復(fù)變函數(shù)與積分變換期末考試試卷及答案

1、一、單項選擇題 (本大題共15 小題，每小題 2分，共 30 分 )1下列復(fù)數(shù)中，位于第三象限的復(fù)數(shù)是（）A.12iB.1 2iC.12iD. 1 2i2下列等式中，不成立的等式是（）A.34i 的主輻角為arctan 4B. arg(3i) arg(i )3C. a rg( 34i )22arg(34i )D . z z| z |23下列命題中，正確的是（）A.z1表示圓的內(nèi)部B.Re(z)0表示上半平面C.0arg z表示角形區(qū)域D.Im( z)0表示上半平面4z4關(guān)于lim下列命題正確的是（）zz0 zA.0B.不存在C.1D.15下列函數(shù)中，在整個復(fù)平面上解析的函數(shù)是（）A. zezB

2、.sin zC. tan zezD. sin zezz216在復(fù)平面上，下列命題中，正確的是（）A.cos z 是有界函數(shù)B. Lnz22LnzC. eizcos zi sin zD.z2| z |7在下列復(fù)數(shù)中，使得ez3 i 成立的是（）A. zln 22iiB. z ln 4 2ii33C. z ln 2 2 i6D . z ln 4 2 i68已知 z31i ，則下列正確的是（）i3i7iiA. z3 2e12B. z6 2e 4C. z32e 12D. z6 2e 39積分?4dz 的值為（）z2|z| 3A. 8 iB.2C. 2 iD. 4 i4 , 則 ?C ( zez等于（）

3、10設(shè) C 為正向圓周 | z |i )10 dz12i2 i2 iA.B.C.D.10!10!9!9!11以下關(guān)于級數(shù)的命題不正確的是（）32iA. 級數(shù)7n 0n1i是絕對收斂的B. 級數(shù)是收斂的n 2 2nn(n 1)C. 在收斂圓內(nèi)，冪級數(shù)絕對收斂D.在收斂圓周上，條件收斂12 z 0 是函數(shù)ez）的（z(1cos z)A. 可去奇點B. 一級極點C.二級極點D. 三級極點1在點 z處的留數(shù)為（）13z(z 2)A. 0B. 11D.1C.2214設(shè) C 為正向圓周 | z | 1, 則積分ezdz 等于（）?c sin zA 2B 2iC0D 215已知 F () F f (t) ，

4、則下列命題正確的是（）A. F f (t 2) e2 jF ( )B. e2 jf (t) F 1 F (2)C. F f (2t )2F (2)D. F e2 jtf (t)F (2)二、填空題（本大題共5 小題，每小題2 分，共 10 分）16.設(shè) z11i , z213 i ，求z1_.z217.已知 f (z)(bx2y2x)i (axy y) 在復(fù)平面上可導(dǎo)，則 a b _.18.設(shè)函數(shù) f( z) =zt costdt ，則 f ( z) 等于 _.019.冪極數(shù)(2) nzn 的收斂半徑為 _.n 1n220.設(shè)z3 ，則映射在 z01i 處的旋轉(zhuǎn)角為 _ ，伸縮率為 _.20.

5、設(shè)函數(shù)f( t )t 2sin t ，則 f ( t ) 的拉氏變換等于 _.三、計算題（本大題共4 小題，每題 7 分，共28 分）21設(shè) C 為從原點到3 4i 的直線段，計算積分I( x y)2xyi dzCezcos z. (1) 求 f ( z) 的解析區(qū)域，（ 2）求 f(z).22. 設(shè) f ( z)iz224已知 u(x, y)x2y24x ，求一解析函數(shù)f (z)u( x, y)iv ( x, y) ，并使 f (0)3123. 將函數(shù)f (z)在點 z0 處展開為洛朗級數(shù).( z1)(z2)25. 計算dz.| z| 3 ( z 1)2(z i )( z 4)四、綜合題（共

6、4 小題，每題8 分，共 32 分）21d .25. 計算0 54cos26. 求分式線性映射f ( z) ，使上半平面映射為單位圓內(nèi)部并滿足條件f (2i ) 0 ，arg f (0) 1.2,1t027. 求函數(shù) f (t )t,0t1 的傅氏變換。0,其它28用拉氏變換求解方程y (t)y(t )et , 其中 y(0)1.復(fù)變函數(shù)與積分變換期末試卷答案一、選擇題1 B.2. C.3. A4. D5. B6. D7. A8. C9.B10.D 11.B12.D13.C14.A15.B二、填空題16 zcosi sin,17. 1,18. 3( zezez 1) ,6619. 1,13(3

7、1)i20.4三、計算題（本大題共4 小題，每題7 分，共28 分）21設(shè) C 為從原點到2 3i 的直線段，計算積分I( x2 y)ixy dzC解：設(shè)曲線 C 的參數(shù)方程為 C : z (2 3i )t 0t1.I( x 2 y)ixydz16t 6t 2i )(23i )dt(2tC016t 2i )(2 3i ) dt(2 3i )( 2t 22t3i ) |10( 4t0102i.22. 設(shè) f ( z)ezcos z .(1)求 f (z) 的解析區(qū)域， （ 2）求 f ( z).4 z2解： (1) 由方程4z20 得 z2 ，故 f ( z) 的解析區(qū)域為C 2,2 .ez(4

8、z22z)sin z.(2) f ( z)(4z2 ) 2123. 將函數(shù)f (z)在點 z0 處展開為泰勒級數(shù).( z1)(z2)解： f ( z)111111)(z2) ( z2) (1 z)z(1 z)(z)2(121znznznzn| z | 1.2 n 0 2n 0n 0 2n 1n 0124. 將函數(shù) f ( z)ez 1在圓環(huán) 0 | z 1|內(nèi)展開成洛朗級數(shù) .(z1)2n1解： ez 的泰勒展式為ezzn ，故 ez1 1 的羅朗展式為 ez1 1n 0 n!1n1ez 11z 11所以 f ( z)2( z 1)2n!n 2 .(z1)n 0n 0 n!( z 1)四、綜合

9、題（共4 小題，每題8 分，共 32 分）25已知 u(z, y)x2y22x ，求一解析函數(shù)f ( z)u(x, y)z1，n!n 0iv (x, y) ，并使 f (0)2i 。解：由柯西黎曼方程得vux所以 v( x, y)2ydxC ( y)2xyC( y).2 y,xy0vuy2xC ( y)2x 2, 所以 C( y)C ( y)dxC2y C.yx0所以 v( x, y)2xy2yC.從而 f ( z)x2y2x(2 xy2 yC)i.又 f (0) Ci2i.所以 C2.所以 f (z)x2y 2x (2 xy 2 y 2)i.26. 計算dz.| z| 2 ( z 1)2 ( z 1)(z 3)解：由柯西積分定理得11原式( z 1)( z 3)( z 1)2 ( z 3)1( z2dz| z 1|1( z1)dz|z 1|21)211( z 1)( z 3)z1(z 1)2 ( z 3) z 122z3)211 .( z1)2 ( zz116161,1t027. 求函數(shù) f (t )1,0t1 的傅氏變換。0,其它解： F ( )f (t )e i0e it dt1t dtt dte i10