浙教版初中數(shù)學(xué)初三中考沖刺：數(shù)形結(jié)合問題--知識講解(提高)

1、精品文檔用心整理中考沖刺：數(shù)形結(jié)合問題知識講解（提高）【中考展望】1.用數(shù)形結(jié)合的思想解題可分兩類:(1)利用幾何圖形的直觀性表示數(shù)的問題,它常借用數(shù)軸、函數(shù)圖象等；(2)運用數(shù)量關(guān)系來研究幾何圖形問題,常需要建立方程(組)或建立函數(shù)關(guān)系式等.2.熱點內(nèi)容：在初中教材中，數(shù)的常見表現(xiàn)形式為:實數(shù)、代數(shù)式、函數(shù)和不等式等，而形的常見表現(xiàn)形式為:直線型、角、三角形、四邊形、多邊形、圓、拋物線、相似、勾股定理等.在直角坐標(biāo)系下，一次函數(shù)的圖象對應(yīng)著一條直線，二次函數(shù)的圖象對應(yīng)著一條拋物線，這些都是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容.特別是二次函數(shù)，不僅是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點之一，同時也使數(shù)形結(jié)合的思想方法在中學(xué)數(shù)學(xué)中得到

2、最充分體現(xiàn).在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)圖象的開口方向、頂點坐標(biāo)、對稱軸以及與坐標(biāo)軸的交點等都與其系數(shù)a，b，c密不可分.事實上，數(shù)a決定拋物線的開口方向,b與a一起決定拋物線的對稱軸位置,c決定了拋物線與y軸的交點位置，與a、b一起決定拋物線頂點坐標(biāo)的縱坐標(biāo)，拋物線的平移的圖形關(guān)系只是頂點坐標(biāo)發(fā)生變化，其實從代數(shù)的角度看是b、c的大小變化.【方法點撥】數(shù)形結(jié)合：就是通過數(shù)與形之間的對應(yīng)和轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題,它包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)解形”兩個方面.利用它可使復(fù)雜問題簡單化,抽象問題具體化,它兼有“數(shù)的嚴(yán)謹(jǐn)”與“形的直觀”之長,是優(yōu)化解題過程的重要途徑之一,是一種基本的數(shù)學(xué)方法.數(shù)形結(jié)合問題，

3、也可以看作代數(shù)幾何綜合問題.從內(nèi)容上來說，是把代數(shù)中的數(shù)與式、方程與不等式、函數(shù)，幾何中的三角形、四邊形、圓等圖形的性質(zhì)，以及解直角三角形的方法、圖形的變換、相似等內(nèi)容有機(jī)地結(jié)合在一起，同時也會融入開放性、探究性等問題.經(jīng)?？疾榈念}目類型主要有坐標(biāo)系中的幾何問題(簡稱坐標(biāo)幾何問題)，以及圖形運動過程中求函數(shù)解析式的問題等解決這類問題，第一，需要認(rèn)真審題，分析、挖掘題目的隱含條件，翻譯并轉(zhuǎn)化為顯性條件；第二，要善于將復(fù)雜問題分解為基本問題；第三，要善于聯(lián)系與轉(zhuǎn)化，進(jìn)一步得到新的結(jié)論.尤其要注意的是，恰當(dāng)?shù)厥褂镁C合分析法及方程與函數(shù)的思想、轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類與整合思想等數(shù)學(xué)思想方法，能更

4、有效地解決問題【典型例題】類型一、利用數(shù)形結(jié)合探究數(shù)字的變化規(guī)律1.如圖，網(wǎng)格中的每個四邊形都是菱形如果格點三角形abc的面積為s，按照如圖所示方式得到的格點三角形a1b1c1的面積是7s，格點三角形a2b2c2的面積是19s，那么格點三角形a3b3c3的面積為（）.a.39sb.36sc.37sd.43s資料來源于網(wǎng)絡(luò)僅供免費交流使用精品文檔用心整理【思路點撥】設(shè)網(wǎng)絡(luò)中每個小菱形的邊長為一個單位，由于abc的面積為s，則小菱形的面積為2s；從圖上觀察可知三角形a2b2c2三個頂點分別在邊長為3個單位的菱形的內(nèi)部，其中一頂點與菱形重合，另兩頂點在與前一頂點不相連的兩邊上，三角形anbncn三頂

5、點分別在邊長為（2n+1）個單位的菱形的內(nèi)部，此菱形與三角形anbncn不重合的部分為三個小三角形；由此得到關(guān)于三角形anbncn面積公式，把n=3代入即可求出三角形a3b3c3的面積【答案】c.【解析】網(wǎng)絡(luò)中每個小菱形的邊長為一個單位，由于abc的面積為s，則小菱形的面積為2s；從圖上觀察可知三角形a2b2c2三個頂點分別在邊長為3個單位的菱形的內(nèi)部，其中一頂點與菱形重合，另兩頂點在與前一頂點不相連的兩邊上，三角形anbncn三頂點分別在邊長為2n+1個單位的菱形的內(nèi)部，此菱形與三角形anbncn不重合的部分為三個小三角形；而三角形anbncn面積=邊長為2n+1個單位的菱形面積-三個(2n

6、1)n2s(2n1)(n1)2sn(n1)2s小三角形面積=2s（2n+1）2-,222=s（8n2+8n+2-2n2-n-2n2-3n-1-n2-n），=s（3n2+3n+1），把n=3分別代入上式得：s3=s（332+33+1）=37s故選c【總結(jié)升華】此題主要考查菱形的性質(zhì)，也考查了學(xué)生的讀圖能力以及探究問題的規(guī)律并有規(guī)律解決問題的能力舉一反三:【變式】（2016濰坊）在平面直角坐標(biāo)系中，直線l：y=x1與x軸交于點a1，如圖所示依次作正方形a1b1c1o、正方形a2b2c2c1、正方形anbncncn1，使得點a1、a2、a3、在直線l上，點c1、c2、c3、在y軸正半軸上，則點bn的

7、坐標(biāo)是資料來源于網(wǎng)絡(luò)僅供免費交流使用精品文檔用心整理（【答案】2n1，2n1）【解析】解：y=x1與x軸交于點a1，a1點坐標(biāo)（1，0），四邊形a1b1c1o是正方形，b1坐標(biāo)（1，1），c1a2x軸，a2坐標(biāo)（2，1），四邊形a2b2c2c1是正方形，b2坐標(biāo)（2，3），c2a3x軸，a3坐標(biāo)（4，3），四邊形a3b3c3c2是正方形，b3（4，7），b1（20，211），b2（21，221），b3（22，231），bn坐標(biāo)（2n1，2n1）類型二、利用數(shù)形結(jié)合解決數(shù)與式的問題2.已知實數(shù)a在數(shù)軸上的位置如圖所示，則化簡|2-a|+a2的結(jié)果為_.【思路點撥】由數(shù)軸可知，0a2，由此去絕對值

8、，對二次根式化簡【答案與解析】解：0a2，|2-a|+a2=2-a+a=2.故答案為：2【總結(jié)升華】本題考查了絕對值的化簡和二次根式的性質(zhì)與化簡，實數(shù)與數(shù)軸的對應(yīng)關(guān)系關(guān)鍵是根據(jù)數(shù)軸上的點的位置來判斷數(shù)a的取值范圍，根據(jù)取值范圍去絕對值，化簡二次根式類型三、利用數(shù)形結(jié)合解決代數(shù)式的恒等變形問題3.(1)在邊長為a的正方形紙片中剪去一個邊長為b的小正方形，把余下的部分沿虛線剪開，拼成一個矩形，分別計算這兩個圖形陰影部分的面積，可以驗證的乘法公式是_（用字母表示）資料來源于網(wǎng)絡(luò)僅供免費交流使用精品文檔用心整理（2）設(shè)直角三角形的直角邊分別是a，b，斜邊為c，將這樣的四個完全相同的直角三角形拼成正方形

9、，驗證等式a2+b2=c2成立?！舅悸伏c撥】(1)根據(jù)陰影部分的面積相等，即可得到公式；(2)直角三角形的直角邊分別是a，b，斜邊為c，這樣的4個三角形，即可拼成正方形，據(jù)此即可得到【答案與解析】解：（1）a2-b2=（a+b）（a-b）；（2）驗證：利用面積公式可得正方形的面積是：c2，正方形的面積是四個直角三角形的面積加上里面較小的正方形的面積，得到：4122ab+（b-a）=2ab+（a2-2ab+b2）=a2+b2，則a2+b2=c2【總結(jié)升華】本題主要考查了平方差公式的幾何表示，表示出圖形陰影部分面積是解題的關(guān)鍵類型四、利用數(shù)形結(jié)合思想解決極值問題4.我們曾學(xué)過“兩點之間線段最短”的

10、知識，?？衫盟鼇斫鉀Q兩條線段和最小的相關(guān)問題，下面是大家非常熟悉的一道習(xí)題：如圖1，已知，a，b在直線l的同一側(cè)，在l上求作一點，使得pa+pb最小我們只要作點b關(guān)于l的對稱點b，（如圖2所示）根據(jù)對稱性可知，pb=pb因此，求ap+bp最小就相當(dāng)于求ap+pb最小，顯然當(dāng)a、p、b在一條直線上時ap+pb最小，因此連接ab，與直線l的交點就是要求的點p有很多問題都可用類似的方法去思考解決探究：（1）如圖3，正方形abcd的邊長為2，e為bc的中點，p是bd上一動點連接ep，cp，則ep+cp的最小值是_；運用：（2）如圖4，平面直角坐標(biāo)系中有三點a（6，4）、b（4，6）、c（0，2），在

11、x軸上找一點d，使得四邊形abcd的周長最小，則點d的坐標(biāo)應(yīng)該是_.資料來源于網(wǎng)絡(luò)僅供免費交流使用精品文檔用心整理操作：（3）如圖5，a是銳角mon內(nèi)部任意一點，在mon的兩邊om，on上各求作一點b，組成abc，使abc周長最?。ú粚懽鞣?，保留作圖痕跡）.【思路點撥】(1)由正方形的性質(zhì)可得點a是點c關(guān)于bd的對稱點，連接ae，則ae就是ep+cp的最小值；(2)找點c關(guān)于x軸的對稱點c，連接ac，則ac與x軸的交點即為點d的位置，先求出直線ac的解析式，繼而可得出點d的坐標(biāo);(3)分別作點a關(guān)于om的對稱點a、關(guān)于on的對稱點a，連接aa，則aa與om交點為點b的位置，與on交點為c的位置

12、【答案與解析】解：（1）點a是點c關(guān)于bd的對稱點，連接ae，則ae就是ep+cp的最小值，ep+cp的最小值=ae=5；（2）作點c關(guān)于x軸的對稱點c，連接ac，則ac與x軸的交點即為點d的位置，點c坐標(biāo)為（0，-2），點a坐標(biāo)為（6，4），直線ca的解析式為：y=x-2，故點d的坐標(biāo)為（2，0）；（3）分別作點a關(guān)于om的對稱點a、關(guān)于on的對稱點a，連接aa，則aa與om交點為點b的位置，與on交點為c的位置；如圖所示：點b、c即為所求作的點資料來源于網(wǎng)絡(luò)僅供免費交流使用精品文檔用心整理【總結(jié)升華】此題考查了利用軸對稱求解最短路徑的問題，求解模式題意已經(jīng)給出，注意仔細(xì)理解，靈活運用題目所

13、給的信息類型五、利用數(shù)形結(jié)合思想，解決函數(shù)問題：數(shù)形結(jié)合問題資源編號：416971經(jīng)典例題15.（仙游縣二模）已知，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，點a的坐標(biāo)為（0，2），點p（m，n）是拋物線y=14x2+1上的一個動點（1）如圖1，過動點p作pbx軸，垂足為b，連接pa，求證：pa=pb；如圖2，設(shè)c的坐標(biāo)為（2，5），連接pc，ap+pc是否存在最小值？如果存在，求點p的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由；（2）如圖3，過動點p和原點o作直線交拋物線于另一點d，若ap=2ad，求直線op的解析式（【思路點撥】1）設(shè)p（m，n）得出pb=m2+1，再根據(jù)a（0，2）得出ap=m2+1，即可證出pb=p

14、a；過點p作pbx軸于b，由pa=pb得出要使ap+cp最小，只需當(dāng)c，p，b共線時即可，再根據(jù)點p的橫坐標(biāo)等于點c（2，5）的橫坐標(biāo)，即可得出答案；（2）作dex軸于e，作pfx軸于f，先得出pf=2de，再根據(jù)=，得出設(shè)p（m，m2+1），則d（m，m2+），根據(jù)m2+=（m）2+1，求出m，從而得出點p的坐標(biāo)，最后代入求解即可【答案與解析】解：（1）設(shè)p（m，n）n=m2+1，pbx軸，pb=m2+1，a（0，2）ap=m2+1，pb=pa；過點p作pbx軸于b，由（1）得pa=pb，所以要使ap+cp最小，只需當(dāng)bp+cp最小，因此當(dāng)c，p，b共線時取得，資料來源于網(wǎng)絡(luò)僅供免費交流使用

15、精品文檔用心整理此時點p的橫坐標(biāo)等于點c（2，5）的橫坐標(biāo)，所以點p的坐標(biāo)為（2，2），（2）如圖，作dex軸于e，作pfx軸于f，由（1）得：da=de，pa=pfpa=2da，pf=2de，odeopf，=，設(shè)p（m，m2+1），則d（m，m2+）點d在拋物線y=x2+1上，m2+=（m）2+1，2解得m=p1（p2（，3），直線op的解析式為y=，3）直線op的解析式為y=x，x，綜上所求，所求直線op的解析式為y=x或y=x【總結(jié)升華】此題考查了二次函數(shù)的綜合，用到的知識點是待定系數(shù)法、相似三角形的性質(zhì)、勾股定理，關(guān)鍵是根據(jù)題意做出輔助線，列出算式，注意分類討論思想的運用舉一反三:：數(shù)

16、形結(jié)合問題資源編號：416971經(jīng)典例題2【變式】在平面直角坐標(biāo)系xoy中，拋物線y=2x2+1140的頂點為m，直線y=x，點p(n，)為x軸上241的一個動點，過點p作x軸的垂線分別交拋物線y=2x2+和直線y=x于點a，點b.12（1）直接寫出a，b兩點的坐標(biāo)（用含n的代數(shù)式表示）；設(shè)線段ab的長為d，求d關(guān)于n的函數(shù)關(guān)系式及d的最小值，并直接寫出此時線段ob與線段pm的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系；資料來源于網(wǎng)絡(luò)僅供免費交流使用4d=2(n-)2+=2(n-1)2+1.精品文檔用心整理(3)已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，c為整數(shù)且a0），對一切實數(shù)x恒有xy2x2+求a，b，c的值.【答案】2n解：(1)a(n，n2+1)，b(n，).4(2)d=ab=y-y=2n2-n+1.ab114848時，d取得最小值當(dāng)n=11.48當(dāng)d取最小值時，線段ob與線段pm的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系是obpm且ob=pm.(如圖)y1ambop11x14，(3)對一切實數(shù)x恒有xy2x2+14，整數(shù)c的值為0.此時，對一切實數(shù)x，xax2+bx2x2+都成立.(a0)1對一切實數(shù)x，xax2+bx+c2x2+都成立.(a0)41當(dāng)x=0時，式化為0c.414即ax2+bx2x2+.4xax2+bx,1對一切實數(shù)x均成立.由得ax2+(b-