藝術(shù)生高考數(shù)學(xué)專題講義：考點11 函數(shù)與方程

1、考點十一函數(shù)與方程知識梳理1函數(shù)的零點(1)函數(shù)零點的定義函數(shù)yf(x)的圖象與橫軸的交點的橫坐標稱為這個函數(shù)的零點(2)函數(shù)的零點、方程的根、函數(shù)圖象與x軸交點三者間關(guān)系方程f(x)0有實數(shù)根函數(shù)yf(x)的圖象與x軸有交點函數(shù)yf(x)有零點2函數(shù)零點存在性定理若函數(shù)yf(x)在閉區(qū)間a，b上的圖象是連續(xù)曲線，并且在區(qū)間端點的函數(shù)值符號相反，即f(a)f(b)0)的圖象000與x軸的交點零點個數(shù)兩個交點2一個交點1無交點04二分法對于在區(qū)間a，b上連續(xù)不斷且f(a)f(b)0的函數(shù)yf(x)，通過不斷地把函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值

2、的方法叫做二分法5二分法求函數(shù)f(x)零點近似值的步驟第一步，確定區(qū)間(a，b)，驗證f(a)f(b)0；第二步，求區(qū)間(a，b)的中點x1；第三步，計算f(x1)；若f(x1)0，則x1就是函數(shù)的零點；若f(x1)f(a)0，則令ax1(此時零點x0(x1，b)；第四步，判斷是否滿足要求的條件，否則重復(fù)第二、三、四步典例剖析題型一函數(shù)零點的判斷和求解例1函數(shù)f(x)4x4在區(qū)間1，3上有零點.答案一個解析因為f(x)4x4=上有一個零點2.變式訓(xùn)練函數(shù)，所以函數(shù)f(x)4x4在區(qū)間1，3有零點的區(qū)間是例2已知函數(shù)f(x)ln(x1)，試求函數(shù)的零點個數(shù)解析令f(x)0，即ln(x1)，在同一

3、坐標系中畫出yln(x1)和y的圖象，可答案(2，3)解析.解題要點判斷函數(shù)在某個區(qū)間上是否存在零點，要根據(jù)具體題目靈活處理當能直接求出零點時，就直接求出進行判斷；當不能直接求出時，可根據(jù)零點存在性定理判斷；當用零點存在性定理也無法判斷時可畫出圖象判斷題型二零點個數(shù)問題1x11xx知兩個圖象有兩個交點，f(x)有兩個零點變式訓(xùn)練函數(shù)答案1個解析函數(shù)研究函數(shù)與的零點個數(shù)是的零點，即方程的解，圖象的交點，作出兩個函數(shù)的圖象如圖，1|x|(2)函數(shù)ym有兩個零點，則m的取值范圍是_可知有一個交點，故有一個零點.解題要點判斷函數(shù)零點個數(shù)的三種方法:(1)直接求零點：令f(x)0，如果能求出解，則有幾個

4、解就有幾個零點；(2)零點存在性定理：利用定理不僅要求函數(shù)在區(qū)間a，b上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)f(b)0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個零點；(3)利用圖象交點的個數(shù)：畫出兩個函數(shù)的圖象，看其交點的個數(shù)，其中交點的橫坐標有幾個不同的值，就有幾個不同的零點題型三參數(shù)范圍問題例3(1)函數(shù)f(x)4xx2a的零點的個數(shù)為3，則a2答案(1)4(2)(0，1)解析(1)令函數(shù)f(x)=|x24x|a=0，可得|x24x|=a由于函數(shù)f(x)=|x24x|a的零點個數(shù)為3，故函數(shù)y=|x24x|的圖象和函數(shù)y=a的圖象有3個交點，如圖所示：故a=4故答案為4(

5、2)在同一直角坐標系內(nèi)，畫出y1和y2m的圖象，如圖所示，由于函數(shù)有兩個零1|x|2點，故0m1.變式訓(xùn)練設(shè)方程|x23|a的解的個數(shù)為m，則m不可能等于_答案1解析在同一坐標系中分別畫出函數(shù)y1|x23|和y2a的圖象，如圖所示可知方程解的個數(shù)為0,2,3或4，不可能有1個解解題要點數(shù)形結(jié)合是解決此類問題的基本思想，其要點是通過構(gòu)造函數(shù)，把函數(shù)的零點問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點問題，從而借助圖象來求出參數(shù)的范圍題型四用二分法求方程的近似解例4設(shè)計算得到答案解析因為，用二分法求方程在區(qū)間上近似解的過程中，則方程的根落在區(qū)間_根據(jù)零點存在定理知，方程的根落在區(qū)間1(2015湖北文)函數(shù)f(x)2

6、sinxsinxx2的零點個數(shù)為_解析f(x)2sinxsinxx22sinxcosxx2sin2xx2.令f(x)0，則sin2x內(nèi).f變式訓(xùn)練用二分法研究函數(shù)f(x)x33x1的零點時，第一次經(jīng)計算f(0)0，可得其中一個零點x0_，第二次應(yīng)計算_答案(0，0.5)，f(0.25)f解析因為用二分法研究函數(shù)f(x)x33x1的零點時，第一次經(jīng)計算f(0)0，可得其中一個零點x0(0，0.5)，第二次應(yīng)計算中點值f(0.25)的函數(shù)值，然后依次進行判定當堂練習(xí)2答案22x2，則函數(shù)f(x)的零點個數(shù)即為函數(shù)ysin2x與函數(shù)yx2的圖象的交點個數(shù)作出函數(shù)圖象知，兩函數(shù)交點有2個，即函數(shù)f(x

7、)的零點個數(shù)為2.2(2015湖南文)若函數(shù)f(x)|2x2|b有兩個零點，則實數(shù)b的取值范圍是_答案(0,2)解析將函數(shù)f(x)|2x2|b的零點個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y|2x2|的圖象與直線yb的交點個數(shù)問題，數(shù)形結(jié)合求解由f(x)|2x2|b0得|2x2|b.在同一平面直角坐標系中畫出y|2x2|與yb的圖象，如圖所示則當0b1時，yx1，ycosx1，所以兩圖象只有一個交點，即方程xcosx0在0，)內(nèi)只有一個根，所以f(x)xcosx在0，)內(nèi)只有一個零點，所以選項4已知關(guān)于x的方程xlnxax1(ar)，下列說法正確的是_(填序號)有兩不等根只有一正根無實數(shù)根不能確定1若函數(shù)f(x)b

8、x2有一個零點為，則g(x)x25xb的零點是_答案11解析由xlnxax1(ar)知x0，lnxax，作出函數(shù)y1lnx與y2ax的圖象，易知選.5函數(shù)f(x)x32x1的零點所在的大致區(qū)間是_(填序號)(0,1)(1,2)(2,3)(3,4)答案解析f(0)10，f(2)110，f(3)320，f(4)710，則f(0)f(1)20，f(x)2x3x在r上是增函數(shù)而f(2)2260，f(1)2130，f(1)2350，f(2)226100，f(1)f(0)0.故函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,0)上有零點3方程log3xx30的解所在的區(qū)間是_答案(2,3)解析設(shè)f(x)log3xx3，則f(2)

9、log3210，f(x)0在(2,3)有零點，又f(x)為增函數(shù)，f(x)0的零點在(2,3)內(nèi)4方程|x22x|a21(a0)的解的個數(shù)是_答案2解析(數(shù)形結(jié)合法)a0，a211.而y|x22x|的圖象如圖，y|x22x|的圖象與ya21的圖象總有兩個交點5已知f(x)是定義在r上的奇函數(shù)，當x0時，f(x)x23x.則函數(shù)g(x)f(x)x3的零點的集合為_答案27，1,3解析當x0時，函數(shù)g(x)的零點即方程f(x)x3的根，由x23xx3，解得x1或3；當x0時，由f(x)是奇函數(shù)，得f(x)f(x)x23(x)，即f(x)x23x.由f(x)x3，得x27(正根舍去)故選d.6函數(shù)f

10、(x)x3x2x1在0,2上_(填序號)有兩個零點有三個零點僅有一個零點無零點答案解析由于f(x)x3x2x1(x21)(x1)令f(x)0，得x1,1.因此f(x)在0,2上僅有一個零點7函數(shù)答案的零點為_解析因為求解函數(shù)的零點，就是求解方程f(x)=0的解，而函數(shù)零點8函數(shù)f(x)6x9在區(qū)間1，3上有_個零點答案一個的解析因為，所以函數(shù)在區(qū)間1，3上有一個零點39函數(shù)f(x)3x7lnx的零點位于區(qū)間(n，n1)(nn)內(nèi)，則n_.答案2解析由于f(1)40，f(2)ln210，又f(x)在(0，)上為增函數(shù)，所以零點在區(qū)間(2,3)內(nèi)，故n2.2x1，x0，10已知函數(shù)f(x)x22x，x0，取值范圍是_答案(0,1)若函數(shù)g(x)f(x)m有3個零點，則實數(shù)m的2x1，x0，解析畫出f(x)x22x，x0的圖象，如圖由于函數(shù)g(x)f(x)m有3個零點，結(jié)合圖象得：0m1，即m(0,1)11用二分法求方程lnx2x0在區(qū)間1,2上零點的近似值，先取區(qū)間中點c，則233解析由于f(1)10，fln0，所以下一個含根區(qū)間為，2.32下一個含根的區(qū)間是_3答案，22222二、解答題12已知函數(shù)解析由函數(shù)有4個零點