整式加減-第1講從算術(shù)到代數(shù)的跨越

1、第一講從算術(shù)到代數(shù)的跨越一、基礎(chǔ)知識 算術(shù)與代數(shù)“算術(shù)”可以理解為“計(jì)算的方法”，在小學(xué)階段，它被限左在整數(shù)和分?jǐn)?shù)范國內(nèi)。主要研究的專題 有基本的四則運(yùn)算、整除、求余、奇偶性、質(zhì)數(shù)與合數(shù)等?！按鷶?shù)”(algebra)可以理解為“以符號替代數(shù)字”，即“數(shù)學(xué)符號化”.著名數(shù)學(xué)教育家玻利亞曾說: 代數(shù)是一種不用詞句而只用符號所構(gòu)成的語言用字母表示數(shù)是數(shù)學(xué)發(fā)展史上的一件大事，是由算術(shù) 跨越到代數(shù)的橋梁，是人類發(fā)展史上的一個飛躍，也是代數(shù)與算術(shù)的最顯著的區(qū)別.字母表示數(shù)使得數(shù)學(xué) 具有簡潔的語言，能更普遍地說明數(shù)量關(guān)系，在列代數(shù)式(algebra expression).求代數(shù)式的值、形成公 式等方面有廣

2、泛的應(yīng)用.請同學(xué)們思考以下幾個問題：1. 如何用字母表示奇數(shù)、偶數(shù)？2. 如何用字母表示被3除余1的所有數(shù)？3. 請將數(shù)列0, 3, 8, 15, 24, 35,的通項(xiàng)寫出來？ 有理數(shù)在小學(xué)學(xué)習(xí)的整數(shù)和分?jǐn)?shù)基礎(chǔ)上引入負(fù)數(shù)概念后，我們所研究的數(shù)集擴(kuò)大到了有理數(shù)范際引入負(fù)數(shù) 后，一些固有的觀念需要改變，請同學(xué)們思考以下幾個問題：1. 兩個有理數(shù)相加，其和是否一定大于任一加數(shù)？2. 兩個有理數(shù)相減，其差是否一定小于被減數(shù)？3. -1, 0, 1有怎樣的計(jì)算特性?二、例題例題分為兩類：一是為了說明“字母表示數(shù)使得數(shù)學(xué)具有簡潔的語言，能更普遍地說明數(shù)量關(guān)系”的題目; 二是與有理數(shù)相關(guān)的題目。第一部分例1

3、觀察下列等式91=8.164=12.259=16.3616=20.這些等式反映岀自然數(shù)間的某種規(guī)律，設(shè)n表示自然數(shù)，用關(guān)于n的等式表示出來：(2001年河南省中考題)例2.觀察下列各正方形圖案，每條邊上有n(n2)個圓點(diǎn)，每個圖案中圓點(diǎn)的總數(shù)71=2, S=4n=3. 5=8n=4.5=12（2001年廣西中考題）按此規(guī)律推斷出S與n的關(guān)系式是例3.在長方形ABCD中橫向陰影部分是長方形，另一陰影部分是平行四邊形，依照圖中標(biāo)注的數(shù)據(jù)。訃算圖中空白部分的面積，其而積是（）A. be ab + ac + c2 B ab 一 beac + c。C a:+ab+bc-ac D b bc + aab（2

4、001年河北省中考題）例4從小明的家到學(xué)校，是一段長度為a的上坡路接著一段長度為b的下坡路（兩段路的長度不等但坡度相同）.已知小明騎自行車走上坡路時的速度比走平路時的速度慢20%.走下坡路時的速度比走 平路時的速度快20%,又知小明上學(xué)途中花10分鐘，放學(xué)途中花12分鐘.（1）判斷a與b的大?。海?）求a與b的比值.（第17屆江蘇省競賽題）例5. 計(jì)算（北京市中考模擬試題）（!+#+金）祐）一（1 + * + + 血） （*+”+需）例6. 在右圖中有9個方格，要求每個方格填入不同的數(shù), 每條對角線上三個數(shù)之和都相等，問：右圖上角的數(shù)是多少?例7 某商品2000年比1999年漲價(jià)5%. 200

5、1年又比2000年漲價(jià)10%, 2002年比2001年降價(jià)12%, 則2002年比1999年（ ）.A.漲價(jià)3% B.漲價(jià)1.64% C漲價(jià)12% D.降價(jià)1.2%（2003年“TRULY信利杯”競賽題）例8.在一次數(shù)學(xué)競賽中，組委會決泄用NS公司的贊助款購買一批獎品，若以1臺NS計(jì)算器和3本數(shù)學(xué)競賽講座書為一份獎品，則可買100份獎品：若以1臺NS計(jì)算器和5本數(shù)學(xué)競賽講座書為一 份獎品，則可買80份獎品問這筆錢全部用來購買計(jì)算器或數(shù)學(xué)競賽講座書，可各買多少？（2002年湖北省黃岡市競賽題）第二部分例9. 3個有理數(shù)a、b、c兩兩不等，那么中有個是負(fù)數(shù)。（北京市中考模擬題）b-c c-a a-

6、b例10.設(shè)三個互不相等的有理數(shù)，既可表示為b a+b, a的形式，又可表示為0. b的形式，求a“宓+護(hù)00的值.（“希望杯”邀請賽試題）例11. 設(shè)n為自然數(shù)，=丄+壬+十+帶比較片與2的大小.（北京市中考模擬題）2 2 2 2例12.（1998,江蘇省）10個互不相等的有理數(shù)，每9個的和都是“分母為22的即約真分?jǐn)?shù)（分子與分母無公約數(shù)的真分?jǐn)?shù)）”。則這10個有理數(shù)的和是（）A 1B UC ID ?21869例13.（北京市中考模擬試題）有一個無窮小數(shù)A = 0. aia2a3a4.，其中a】（i = 12）是0, 1, 29中的一個，并且哲是奇數(shù)，a?是偶數(shù)，等于a1+a2的個位數(shù)，等于

7、a2+a3的個位數(shù)，.，an+2 是an+an+1的個位數(shù)5=1, 2,）。證明A是有理數(shù)。例14. 有一種“二十四點(diǎn)”的游戲，其游戲規(guī)則是這樣的：任取四個1至13之間的自然數(shù)，將這四個 數(shù)（每個數(shù)用且只用一次）進(jìn)行加減乘除四則運(yùn)算，例如對1，2, 3, 4,可作運(yùn)算：（1+2+3） X4二24（注 意上述運(yùn)算與4X （1+2+3）應(yīng)視作相同方法的運(yùn)算）.現(xiàn)有四個有理數(shù)3, 4, -6, 10運(yùn)用上述規(guī)則寫出 三種不同方法的運(yùn)算式，使其結(jié)果等于24,運(yùn)算式如下：（2000年杭州市重點(diǎn)中學(xué)加試試題）（1），（2）（3） 例15.（1999,全國初中聯(lián)賽）有人編了一個程序：從1開始.交錯地做加法或

8、乘法（第一次可以是加法，也可以是乘法）。每次加法，將上次的運(yùn)算結(jié)果加2或加3：每次乘法，將上次的運(yùn)算結(jié)果乘2或 乘3。例如，30可以這樣得到：+3 x2 +2 x38t10-30（1）證明：可以得到22（2）證明：可以得到2,00+297 -2三、練習(xí)J1.給出下列算式：f+l=lX2, 2*2=2 X 3, 3a+3=3X4.觀察上面一列算式，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律，用代數(shù)式子表示這個規(guī)律：（2001年福州市中考題）2. 如圖，將而積為才的小正方形與而積為b：的大正方形放在一起（厶40）,用表示三角形ABC的面積為C希望杯”遨請賽試題）3. 某苦賣店在統(tǒng)計(jì)2003年第一季度的銷售額時發(fā)現(xiàn)，二月份比

9、一月份增加10%,三月份比二月份減少10%,那么三月份比一月份（）.A.增加10% B.減少10% C.不增不減D.減少1%（2003年河南省中考題）4. 一項(xiàng)工程，甲建筑隊(duì)單獨(dú)承包需要a天完成，乙建筑隊(duì)單獨(dú)承包需要b天完成，現(xiàn)兩隊(duì)聯(lián)合承包，完成這項(xiàng)工程需要（）天（北京市中考模擬試題）B. + C a + b a baba+ bD.5. （第6屆，希望杯）數(shù)軸上坐標(biāo)是整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)，某數(shù)軸的單位長度是1厘米，若在這個數(shù)軸上隨 意畫岀一條長為1995厘米的線段AB,則線段AB蓋住的整點(diǎn)有（）個A 1994 或 1995 B 1994 或 1996 C 1995 或 1996D 1995 或 1

10、9976. 有1998個互不相等的有理數(shù)，每1997個的和都是分母為 3998的既約真分?jǐn)?shù)，則這1998個有理數(shù)的和為（）.（學(xué)習(xí)報(bào)公開賽試題）(B)艷19979981998999）19987種商品每件進(jìn)價(jià)為&元，按進(jìn)價(jià)增加25%左出售價(jià)，后因庫存積壓降價(jià)，按售價(jià)的九折出售，每件還能盈利（）.A 0. 125aB 0. 15a C 0.25a D 1.25a（2003年山東泰安市中考題）8. （第9屆，希望杯）已知有理數(shù)a在數(shù)軸上原點(diǎn)的右方，有理數(shù)b在原點(diǎn)的左方，那么（）A abb C a+b0D a-b09. （第8屆，希望杯）1997個不全相等的有理數(shù)之和為0,則這1997個有理數(shù)中（）

11、A至少有一個是零 B至少有998個正數(shù)C至少有一個是負(fù)數(shù)D至多有995個是負(fù)數(shù)注：定義和性質(zhì)10. （2000,世界城際賽）如正整數(shù)a和b之和是m則n可變?yōu)閍b。問能不能用這種方法數(shù)次，將22變 為 2001?課外小故事松毛蟲和鯊魚慣性害死人哲理的故事法國科學(xué)家法伯曾做過一個著名的毛毛蟲試驗(yàn)。他把若干毛毛蟲放在一個花盆的邊緣上，首尾相 連，圍成一圈.并在花盆周圍不到6英寸的地方撒了一些毛毛蟲最愛吃的松針。毛毛蟲幵始一個跟著一個, 繞著花盆一圈又一圈地走，一小時過去了，一天過去了，又一天過去了.毛毛蟲們還是不停地圍繞花盆 在轉(zhuǎn)圈，一連走了七天七夜.終于因?yàn)轲囸I和精疲力竭而死去。毛毛蟲的悲劇在于盲從。其實(shí)，只要有一只毛毛蟲能越雷池一 步，打破固有的習(xí)慣及跟廂的習(xí)性，就會逃脫死亡的陷阱。我們?nèi)耍?何嘗不