電路 第十三章 拉普拉斯變換

1、第十三章 拉普拉斯變換131 基本概念1311拉普拉斯變換的定義一個定義在區(qū)間的函數(shù)，它的拉普拉斯變換式定義為 式中為復數(shù)，稱為的象函數(shù)，稱為的原函數(shù)。式中積分下限取，把上述定義式作如下變形：可見，對拉普拉斯變換的定義，已自動計及時可能包含的沖激。1312 拉普拉斯變換的基本性質設 ，則有下表中性質。表13-1拉普拉斯變換的基本性質序號性質名稱時域復頻域1線性2尺度變換3時移性4頻移性5時域微分6時域積分7復頻域微分8初值定理9終值定理10時域卷積11復頻域卷積1313 拉普拉斯反變換對于簡單的象函數(shù)可在拉氏變換表中查出它的原函數(shù)，表中沒有的可按反變換基本公式求出，即，但此式涉及到計算一個復變

2、函數(shù)的積分，一般比較復雜。電路響應的象函數(shù)通?？杀硎緸閮蓚€實系數(shù)的的多項式之比，即的一個有理分式式中和為正整數(shù)，且。若時，先將其化簡成真分式，然后用部分分式展開，將復雜變換式分解為許多簡單變換式之和，然后分別查表即可求得原函數(shù)。1具有個單實根時式中： 則 2具有重根時設除了個重根外，其它均為單根，共有個根。式中：則 3具有共軛根時若有復數(shù)根，一定是一對共軛根。設有個單根，其中兩個為一對共軛根，。為一對共軛復數(shù)，設，則 1314 線性動態(tài)電路的拉氏變換分析法運算法（即復頻域分析法）1 元件的伏安關系及運算電路如表13-2所示附表13-2。表13-2 元件的伏安關系及運算電路元件時域形式頻域形式1

3、頻域形式2RLCM在分析時，注意以下幾點：（1）式中各元件的電壓、電流均為關聯(lián)的參考方向；（2）附加電源的極性與初始值參考方向相同；（3）由互感引起的附加電源除了與初始值有關外，還和同名端有關。2基爾霍夫定律的運算形式如表13-3所示見附表13-3。表13-3 基爾霍夫定律的運算形式名稱時域形式運算形式3用運算法分析動態(tài)電路的步驟復頻域的基爾霍夫定律和各種元件伏安關系都是線性代數(shù)方程，與直流電路中的相應方程一一對應。因此，在線性直流電路中建立的各種分析方法、定理可推廣用于復頻域電路模型。具體步驟如下：（1）根據(jù)換路前電路的工作狀態(tài)，計算電感電流初始值和電容電壓初始值；（2）作出換路以后復頻域的

4、等效電路，即運算電路（注意附加電源的值和方向）；（3）應用線性網(wǎng)絡一般分析方法（結點法、回路法、支路法、電路定理、等效變換等）列寫運算形式的電路方程，求出響應的象函數(shù)或等；（4）用部分分式展開法對象函數(shù)取反變換，求出時域響應或等。132 重點、難點分析1321 本章重點拉普拉斯變換的核心問題是把以為變量的時間函數(shù)與以復頻率為變量的復變函數(shù)聯(lián)系起來，也就是把時域問題通過數(shù)學變換后成為頻域問題，把時間函數(shù)的線性常系數(shù)微分方程化為復變函數(shù)的代數(shù)方程，在求出待求的復變函數(shù)后，再作相反的變換，就得到待求的時間函數(shù)。所以，本章重點為：1拉普拉斯變換求解線性動態(tài)電路的概念；2拉普拉斯變換的定義及其基本性質；

5、3拉普拉斯反變換的部分分式展開法；4元件伏安關系及電路定律的復頻域形式；5運用拉普拉斯變換分析計算線性電路的過渡過程。1322 本章難點前面我們學習了用經(jīng)典法求線性電路的動態(tài)過程的方法，學習了用相量法求正弦激勵下線性電路的穩(wěn)態(tài)過程的方法，而拉普拉斯變換卻能求得電路的全響應、全過程，因此，它是全面分析線性電路的一種有力工具。拉普拉斯變換法在解決一些電路分析的具體問題時比較簡便，如避開了在作用下的電感電流和電容電壓的躍變問題，但其物理意義沒有經(jīng)典法明顯。在學習本章內容的同時，注意與前面所學內容相比較，注意它們之間的聯(lián)系。應用拉普拉斯變換分析線性電路的瞬態(tài)，須經(jīng)過三個過程：（1）從時域到復頻域的變換

6、，即對電路的輸入取拉普拉斯變換，給出相應的復頻域電路；（2）在復頻域對電路列方程和應用電路定理，求出相應的象函數(shù)；（3）從復頻域到時域的變換，求出響應的時域表達式。用拉氏變換法求解線性電路的響應時，要注意以下幾點：1 初始狀態(tài)的確定。對于復雜的電路，往往不能正確地計算出動態(tài)元件的初始值。2 正確地畫出復頻域等效電路模型。注意附加電源的大小和方向，注意一些常見信號的象函數(shù)的記憶。3 正確地計算出響應的象函數(shù)。在求解象函數(shù)時，由于復頻率是以符號形式存在，在復頻域求解響應的過程有時比較繁瑣，這是該方法的不足之處。133 典型例題1331 拉普拉斯變換的定義及性質例13-1 已知如圖13-1所示，求其

7、拉氏變換的象函數(shù)。 解題指導：首先正確地寫出函數(shù)的時域表達式，然后利用拉普拉斯變換的時移性質來求。解 由題圖得函數(shù)的時域表達式為其象函數(shù)為例13-2求圖13-2(a)所示三角脈沖電流的象函數(shù)。解題指導：本題可利用拉普拉斯變換的時域微分性質，先寫出三角脈沖電流的微分信號及其象函數(shù)，再進行求解。解 對電流求導，波形如題圖13-2（b）所示。則于是得到根據(jù)拉普拉斯的微分性質，即得例13-3 已知周期函數(shù)，周期為，試求其拉氏變換式。解題指導：這是一個周期函數(shù)的象函數(shù)的求解問題?？衫美绽棺儞Q的時移特性。解 求周期函數(shù)的拉氏變換，可以應用時移特性。用，分別表示第一周、第二周的波形，則根據(jù)時移特性，若

8、：則：根據(jù)上式，首先求第一個周期波形的拉氏變換式。由拉氏變換定義可得：本題中周期為，于是得到例13-4 求的拉氏變換式。解題指導：任意函數(shù)與的乘積的象函數(shù)的求解可利用拉普拉斯變換的頻移特性。解 應用頻移特性，先求所以： 1332 拉普拉斯反變換例13-5 已知下列象函數(shù)。求原函數(shù)。（1）（2）（3）解 （1）解題指導：僅含有兩個單實根的情況。（2）解題指導：包含了兩個重根的情況。（3）解題指導：象函數(shù)乘以，相當于時域中發(fā)生了時移。例13-6 已知象函數(shù)。求其原函數(shù)。解題指導：當包含有共軛復根時，往往用配方法做比較簡單。解 象函數(shù)可變換為其原函數(shù)為例13-7 求的拉氏反變換。解題指導：當所給出的

9、有理分式不是真分式時，應先用長除法進行處理，變成真分式，然后再進行求解。解 所給函數(shù)不是真分式，用長除法，得于是可得1333 應用拉普拉斯變換法分析線性電路例13-8 用拉普拉斯變換法求圖13-3(a)電路中開關S閉合后的電容電壓（要求畫出運算電路模型）。解題指導：這是一個直流激勵下的二階電路的全響應的求解問題。對于結點較少的電路宜用結點法進行求解。解 由換路前電路求得, 。運算電路模型如圖13-3（b）所示。列寫結點電壓方程求得進行拉氏反變換得 例13-9 用拉氏變換法求圖13-4(a)所示電路中電容電壓。已知, V。解題指導：由于為方形脈沖，用拉氏變換法求解，應先寫出電源電壓的象函數(shù)然后求

10、解。也可分為兩段進行求解（后者讀者可以自己考慮）。解 電源電壓得象函數(shù)為運算電路模型如圖13-4(b)所示。則結點電壓方程為求得進行拉氏反變換，得 例13-10 電路如圖13-5(a)所示。開關S原來接在“1”端，電路已達穩(wěn)態(tài)。當時將開關S由“1”合向“2”，用拉氏變換法求換路后的電阻電壓（要求畫出運算電路模型）。解題指導：這是指數(shù)函數(shù)激勵下的二階電路的全響應的求解問題。首先正確地計算出換路前的初始狀態(tài)，然后畫出換路后的運算模型，本題中采用的電路分析的方法是回路電流法。解 由換路前電路求得, （電流參考方向見運算電路模型）運算電路模型如圖13-5（b）所示。則按所選回路，回路電流方程為解得電壓

11、。進行拉氏反變換得：例13-11 電路如圖13-6(a)所示。開關S閉合前電路已達穩(wěn)態(tài)。在時閉合開關S。用拉氏變換法求換路后的。解題指導：本題為求二階電路的零輸入響應。注意受控電流源的狀態(tài)。解 由換路前電路求得 開關閉合后，控制量為零，受控電流源開路。運算電路模型如圖13-6(b)所示。由此模型可得進行反變換，得 例13-12 圖13-7所示電路中二端口網(wǎng)絡N的復頻域短路導納矩陣為，求零狀態(tài)響應。解題指導：本題為求沖激激勵下的零狀態(tài)響應。用拉普拉斯變換法求沖激作用下的響應時，不需考慮電容電壓和電感電流的躍變問題，簡化了計算，而且不容易出錯。在包含了二端口網(wǎng)絡的電路的求解中，注意利用二端口的特性

12、方程輔助求解。解 復頻域節(jié)點方程 二端口方程解得 ， 例13-13 圖13-8（a）所示電路在時處于穩(wěn)態(tài)，求時的和。. 解題指導：本題為求解二階電路的全響應。在包含了受控源的電路中，注意采用在直流電路中所學過的處理方法：將受控源作為獨立電源來處理，并尋找控制量與變量之間的關系。解 復頻域模型如題圖13-8（b）： 節(jié)點方程 解得 ， 例13-14 如圖13-9所示電路中，求零狀態(tài)響應。解題指導：本題為求正弦激勵下的零狀態(tài)響應。對于電橋中的AB支路電流的求解，應首先求出從AB兩點看進去的戴維南等效電路，以便簡化計算。解 運算電路如圖13-9(b)所示求從A、B兩點看進去的戴維南等效電路：開路電壓

13、 等效阻抗 于是可得到AB支路電流 例13-15 如圖13-10（a）所示電路原處于穩(wěn)態(tài)，, , 時開關接通。試求 。解題指導：本題是求解三階電路的全響應。首先注意初始值的求解，另外兩個電容串聯(lián)時所分得的電壓應與電容值成反比，還有所求的應包含附加電壓源的電壓。解 由時的電路得 復頻域電路模型如圖13-10(b)所示，對其列結點電壓方程 代入已知條件解得 進行反變換得到 例13-16 電路如圖13-11(a)所示。已知， ，, 。求時的響應和。解題指導：本題為求含有互感電路的全響應。當含有互感的電路為非零初始狀態(tài)時，注意正確地畫出其運算電路，注意附加電源的大小和方向。當求某一互感線圈電壓時，其象

14、函數(shù)應包括相應的附加電源電壓。對含有互感得電路最好用回路電流法或支路電流法。解 運算電路如圖13-11(b)所示，其中。電路方程為2代入已知數(shù)整理得 解得 所以 進行拉氏反變換得 例13-16 如圖13-12(a)所示，F(xiàn)，時合上開關S，用運算法求。解題指導：本題為正弦激勵下的二階電路的全響應的求解。注意初始值的求解應采用相量法。解 由于電路源處于正弦穩(wěn)態(tài)，故采用相量法求初始值。畫運算電路如圖13-12(b)所示。進行反變換得到例13-17 求圖13-13（a）中開關K閉合后，電路中得電流和。參數(shù)已標在圖中。解題指導：本題的電路非常復雜。所以為計算方便，先將電路化簡，用戴維南電路進行等效。解：

15、設開關K閉合時刻為，初始值為求開關K以左的戴維南等效電路，得出，。作出原電路圖的等效電路如圖13-13(b)所示。下面用拉氏變換法來分析，為此先作出運算電路，如圖13-13(c)所示，其中已進行了消互感的等效變換。列回路電流方程：代入元件數(shù)值，其中： 代入方程組得 反變換得 例13-18 在如圖13-14（a）所示線性網(wǎng)絡中，設，試用拉普拉斯變換法求電容電壓的零狀態(tài)分量，零輸入分量及全響應。解題指導：線性電路的全響應=零輸入響應+零狀態(tài)響應。解 作出運算電路如圖13-14（b）所示。求出各響應的象函數(shù)代入元件值整理得到其中求它們的原函數(shù)及可得出：零狀態(tài)響應零輸入響應 全響應例13-19 如圖1

16、3-15所示為一零狀態(tài)電路。求在激勵下的響應，并指明瞬態(tài)響應、穩(wěn)態(tài)響應、自由響應、強迫響應。解題指導：注意掌握瞬態(tài)響應、穩(wěn)態(tài)響應、自由響應、強迫響應的概念。解 時，運算電路如圖13-15(b)所示。列兩個網(wǎng)孔方程：又有聯(lián)立求解得進行反變換得到例13-21 如圖13-16（a）所示電路，電容器初始電壓及電感器初始電流均為零。，開關在時閉合。求時的響應及。解題指導：由于開關閉合前后電路結構改變，故分為兩個階段來分析。第一個階段為求一階電路的沖激響應，只不過是個延遲的沖激函數(shù)，作用時刻為。可以等效成一個零輸入響應來求解。第二階段是一個二階電路求全響應的問題，應用拉氏變換法求解。注意題中時間變量的不同

17、。解 （1），開關S未閉合，此時得電路圖如圖13-16（b）所示。按照已知條件有，可見這是求電路的沖激響應，由此得出：，仍維持為0，既有在瞬間，電容器被充電，電容電壓發(fā)生躍變，其值為，電容放電，等效為一個零輸入響應。其時間常數(shù)為求得 由于S斷開，此時的電流仍然為零，即 當時，電容電壓的值為（2），開關S閉合，由于A,在后，電流源支路相當于開路，得出等效電路如圖13-16（c）所示。選一個新的時間變量，并令當時，。電路的初始值為作出運算電路如圖13-16（d）。按照彌爾曼定理，可得進行拉氏反變換，求和。 再求和 總的解答為13.4 自測題習題13-1 求下列象函數(shù)的原函數(shù)。（1）答案：（2）答案：（3）答案：（4）答案：習題13-2電路如圖13-17所示，開關S原來是打開的，電路已達穩(wěn)定。已知，電容上原有電壓100伏，極性如圖中所示。在時將開關K閉合，求時的電感電流。答案： 習題13-3電路如圖13-18所示的零狀態(tài)電路中，已知伏，。時將開關K閉合，求時的。答案： 習題13-4電路如圖13-19所示，開關S閉合前電路原已穩(wěn)定，且電容上沒有電荷。時將開關S閉合，求時的，及各支路電流。已知，。答