1)已知sin（45），45135，求sin.(2)求tan11tan34tan11tan34的值.解：(1)45135， 9045180又sin（45）， c

30、os（45）sinsin（45）45sin（45）cos45cos（45）sin45這題若仔細(xì)分析已知條件，可發(fā)現(xiàn)所給的取值范圍不能確定cos的取值，所以需要將化為（45）45，整體運(yùn)用45的三角函數(shù)值，從而求得sin的值.（2）tan11tan34tan11tan34tan（1134）（1tan11tan34）tan11tan34tan45（1tan11tan34）tan11tan341tan11tan34tan11tan341注意運(yùn)用公式的等價(jià)變形式.課時(shí)小結(jié)通過(guò)本節(jié)學(xué)習(xí)，大家應(yīng)初步掌握和、差角公式的基本運(yùn)用.課后作業(yè)課本p106 5，6，7，8第五課時(shí) 兩角和與差的余弦、正弦、正切(二)

31、教學(xué)目標(biāo)：熟練掌握兩角和與差的正弦、余弦、正切公式的運(yùn)用，理解公式：asinbcossin()(其中cos，sin，為任意角)，靈活應(yīng)用上述公式解決相關(guān)問(wèn)題；培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，提高學(xué)生的思維素質(zhì).教學(xué)重點(diǎn)：利用兩角和與差的正、余弦公式將asinbcos形式的三角函數(shù)式化為某一個(gè)角的三角函數(shù)形式.教學(xué)難點(diǎn)：使學(xué)生理解并掌握將asinbcos形式的三角函數(shù)式化為某一個(gè)角的三角函數(shù)形式，并能靈活應(yīng)用其解決一些問(wèn)題.教學(xué)過(guò)程：.復(fù)習(xí)回顧同學(xué)們，觀察這些關(guān)系式，不難看出這是我們前面所推導(dǎo)出的兩角和與差的正余弦公式的倒寫(xiě)形式.有時(shí)，直接利用這種形式可使問(wèn)題簡(jiǎn)化，這節(jié)課，我們就來(lái)探討一下它的運(yùn)用.講授新課

32、例1求證cossin2sin()證明：右邊2sin()2(sincoscossin)2(cossin)左邊由于同學(xué)們對(duì)兩角和的正弦公式比較熟悉，所以要證此式容易想到從右邊往左邊推證，只要將右邊按照兩角和的正弦公式展開(kāi)，化簡(jiǎn)便可推出左邊.也可這樣考慮：左邊cossin2(cossin)2(sincoscossin)2sin()右邊(其中令sin，cos)例2求證cossin2cos()分析：要證此式，可從右邊按照兩角差的余弦公式展開(kāi)，化簡(jiǎn)整理可證此式.若從左邊推證，則要仔細(xì)分析，構(gòu)造形式即：左cossin2(cossin)2(coscossinsin)2cos()(其中令cos，sin)綜合上兩

33、例可看出對(duì)于左式cossin可化為兩種形式2sin()或2cos()，右邊的兩種形式均為一個(gè)角的三角函數(shù)形式.那么，對(duì)于asinbcos的式子是否都可化為一個(gè)角的三角函數(shù)形式呢?推導(dǎo)公式：asinbcos (sincos)由于()2()21，sin2cos21(1)若令sin，則cosasinbcos (sinsincoscos)cos()或原式cos()(2)若令cos，則sinasinbcos (sincoscossin)sin()例如：2sincos (sincos)若令cos，則sin2sincos(sincoscossin)sin()若令sin，則cos2sincos(coscoss

34、insin)cos()或原式cos()看來(lái)，asinbcos均可化為某一個(gè)角的三角函數(shù)形式，且有兩種形式.課堂練習(xí)1.求證：(1) sincossin() (2)cossinsin()(3) (sinxcosx)2cos(x)證明：(1) sincossin()證法一：左邊sincoscossinsin()右邊證法二：右邊sincoscossinsincos左邊(2)cossinsin()證法一：左邊(cossin)(sincoscossin)sin()右邊證法二：右邊(sincoscossin)(sincos)cossin左邊(3) (sinx+cosx)2cos(x)證法一：左邊(sinx

35、cosx)2(sinxcosx)2(cosxcossinxsin)2cos(x)右邊證法二：右邊2cos(x)2(cosxcossinxsin)2(cosxsinx)(cosxsinx)左邊2.利用和(差)角公式化簡(jiǎn)：(1) sinxcosx (2)3sinx3cosx(3) sinxcosx (4) sin(x)cos(x)解：(1) sinxcosxsinxcoscosxsinsin(x)或：原式sinxsincosxcoscos(x)(2)3sinx3cosx6(sinxcosx) 6(sinxcoscosxsin)6sin(x)或：原式6(sinsinxcoscosx)6cos(x)(

36、3) sinxcosx2(sinxcosx)2sin(x)2cos(x)(4) sin(x)cos(x)sin(x)cos(x)sinsin(x)coscos(x)cos(x)cos(x)或：原式sin(x)coscos(x)sinsin(x)sin(x).課時(shí)小結(jié)通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí)，要在熟練掌握兩角和與差的余弦、正弦、正切公式的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)并理解公式：asinbcossin()(其中cos，sin)mcosnsincos()(其中cos，sin)進(jìn)而靈活應(yīng)用上述公式對(duì)三角函數(shù)式進(jìn)行變形，解決一些問(wèn)題.課后作業(yè)課本p96 4，6；p101 4，5.兩角和與差的余弦、正弦、正切(一)1若0，sinc

37、osa，sincosb，則 ( )a.ab1 b.ab c.ab d.ab22已知、為銳角，cos，cos()，求的值.3已知，cos()，sin()，求sin2的值.4若ab，求（1tana)(1tanb)的值.5化簡(jiǎn) 6化簡(jiǎn)（tan10)7求證：tan(x)8已知tana與tan(a)是x2pxq0的解，若3tana2tan(a)，求p和q的值.兩角和與差的余弦、正弦、正切(一)答案1c2已知、為銳角，cos，cos()，求的值.分析：注意觀察、及間的關(guān)系，先求角的一個(gè)三角函數(shù)值，再根據(jù)為銳角求出.解：為銳角，且cos，sin.又、均為銳角，0，且cos()，sin().則coscos()

38、cos（)cossin()sin() .評(píng)述：（1）在和（差）角公式的運(yùn)用中,要注意和、差的相對(duì)關(guān)系，如（).(2)求角的基本步驟：求角的范圍；求角的一個(gè)三角函數(shù)值；寫(xiě)出滿足條件的角.3已知，cos()，sin()，求sin2的值.分析：注意觀察、和2間的關(guān)系，再選擇適當(dāng)?shù)墓竭M(jìn)行計(jì)算.解：由題設(shè)知為銳角，所以sin（），又是第三象限角，cos()，由2()()得sin2sin()()sin()cos()cos()sin()評(píng)述：在三角變換中，角的變換是常用技巧，本題是將角2變換成（)()，使已知式中的角與待求式中的角聯(lián)系起來(lái).4若ab，求（1tana)(1tanb)的值.分析：注意待求式與正

39、切和角公式間的聯(lián)系，將正切和角公式變形解題.解：（1tana)(1tanb)1tanatanbtanatanb.又tan(ab)且abtan(ab)1 tanatanb1tanatanb即tanatanbtanatanb1(1tana)(1tanb)2.評(píng)述：在解題過(guò)程中要注意分析條件和結(jié)論中的關(guān)系式與有關(guān)公式間的聯(lián)系，并將公式進(jìn)行變形加以運(yùn)用.5化簡(jiǎn) 分析：注意把所要化簡(jiǎn)的式子與正切的差角公式進(jìn)行比較.解：tan(6018)tan42評(píng)述：在三角函數(shù)的化簡(jiǎn)與求值時(shí)，通常將常數(shù)寫(xiě)成角的一個(gè)三角函數(shù)，再根據(jù)有關(guān)公式進(jìn)行變形.6化簡(jiǎn)（tan10)分析：切、弦混合式在不能直接運(yùn)用公式的情況下，考慮將

40、切化弦.解：原式（tan10tan60) ()2. 評(píng)述：（1）切化弦是三角函數(shù)化簡(jiǎn)的常用方法之一.（2）把函數(shù)值化成tan60在本題的化簡(jiǎn)中是必經(jīng)之路.7求證：tan(x)證明：左邊tan(x)右邊或：右邊tan(x)左邊8已知tana與tan(a)是x2pxq0的解，若3tana2tan(a)，求p和q的值.分析：因?yàn)閜和q是兩個(gè)未知數(shù)，所以須根據(jù)題設(shè)條件列出關(guān)于p、q的方程組，解出p、q.解:設(shè)ttana，則tan(a)由3tana2tan(a) 得3t解之得t或t2.當(dāng)t時(shí)，tan(a)， ptanatan(a)，qtanatan(a) .當(dāng)t2時(shí)，tan(a) 3，ptanatan(

41、a)5，qtanatan(a)6滿足條件的p、q的值為：評(píng)述：(1)“列方程求解未知數(shù)”是基本的數(shù)學(xué)思想方法.(2)如果tan、tan是某一元二次方程的根，則由韋達(dá)定理可與公式t(+)聯(lián)系起來(lái)；若cos、sin是某一元二次方程的根，則由韋達(dá)定理與公式sin2cos21聯(lián)系起來(lái).第六課時(shí) 兩角和與差的余弦、正弦、正切(三)教學(xué)目標(biāo)：進(jìn)一步熟練掌握兩角和與差的余弦、正弦、正切公式的靈活應(yīng)用；提高學(xué)生的推理能力，培養(yǎng)學(xué)生用聯(lián)系變化的觀點(diǎn)看問(wèn)題，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)，使學(xué)生樹(shù)立科學(xué)的世界觀.教學(xué)重點(diǎn)：利用兩角和與差的余弦、正弦、正切公式解決一些綜合性問(wèn)題.教學(xué)難點(diǎn)：怎樣使學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通，運(yùn)用自如

42、.教學(xué)過(guò)程：.復(fù)習(xí)回顧cos()coscossinsinsin()sincoscossintan（）.講授新課例1已知一元二次方程ax2bxc0(a0且ac)的兩個(gè)根為tan、tan，求tan()的值.分析：由題意可得tan、tan為一元二次方程的兩根，由韋達(dá)定理可知tantan，且tantan，聯(lián)想兩角和的正切公式，不難求得tan()的值.解：由a0和一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，可知： 且ac所以tan().評(píng)述：在解題時(shí)要先仔細(xì)分析題意，聯(lián)想相應(yīng)知識(shí)，選定思路，再著手解題.例2設(shè)sincos，求sin3cos3與tancot的值.解：sincossin22sincoscos2sincos又sin3cos3(sincos)(sin2sincoscos2)(sincos)(1sincos) (1)又 sin0，cos0sincostancot評(píng)述：(1)在sincos、sincos與sincos中，知其中之一便可