平面向量的基本定理及坐標(biāo)運(yùn)算

1、平面向量的基本定理及坐標(biāo)運(yùn)算、平面向量的基本定理(1)平面向量基本定理：如果ei禾廿e2是存在唯一的一對(duì)實(shí)數(shù)a , a2,平面內(nèi)的兩個(gè)不平行的向量，那么該平面內(nèi)的任一向量使a =ai e a2e2.(2)基底：我們把不共線向量叫做向量a關(guān)于基底e，:叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底，記作 壯.ai； a2：7的分解式.注：定理中ei , e2是兩個(gè)不共線向量； a是平面內(nèi)的任一向量，且實(shí)數(shù)對(duì) a , a2是惟一的; 平面的任意兩個(gè)不共線向量都可作為一組基底.(3)平面向量基本定理的證明：在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O,作OE i =e , OE2 =e2 ,OA =a .由于e與e2不平行，可以進(jìn)行如

2、下作圖： 過(guò)點(diǎn)A作OE2的平行(或重合)直線，交直線OEi于點(diǎn)M ,過(guò)點(diǎn)A作OEi 的平行(或重合)直線，交直線OE2于點(diǎn)N，于是依據(jù)平行向量基本定理， 存在兩個(gè)唯一的實(shí)數(shù) a和a2 分別有OM =ae , ON =a2e?，所以a 總二 OM ON = aid+a2證明表示的唯一性：如果存在另對(duì)實(shí)數(shù) x， y使 OA =xe ye2，貝U qg 比色=x& - ye2，即(xajei (y a2)e? = 0 ,由于 ei 與 e 不平行,x a如果x -a與y -a?中有一個(gè)不等于 0 ,不妨設(shè)y - a? =0，則e-e，由平行向量基本定理，得y _a2ei與e2平行，這與假設(shè)矛盾，因此

3、 x -耳=0 , y -a? = 0，即x = a , y =a2 .二、向量的正交分解與向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算： ”十亠，+ (i )向量的直角坐標(biāo)：如果基底的兩個(gè)基向量e , e互相垂直，則稱(chēng)這個(gè)基底為正交基底.在正交基底下分解向量，叫做正交分解.(2)向量的坐標(biāo)表示：在直角坐標(biāo)系中，一點(diǎn)A的位置被點(diǎn)A的位置向量OA所唯一確定.設(shè)點(diǎn) A的T + TT坐標(biāo)為(x,y)，由平面向量基本定理，有 OA二xe ye2 =(x, y)，即點(diǎn)A的位置向量0A的坐標(biāo)(x, y), 也就是點(diǎn)A的坐標(biāo)；反之，點(diǎn) A的坐標(biāo)也是點(diǎn) A相對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)的位置向量0A的坐標(biāo).(3) 向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè) a=(aa2

4、), b =(b , b2)，貝U a b =(ai bi , a26): a-b= (ai-bi , a2-b2): a = (ai, a2 ( ai, a2)注：兩個(gè)向量的和與差的坐標(biāo)等于兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差； 數(shù)乘向量的積的坐標(biāo)等于數(shù)乘以向量相應(yīng)坐標(biāo)的積.(4) 若A(x,y) , B(X22)，則向量ABrOB-OA=(X2 _Xi,y2 _yi)；即：一個(gè)向量的坐標(biāo)等于向量的 終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo).(5) 用平面向量坐標(biāo)表示向量共線條件：設(shè)a =(a,a2) , b =(6,6)，則ab? - azb =0就是兩個(gè)向量平 行的條件.若向量b不平行于坐標(biāo)軸，即 b -0, 0=

5、0，則兩個(gè)向量平行的條件是，相應(yīng)坐標(biāo)成比例.題型一、平面向量的基本定理【例U若已知ei、eb是平面上的一組基底,則下列各組向量中不能作為基底的一組是(【例2】A . e 與-e?B. 3 e 與 2e2線段AB與CD互相平分，則BD可以表示為()A . A -CDB. -丄 ABCD2 2C. e + e2與e e?d. e 與2e1 r fT FC. (AB-CD) D. (AB-CD)【例3】【例4】如圖，平行四邊形ABCD中，E、F分別是BC、DC的中點(diǎn)，G為DE、BF的交點(diǎn)，若AB =a,AD =b，試以 a ,CGb為基底表示已知口 ABCD的兩條對(duì)角線交于點(diǎn) O ,設(shè), AD &

6、,用向量a和b表示向量BD，忌.【例5】設(shè)p是正六邊形oabcde的中心，若oA=a, oe =b，試用向量a, b表示ob、oc、odC【例6】已知向量a, b不共線，：二kiUk. r , d=a_b，如果c d，那么（）A . k =1且C與d同向B . k=1且C與d反向C. k 且C與d同向D. k = J且：與J反向【例7】 已知四邊形ABCD是菱形，點(diǎn)P在對(duì)角線AC上（不包括端點(diǎn) A , C ），則aP等于（）A . (AB AD) , - (0，1)屈忌）小,密C F T 、U Ic、- C. (AB AD) , 0，2（A。盲【例8】已知向量a,b不共線，m，n為實(shí)數(shù)，則當(dāng)【

7、例9】在平行四邊形 ABCD中，E和F分別是邊ma nb =0 時(shí)，有 m n 二CD和BC的中點(diǎn).若JAF，其中,【例10】證明：若向量的終點(diǎn)A、B、C共線，當(dāng)且僅當(dāng)存在實(shí)數(shù) 扎卩滿(mǎn)足等式人+卩=1 ,使得 OC = oB ：._oA .題型二、平面向量的坐標(biāo)表示與運(yùn)算【例11】設(shè)向量AB =(2, 3)，且點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1, 2)，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為 .【例若 a =(2,1)，b =(_3, 4)則 3a +4b的坐標(biāo)為【例13】設(shè)平面向量a =3,5 ,b - -2,1 ,則1_2 ()A 6,3B 7,3C 2,1 D.7,2【例 14】已知；=(x_2, 3) , (1, y 2)，若

8、 ，則 x=, y 二【例15】若A 0, 1 , B 1, 2 , C 3, 4，則忑-2記=1 【例16】若M 3, 一2 , N -5, -1且MP MN，求P點(diǎn)的坐標(biāo).【例17】已知向量 仁(1, 0),婦0,1 ), 2鼻山(“ R ,d二a _b，如果cd那么()A k =1且c與d同向B k = 1且c與d反向C k - -1且c與d同向D k - -1且c與d反向4彳4444【例18】已知向量a = 1, 1 , b = 2, x若a b與4b _2a平行，則實(shí)數(shù)x的值是()A -2B 0C 1D 2【例19】在平面直角坐標(biāo)系xoy中，四邊形 ABCD的邊ABIIDC , AD

9、IIBC，已知點(diǎn) A-2,0 ,B(6, 8 ), C(8, 6 )，則D點(diǎn)的坐標(biāo)為 【例 20】已知向量 1=3,1 , b = 1, 3 , k, 7，若 a -c II b，則 k=I1【例21】已知 a = 1, 2 , b= 3,2，當(dāng) ka b 與 a -3b平行，k為何值()1111A B -C-D -443344444【例22】已知a =(1, 2), b =(-3, 2)，當(dāng)實(shí)數(shù)k取何值時(shí)，k a + 2b與2a-4b平行？【例23】點(diǎn)A(2,3)、B(5, 4)、C(7, 10)，若芽 二鬲定( R)，試求，為何值時(shí)，點(diǎn)P在一、象限角平分線上.【練1】在厶ABC中，7b2

10、14 A o b /33=C ,云C =b 若點(diǎn) D 滿(mǎn)足 B2DC，貝y AD =()12Hb c 3b 5c-2b33C.2L1133AC于不同的兩點(diǎn)【練2】如圖，在 ABC中，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M , N，若 7B =m AM,尼 =nAN，貝V m n的值為O的直線分別交直線AB ,C【練3】已知兩個(gè)向量a =1, 2 , b=x, 1 ,若 a / b，貝V x 的值等于()B 丄2C.-2【練4】若平面向量b滿(mǎn)足 a +b =1 , a +b平行于 x 軸，b = (2, 1 )，貝y a=【題1】【題2】【題3】【題4】【題5】【題6】【題7】【題8】【題9】【題10】A .

11、課后作業(yè)若向量；=1, 1 ,1 ,2，則 C=()叫A . 3 a +fbB .43 a4-b44C. - a +3 bD. a+3 b已知a=( 4 ,2), b =(x ,3),且a /b,則x等于（）A. 9B.6C. 5D.3已知平面向量a=( x ,1),b=(x,x2)，則向量a+ b （)A 平行于x軸B. 平行于第一、三象限的角平分線C. 平行于y軸D .平行于第一、四象限的角平分線已知向量e1與e2不共線，實(shí)數(shù) x, y滿(mǎn)足（3x 4y） e1+（ 2x 3y）良=6&+ 3e?，則x y等 于（ ）A . 3 B . 3 C. 0 D. 2已知向量a =(1,2) , b

12、 =(0,1)，設(shè) akb , v =2a b，若u/ v,則實(shí)數(shù)k的值為()11A. 1B .2C. 2D. 1設(shè)點(diǎn)A (2,0),B (4,2）,若點(diǎn)P在直線 AB上,且|AB |= 2| AP | ,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（)A. (3, 1)B. (1, 1)C. (3, 1)或（1,-1)D.無(wú)數(shù)多個(gè)設(shè)a =(1,2),b =(2,3),若向量a b與向量c=(-4,-7)共線，則，.已知向量 a=( 2, 1), b=( 1, m), c=( 1, 2),若(a + b)/ c,貝U m=.已知 A ( 2, 4), B (3, 1) , C ( 3, 4).設(shè) AB= a, BC= b , CA