小學(xué)奧數(shù)最值問題

1、最值問題內(nèi)容概述均值不等式， 即和為定值的兩數(shù)的乘積隨著兩數(shù)之差的增大而減小小值的問題， 解題時(shí)宜首先考慮起主要作用的量，如較高數(shù)位上的數(shù)值，舉各種可能情形也是必要的各種求最大值或最有時(shí)局部調(diào)整和枚典型問題2有 4 袋糖塊，其中任意3 袋的總和都超過60 塊那么這4 袋糖塊的總和最少有多少塊?【分析與解】糖應(yīng)盡量平均，有方法一 ：設(shè)這A、 B、 C 袋糖有4 袋為 A、 B、 C、 D，為使20、20、 21 塊糖4 袋糖塊的總和最少，則每袋則當(dāng) A、B、 D 三袋糖在一起時(shí)，為了滿足條件，D 袋糖不少于21 塊，驗(yàn)證A、B、C、D這 4 袋糖依次有 20， 20， 2l ，2l 時(shí)滿足條件，

2、且總和最少這 4 袋糖的總和為 20+20+21+21=82 塊方法二 ：設(shè)這 4 袋糖依次有a、 b、 c、 d 塊糖，abc61有abd， + + +得： 3（ a+b+c+d） 244, 所以 a+b+c+d 81 1, 因?yàn)?1acd361bcd61a+b+c+d 均是整數(shù)，所以a+b+c+d 的和最小是 82abc 60 a+b+d 60 評注：不能把不等式列為，如果這樣將+得到a+c+d 60 b+c+d 60 3(a+b+c+d)240,a+b+c+d80 ，因?yàn)?a、 b、c、d 均是整數(shù)，所以 a+b+c+d 的和最小是 81. 至于為什么會出現(xiàn)這種情況如何避免 , 希望大家

3、自己解決 .4用 1， 3，5， 7， 9 這 5 個(gè)數(shù)字組成一個(gè)三位數(shù)8 這 5 個(gè)數(shù)字組成一個(gè)三位數(shù)FGH和一個(gè)兩位數(shù)IJABC和一個(gè)兩位數(shù) DE，再用求算式 ABC DE-FGHIJO， 2，4， 6，的計(jì)算結(jié)果的最大值【分析與解】為了使ABCDE- FGHIJ盡可能的大，ABCDE盡可能的大，F(xiàn)GHIJ盡可能的小則 ABCDE最大時(shí)，兩位數(shù)和三位數(shù)的最高位都最大，所以為7、 9，然后為3、 5，最后三位數(shù)的個(gè)位為1，并且還需這兩個(gè)數(shù)盡可能的接近，所以這兩個(gè)數(shù)為751， 93則 FGH IJ 最小時(shí)，最高位應(yīng)盡可能的小， 并且兩個(gè)數(shù)的差要盡可能的大， 應(yīng)為 46820所以 ABCDE-F

4、GH IJ 的最大值為 75193 - 46820=60483評注 ： 類似的還可以算出 FGHIJ - ABCDE 的最大值為 64082 - 37915=467956將 6，7，8，9，10 按任意次序?qū)懺谝粓A周上， 每相鄰兩數(shù)相乘， 并將所得 5 個(gè)乘積相加，那么所得和數(shù)的最小值是多少 ?【分析與解】 我們從對結(jié)果影響最大的數(shù)上人手，然后考慮次大的，所以我們首先考慮 10，為了讓和數(shù)最小， 10 兩邊的數(shù)必須為 6 和 7然后考慮 9，9 顯然只能放到圖中的位置，最后是 8，8 的位置有兩個(gè)位置可放，而且也不能立即得到哪個(gè)位置的乘積和最小，所以我們兩種情況都計(jì)算87+710+106+69

5、+98=312;97+710+106+68+89=313所以，最小值為3128一個(gè)兩位數(shù)被它的各位數(shù)字之和去除，問余數(shù)最大是多少?【分析與解】 設(shè)這個(gè)兩位數(shù)為ab =lOa+b，它們的數(shù)字和為a+b, 因?yàn)?lOa+b=(a+b)+9a ，所以 lOa+b 9a(mod a+b) ，設(shè)最大的余數(shù)為k，有 9a k(mod a+b) 特殊的當(dāng) a+b 為 18 時(shí)，有 9a=k+18m，因?yàn)?9a、 18m均是 9 的倍數(shù)，那么 k 也應(yīng)是 9 的倍數(shù)且小于除數(shù) 18，即 0， 9，也就是說余數(shù)最大為 9；所以當(dāng)除數(shù)a+b 不為 18，即最大為17 時(shí)，m=7+9t: 余數(shù)最大為16，除數(shù) a+

6、b 只能是 17，此時(shí)有 9a=15+17m，有(ta=15+17t為可取 0 的自然數(shù) ) ，而 a 是一位數(shù)，顯然不滿足；：余數(shù)其次為15，除數(shù) a+b 只能是 17 或 16，m=6+9t除數(shù) a+b=17 時(shí)，有 9a=15+17m,有a=13+17t,(t 為可取0 的自然數(shù) ) ， a 是一位數(shù)，顯然也不滿足；m=3+9t為可取 0 的自然數(shù) ) ，因?yàn)?a 是一位數(shù)，除數(shù) a+b=16 時(shí)，有 9a=15+16m,有(ta=7+16t所以 a 只能取 7，對應(yīng) b 為 16-7=9 ，滿足；所以最大的余數(shù)為 15，此時(shí)有兩位數(shù)79(7+9)=41510 用 1， 2， 3，4，5

7、， 6， 7， 8， 9 這 9 個(gè)數(shù)字各一次，組成一個(gè)被減數(shù)、減數(shù)、差都是三位數(shù)的正確的減法算式，那么這個(gè)算式的差最大是多少?【分析與解】 考慮到對差的影響大小，我們先考慮百位數(shù)，為了讓差最大， 被減數(shù)的百位為 9，減數(shù)的百位為1，如果差的百位為8，那算式就是如下形式：剩下的 6個(gè)數(shù)字為 2、3、4、5、6、7，因?yàn)榘傥粩?shù)字為 8，所以我們可以肯定被減數(shù)的十位數(shù)字比減數(shù)要大，而且至少大 2，因?yàn)?1 已經(jīng)出現(xiàn)在算式中了，算式的可能的形式如下：得數(shù)的十位只可能是減數(shù)和被減數(shù)的十位數(shù)字之差，或者小1，可能的算式形式如下：但這時(shí)剩下的數(shù)都無法使算式成立再考慮差的百位數(shù)字為7 的情況， 這時(shí)我們可以

8、肯定減數(shù)的十位數(shù)比被減數(shù)要大，為了使差更大，我們希望差值的十位為8，因此，算式可能的形式為：再考慮剩下的三個(gè)數(shù)字，可以找到如下幾個(gè)算式：，所以差最大為78412. 4個(gè)不同的真分?jǐn)?shù)的分子都是1，它們的分母有2 個(gè)是奇數(shù)、 2 個(gè)是偶數(shù)，而且2 個(gè)分母是奇數(shù)的分?jǐn)?shù)之和與2 個(gè)分母是偶數(shù)的分?jǐn)?shù)之和相等這樣的奇數(shù)和偶數(shù)很多，小明希望這樣的 2 個(gè)偶數(shù)之和盡量地小，那么這個(gè)和的最小可能值是多少?【分析與解】設(shè)這四個(gè)分?jǐn)?shù)為上1、1 、1、12m2n2a+12b+1( 其中 m、n、 a、 b 均為非零自然數(shù) )有1+1=1+1 ，則有1-1 =1-1 ，2m2n2a+12b+12m2b+12a+12n我

9、們從 m=1,b=1 開始試驗(yàn)：1=1+1=1+1， 1= 1 +1=1+1，263443124661= 1 +1=1+1，1= 1 +1= 1 + 1 ，420588530610101 =1+1=1+1，65101212我們發(fā)現(xiàn)，1 和 1 分解后具有相同的一項(xiàng) 1 ，而且另外兩項(xiàng)的分母是滿足一奇一偶，5610滿足題中條件：1 + 1 = 1 + 1 ，所以最小的兩個(gè)偶數(shù)和為6+10=1651561014. 有 13 個(gè)不同的自然數(shù)，它們的和是100問其中偶數(shù)最多有多少個(gè)?最少有多少個(gè)？【分析與解】 13 個(gè)整數(shù)的和為 100，即偶數(shù)，那么奇數(shù)個(gè)數(shù)一定為偶數(shù)個(gè)， 則奇數(shù)最少為 2 個(gè)，最多為

10、 12 個(gè)；對應(yīng)的偶數(shù)最多有 11 個(gè)，最少有 1 個(gè)但是我們必須驗(yàn)證看是否有實(shí)例符合當(dāng)有11個(gè)不同的偶數(shù)，2個(gè)不同的奇數(shù)時(shí)，11個(gè)不同的偶數(shù)和最小為2+4+6+8+10+12+14+16+18+20+22=132，而 2 個(gè)不同的奇數(shù)和最小為 1+3=4它們的和最小為132+4=136，顯然不滿足：當(dāng)有9個(gè)不同的偶數(shù)，4個(gè)不同的奇數(shù)時(shí)，9個(gè)不同的偶數(shù)和最小為2+4+6+8+10+12+14+16+18=90，而 4 個(gè)不同的奇數(shù)和最小為1+3+5+7=16，還是大于100，仍然不滿足；當(dāng)有 7 個(gè)不同的偶數(shù)，6 個(gè)不同的奇數(shù)時(shí)，7 個(gè)不同的偶數(shù)和最小為2+4+6+8+10+12+14=56，6 個(gè)不同的奇數(shù)和為