考點(diǎn)二十二一元二次不等式與簡單的分式不等式的解法

1、玩轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)優(yōu)秀之路安老師課堂考點(diǎn)二十二一元二次不等式與簡單分式不等式的解法知識(shí)梳理1 一元一次不等式的解法一元一次不等式axb( a 0)的解集為b(1) 當(dāng) a0 時(shí)，解集為 x|xa.b(2) 當(dāng) a0 時(shí)，解集為 x|xa.2. 一元二次不等式的解法判別式 b2 4ac二次函數(shù)y ax2 bx c(a 0) 圖象一元二次方程的根ax2 bx c 0(a 0)的解集ax2 bx c0( a0)000有兩相異實(shí)根 b有兩相等實(shí)根x1，無實(shí)根2ax1 x2 b b2ax22a1或 x x2b ， x RR x|x x x|x 2a x|x1xx2 ?口訣：大于取兩邊，小于取中間3 分式不等式的解

2、法f(x)f(x)(1)g(x) 0f( x) g(x) 0， g(x) 0f(x)g(x) 0；f(x) 0f(x) g(x) 0，f(x) 0f( x) g(x) 0，(2)，；g(x)g(x) 0，g(x)g(x) 0，(3)f(x) mf( x) m 0f(x) m g(x) 0g(x)g(x)g(x)4 簡單高次不等式解法對于簡單高次不等式一般用序軸標(biāo)根法求解，步驟是先求出各表達(dá)式為零時(shí)的根，再作圖求解作圖口訣： “自右向左，自上向下，奇穿偶不穿”，其中“奇穿偶不穿”含義為，若對應(yīng)根對應(yīng)根為奇數(shù)個(gè)，則穿過該點(diǎn)，如果為偶數(shù)個(gè)，則作圖時(shí)不穿過該點(diǎn)玩轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)優(yōu)秀之路安老師課堂例如解不等式x

3、(x 1)2(x2)3 0，在作圖時(shí)，由于0,2 這兩個(gè)根分別是1 個(gè)、 3 個(gè)，有奇數(shù)個(gè)根，因此作圖時(shí)應(yīng)穿過；而 1 這個(gè)根有 2 個(gè)，也就是有偶數(shù)個(gè)，因此作圖時(shí)不穿過，如下圖所示：由圖知不等式x (x 1)2(x2)3 0 解集為 x|x 0 或 x 2 5 幾點(diǎn)注意事項(xiàng)(1) 對于不等式 ax2 bx c 0(或 0)，若二次項(xiàng)含有字母參數(shù)時(shí)，不一定是二次不等式，要分 a 0 和 a 0 討論f(x) m 時(shí)，不要直接在不等式兩邊同乘以分母，因?yàn)榇藭r(shí)g(x)正負(fù)不確(2) 解分式不等式 g( x)定正確做法是移項(xiàng)將右邊化為0，即化為 f(x) m0，然后通分求解g(x)典例剖析題型一一元

4、二次不等式解法例 1 解下列不等式(1) 3x2 2x 8 0；(2) x2 3x 2 0；解析 (1)原不等式可化為 3x2 2x 8 0，即(3x4)(x2) 0.解得 2 x 43，4所以原不等式的解集為x 2 x 3.(2) 原不等式可化為 (x 1)(x 2) 0，解得 x 1 或 x 2所以原不等式的解集為變式訓(xùn)練解不等式 x| x 1 或 x 2 0 x2 x 2 4解析原不等式等價(jià)于x2 x2 0，x2 x 2 0，2 x2 42xx x 6 0玩轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)優(yōu)秀之路安老師課堂x 2 x 1 0，x 2或 x 1，x 3 x 2 0 2 x 3.借助于數(shù)軸，如圖所示，原不等式的解集為

5、 x| 2 x 1或 2 x 3 .解題要點(diǎn)求解一元二次不等式時(shí)， 一般先通過變形， 將不等式右邊化為0，左邊 x2 前系數(shù)化為正，求出根或因式分解后借助口訣“大于取兩邊，小于取中間”寫出解集題型二分式不等式解法例 2不等式 x 3 0 的解集為 ()x 1A x|x1 或 x 3B x|1 x 3C x|1x 3D x|1x3答案Cx 3 x 1 0，解析原不等式可化為x 1， 1 x 3.變式訓(xùn)練函數(shù) f(x)1x的定義域?yàn)?()x2A -2,1B (-2,1C -2,1)D (-， -2 1， )答案B解析1 x 0x 1 0x 2x 2x 1x 2 0， 2 x 1， 20 的解集是

6、x|x4 ，則 a b _答案 3解析由題意知， 1，4 為方程 x2 (a 1)x ab 0 的兩根，a 1 3，ab 4. a 4， b1. a b 3.變式訓(xùn)練已知 f(x) ax2 x c，不等式f(x) 0 的解集為 x| 2 x 1 ，則 a_ ，c_答案1， 2玩轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)優(yōu)秀之路安老師課堂解析由根與系數(shù)的關(guān)系知1 2 1， c 2，得 a aa 1， c 2.解題要點(diǎn) 解決這類習(xí)題關(guān)鍵是理解三個(gè)二次之間的關(guān)系， 一元二次函數(shù)與 x 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為對應(yīng)一元二次方程的根， 利用一元二次方程的根， 結(jié)合函數(shù)圖象就可以求出對應(yīng)一元二次不等式因此反過來，由一元二次不等式的解集，可以得到對

7、應(yīng)的一元二次方程的根，結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系即可求出參數(shù)值題型四一元二次不等式恒成立問題例 4 若不等式 mx22x 10 恒成立，則 m 的取值范圍是 _答案 (， 1)解析由m0，解得 m 1.（ 2）2 4m（ 1） 0 對一切實(shí)數(shù) x 恒成立，則實(shí)數(shù) k 的取值范圍為 _ 答案(，2)( 2， )解析由題意，知4 4 1 (k2 1)2， k 2或 k0 ，(1) 不等式 ax2 bx c0 對任意實(shí)數(shù) x 恒成立或c0，0.(2) 不等式 axa b 0，a0 ，2 bx c0 對任意實(shí)數(shù) x 恒成立或c0，0.題型五含參數(shù)一元二次不等式解法例 5解關(guān)于 x 的不等式 x2 2ax 3a2

8、0(a R ，a 0)解析由 x2 2ax 3a2 0 知(x3a)( xa)0.由于 a 0 故分 a 0 與 a 0 討論當(dāng) a 0 時(shí)， x 3a 或 x a；當(dāng) a 0 時(shí)， x a 或 x 3a.綜上， a0 時(shí)，解集為 x|x 3a或x a ；a 0 時(shí)，解集為 x|x3a或 x a .解題要點(diǎn)對含參數(shù)一元二次不等式主要分三種討論：討論二次項(xiàng)系數(shù)、討論，討論兩根的大小，具體如下：(1) 當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)含有參數(shù)應(yīng)討論是系數(shù)等于 0，小于 0，還是大于 0，然后將不等式轉(zhuǎn)化為一次不等式或二次項(xiàng)系數(shù)為正的形式(2) 當(dāng)不等式對應(yīng)方程的根的個(gè)數(shù)不確定時(shí)，討論判別式與 0 的關(guān)系玩轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)優(yōu)秀之

9、路安老師課堂(3) 當(dāng)確定無根時(shí)可直接寫出解集，確定方程有兩個(gè)根時(shí)，要討論兩根的大小關(guān)系，從而確定解集形式當(dāng)堂練習(xí)1（ 2015 江蘇）不等式 2x2 x 4 的解集為 _答案 x| 1 x 2解析 2x2 x4 22， x2 x 2，即 x2 x2 0，解得 1x2.x 22不等式 x2 10的解集為 ()A. x|1x2B. x|x2 且 x1C. x|1x2 且 x1D. x|x 1 或 1x2答案D解析(x 2)(x21)0 ，(x 1)(x 1)(x 2)0 ，數(shù)軸標(biāo)根可得， x 1 或 1x2，故選 D 項(xiàng)x13. 不等式 x20 的解集為 ()A (1， )B (， 2)C (2

10、,1)D (， 2) (1， )答案C解析原不等式化為 (x1)(x 2)0，解得 2 x1，原不等式的解集為( 2,1)4已知不等式 ax2bx 1 0 的解集是 1，1，則不等式 x2 bxa 0 的解集是 ()23A (2,3)B (， 2) (3， )C.1， 1D. ， 1 1，3232答案A解析由題意知1， 1是方程 ax2 bx1 0 的根，所以由根與系數(shù)的關(guān)系得1 12323b111 a， 2 3 a，解得 a 6， b 5，不等式 x2 bx a 0即為 x25x 6 0，解集為 (2,3)，故選 A.5若關(guān)于 x 的不等式1x2 (2 m)x0 的解集是 x|0x2 ，則實(shí)

11、數(shù) m_.2答案3解析由題知 x 0 或 x 2 是方程 1x2 (2 m)x0 的根，可得 m 3.2課后作業(yè)一、 選擇題玩轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)優(yōu)秀之路安老師課堂x 1 0 的解集為 ()1不等式 2x 1A.1， 1B.1， 1C. ， 1 1， )D.， 1 1， )2222答案Ax 1x 1 2x 1 0，解析不等式0? 11B x|x 1C x|x 1 或 x 2D x|x 2 且 x 1答案Cx20 ，解析由 (x 1)x 20，可知或 x 2 0，解得 x 1 或 x 2.x 1 03若 0m 1，則不等式 ( xm)(x 1 ) 0 的解集為 ()mA x| 1 xmB x|x 1 或 xm

12、C x|x m 或 x 1D x|mx 1 mmmm答案D解析當(dāng) 0m1 時(shí)， m0 的解集為 x| 1x2 ，則不等式2x2 bx a0 的解集為 ()11A x| 1x2B x|x2C x| 2x1D x|x1答案A解析由題意知 x 1， x 2 是方程 ax2 bx 2 0 的根 1 2 b，a 1，a由韋達(dá)定理2?b 1. 1 2a不等式 2x2 bx a0，即 2x2 x 10.可知 x 1， x1A.2是對應(yīng)方程的根，選5若不等式 ax2bx c 0 的解集是 ( 4,1)，則不等式 b(x2 1) a(x 3) c0 的解為 ()A.4， 1B (， 1)4，C ( 1,4)D

13、(， 2) (1， )33答案A玩轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)優(yōu)秀之路安老師課堂解析由不等式ax2 bxc 0 的解集為( 4,1)知a 0， 4 和1 是方程ax2 bx c0 的兩根，所以41 b， 4 1 c，即aab 3a，c 4a.故所求解的不等式為3a(x2 1)a(x 3)4a 0，即 3x2 x 4 0，解得 43 x 1.20的解集為 ()6不等式 34x 4xA.13B.13x x2x x 0或 1x222C. x 1x 0或1 x3D.x 1 x 3，且 4x 4x2 0，1 3解得： 2x2，解得： x 0 或 x 1，取交集得：13x 0 或1 x，22所以原不等式的解集為13x 2x 0或 1 x2.7函數(shù) f(x) x 21的定義域是 ()23x xA x|2 x 3B x|2 x3C x|0x3答案Bx2 0，x2，所以 2 x0，0x3， x|2 x0 的解集為 _(用區(qū)間表示 )答案( 4,1)解析不等式 x2 3x 40，即 x2 3x40 ，解得 4x0 的解集是 x| 3x0 的解集是 x| 3 x1 ， 1 a1.2于是原不等式可化為(a1)x 4x 60，其解集為 x| 3x1 ， 3 14，由a 1解得 a3. 3 16，a 1三、解答題12二次函數(shù) f(x)滿足 f(2)