對數(shù)概念及其運算

1、對數(shù)概念及其運算知識點1 對數(shù)1.對數(shù)的定義如果a a0, a1 的 b 次冪等于N，那么數(shù)b 叫做以a 為底N 的對數(shù)，記作 log aNb,其中 a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)。在對數(shù)函數(shù)log aNb中 ，a的取值范圍是a0, 且 a1， N的取值范圍是N0 ， b 的取值范圍是bR 。【注意】根據(jù)對數(shù)的定義可知（ 1）零和負數(shù)沒有對數(shù)，真數(shù)為正數(shù)，即N 0（ 2）在對數(shù)中必須強調(diào)底數(shù) a 0 且 a 12.常用對數(shù)（1）定義：以 10為底的對數(shù)叫做常用對數(shù)，log 10 N 記做 lg N 。（2）常用對數(shù)的性質(zhì)10 的整數(shù)指數(shù)冪的對數(shù)就是冪的指數(shù)，即lg 10 nn n是整數(shù)3.自然對

2、數(shù)（1）定義：以 e2.71828 為底的對數(shù)叫做自然對數(shù)，log e N 通常記為 InN 。（2）自然對數(shù)與常用對數(shù)之間的關系：依據(jù)對數(shù)換底公式，可以得到自然對數(shù)與常用對數(shù)lg Nlg N2.303lg N 。之間的關系： InN，即 InNlg e0.43434.指數(shù)式與對數(shù)式的互化（1）符號 log a N 既是一個數(shù)值， 也是一個算式， 即已知底數(shù)和在某一個指數(shù)下的冪，求其指數(shù)的算式。對數(shù)式 log a Nb 的 a 、 N 、 b 在指數(shù)式 abN 中分別是底數(shù)、指數(shù)和冪。（2）充分利用指數(shù)式和對數(shù)式的互換，講述四條規(guī)則：在 log a Nb 中，必須 N0 ，這是由于在實數(shù)范圍內(nèi)

3、，正數(shù)任何次冪都是正數(shù)，因而abN 中的 N 總是正數(shù)，須強調(diào)零和負數(shù)沒有對數(shù)。因為 a01，所以 log a 10 。因為 a1a, 所以 log a a1。因為 abN ，所以 log a N b ，所以 al 0g a NN ?！纠?1】下列說法錯誤的是（）(A) 負數(shù)和零沒有對數(shù)（ B）任何一個指數(shù)式都可以化為對數(shù)式（C）以 10 為底的對數(shù)叫做常用對數(shù)（ D）以 e 為底的對數(shù)叫做自然對數(shù)【例 2】（ 1）把下列指數(shù)式寫成對數(shù)式1 ; 1x 1x1 ; 3x64;274216（2）把下列對數(shù)式寫成指數(shù)式： log 3 92; lg 0.0013; log2132知識點 2對數(shù)的運算對

4、數(shù)的運算性質(zhì)如果 a 0 且 a1 ， M0 ， N0 ，那么，(1) log a MNlog a Mlog a N ;11 5 255 。（2） log aMloga M logbN;N（3） log aM nn log n MnR ；（4） log aM nn log a Mm, nR, m0。m用語言文字敘述對數(shù)運算法則為兩個正數(shù)的積的對數(shù)等于這兩個對數(shù)的和；兩個正數(shù)的商的對數(shù)等于這兩個正數(shù)的對數(shù)的差；一個正數(shù)的n 次方的對數(shù)，等于這個正數(shù)的對數(shù)的n 倍?！纠?3】下列各式與lg ab 相等的是（）c( A) lg ablg cB lg alg blg cC lg a lg b lg c

5、D lg ab lg c【例 4】計算：1 lg 0.012 ;2 log 4 423 4 ;3 log 2 3log 2 5;4 log 53log55log5 2 .24知識點 3換底公式1.換底公式log b Nlog a Na0, a1, b0, b1, N0log a b2.換底公式的推論1 log a b1a0, a1, b0, b1log b a2 log a blog a m bma0, a1,b03 log am bnn log a b a0, a1,b0,m0m【例 5】計算：1 log 8 32;2 log25 4 log 8 5;3 log 4 3log 8 3 log

6、 3 2 log 9 2 ;4 log 21log31 log51;5log 512log 7 92589log 5log 73 43【例 6】（ 1）已知lg 2 a, lg 3b, 用 a,b 表示 lg 45 的值；（2）已知 log18 9a,18b5,用 a,b 表示 log 36 45 的值。反函數(shù)的概念知識點反函數(shù)1.定義對函數(shù)yf xxD，設它的值域為A ，如果對A 中任意一個值y ，在D 中總有唯一確定的x 值與它對應， 且滿足yf x，這樣得到的x 關于y 的函數(shù)叫做yf x 的反函數(shù)，記作xf 1 y，習慣上，自變量常用x 來表示，而函數(shù)用y 表示，所以把它改寫為:yf1

7、xxA.2.反函數(shù)存在的條件函數(shù) yf x 存在反函數(shù)的充要條件是函數(shù)yf x 是定義域到值域上的一一映射所確定的函數(shù)。注意：單調(diào)函數(shù)必有反函數(shù)。3.反函數(shù)與原函數(shù)的關系（1）反函數(shù)和原函數(shù)互為反函數(shù)：如果函數(shù)yf x有反函數(shù)yf1x，那么函數(shù)yf 1 x的反函數(shù)是yf x ，則yf x 與 yf1x互為反函數(shù)；（2）反函數(shù)和原函數(shù)的定義域與值域互換函數(shù) yf x反函數(shù)yf1x定義域AC值域CA（3）互為反函數(shù)的函數(shù)的圖像間的關系函數(shù)yf x的圖像和它的反函數(shù)yf1x 的圖像關于直線yx 對稱。函數(shù)yf x的圖像與 xf 1 y的圖像是同一個函數(shù)圖像。4.求反函數(shù)的步驟（1）求函數(shù)yf x 的

8、值域（若值域顯然，解題時常略去不寫）。（2）反解：由yf x寫出x關于y 的關系式；（3）改寫：在xf1y中，將x， y 互換得到y(tǒng)f1x；（ 4）標明反函數(shù)的定義域，即（ 1）中求出的值域。【例 1】下列函數(shù)沒有反函數(shù)的是： y 3 x 25; y1；x21 y3 2x 1 2; yx23( x 0)3x x0（A）（ B）（ C）（D）【例 2】求下列函數(shù)的反函數(shù)：（1） y2x1 ( x2)；x2（2） y x24x 1 5 x2 ；（3） yx2x x1 ;（4） yx21 0x1x21x0【例 3】求函數(shù)yx21 x1 的反函數(shù) .對數(shù)概念及運算與反函數(shù)總結1、對數(shù)的運算法則（將高一

9、級運算向低級運算轉化）（1） log aMNlog a M log a NMlog a M log a N（ 2） log aN（3） log aM nn log a M（ 4） log a n M1log a Mn2、一個正數(shù)的對數(shù)是由首數(shù)加尾數(shù)組成的3、幾個常用的對數(shù)結論log a 1 0log a a 1log a annalog a bblog am a nnloga m bn n log a b log a b log b a 1mm4、換底公式：log a blog c blg blog c alg a5、常用對數(shù)與自然對數(shù)6、對數(shù)的運算：以同底為基本要求，注意質(zhì)因數(shù)分解，未知數(shù)在指數(shù)位置即為求對數(shù)7、研究反函數(shù)是否存在：從函數(shù)的單調(diào)性出發(fā)8、反函數(shù)的定義域：與原函數(shù)的值域相同，必須研究原函數(shù)值域求得9、求