等腰三角形的性質(zhì)與判定

1、等腰三角形的性質(zhì)與判定 等腰三角形的性質(zhì)與判定 等腰三角形的性質(zhì)與判定 等腰三角形的性質(zhì)與判定 在等腰三角形在等腰三角形ABCABC中中,AB=AC,AD,AB=AC,AD平分平分BAC,BAC,交交BCBC于于D.D. (1)(1)若將若將ABDABD作關(guān)于直線作關(guān)于直線ADAD的軸對(duì)稱變換的軸對(duì)稱變換, ,所得的像所得的像 是什么是什么? ? D A BC (2)(2)找出圖中的全等三角形以及所有相找出圖中的全等三角形以及所有相 等等 的線段和相等的角的線段和相等的角. .你的依據(jù)是什么你的依據(jù)是什么? ? 所得的像是所得的像是ACDACD ABDABDACDACD 相等的線段:AB=AC

2、,BD=CD 相等的角: B=C,BAD=CAD,B=C,BAD=CAD, ADB=ADC.ADB=ADC. 依據(jù): 軸對(duì)稱變換的性質(zhì)軸對(duì)稱變換的性質(zhì)軸軸 對(duì)稱變換不改變圖形的對(duì)稱變換不改變圖形的 形狀和大小形狀和大小. 等腰三角形的性質(zhì)與判定 1. B = C 2. BD = CD, 即即AD 為底邊上的中線為底邊上的中線 3. ADBCBC ,即即AD為底邊上的高為底邊上的高 問題問題:由已知由已知AB=AC得結(jié)論得結(jié)論 B = C用用 文字如何表述？文字如何表述？ 等腰三角形的兩個(gè)底角相等等腰三角形的兩個(gè)底角相等. 已知已知:AB=AC A D CB 可以說成可以說成 “在同一個(gè)三角形中

3、在同一個(gè)三角形中,等邊對(duì)等角等邊對(duì)等角” 結(jié)論結(jié)論: ,BAD=CAD(AD是頂角平分線是頂角平分線). 等腰三角形的性質(zhì)與判定 等腰三角形的等腰三角形的頂角平分線頂角平分線、底邊上的中線底邊上的中線 和和底邊上的高底邊上的高互相重合互相重合. 簡(jiǎn)稱簡(jiǎn)稱“等腰三角形三線合一等腰三角形三線合一” A D CB 如果已知如果已知AB=AC,ADBC(AD是底邊上的高是底邊上的高). 那么有什么結(jié)論那么有什么結(jié)論? 如果已知如果已知AB=AC,BD=CD (AD是底邊是底邊 上的中線上的中線).那么有什么結(jié)論那么有什么結(jié)論? 頂角平分線頂角平分線底邊上的中線底邊上的中線 底邊上的高底邊上的高 BD=

4、CD(AD是底邊上的中線是底邊上的中線), BAD=CAD(ADBAD=CAD(AD是頂角平分線是頂角平分線).). ADBC(AD是底邊上的高是底邊上的高), BAD=CAD(AD是頂角平分線是頂角平分線) 等腰三角形的性質(zhì)與判定 （1） AB=AC ，ADBC， _ = _，_= _ （2） AB=AC ， AD是中線， _ ，_ =_ （3） AB=AC ， AD是角平分線， _ _ ，_ =_ BAD CADBD CD AD BC AD BCBAD CAD BD CD 等腰三角形三線合一性質(zhì)應(yīng)用的幾何語言，等腰三角形三線合一性質(zhì)應(yīng)用的幾何語言， 如圖所示，在如圖所示，在ABCABC中中

5、 A D CB 等腰三角形的性質(zhì)與判定 課本引例：課本引例： 將一把三角尺和一個(gè)重錘如圖放置，就能檢查將一把三角尺和一個(gè)重錘如圖放置，就能檢查 一根橫梁是否水平，你知道為什么嗎？一根橫梁是否水平，你知道為什么嗎？ D A B 等腰三角形的性質(zhì)與判定 探究探究: : 如圖,已知ABC=20,BD=DE=EF=FG. ABC內(nèi)符合條件BD=DE=EF=FG的折線有 幾條? 若ABC=10呢?試一試,并說明理由. C A GE F D B 等腰三角形的性質(zhì)與判定 如圖如圖, ,把一張長(zhǎng)方形的紙按圖中虛線對(duì)折把一張長(zhǎng)方形的紙按圖中虛線對(duì)折, ,然后沿然后沿 實(shí)線剪開實(shí)線剪開, ,再把它展開再把它展開,

6、 ,得到的得到的ABCABC是等腰三角形嗎是等腰三角形嗎? ? A A C C B B D D 等腰三角形的性質(zhì)與判定 A A B B C C E EF F 等腰三角形等腰三角形兩腰上兩腰上 的中線相等的中線相等 A A B B C C E EF F 等腰三角形等腰三角形兩底角兩底角 平分線相等平分線相等 A A B B C C E EF F 等腰三角形兩腰上的高等腰三角形兩腰上的高 相等相等 利用類似的方法利用類似的方法, ,你還可以得到等腰三角形你還可以得到等腰三角形 中哪些線段相等中哪些線段相等? ? A A B B C C E E F F DEDE、DFDF分別是分別是ABAB、 AC

7、AC邊上的中線邊上的中線 D D A A B B D D C C DEDE、DFDF分別是分別是ADBADB、ADCADC 的角平分線的角平分線 E E F F A A B B D D C C E E ADAD上任意一點(diǎn)與上任意一點(diǎn)與B B、C C 的連接線的連接線 等腰三角形的性質(zhì)與判定 等腰三角形一個(gè)底角為等腰三角形一個(gè)底角為7070, ,它的頂角為它的頂角為_._. 等腰三角形一個(gè)角為等腰三角形一個(gè)角為7070, ,它的另外兩個(gè)角為它的另外兩個(gè)角為 _._. 等腰三角形一個(gè)角為等腰三角形一個(gè)角為110110, ,它的另外兩個(gè)角為它的另外兩個(gè)角為_._. 頂角頂角+2+2底角底角=180=

8、180 頂角頂角=180=1802 2底角底角 底角底角= =（180180頂角）頂角）2 2 0 0頂角頂角180180 0 0底角底角9090 結(jié)論結(jié)論: :在等腰三角形中在等腰三角形中, 40 35 ，35 70,40或或55,55 等腰三角形的性質(zhì)與判定 例例 如圖如圖,在在ABC中中,AB=AC,D是是BC邊上的中邊上的中 點(diǎn)點(diǎn), B=30，求，求1和和ADC的度數(shù)的度數(shù). A B C D 1 2 另解另解: 因?yàn)榈妊切蔚囊驗(yàn)榈妊切蔚摹叭€合三線合 一一”，所以，所以AD是是ABC的的 頂角平分線、底邊上的高，頂角平分線、底邊上的高， 即即 1= 2， ADC=90 因?yàn)橐驗(yàn)?/p>

9、BAC=180- 30- 30= 120 所以所以 1= 2 BAC = 120 2 =60. 答答: 1為為60, ADC為為90. 30 等腰三角形的性質(zhì)與判定 等腰三角形的腰長(zhǎng)等于等腰三角形的腰長(zhǎng)等于9,另一邊長(zhǎng)等于另一邊長(zhǎng)等于4, 那么周長(zhǎng)那么周長(zhǎng)=_. 2. 等腰三角形的腰長(zhǎng)等于另一邊的等腰三角形的腰長(zhǎng)等于另一邊的2倍倍,周長(zhǎng)為周長(zhǎng)為30, 那么它的各邊長(zhǎng)分別為那么它的各邊長(zhǎng)分別為_. 3. 等腰三角形的一邊長(zhǎng)比腰長(zhǎng)多等腰三角形的一邊長(zhǎng)比腰長(zhǎng)多2cm,周長(zhǎng)等于周長(zhǎng)等于29cm, 則三邊長(zhǎng)分別為則三邊長(zhǎng)分別為_. 填空題填空題: 22 12，12，6. 9，9，11. 等腰三角形的性質(zhì)

10、與判定 4. 正三角形的邊長(zhǎng)等于正三角形的邊長(zhǎng)等于8,則周長(zhǎng)等于則周長(zhǎng)等于_. 5. 等邊三角形的周長(zhǎng)等于等邊三角形的周長(zhǎng)等于72cm,則邊長(zhǎng)則邊長(zhǎng)=_. 6. 等腰三角形若兩邊長(zhǎng)為等腰三角形若兩邊長(zhǎng)為3和和7,則其周長(zhǎng)為則其周長(zhǎng)為_. 7. 在等腰三角形中在等腰三角形中,一個(gè)內(nèi)角為一個(gè)內(nèi)角為30 0, ,則另外兩個(gè)內(nèi)角為則另外兩個(gè)內(nèi)角為 _._. 填空題填空題: 24 24 17 75, 75或或 或或30,120 等腰三角形的性質(zhì)與判定 一、復(fù)習(xí)：一、復(fù)習(xí)： 1、等腰三角形的性質(zhì)定理是什么？ 等腰三角形的兩個(gè)底角相等。 （可以簡(jiǎn)稱：等邊對(duì)等角） 2、這個(gè)定理的逆命題是什么？ 如果一個(gè)三角形

11、有兩個(gè)角相等， 那么這個(gè)三角形是等腰三角形。 3、這個(gè)命題正確嗎？你能證明嗎？ 等腰三角形的性質(zhì)與判定 自 學(xué) 指 導(dǎo) ：自 學(xué) 指 導(dǎo) ： 閱讀課本閱讀課本P7374內(nèi)容，思考并回答下列問題：內(nèi)容，思考并回答下列問題： 等腰三角形的等腰三角形的判定定理判定定理 與性質(zhì)定理有何不與性質(zhì)定理有何不 同？同？ 等腰三角形判定定理與性質(zhì)定理的等腰三角形判定定理與性質(zhì)定理的證明思路證明思路是是 否一樣？否一樣？ 兩個(gè)兩個(gè)推論推論 是怎樣得到的？你有什么新的發(fā)是怎樣得到的？你有什么新的發(fā) 現(xiàn)嗎？現(xiàn)嗎？ 8分鐘后，比誰能回答以上問題，并能做與分鐘后，比誰能回答以上問題，并能做與例例 題題 類似的練習(xí)。類似

12、的練習(xí)。 等腰三角形的性質(zhì)與判定 已知：已知：ABC中，中，B=C 求證：求證：AB=AC 證明：作作BAC的平分線的平分線AD 在在BAD和和CAD中，中， 1=2， B=C， AD=AD BAD CAD（AAS） AB=AC（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊 相等）相等） 1 A B C D 2 等腰三角形的性質(zhì)與判定 推論推論1證明證明 已知：如圖，已知：如圖，ABC中，中， A=B=C 求證：求證：AB=AC=BC A B C 證明：在證明：在ABC中中 A=B（已知）（已知） BC=CA（等角對(duì)等邊）（等角對(duì)等邊） 同理同理CA=AB BC=CA=AB 等腰三角形的性質(zhì)與判定

13、問題：如果一個(gè)等腰三角形中有一個(gè)角問題：如果一個(gè)等腰三角形中有一個(gè)角 是是60，那么這個(gè)三角形是什么三角形？，那么這個(gè)三角形是什么三角形？ 推論推論2證明證明 第一種情況：第一種情況：。 第二種情況：第二種情況：。 等腰三角形的性質(zhì)與判定 已知：已知： ABC中，中，AB=AC， A=600。 求證：求證：AB=AC=BC A B C 證明：證明： ABC中中 AB=AC， B=C （等邊對(duì)等角等邊對(duì)等角） A=600 B=C = 600 AB=AC=BC 等腰三角形的性質(zhì)與判定 已知：已知： ABC中，中，AB=AC， B=600。 求證：求證：AB=AC=BC A B C 證明：證明： A

14、BC中中 AB=AC， B=C （等邊對(duì)等角等邊對(duì)等角） B=600 C = 600 A=600 AB=AC=BC 等腰三角形的性質(zhì)與判定 例例1 求證：如果三角形一個(gè)外角的平分線平行于求證：如果三角形一個(gè)外角的平分線平行于 三角形的一邊，那么這個(gè)三角形是等腰三角形。三角形的一邊，那么這個(gè)三角形是等腰三角形。 A BC D E 1 2 如圖，如圖，CAE是是ABC的外角，的外角，1=2， ADBC。 求證：求證：AB=AC 分析：分析： 從求證看：要證從求證看：要證AB=AC， 需證需證B=C， 從已知看：因?yàn)閺囊阎矗阂驗(yàn)?=2， ADBC 可以找出可以找出B，C與的關(guān)系。與的關(guān)系。 已知：

15、已知： 等腰三角形的性質(zhì)與判定 證明：證明： ADBC， 1=B（兩直線平行，（兩直線平行， 同位角相等），同位角相等）， 2=C（兩直線平行，（兩直線平行， 內(nèi)錯(cuò)角相等）。內(nèi)錯(cuò)角相等）。 1=2， B=C， AB=AC（等邊對(duì)等角）。（等邊對(duì)等角）。 A BC D E 1 2 等腰三角形的性質(zhì)與判定 例3 在在ABCABC中，已知中，已知AA4040， BB7070，判斷，判斷ABCABC是什么是什么 三角形，為什么三角形，為什么? ? A BC 解：解：A AB BC C180180 （三角形內(nèi)角和等于（三角形內(nèi)角和等于180180） C C180180A AB B（等式的性質(zhì)）（等式的性

16、質(zhì)） 180180404070707070， C CB B ABCABC是等腰三角形（等角對(duì)等邊）是等腰三角形（等角對(duì)等邊） 三、等腰三角形的識(shí)別方法（應(yīng)用）：三、等腰三角形的識(shí)別方法（應(yīng)用）： 40 70? 等腰三角形的性質(zhì)與判定 課本課本P99P99頁(yè)頁(yè)“做一做做一做” 四、特殊的等腰三角形四、特殊的等腰三角形 ABC, ACD, BCD 45 45 4545 ABCABC是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，ACBACB9090， CDCD是底邊上的高，那么圖是底邊上的高，那么圖10.3.610.3.6中中 共有哪幾個(gè)等腰直角三角形共有哪幾個(gè)等腰直角三角形? ? 同時(shí)標(biāo)出圖同時(shí)標(biāo)出圖10.

17、3.6所有所有 銳角的度數(shù)。銳角的度數(shù)。 B B A A D C C 圖圖10.3.6 等腰三角形的性質(zhì)與判定 等邊等邊 四、特殊的等腰三角形四、特殊的等腰三角形 1.三個(gè)角都是60的三角形是等邊 三角形嗎？你能說明理由嗎？ 2.有兩個(gè)角是60的三角形是等邊三角形嗎？ 3.有一個(gè)角是60的等腰三角形是等邊三角形嗎？ B A C 有三個(gè)角相等的三角形是等邊三角形。 思考：思考： 結(jié)論：結(jié)論： （2 2） 三角形三角形 等腰三角形的性質(zhì)與判定 P99P99頁(yè)練習(xí)頁(yè)練習(xí) 1.1.如圖，在等腰三角形如圖，在等腰三角形ABCABC中兩底角中兩底角 的平分線的平分線BEBE和和CDCD相交于相交于O O點(diǎn)

18、，那么點(diǎn)，那么 OBCOBC是什么三角形？為什么？是什么三角形？為什么？ O O D D E E A A B BC C 六、要做到熟練運(yùn)用知識(shí)解決問題六、要做到熟練運(yùn)用知識(shí)解決問題 等腰三角形的性質(zhì)與判定 O O D D E E A A B BC C 解：解： OBC是等腰三角形是等腰三角形 BEBE平分平分ABCABC，CDCD平分平分AACB(CB(已知已知) ) 又又AD=ACAD=AC( (已知已知) ) ABC= AABC= ACB CB （等（等邊邊對(duì)等對(duì)等角角） OBC OCB OBOC （等角對(duì)等邊）（等角對(duì)等邊） ABC是等腰三角形是等腰三角形. OBC= OBC= ABC

19、, O ABC , OCB= CB= AACBCB ( (角平分線定義角平分線定義),), 2 1 2 1 則則 ABC= ACB 2 1 2 1 等腰三角形的性質(zhì)與判定 2.2.如圖，在如圖，在ABCABC中，中，DEDE|BC,BC, A=70 A=70 , C=55, C=55, ,則則ADEADE 是什么三角形？為什么？是什么三角形？為什么？ B B D DE E C C A A 六、要做到熟練運(yùn)用知識(shí)解決問題六、要做到熟練運(yùn)用知識(shí)解決問題 70 70 55 55 ? 等腰三角形的性質(zhì)與判定 )(55C,70已知 A B DE C A CAB 180 555570180 )BC(|DE

20、已知 55,55CAEDBADE )(等量代換AEDADE 是等腰三角形ADE 解解 六、要做到熟練運(yùn)用知識(shí)解決問題六、要做到熟練運(yùn)用知識(shí)解決問題 等腰三角形的性質(zhì)與判定 2. 若等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角是若等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角是45,則則 它的頂角為它的頂角為90( ) 1.若等腰三角形兩條邊的長(zhǎng)分別是若等腰三角形兩條邊的長(zhǎng)分別是5和和8, 則它的周長(zhǎng)為則它的周長(zhǎng)為 . 21或或18 等腰三角形的性質(zhì)與判定 1、如果等腰三角形的一個(gè)外角為如果等腰三角形的一個(gè)外角為100， 則這個(gè)等腰三角形的頂角為則這個(gè)等腰三角形的頂角為 。 2、如圖，在三角形、如圖，在三角形ABC中，中，BC=10， AD=B

21、D，若三角形，若三角形ACD的周長(zhǎng)為的周長(zhǎng)為18 ， 則則AC長(zhǎng)為長(zhǎng)為 。 A B C D 等腰三角形的性質(zhì)與判定 例例2.如圖，已知在如圖，已知在ABC中，中，AB=AC，BDAC于于D， CEAB于于E，BD與與CE相交于相交于M點(diǎn)。求證：點(diǎn)。求證： BM=CM。 證明：證明：AB=AC ABC=ACB（等邊對(duì)等角）（等邊對(duì)等角） BDAC于于D，CEAB于于E BEC=CDB=90 1+ACB=90， 2+ABC=90（直角三角形（直角三角形 兩個(gè)銳角互余）兩個(gè)銳角互余） 1=2（等角的余角相等）（等角的余角相等） BM=CM（等角對(duì)等邊）（等角對(duì)等邊） A BC D 12 E M 說明

22、：本題易習(xí)慣性地用全等來說明：本題易習(xí)慣性地用全等來 證明，雖然也可以證明，但過程證明，雖然也可以證明，但過程 較復(fù)雜，應(yīng)當(dāng)多加強(qiáng)等腰三角形較復(fù)雜，應(yīng)當(dāng)多加強(qiáng)等腰三角形 的性質(zhì)和判定定理的應(yīng)用。的性質(zhì)和判定定理的應(yīng)用。 等腰三角形的性質(zhì)與判定 例例3 已知：如圖，已知：如圖，A=90，B=15，BD=DC. 求證：求證：AC= BD. 證明：證明： BD=DC，B=15 DCB=B=15（等角對(duì)等邊）（等角對(duì)等邊） ADC=B+DCB=30 （三角形的外角等于和它不相鄰的（三角形的外角等于和它不相鄰的 兩個(gè)內(nèi)角的和）兩個(gè)內(nèi)角的和） A=90 AC= DC AC= BD 2 1 2 1 A BC

23、 D 2 1 等腰三角形的性質(zhì)與判定 例例4.如圖，已知如圖，已知ABC中，中，AB=AC，BD=BC， AD=DE=EB. 求求A的度數(shù)的度數(shù). 分析：本題有較多的等腰三角形的條件，最好用列方程組分析：本題有較多的等腰三角形的條件，最好用列方程組 的方法來求解，應(yīng)當(dāng)在圖形上標(biāo)出各未知數(shù)，可使解題過的方法來求解，應(yīng)當(dāng)在圖形上標(biāo)出各未知數(shù)，可使解題過 程清晰明了。程清晰明了。 解：設(shè)解：設(shè)A=x ，EBD=y，C=z AB=AC ABC=C=z BD=BC C=BDC=z BE=DE EBD=EDB=90 AD=DE A=AED=x 又又BDC=A+ABD，AED=EBD+EDB （三角形的外角

24、等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和）（三角形的外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和） A+ABC+ACB=180（三角形內(nèi)角和為（三角形內(nèi)角和為180） 解得解得x=45 即：即：A=45 180 2 zzx yxz yx A BC D E x y z x y z 等腰三角形的性質(zhì)與判定 例例5.已知：如圖，已知：如圖，C=90，BC=AC，D、E分別在分別在BC 和和AC上，且上，且BD=CE，M是是AB的中點(diǎn)的中點(diǎn). 求證：求證：MDE是等腰三角形是等腰三角形. 分析：要證分析：要證MDE是等腰三角形，只需證是等腰三角形，只需證MD=ME。連。連 結(jié)結(jié)CM，可利用，可利用BMD CME得到結(jié)果得到結(jié)

25、果。 證明：連結(jié)證明：連結(jié)CM C=90，BC=AC A=B=45 M是是AB的中點(diǎn)的中點(diǎn) CM平分平分BCA（等腰三角形頂角的平分線和底邊上的中線重合）（等腰三角形頂角的平分線和底邊上的中線重合） MCE=MCB=BCA=45 B=MCE=MCB CM=MB（等角對(duì)等邊）（等角對(duì)等邊） 在在BDE和和CEM中中 BDM CEM（SAS） MD=ME MDE是等腰三角形是等腰三角形 CMBM MCEB CEBD A B C D E M 等腰三角形的性質(zhì)與判定 例例6.如圖，在等邊如圖，在等邊ABC中，中，AF=BD=CE， 求證：求證：DEF也是等邊三角形也是等邊三角形. 證明：證明：ABC是

26、等邊三角形是等邊三角形 AC=BC，A=C CE=BD BCBD=ACCE CD=AE 在在AEF和和CDE中中 AEF CDE（SAS） EF=DE 同理可證同理可證EF=DF EF=DE=DF DEF是等邊三角形是等邊三角形 CEAF CA CDAE A BC D E F 說明：證明等邊三角形有三種思路：說明：證明等邊三角形有三種思路： 證明三邊相等證明三邊相等證明三角相等證明三角相等 證明三角形是有一個(gè)角為證明三角形是有一個(gè)角為 60的等腰三角形。的等腰三角形。 具體問題中可利用不同的方式進(jìn)行求具體問題中可利用不同的方式進(jìn)行求 解解。 等腰三角形的性質(zhì)與判定 例例7 如圖如圖2-8-1,

27、中，中，AB=AC，D為為AB上一點(diǎn)，上一點(diǎn)，E為為AC延延 長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且BD=CE，DE交交BC于于G 求證：求證：DG=EG 思路思路 因?yàn)橐驗(yàn)镚DB和和GEC不全等，所以考慮在不全等，所以考慮在GDB內(nèi)內(nèi) 作出一個(gè)與作出一個(gè)與GEC全等的三角形。全等的三角形。 證明：過證明：過D作作DHAE，交，交BC于于H AB=AC DB=DH 又又DB=CE DH=CE 又又 DG=EG. 說明說明 本題易明顯得出本題易明顯得出DG和和EG所在的所在的DBG和和ECG不全等，故要構(gòu)造三不全等，故要構(gòu)造三 角形的全等，本題的另一種證法是過角形的全等，本題的另一種證法是過E作作EFBD

28、，交，交BC的延長(zhǎng)線于的延長(zhǎng)線于F，證，證 明明DBG EFG，同學(xué)們不妨試一試，同學(xué)們不妨試一試。 等腰三角形的性質(zhì)與判定 例例8 如圖如圖2-8-6，在，在ABC中，中，AB=AC=CB，AE=CD， AD、BE相交于相交于P，BQAD于于Q. 求證：求證：BP=2PQ 思路思路 在在RtBPQ中，本題的結(jié)論等價(jià)于證明中，本題的結(jié)論等價(jià)于證明PBQ=30 證明證明 AB=CA，BAE=ACD=60， AE=CD， BAE ACD ABE=CAD BPQ=ABE+BAP =CAD+BAP=60 又又BQAD PBQ=30 BP=2PQ 說明說明 本題把證明線段之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為證明角的度數(shù)，這

29、種轉(zhuǎn)換問題的本題把證明線段之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為證明角的度數(shù)，這種轉(zhuǎn)換問題的 方法值得同學(xué)們細(xì)心體會(huì)方法值得同學(xué)們細(xì)心體會(huì)。 等腰三角形的性質(zhì)與判定 B C A B C A E D 在等腰直角三角形中在等腰直角三角形中,折出折出CAB的平分線的平分線AE,交交BC邊邊 于點(diǎn)于點(diǎn)E. C點(diǎn)在點(diǎn)在AB邊上的落點(diǎn)為邊上的落點(diǎn)為D,連結(jié)連結(jié)DE. 2. 若若CE=1,則則DE=_. 3. 你還能找出哪些相等的線段嗎你還能找出哪些相等的線段嗎? 4. 若若AB=6,則則DEB的周長(zhǎng)等于多少的周長(zhǎng)等于多少? 1. DEAB嗎嗎? 11DB=_. 即：即：CE=DE=DB AD=AC=BC 等腰三角形的性質(zhì)與判定

30、 C AB O C A EF O B 等腰直角三角形等腰直角三角形ABC兩底角的平分線兩底角的平分線AO與與BO交于點(diǎn)交于點(diǎn)O, 過過O點(diǎn)作底邊點(diǎn)作底邊AB的平行線交的平行線交AC于點(diǎn)于點(diǎn)F,交交BC于點(diǎn)于點(diǎn)E. 則則: 3. 若若AC=10,則則CEF的周長(zhǎng)為多少的周長(zhǎng)為多少? 2. AF、FE、EB三條線段的長(zhǎng)度有何關(guān)系？三條線段的長(zhǎng)度有何關(guān)系？ 1. 圖中有幾個(gè)等腰三角形圖中有幾個(gè)等腰三角形? AF+ EB=FE 相等角之間的轉(zhuǎn)化相等角之間的轉(zhuǎn)化 相等線段之間的轉(zhuǎn)化相等線段之間的轉(zhuǎn)化 等腰三角形的性質(zhì)與判定 C A EF O B A B C F EO （二）（二） 如圖（二）當(dāng)如圖（二）

31、當(dāng)AC=12,BC=8.求求CFE的周長(zhǎng)的周長(zhǎng)? 解解:因?yàn)橐驗(yàn)镺A平分平分CAB. 所以所以FAO=OAB. 又因?yàn)橛忠驗(yàn)镋FAB. 所以所以FOA=OAB. 所以所以FAO=FOA 即即:AF=OF 所以所以AC=AF+FC=OF+FC. 同理可得同理可得:BC=BE+EC=OE+EC. 所以所以CFE的周長(zhǎng)的周長(zhǎng): =OF+FC+OE+EC =AC+BC=12+8=20 等腰三角形的性質(zhì)與判定 如圖，線段如圖，線段ODOD的一個(gè)端點(diǎn)的一個(gè)端點(diǎn)O O在直線在直線a a上，以上，以O(shè)DOD 為一邊畫等腰三角形，并且使另一個(gè)頂點(diǎn)在直線為一邊畫等腰三角形，并且使另一個(gè)頂點(diǎn)在直線 a a上，這樣的

32、等腰三角形能畫多少個(gè)上，這樣的等腰三角形能畫多少個(gè)? ? 150 a 等腰三角形的性質(zhì)與判定 請(qǐng)把這個(gè)等腰三角形紙片折成請(qǐng)把這個(gè)等腰三角形紙片折成兩個(gè)等腰兩個(gè)等腰 三角形三角形！ 36 A B C B C A D 36 A B C 36 D 等腰三角形的性質(zhì)與判定 請(qǐng)把這個(gè)三角形紙片折成兩個(gè)請(qǐng)把這個(gè)三角形紙片折成兩個(gè)等腰三角形等腰三角形！ 20 40 120 A BC 20 40 120 C A BD 2040 120 A BCD 等腰三角形的性質(zhì)與判定 在下圖三角形的邊上找出一點(diǎn)，使得該點(diǎn)與在下圖三角形的邊上找出一點(diǎn)，使得該點(diǎn)與 三角形的其中兩頂點(diǎn)構(gòu)成三角形的其中兩頂點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形等腰三角

33、形！ B B A A C C 5050 110110 2020 等腰三角形的性質(zhì)與判定 1、對(duì)、對(duì)A進(jìn)行討論進(jìn)行討論 2、對(duì)、對(duì)B進(jìn)行討論進(jìn)行討論3、對(duì)、對(duì)C進(jìn)行討論進(jìn)行討論 C AB A C B 2020 20 20 C AB 5050 C A B 80 80 20 C AB 65 6550 C AB 35 35 110 （分類討論）（分類討論） 等腰三角形的性質(zhì)與判定 例例2.如圖，已知在如圖，已知在ABC中，中，AB=AC，BDAC于于D， CEAB于于E，BD與與CE相交于相交于M點(diǎn)。求證：點(diǎn)。求證： BM=CM。 證明：證明：AB=AC ABC=ACB（等邊對(duì)等角）（等邊對(duì)等角） B

34、DAC于于D，CEAB于于E BEC=CDB=90 1+ACB=90， 2+ABC=90（直角三角形（直角三角形 兩個(gè)銳角互余）兩個(gè)銳角互余） 1=2（等角的余角相等）（等角的余角相等） BM=CM（等角對(duì)等邊）（等角對(duì)等邊） A BC D 12 E M 說明：本題易習(xí)慣性地用全等來說明：本題易習(xí)慣性地用全等來 證明，雖然也可以證明，但過程證明，雖然也可以證明，但過程 較復(fù)雜，應(yīng)當(dāng)多加強(qiáng)等腰三角形較復(fù)雜，應(yīng)當(dāng)多加強(qiáng)等腰三角形 的性質(zhì)和判定定理的應(yīng)用。的性質(zhì)和判定定理的應(yīng)用。 等腰三角形的性質(zhì)與判定 例例3 已知：如圖，已知：如圖，A=90，B=15，BD=DC. 求證：求證：AC= BD. 證

35、明：證明： BD=DC，B=15 DCB=B=15（等角對(duì)等邊）（等角對(duì)等邊） ADC=B+DCB=30 （三角形的外角等于和它不相鄰的（三角形的外角等于和它不相鄰的 兩個(gè)內(nèi)角的和）兩個(gè)內(nèi)角的和） A=90 AC= DC AC= BD 2 1 2 1 A BC D 2 1 等腰三角形的性質(zhì)與判定 例例4.如圖，已知如圖，已知ABC中，中，AB=AC，BD=BC， AD=DE=EB. 求求A的度數(shù)的度數(shù). 分析：本題有較多的等腰三角形的條件，最好用列方程組分析：本題有較多的等腰三角形的條件，最好用列方程組 的方法來求解，應(yīng)當(dāng)在圖形上標(biāo)出各未知數(shù)，可使解題過的方法來求解，應(yīng)當(dāng)在圖形上標(biāo)出各未知數(shù)，

36、可使解題過 程清晰明了。程清晰明了。 解：設(shè)解：設(shè)A=x ，EBD=y，C=z AB=AC ABC=C=z BD=BC C=BDC=z BE=DE EBD=EDB=90 AD=DE A=AED=x 又又BDC=A+ABD，AED=EBD+EDB （三角形的外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和）（三角形的外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和） A+ABC+ACB=180（三角形內(nèi)角和為（三角形內(nèi)角和為180） 解得解得x=45 即：即：A=45 180 2 zzx yxz yx A BC D E x y z x y z 等腰三角形的性質(zhì)與判定 例例5.已知：如圖，已知：如圖，C=90，BC=AC，D、E

37、分別在分別在BC 和和AC上，且上，且BD=CE，M是是AB的中點(diǎn)的中點(diǎn). 求證：求證：MDE是等腰三角形是等腰三角形. 分析：要證分析：要證MDE是等腰三角形，只需證是等腰三角形，只需證MD=ME。連。連 結(jié)結(jié)CM，可利用，可利用BMD CME得到結(jié)果得到結(jié)果。 證明：連結(jié)證明：連結(jié)CM C=90，BC=AC A=B=45 M是是AB的中點(diǎn)的中點(diǎn) CM平分平分BCA（等腰三角形頂角的平分線和底邊上的中線重合）（等腰三角形頂角的平分線和底邊上的中線重合） MCE=MCB=BCA=45 B=MCE=MCB CM=MB（等角對(duì)等邊）（等角對(duì)等邊） 在在BDE和和CEM中中 BDM CEM（SAS）

38、 MD=ME MDE是等腰三角形是等腰三角形 CMBM MCEB CEBD A B C D E M 等腰三角形的性質(zhì)與判定 B C A B C A E D 在等腰直角三角形中在等腰直角三角形中,折出折出CAB的平分線的平分線AE,交交BC邊邊 于點(diǎn)于點(diǎn)E. C點(diǎn)在點(diǎn)在AB邊上的落點(diǎn)為邊上的落點(diǎn)為D,連結(jié)連結(jié)DE. 2. 若若CE=1,則則DE=_. 3. 你還能找出哪些相等的線段嗎你還能找出哪些相等的線段嗎? 4. 若若AB=6,則則DEB的周長(zhǎng)等于多少的周長(zhǎng)等于多少? 1. DEAB嗎嗎? 11DB=_. 即：即：CE=DE=DB AD=AC=BC 等腰三角形的性質(zhì)與判定 應(yīng)用舉例一 1.1

39、.在在ABCABC中中, ,已知已知A=40A=40,B=70,B=70, , 判斷判斷ABCABC是什么三角形是什么三角形, ,為什么為什么? ? 答答: : ABCABC是等腰三角形。是等腰三角形。 理由：理由：在在ABCABC中，中， C=180C=180AABB（三角形內(nèi)角和（三角形內(nèi)角和 等于等于180180） =180=70=70 B=C=70B=C=70 AB=ACAB=AC（等角對(duì)等邊）（等角對(duì)等邊） 即即ABCABC是等腰三角形是等腰三角形 等腰三角形的性質(zhì)與判定 鞏固練習(xí)一 1.1.在在ABCABC中中, ,有兩個(gè)內(nèi)角分別是有兩個(gè)內(nèi)角分別是1001

40、00 和和4040, ,試判斷試判斷ABCABC是什么三角形是什么三角形? ? 2.“2.“有兩個(gè)底角相等的三角形是有兩個(gè)底角相等的三角形是 等腰三角形等腰三角形”, ,這句話對(duì)嗎這句話對(duì)嗎? ? 答：答：ABCABC是等腰三角形。是等腰三角形。 答：這句話是錯(cuò)的。答：這句話是錯(cuò)的。 因?yàn)樵谶€沒有判定是等腰因?yàn)樵谶€沒有判定是等腰 三角形前不能講三角形前不能講“底角底角”。 等腰三角形的性質(zhì)與判定 鞏固練習(xí)二 3636 3636 7272 1 1 2 2 7272 1 1 2 2 3636 72723636 ABCABC， ABDABD， BDCBDC A A B BC C D D 1.1.如圖

41、如圖, ,已知已知A=36A=36, , DBC=36DBC=36, C=72, C=72, , 則則1=1= ,2=,2= , , 中的等腰三角形中的等腰三角形 有有 。 圖圖 等腰三角形的性質(zhì)與判定 鞏固練習(xí)二 2.2.在等腰直角三角形在等腰直角三角形ABCABC中中, ACB =90, ACB =90,CD,CD 是底邊上的高是底邊上的高, ,那么圖中有那么圖中有 個(gè)等腰直角三個(gè)等腰直角三 角形，分別是角形，分別是 。 A AB B C C D D 4545 4545 45454545 ACBACB、 ADCADC、 BDCBDC 3 3 等腰三角形的性質(zhì)與判定 應(yīng)用舉例二 1 1 2

42、2 B B D DA A C C E E 2 2 1 1 答答: :ABCABC是等腰三角形是等腰三角形。 理由：理由： ADAD平分平分EACEAC 1=21=2（角平分線定義）（角平分線定義） ADBCADBC 1=B1=B （兩直線平行，同位角相等）（兩直線平行，同位角相等） 2=C2=C（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等） B=CB=C AB=ACAB=AC（等角對(duì)等邊） （等角對(duì)等邊） 即即ABCABC是等腰三角形。是等腰三角形。 2.2.如圖如圖,AD,AD是是ABCABC的外角的外角EACEAC的平分線的平分線, , 且且ADBC,ADBC,試判斷試判斷ABCAB

43、C的形狀的形狀, ,并說明理由并說明理由? ? 等腰三角形的性質(zhì)與判定 鞏固練習(xí)三 答答: :ABDABD是等腰三角形是等腰三角形. . 1 1 2 2 3 3 2 2 1.1.已知已知: :如圖如圖,ADBC,BD,ADBC,BD平分平分ABC,ABC,試判斷試判斷 ABDABD的形狀的形狀, ,并說明理由并說明理由? ? A A B B D D C C 理由理由: : BDBD平分平分ABCABC 1=21=2 ( (角平分線定義角平分線定義) ) ADBCADBC 2=32=3( (兩直線平行兩直線平行, ,內(nèi)錯(cuò)角相等內(nèi)錯(cuò)角相等) ) 1=31=3 AB=ADAB=AD ( (等角對(duì)等邊

44、等角對(duì)等邊) ) 即即ABDABD是等腰三角形是等腰三角形. . 等腰三角形的性質(zhì)與判定 鞏固練習(xí)三 2.2.如圖，在等腰如圖，在等腰ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，兩，兩 底角的平分線底角的平分線BEBE和和CDCD相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)O O，那么，那么 OBCOBC是什么三角形？為什么？是什么三角形？為什么？ A A B BC C E ED D O O 1 12 2 答：答：OBCOBC是等腰三角形。是等腰三角形。 理由：理由：ABCABC中，中，AB=ACAB=AC ABC=ACBABC=ACB（等邊對(duì)等角）（等邊對(duì)等角） BEBE平分平分ABCABC，CDCD平分平分ACBACB 1= ABC1= ABC， 2 1 2= ACB2= ACB， 2 1 （角平分線定義）（角平分線定義） 1=21=2 OB=OCOB=OC （等角對(duì)等邊）（等角對(duì)等邊） 即即OBCOBC是等腰三角形。是等腰三角形。 等腰三角形的性質(zhì)與判定 1.若等腰三角形二條邊的長(zhǎng)分別是若等腰三角形二條邊的長(zhǎng)分別是4和和8,則它的周長(zhǎng)為則它的周長(zhǎng)為_.20 2.2.等腰三角形一個(gè)內(nèi)角為等腰三角形一個(gè)內(nèi)角為80o ，則另