(完整版)因式分解知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及鞏固練習(xí)

1、知識(shí)梳理1. 因式分解定義：把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式乘積的形式，這種變形叫因式分解。即:多項(xiàng)式幾個(gè)整式的積111例：一 axbxx(a333b)因式分解是對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行的一種恒等變形，是整式乘法的逆過(guò)程。2. 因式分解的方法：（1）提公因式法： 定義：如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有 公因式，可以把這個(gè)公因式提到括號(hào)外面，將多項(xiàng)式寫成因式乘積的形式，這個(gè)變形就是提公因式法分解因式。公因式：多項(xiàng)式的各項(xiàng)都含有的相同的因式。公因式可以是一個(gè)數(shù)字或字母，也可 以是一個(gè)單項(xiàng)式或多項(xiàng)式。系數(shù)一一取各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù) 字母一一取各項(xiàng)都含有的字母 指數(shù)取相同字母的最低次幕例：12a3b3c 8a3b2c3 6a4b2c2

2、 的公因式是 .解析：從多項(xiàng)式的系數(shù)和字母兩部分來(lái)考慮，系數(shù)部分分別是12、-8、6，它們的最大公約數(shù)為2；字母部分a3b3c, a3b2c3,a4b2c2都含有因式a3b2c，故多項(xiàng)式的公因式是2 a3b2c. 提公因式的步驟第一步：找出公因式；第二步：提公因式并確定另一個(gè)因式，提公因式時(shí)，可用原多項(xiàng)式除以公因式，所得商即是 提公因式后剩下的另一個(gè)因式。注意：提取公因式后，對(duì)另一個(gè)因式要注意整理并化簡(jiǎn)，務(wù)必使因式最簡(jiǎn)。多項(xiàng)式中第一項(xiàng)有負(fù)號(hào)的，要先提取符號(hào)。例 1：把 12a2b 18ab2 24ab3 分解因式解： 12a2b 18ab2 24a3b36ab(2a 3b 4a2b2)例 2：

3、把多項(xiàng)式 3(x 4) x(4 x) 分解因式解析：由于 4 x (x 4) ，多項(xiàng)式 3(x 4) x(4 x) 可以變形為 3(x 4) x(x 4),我 們可以發(fā)現(xiàn)多項(xiàng)式各項(xiàng)都含有公因式 ( x 4),所以我們可以提取公因式 ( x 4)后, 再將多項(xiàng)式寫成積的形式 .解： 3(x 4) x(4 x)=3(x 4) x(x 4)=(3 x)(x 4)2例 3：把多項(xiàng)式 x2 2x 分解因式解： x2 2x= (x2 2x) x(x 2)(2)運(yùn)用公式法 定義：把乘法公式反過(guò)來(lái)用，就可以用來(lái)把某些多項(xiàng)式分解因式，這種分解因式的方 法叫做運(yùn)用公式法。a.逆用平方差公式：22a2 b2 (a

4、b)(a b)b.逆用完全平方公式:2：a2abb2(ab)2C.逆用立方和公式：33 ab(ab)(a2abb2() 拓展)d.逆用立方差公式：33ab(ab)(a2abb2() 拓展)注意：公式中的子母可代表一個(gè)數(shù)、一個(gè)單項(xiàng)式或一個(gè)多項(xiàng)式。選擇使用公式的方法： 主要從項(xiàng)數(shù)上看， 若多項(xiàng)式是二項(xiàng)式可考慮平方差公式； 若 多項(xiàng)式是三項(xiàng)式，可考慮完全平方公式。例 1：因式分解2 a14a49解： a214a49=(a7)2例 2：因式分解2 a2a(bC)(bC)2解： a22a(bC)(bC)2=(a b C)2(3) 分組分解法(拓展) 將多項(xiàng)式分組后能提公因式進(jìn)行因式分解；例：把多項(xiàng)式ab

5、 a b 1分解因式解：ab a b 1 = (ab a) (b 1) = a(b 1) (b 1) (a 1)(b 1) 將多項(xiàng)式分組后能運(yùn)用公式進(jìn)行因式分解例：將多項(xiàng)式a2 2ab 1 b2因式分解解：a2 2ab 1 b2= (a2 2ab b2) 1 (a b)2 1 (a b 1)(a b 1)2(4) 十字相乘法(形如x (P q)x pq (x p)(x q)形式的多項(xiàng)式，可以考慮運(yùn)用此種方法)方法：常數(shù)項(xiàng)拆成兩個(gè)因數(shù)p和q，這兩數(shù)的和 p q為一次項(xiàng)系數(shù)2x (p q)x pq2x (p q)x pq (x p)(x q)例：分解因式x2 x 30補(bǔ)充點(diǎn)詳解 我們可以將-30分

6、解成px q的形式，使 p+q=-1, p x q=-30,我們就有 p=-6, q=5 或 q=-6,p=5。q=50所以將多項(xiàng)式x2 (p q)x pq可以分 以分解為(x p)(x q)分解因式x252x 100補(bǔ)充點(diǎn)詳解我們可以將100分解成px q的形式，使 p+q=52, p x q=100,我們就有 p=2, 或 q=2,p=50。2所以將多項(xiàng)式x (p q)x pq可解為(x p)(x q)-6502 2x x 30 (x 6)(x 5)x 52x 100 (x 50)( x 2)3. 因式分解的一般步驟：如果多項(xiàng)式有公因式就先提公因式，沒(méi)有公因式的多項(xiàng)式就考慮運(yùn)用公式法；若是

7、四項(xiàng)或四項(xiàng)以上的多項(xiàng)式，通常采用分組分解法，最后運(yùn)用十字相乘法分解因式。因此，可以概括為：“一提”、“二套”、“三分組”、“四十字”。注意：因式分解一定要分解到每一個(gè)因式都不能再分解為止，否則就是不完全的因式分解，若題目沒(méi)有明確指出在哪個(gè)范圍內(nèi)因式分解，應(yīng)該是指在有理數(shù)范圍內(nèi)因式分解，因此分解因式的結(jié)果，必須是幾個(gè) 整式的積的形式。例題解析提公因式法提取公因式：如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，一般要將公因式提到括號(hào)外面確定公因式的方法:系數(shù)一一取多項(xiàng)式各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù);字母(或多項(xiàng)式因式)一一取各項(xiàng)都含有的字母(或多項(xiàng)式因式)的最低次幕【例1】分解因式:15a a b2n 12n10ab b a

8、 ( n為正整數(shù))【鞏固】分解因式：(X2ny)1 (x z)(xy)2n 2(y2nx)(y z)，n為正整數(shù).【例2】先化簡(jiǎn)再求值，y xy x yx2y x，其中x2，yf -【鞏固】求代數(shù)式的值：(3x22) (2x 1)(3x2)(2 x1)2x(2x21)(2 3x)，其中 x -3【例3】已知：b c a2，求a(a b3c)b(-c32 a3訓(xùn)1c(2b 2c 2 a)的值.3【鞏固】分解因式：x3(xyz)(y z a)2 xz(z xy)x2y(zx y)(x z a).n 4a2n 1bm2bm 1 ( m、n為大于1的自然數(shù))6a公式法平方差公式： a2 b2 (a b)(a b) 公式左邊形式上是一個(gè)二項(xiàng)式，且兩項(xiàng)的符號(hào)相反； 每一項(xiàng)都可以化成某個(gè)數(shù)或式的平方形式； 右邊是這兩個(gè)數(shù)或式的和與它們差的積，相當(dāng)于兩個(gè)一次二項(xiàng)式的積 完全平方公式： a2 2ab b2 (a b)22 2 2 a2 2ab b2 (a b)2 左邊相當(dāng)于一個(gè)二次三項(xiàng)式； 左邊首末兩項(xiàng)符號(hào)相同且均能寫成某個(gè)數(shù)或式的完全平方式； 左邊中間一項(xiàng)是這兩個(gè)數(shù)或式的積的2 倍，符號(hào)可正可負(fù)； 右邊是這兩個(gè)數(shù)或式的和