第一章微分學(xué)

1、第一章微分學(xué) 第一節(jié).數(shù) 數(shù)是數(shù)學(xué)面對的基本對象。我們從熟悉數(shù)開始。 什么是數(shù)？我們現(xiàn)在來 構(gòu)造它。 0點，方向向右，單 定義：數(shù)軸是一條規(guī)定了起點、方向和單位長度的直線。起點稱為 位長度稱為1。如圖： 于是，以0點為圓心，以1的長度為半徑向右畫弧，可得弧與直線的交點，記為 1點。又以 1點為心，1的長度為半徑再畫弧得交點，記為 2點。如此下去，記為 n點。于是，我們在 數(shù)軸上得到了無限多個點的集合 N,稱此為自然數(shù)集。這個集合根據(jù)構(gòu)造，有如下特點： (1) 0,1 N , 這是最基本的元素，是對事物質(zhì)的規(guī)定。 (2) n N 問題來了，這些數(shù) 這是中國古代關(guān)于大數(shù)的表示: n 1 N，稱此為

2、歸納原理。這是對事物量的發(fā)展。 N如何表示？它們有什么性質(zhì)？ 大數(shù)之類”一段中記載： 凡數(shù)之 ” 一，十，百，千，萬，十萬， 元代著名數(shù)學(xué)家朱世杰在他的經(jīng)典著作算學(xué)啟蒙 大者，天莫能蓋，地莫能載，其數(shù)不能極，故謂之大數(shù)也。 百萬，千萬，萬萬曰億，萬萬億曰兆，萬萬兆曰京，萬萬京曰陔，萬萬陔曰秭，萬萬秭曰壤， 萬萬壤曰溝，萬萬溝曰澗，萬萬澗曰正，萬萬正曰載，萬萬載曰極，萬萬極曰恒河沙，萬萬 恒河沙曰阿僧祗，萬萬阿僧祗曰那由他， 萬萬那由他曰不可思議， 萬萬不可思議曰無量數(shù)?！?先說集合，它比數(shù)更基本。集合是不定義名詞，是關(guān)注對象全體的抽象。抽象表達(dá)的形 式是符號。符號就是一些表意的圖形。 集合盡管

3、是符號，但對它的內(nèi)涵還是有要求的。我們說給定集合 A指的是: A A中元素的規(guī)定。(注意，集合僅是規(guī)定它的元素，沒有構(gòu)造的意思。 規(guī)定必須做到： (1) (2) (3) (4) A與非A可識別 A內(nèi)元素可區(qū)別 A中元素是不可分割的最小單位 A自己不能作為A中的元素 前3個要求是自然的，為什么要加入第 羅素悖論：若集合放松第 4個要求，那么，把一切集合分成 A, B兩類, 4個要求? A s s S和B s s S。 問A屬于哪一類? 若A A,則與A的定義矛盾，若 A B，則A A，這又與B的定義矛盾。所以，集合本 身不能屬于自己。否則，會造成邏輯上層次的混淆。 注：把單個元素x也可以看成是一

4、個集合x，x與x有層次上的差別，x x。 集合有全集、子集和空集，有基本的運(yùn)算：并、交和取余，運(yùn)算有交換律、結(jié)合律和分 配律成立，等等性質(zhì)。這里就不再詳細(xì)展開。 -自然數(shù)集合的十進(jìn)制表示: 令集合A 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.是一些符號，稱其為阿拉伯?dāng)?shù)字。（注：據(jù)考證此符 號最早來源于古印度。） 我們用它來表示同類項中量的多少的規(guī)定。 把所謂“數(shù)數(shù)”叫做 加法。用符號“ +”表示。（加法符號的由來查百度網(wǎng)，很方便。） 加法是人類文明跨入抽象思維的第一步，在人對物的質(zhì)的規(guī)定認(rèn)識清楚后，加法是量的 關(guān)系中最簡單最直觀的運(yùn)算。其本質(zhì)是同類東西的合并一一“合并同類項”。它與集合的并 是有

5、本質(zhì)區(qū)別的，2 52 57。這里的7不是25所具有的東西。這是加法 帶來的內(nèi)涵。 定義：對自然數(shù)集 0 0 + + * + + , 100 0 1 101， N （就是前面數(shù)軸上構(gòu)造的那些點。 1，1 1 + + + + -I- 2，9 1 10， 1000 1 1001， ）規(guī)定十進(jìn)制加法表示如下： 10 111，19 120， + +*。（逢十進(jìn)一） 由此規(guī)定， N，當(dāng)a 那么，a a1a2 an，其中ai 0， aA。并稱為自然 數(shù)集A的十進(jìn)制表示。 顯然，由加法的定義得出，a,b N c a b N， abba， (a b) c a （b c），即交換律和結(jié)合律成立，等等。 歡迎下載7

6、 加法的幾何意義從數(shù)軸上看是明顯的。 以a點為圓心，b的長度為半徑畫弧得到的交點。 結(jié)論：自然數(shù)集 N是一個有加法運(yùn)算結(jié)構(gòu)的特殊集合。 注：自然數(shù)集除了我們熟知的十進(jìn)制表示，還可有二進(jìn)制表示。故它的表示是不唯一的。不 管幾進(jìn)制，運(yùn)算封閉，有零元，有單位元，交換律和結(jié)合律成立是本質(zhì)的。 自然數(shù)集的擴(kuò)張： 右畫弧改成向 左，（另一種規(guī)則?。┧媒稽c的全體集 中的點a都有一個 N中對稱的點 a與之對應(yīng)，稱它為 可以按構(gòu)造自然數(shù)集的規(guī)則中把向 合記成 N。由此得，任何一個 N a的負(fù)元。把它們合并，Z N N 0, 1, 2, ,a, ，稱Z為整數(shù)集。 a 乙 a ( a) 0。這 0。所以，（a）

7、a， 我們把再自然數(shù)集中的加法的概念推廣到整數(shù)集中，規(guī)定: 樣，（a）的對稱點就是a，所以，（a）（ （ a）（ a） 即負(fù)負(fù)得正。這是我們第一次通過規(guī)定得到的邏輯結(jié)果。 為什么要這樣做？ 從邏輯的角度，我們常常會面對加法的反問題： a,b Z,a x b a x ( a) b ( a) x 這種在整數(shù)集中未知元 x的求解問題就可以由此來定義加法的逆運(yùn)算 注意，5 x 3 x 3 52 N，所以，僅在自然數(shù)集 N中，求未知數(shù)加某一已知數(shù) 使得等于另一已知數(shù)的運(yùn)算是不封閉的。此外，所謂減法運(yùn)算與負(fù)元的加法是一個問題的兩 個方面，從物理上看，加號是規(guī)定物體向右運(yùn)動，減號是物體向左運(yùn)動。 我們看到，

8、反問題可以加深我們對概念理解。 進(jìn)一步，在整數(shù)集合 Z中，如果遇到多個相同元素相加，即“連加”?？梢栽俣x一種 新的運(yùn)算乘法。（這僅僅是乘法的一種含義?。┣乙?guī)定1a a。如： 5 5 53 515 , a a n a na Z中又不行了。 規(guī)定： a Z,a 0, b, ab 1 o 它的含義是“提取公因子”，它可以簡化加法運(yùn)算。由定義知, abba, (ab)c a(bc) abc,( a) a, (a b)c ab be 等等運(yùn)算性質(zhì)。 整數(shù)集有了加法和乘法運(yùn)算，內(nèi)容就豐富多了，最有意思的問題就是整數(shù)的因子分解。 如至今還沒有解決的問題一一哥德巴赫猜想：任何一個合數(shù)可以寫成二個素數(shù)之和。

9、注：乘法還有 復(fù)合運(yùn)算的含義，它比“提取公因式”的內(nèi)涵深刻得多。 可以證明，整數(shù)Z中關(guān)于乘法運(yùn)算仍是封閉的。但是關(guān)于乘法的逆運(yùn)算一一除法，即 反問題：ax b ?的求解問題，在 Z擴(kuò)張。 我們又需要把整數(shù)集 稱b為a的逆元，記b a 11 -o含義是分割。即將1分成a等分中的一份，在數(shù)軸上點一 aa 的位置可以通過a等分單位線段得到。它們是在數(shù)軸上生成的一些新的點集。 定義：含有0和1兩個元素，且對所有關(guān)于加法和乘法及其它們的逆運(yùn)算（減和除）都封閉 的點的集合稱為有理數(shù)集，記成Q。根據(jù)有理數(shù)集的構(gòu)造，Q有形式: Q R： P q 0 Z，我們把衛(wèi)這樣的數(shù)稱為分?jǐn)?shù)或稱有理數(shù)。（其實稱分割數(shù)或比

10、q q 例數(shù)更合適，幾何意義更明顯。但我們必須尊重歷史，不能改變歷史。） 即任 根據(jù)有理數(shù)的可分性， 有理數(shù)集有一個重要性質(zhì)就是，它在數(shù)軸上是處處稠密的。 意兩個有理數(shù)中間一定有另一個有理數(shù)。 問題來了，是不是所有理數(shù)集Q充滿了整個數(shù)軸? 請看數(shù) 和的作圖，如圖: 斜邊的長是所有有理數(shù)平方小于 2的一個上界。這個長度是無法通過有限次分割得到。 可以證明，數(shù)軸上有無窮多的點是無法通過有限次“等分分割”得到的。但是可以感覺到， 我們能用“等分分割”得到的點不斷去 接近這些點。這就是利用了有理數(shù)集在數(shù)軸上的稠密 引入一 性。我們可以找到一個有理數(shù)列an與該點無限接近。于是，我們?yōu)椤盁o限接近” 個重要

11、的基本概念一 請看如下數(shù)列: 1 數(shù)列的極限。 Xn X11 ,那么有: X2 Xn X41 12 29 41 41，X5 99 70 1.414281 。 所以, 我們可以構(gòu)造一個有理數(shù)序列 an， 使得它可以無限逼近數(shù) 42 。采用這種無限 逼近的方法，數(shù)軸上每一個點，我們可以用分割得到的點來得到。 這個事實很重要，我們把這一事實歸納陳述如下： 一個數(shù)列an就是數(shù)軸上可以與自然數(shù)集一一對應(yīng)的點的集合。這樣的數(shù)列可以有無 限多，我們可以把所有這樣的的數(shù)列分成兩類，一類是能無限接近某點的數(shù)列，記成 ana,如，1 0,J 1，等等。另一類是不能無限接近某點的數(shù)列， n n 1 如，n2,( 1

12、)n， 等等。 把所有與第一類中有理數(shù)列an無限接近的點擴(kuò)張到數(shù)集中: R Q a: ana，稱其為實數(shù)集。且不是有理數(shù)的實數(shù)稱為無理數(shù)?？梢姛o理數(shù) 是無限不循環(huán)小數(shù)。 實數(shù)集R與數(shù)軸是一一對應(yīng)的。即任何實數(shù)對應(yīng)數(shù)軸上唯一一個點，且數(shù)軸上任意點 有唯一的實數(shù)與該點對應(yīng)。 這是一個很重要的假定，數(shù)學(xué)上稱為連續(xù)統(tǒng)假設(shè)。也稱為實數(shù)集的完備性。 我們還可以把a(bǔ)na改寫成其他的極限運(yùn)算的符號形式：lim an n a和極限加上無窮 小的形式an a |J( )。|J()稱為無窮小，就是無限接近 0的任意數(shù)列。 極限的嚴(yán)格專業(yè)術(shù)語陳述為: 0, N,n N, an a 。(不去管它！) 由此，我們可得出無

13、窮小的性質(zhì)： 無窮小的加、減、乘運(yùn)算是封閉的，且無窮小乘任意有限數(shù)仍為無窮小。 行？) 由此，可得出極限運(yùn)算有性質(zhì)：如果 an a，bn b 0,那么, (為什么除不 anbn anbnab，ajbna/b。即極限也可以方便的做加減乘除運(yùn)算，并且在實數(shù)集 R上運(yùn) 算是封閉的。并且幕運(yùn)算、指數(shù)運(yùn)算、對數(shù)運(yùn)算、三角運(yùn)算都是封閉的。 利用極限的運(yùn)算性質(zhì)， 可以方便的求得實數(shù)數(shù)列的極限。但我們需要保證數(shù)列有極限才 能做四則運(yùn)算，沒有極限的數(shù)列，極限的加減乘除運(yùn)算性質(zhì)是不一定成立的。 具體舉例： 例如，an ( 1)n , bn ( 1)n an bn 0 , anbn ( 1)n2 O (1 1 (1

14、 )1 1 1 1。 歡迎下載9 例 1.|im n 例 2. iim(n n Jn2 1) 例3.充分性判斷: Xm 2x2 3x k 1 =a 0 , (1) k 2,a ； (2) k 2, a 3 有一類數(shù)列極限的存在性是通過分析得出來的，我們有二個重要定理。 定理一：and , bn d，且an Cn bn，則Cnd。稱其為夾逼定理。 定理二：數(shù)列an單調(diào)、 有界，則ana。也稱單調(diào)有界有極限。 兩個重要極限: (1) lim(1 -)n e n n 證明：我們證明數(shù)列 an(1 n 又因為, n n 因為, 所以, -)n單調(diào)遞增、有界，故有極限存在。 n (1 n1!) n(n

15、2) (n 1)2 (1 (n 1)2 n (n 1)2 (n 1)2 (n 1)3 (n 1)3 所以，an單調(diào)遞增。這個極限是個無理數(shù)，把它記成 由于對任意正實數(shù)x ，有n使得丄- n 1 1，再由單調(diào)增性, n (1 -)n n 1 x (1 -)X (1 X 1，再由夾逼定理, 我們有極限公式: lim (1 丄) xX 又因為, lim (1 x lim X (1 1)( X) E) lim (1 -) y y y lim lim y (1 T-1 )y1(1 lim (1)y 1 lim (1 /y 1 y “) 11 )e成立。 X 憑借他別出心裁的以數(shù)學(xué)公 所以，不論X向左還是

16、向右趨于正負(fù)無窮，都有l(wèi)im(1 這是在網(wǎng)上下載的一個關(guān)于這個極限的有趣故事： 最終經(jīng)現(xiàn)場70余人投票，王尊(吉林大學(xué)汽車工程學(xué)院) 式為切入點的作品榮獲冠軍。 憂就 lim (1 +-) - 兩個入如工相隔萬里 m心卻如汪限接近 .歲f以我們的愛已嵐都在 (2) lim X 0 X 1，此意味對任意趨于 0的實數(shù)列Xn 0，都有叭于1成立。 Xn 證明：因為當(dāng)- 2 X 0，有 0 sin X X ta nx。從圖形上看這是明顯的。 由，0 sin X sin X / X 1 再由, sin X tan X X / sin X 1/ cosx，倒過來，不等式反號，cosx sinx/x co

17、sx sin x/ X 1，因為 X cosx 1，再由夾逼定理, 最后得，lim1。 X 0X 又因為當(dāng) X 0,x0 , 歡迎下載 所以, lim X 0 X lim 衛(wèi)3 X)0( X) 所以，不論X從左還是從右邊趨于零極限公式都成立。 這兩個重要極限我們后面要用到。 數(shù)的概念、運(yùn)算、性質(zhì)和極限的概念就講這些，我們有些練習(xí)要做，只要求理解。關(guān)鍵 是要掌握數(shù)列極限的概念。 F面講數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系，為此我們要引入重要的基本概念一一函數(shù)。 第二節(jié).函數(shù) 函數(shù)我們在高中就學(xué)過了。 這是我們后面要面對的基本對象。這里我們換一種直觀幾何 的敘述方式。首先，禾U用數(shù)軸建立直角坐標(biāo)系。 1.直角坐標(biāo) 把

18、兩個數(shù)軸在0點垂直相交就建立了一個平面上的直角坐標(biāo)系。如圖： R2 這樣，平面 R2上的任何一點 P就與它的坐標(biāo)一一二元數(shù)組(X, y)建立了一一對應(yīng)關(guān)系。這 種點與數(shù)的關(guān)系的建立，看似簡單，有了坐標(biāo)，它把許多幾何上的直觀概念用方程的形式聯(lián) 系起來了。數(shù)和形的關(guān)系就得到了統(tǒng)一。 平面上點集合的一些基本概念： 圖形：平面上任意點的子集。 曲線與方程：曲線是平面上點的軌跡，方程是含未知數(shù)的等式。 在直角坐標(biāo)系上， 曲線與方程可以建立一個對應(yīng)關(guān)系，曲線可用方程 f(x,y) 0表示， 歡迎下載16 也可用參數(shù)方程x 或 x cos( t)， y (t), y (t)表示。女口，直線：y kx b。單

19、位圓：x2 y2 1 0 , 2 sin( t)。拋物線：y ax bx c。等等。所以，在有了直角坐標(biāo) 系之下，曲線就是方程，方程也是曲線。代數(shù)與幾何可以方便的聯(lián)系在一起。 根據(jù)曲線的直觀特點，我們把曲線又分成： 有間斷點的曲線，稱為 分段曲線； 沒有間斷的曲線，稱為連續(xù)曲線； 沒有“尖點”的曲線，稱為 光滑曲線。 1 如，y 是分段曲線，y x是有尖點的曲線, x 2 2 x y 10是光滑的閉合曲線, y 10是有尖點的閉合曲線，等等。 以上的內(nèi)容很重要，從圖形上來理解函數(shù)，會很方便。 如果我們對平面上的曲線進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆指?，只關(guān)注其中的某一特殊線段， 我們就可以定 義一類重要的曲線一一函

20、數(shù)。它的嚴(yán)格表述如下。 函數(shù)：X,Y R，如果 x X，存在唯一的y 丫與之對應(yīng)。記成 y f (x)。 注意, (1) 函數(shù)有三個關(guān)鍵點： 定義域X，自變量x的取值范圍。它是可以自主限定的。 值域丫，因變量y的取值范圍。它是受對應(yīng)規(guī)則限制的，故它是派生的。 對應(yīng)規(guī)則f，這里關(guān)鍵是對應(yīng)是存在唯一的。 例1：單位圓：x2 y2 1 0就不是一個函數(shù)關(guān)系，但加上限制，y 0，上半圓。或y 0, 下半圓，都在區(qū)間 1 x 1上確定了一個函數(shù)關(guān)系。 例2 :狄利克雷函數(shù)：D(x) 1當(dāng)x是無理數(shù)；D(x) 0當(dāng)x是有理數(shù)。 雖然該函數(shù)不 是一條完整意義上的曲線，且無法畫出它的圖像，但根據(jù)定義，它是一個

21、函數(shù)。 1 例3： y sin, x 0 ； y 0, x 0。這也定義了一個函數(shù)，特點是在 x 如果把函數(shù)放到直角坐標(biāo)系上去看，幾何直觀上看，函數(shù)就是一段可以有 “斷點”,“尖點”，但是“不能回頭”的曲線。 我們在高中已經(jīng)熟悉了許多基本的初等函數(shù)及其圖像： 0點無限震湯。 “波浪”，可以 一次函數(shù): kx b，圖像是一條直線，其中 k是斜率，b是截距。 二次函數(shù): 2 ax bx c,圖像是一條拋物線。a 0開口向上；反之, 向下。 多項式函數(shù): y anx aix ao，它在x軸上最多有n個交點。 幕函數(shù)：y 1 , y -稱為比例函數(shù)。圖像是過 x (1,1)點的遞 增( 0) 或遞減(

22、 0 )的曲線。 指數(shù)函數(shù): x y a ,a 0，圖像是過(0,1)點的遞增(a 1)或遞減(a 1 )的曲線。 對數(shù)函數(shù)：y loga x , x 0,圖像是過(1,0)點的遞增(a 1)或遞減(a 1 )的 曲線。它是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)，即，y loga xay x。特別，取以極限e為底的對 數(shù)函數(shù)稱為自然對數(shù)，記成y In x。 三角函數(shù)： y sinx , y cosx, y tanx , ctanx。 arcctanx 。 8. 反三角函數(shù)： y arcsinx, 1 x 1 ； y arccosx, y arctanx, y 注：也可以建立平面上的極坐標(biāo)系。它對于描述旋轉(zhuǎn)更加方便。

23、 -一光滑函數(shù)，它是光滑曲線的部分。所謂“光滑” 切線就是該直線與光滑曲線相交且僅相交于一點的直 下面我們要專門研究一類重要的函數(shù) 就是曲線上每一點都有它的切線存在。 線。它的幾何意義是明顯的。如圖： 注意，光滑曲線只是一種幾何直觀，嚴(yán)格的表述就是下面要講的導(dǎo)數(shù)和導(dǎo)函數(shù)的概念。 第三節(jié).導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)函數(shù) 如上圖，在直角坐標(biāo)系上，光滑函數(shù)y f (x)上每點P(x0, y0)的切線y kX b都有 它的斜率：ktan o這個斜率如何獲?。咳缤懊嬖跀?shù)軸上獲取某一實數(shù)一樣, X X0 我們采取無限逼近的手法。 欲求光滑曲線在點 X0處的切線，具體操作是: f(Xn)和點列 在點X0附近任意取一個數(shù)列X

24、nX0 ,由此得相應(yīng)數(shù)列yn P( Xn, yn)。 連接光滑函數(shù)y f(x)上點P(X0, y。)與點P(Xn,yn)，由此得到割線 割線In與橫軸X的夾角為n ,那么tan n人 就是割線ln Xn X0 的斜率。 顯然有，當(dāng)Xn X0 , kn 把以上描述換一種統(tǒng)一規(guī)范的符號寫法: 定義：令 Xn Xn Xo , yn Yn 丫0，那么, y Xn yn y0f(x0 Xn) f(X0) O XnX0 Xn 由于XnXnXo 0任意，干脆去掉下標(biāo)，表示 任意x X Xoo，稱為自變量的增 量; y y yo, 稱為函數(shù)的增量。如果lim 丫 X o X yyo X Xo 3 X)fg k

25、極限 X 存在，就稱該極限 k為函數(shù)y f(X)在點xo處的導(dǎo)數(shù)，記為 f (Xo)。 幾何上看，f (Xo)顯然是曲線在點Xo處的斜率。 又如果對任意的Xo X，導(dǎo)數(shù)f (Xo)都存在。這樣在X上就建立了一個函數(shù)關(guān)系, 是由函數(shù)y f(x)誘導(dǎo)出的，我們稱此為函數(shù) y f(X)的導(dǎo)函數(shù)，記成y f (x)。 又把 極限形式嘰y哭記為“比例”的形式，故S y f(X)。 注意，導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是光滑曲線上切線的斜率。它的確定僅與曲線所定義的函數(shù) y f(X)在點Xo處的鄰域有關(guān)，與整體無關(guān)。 注意，導(dǎo)數(shù)不是比例，它是一系列比例的一種特殊極限。 這導(dǎo)致在函數(shù)定義域中某些點的導(dǎo)數(shù)不存在。 例如，y

26、 X，我們來看它在 o點的斜率。得出，當(dāng) o X X xo o ， f (o) 當(dāng)o X X Xoo , f (G)1。因此，在包含o點的區(qū)間上, y X的導(dǎo)函數(shù)不存 在。這說明不是所有的函數(shù)都是可以求導(dǎo)數(shù)的。幾何上看，有間斷、有尖點、 數(shù)導(dǎo)數(shù)都不存在。 通俗的說，求導(dǎo)數(shù)就是求函數(shù)增量與自變量增量之比的極限。 希望大家從幾何上入手，在概念上準(zhǔn)確理解，數(shù)一一函數(shù)一一導(dǎo)數(shù)一一導(dǎo)函數(shù)。僅僅知 道一些符號和公式是沒有用的！ 這里發(fā)生了什么？要求了什么？得到了什么？ 無限震蕩的函 導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)上的應(yīng)用： 變化率：價格隨供求的變化率，貨幣隨利率的變化率，等等；變化率就是導(dǎo)數(shù)。它表示 發(fā)展的方向和趨勢。 增

27、長率：如果y f(x)且導(dǎo)數(shù)存在，那么 亠 lim丄 丄也dx ;它表示增量 y x o X y y 與存量的比例關(guān)系。 彈性： 丄 y y- f(X)-。它是兩個相關(guān)經(jīng)濟(jì)變量的變化率之比。 X y y 含義是 自變量每1%變化對因變量產(chǎn)生 loo%的變化。 第四節(jié).求導(dǎo)公式與求導(dǎo)法則 歡迎下載18 直接從函數(shù)的定義求導(dǎo)數(shù)是件很麻煩的事。 幫助我們方便的求得導(dǎo)數(shù)。這是基本功。 我們需要一些基本的求導(dǎo)公式和求導(dǎo)法則來 一些基本公式： 1. y c常數(shù)，則 c 2. y xn，則 y nx 3. y In X ,貝y (ln x) 證明： lim y ln(X x) 0 1 n ;進(jìn)一步, x 利

28、用公式 0 x x，則y In 證明: 證明: 求公式 lim ln x 0 (1 上) x x 1 xx lim 1 ln y x 3，兩邊取對數(shù)，既可證明公式 2，也可以證明公式 4。 ax，則(ax) x . a In a， a 特別, xl na y y sinx，貝y y lim丄 X 0 x cosx，貝y y cosx tanx，則 arcs inx, ln a y axln a 。 cosx sin(x x) sin x _ . . X./2xx. 2sin()cos() 2 2 x cosx。 y sinx sin(x i) y cos(x i) si nx 1 2 cos

29、x 7和8要用到下面的求導(dǎo)法則。 一些基本的求導(dǎo)法則: 1.求導(dǎo)的四則運(yùn)算 (af(x) bg(x) af (x) bg (x)； (f(x)g(x) f (x)g(x) f(x)g(x)； 歡迎下載34 證明：(f(x)g(x) lim f(x x)g(x x) f(x)g(x) x 0 x limf(xx)g(xX)f(x)g(xx)f(x)g(x x)f(x)g(x) x 0 x Hmf(xx)g(xx)f(x)g(xx)lim f(x)g(xx) f (x)g(x) X 0Vx 0 lim f(x x) f (x) x 0 lim g(x x) f (x) lim x 0X x g(x

30、 x) g(x) f (x)g(x) f (x)g (x)。 f(x) g(x) f (x)g(x) f (x)g (x), g(x) g2(x) sin x 例如，y tanx ，由除法求導(dǎo)法則得公式 cosx y嚴(yán)) cosx (sin x) cosx sin x(cosx) cos2x 2 2 cos x sin x 2 cos x 1 2。 cos x 2.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo) 復(fù)合函數(shù)：x X,x y g z，那么, z(x) g( f (x)稱為復(fù)合函數(shù)。那么, z(x) g(f(x) g (f (x) f (x)。 把一些復(fù)雜的函數(shù)看成多個簡單函數(shù)的復(fù)合能對求導(dǎo)運(yùn)算帶來很大方便。 例1：

31、 y，那么，y 1 x 1 F1 x2) 例 2： g(x) x x ，g(0) 例3:充分性判斷, f(x) ln(a bx) 4rx yfrx (1,0)且在0點處可導(dǎo)。 x (0,1) (1) a 1,b 1 ；( 2)a 1,b 1。 3.隱函數(shù)求導(dǎo) 由方程f (x, y) 0表示的光滑曲線的局部可以構(gòu)成一個函數(shù)關(guān)系，對求導(dǎo)而言這就夠 了, 我們不必把這種函數(shù)關(guān)系直接求解出來y f(X)，然后再求導(dǎo)。而是直接對方程按復(fù)合函 數(shù)的觀點先求導(dǎo)，再把導(dǎo)函數(shù)求解出來。 先看 個例： x2 1,把y看成x的函數(shù)，兩邊對自變量 x直接求導(dǎo)得，2x 2yy 0 , 所以, x x y yfT ，y

32、0，上半圓；y - y71 x2 0，下半圓。 例: 般對 f(x, y) 反函數(shù)求導(dǎo) dy dy 公式 因為 所以, 由空 dy 我們有，fx(x, y) fy(x, y(x)y 0 fx(x, y) o fy(x, y) f (x)，如果 f (x( y)x(y) 1, 0,那么，把x看成 dy dx dx dy y的函數(shù)，那么，由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則, arcsinx，貝y y dx dy cosy yj1 sin2 y 1/(敦dy逬) 又 y arctanx，貝U y arcs inx y/1 x2 1 1 x2。 因為 x, 2 y 2，y 所以， dx1 sin2 y cos2 y

33、dy cos2 y cos2 y 丄dx 由 dy 1用) dy dx 1 錚1 1 tan2 1 r。 x arcta nx siny, tany , 1 x2 利用求導(dǎo)公式和求導(dǎo)法則求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)需要多練， 任何捷徑可走。 理解概念，記住公式，多多練習(xí)，形成條件反射。沒有捷徑可走。 上述基本公式和法則必須牢記，沒有 fIn x 例 1.dx 14) Vln x 1 例3.充分性判斷，設(shè)f( 1 x) 1 ，貝y f (x) a x 1 2 (2x 1) 11 例2. l nA jnrx =丄( Tx2x (1)a 1 ；( 2) 可以把求導(dǎo)的概念繼續(xù)推廣。 函數(shù) f(x)求導(dǎo)得導(dǎo)函數(shù)y f

34、(x)。如果導(dǎo)函數(shù)仍是光滑函數(shù)，還可以繼續(xù)求導(dǎo)。 如此規(guī)定: y f(x)存(x) d2y d2x y f(x)存(x) d3y d3x (n) (n)(n)z 、d y yf(X)。 稱為函數(shù) f (X)的二階、三階階導(dǎo)數(shù)。 “相 這里在概念沒有太大的問題， 高階導(dǎo)數(shù)的幾何意義一般往往是很復(fù)雜的。直觀看就是 切”得更厲害。其實，函數(shù)與它的高階導(dǎo)數(shù)之間有很深刻的聯(lián)系。 一些基本的高階導(dǎo)數(shù)公式應(yīng)該記住： sin x 貝U y(n) sin(x nr) Inx 則 y(n) (1)n1 (n 1)! (1)| 八 n n 1)x 我們來看一個復(fù)合函數(shù)二階導(dǎo)數(shù)的公式。 通過它來熟悉概念。 回憶復(fù)合函

35、數(shù)：x X,x f y g z，那么，z(x) g(f(x)稱為復(fù)合函數(shù)。 z(x) g(f(x) g(f(x)f (X) dz dy 。 dy dx 從而，z(x)2(空 dx dx dy d dz dx(dy ) 2 2 d dzdy2 dz d dyd z dy2 dzd y 門；t)(円2 (廠)廠(呂)(y)(呂)2 (丁)(t)o dy dydx dy dx dxdy dx dydx 可見，二階復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式就很麻煩了，高階更麻煩，所以不必記憶。具體問題按求導(dǎo) 法則一步一步往下做下去反而更方便。 利用高階導(dǎo)數(shù)，可以將函數(shù)展開成多項式形式的幕級數(shù)。稱為函數(shù)的泰勒級數(shù)展開。它 的幾

36、何意義是，函數(shù) f(x)與某一多項式函數(shù) Pn(x)在點Xo處有相同的o階，一階，、n 階導(dǎo)數(shù), 也就是特別的“相切” 。那么, 多項式函數(shù) Pn(X)有: Pi(x) f (X0) f (X0)(x Xo) 1f 1 (Xo)(X Xo)2 卅一f(n)(Xo)(X Xo)n o 所以, f(x) Pn(X) rn(X) f(X0) f (X0)(X X0) X0)2 II) f(n)(Xo) n! (X Xo)n rn(X) O 如果，f(X)可以無限的求導(dǎo)下去，且 X Xo，且有 rn(x) d(x Xo)n0 成立。那么, 我們就把f(X)在點X0處附近展開，寫成: f (x)f (X

37、o)f (Xo)(X Xo)f (Xo)(x Xo)2 規(guī)定滿足XXo , rn(X)0成立條件的X為收斂域。特別, 一些基本函數(shù)的幕級數(shù)展開公式：(稱此為泰勒展開) 1 n 一X n! 1. ex 1 X lx2 2 (n)(Xo) n! 取X0 (X Xo)n 0稱為幕級數(shù)展開。 (回憶導(dǎo)言講的愛情故事。) (1) 2 X 2 2.(1 X) J (1)1 ( n 1) n 1 1 1 1 n! X 1 O 常用的不等式 H，收斂區(qū)域為 收斂區(qū)域為 1 O稱此為推廣的二項式定理。 (1 X) 1 ln(1 X) 1 -X 2 1X3 3 III xn III (1) ，收斂區(qū)域為 sin

38、X 1 X 3! 1 5 X 5! (1)n1擊 COSX 1 2 一 X 2! 1 4 一X 4! III ，收斂區(qū)域為1 X 1 O X2n X 1 O (這是等比級數(shù)。) TH，收斂區(qū)域為 收斂區(qū)域為 利用幕級數(shù)表示函數(shù)，我們可以做近似計算。 由 In(1 X) X 1 2 2 X 1 3 -X 3 I 1 ( 八 n 11r 1)-X n III，得 In2 1 1 2 1 3 1 1 ( 1)n II, 且誤差 rn 1 n 1 考慮， In(1 X) X 1 2 -X 1 3 X 11Xn) 1， 2 3 1 n 所以， In(1 X) In(1 X) In1 X 2(X 1 X3

39、 II 再令1 1 X 3 X 2, 解彳 尋X 1 1位于收斂區(qū)域中。 例1計算In 2的近似值。 3 解: 1 X 。這樣做收斂速度太慢了。 1 X 2n 1 2n 111）。 所以，In 2 In- 1 - 3 2(1 擴(kuò)卅。 如果取前4項作為In 2的近似，可得In 2 2(3 如果考慮誤差w，那么： 1 311(1 1 并由此可做 J2的近似計算: 2In 20.35, c CL 1 CL 2 e e 1 0.35 (0.35) 思考: 如何做 亦 的近似計算? 例2. 證明, nim(1 1 3 III A）有極限。 n 證明：數(shù)列單調(diào)遞增是顯然的，只要證明 lim(1 n 丄1丄

40、丄 n212 23 I) 1 1 3 它 53 為7) 0.6931。 1.41。 (n 1)n 所以，極限存在。 重要的是這個極限等于什么？此工作屬于歐拉。 因為，sin X X 1 3 X 3! 1 5 一X 5! Ill ( $ X (2n 1)! 所以，sin JX 4X X 3! 1x5 5! H) 4?孟。 2）有上界即可。事實上, n (1 2) 1 1 (2 3) 2n HI， 1)n1 (2n 1)! 2n 1 X丁 1 x 3! 1 2 x 5! I ( 1)n11xn1 】(2n 1)! 因為，x ,(2 )2,(3 )2,lll 有sinx 0是方程的根。 1 x 3!

41、 有因子分解, 1 2 x 5! sin 丘(1 TT (1 1 -x)(1 x)(1 (3 )2 x) y。雙方右邊一次項 x展開后的系數(shù)應(yīng)該 相等。一方面 x的系數(shù)是 另一方面, x的系數(shù)是 IIIHI)。 所以1丄丄 2232 1(1 2 6，即 nim(1 丄) n 2 。證完。 6 第五節(jié).微分、微分中值定理和洛比達(dá)法則 學(xué)完導(dǎo)數(shù)和高階導(dǎo)數(shù)，下面我們利用導(dǎo)數(shù)引入微分的重要概念。 給函數(shù)y f (x)，自變量x的增量 x，當(dāng) x 0時的任何部分 xJ j Xk規(guī)定為自 變量x的微分, 記成 dx。 相應(yīng)函數(shù) y f (x)的增量y ,當(dāng) x 0時的增量部分y1 yk的線性近似 f (x) Xk規(guī)定為函數(shù) y f (x)