Python科學計算與數(shù)據(jù)處理—數(shù)值計算庫

1、Python 科學計算與數(shù)據(jù)處理數(shù)值計算庫SciPy 數(shù)值計算庫目錄常數(shù)和特殊函數(shù)優(yōu)化最小二乘擬合函數(shù)最小非線性方程求解插值樣條曲線插值外推和樣條擬合2D 插值目錄數(shù)值積分球體體積解常微分方程統(tǒng)計量連續(xù)和離散概率分布二項、泊松、伽瑪分布 SciPy 在此基礎上，增加了數(shù)學、科學和工程計算中常用的許多模塊，如線性代數(shù)、常微分方程數(shù)值解、信號處理、圖像處理、稀疏矩陣等。在本節(jié)中，將通過示例介紹SciPy 中常用的一些模塊。Matplotlib 和 Mayavi 將用于在實例程序中繪制2D 和三維圖表。這些圖形庫將在以下章節(jié)中詳細描述。常量和特殊函數(shù)SciPy 的常量模塊包含許多物理常量:在物理常量

2、字典中，對應于物理常量名稱作為關鍵字的值是一個包含三個元素的元組，常量值分別為0+單位和錯誤。例如，下面的程序可以檢查電子質量 :光速 Ch# Planck 常量 Cgram 常量電子傳遞 (E，rsquokg#，E)常量和特殊函數(shù)除物理常量外，常量模塊還包括許多單位信息，如:Cmile# miles 等于多少米 Cinch # inches等于多少米 Cgram # grams等于多少千克 Cpound#磅等于多少千克常量，特殊函數(shù)SciPy 的特殊模塊是一個非常完整的函數(shù)庫，其中包含基本數(shù)學函數(shù)、 特殊數(shù)學函數(shù)和所有出現(xiàn)的函數(shù)由于函數(shù)數(shù)量眾多，本節(jié)僅簡要介紹它們。請參考 SciPy 的幫助

3、文檔，了解具體包括的功能列表。伽瑪函數(shù)是概率統(tǒng)計中經常出現(xiàn)的一種特殊函數(shù)。它的計算公式如下 :常數(shù)和特殊函數(shù)顯然，用這個公式計算函數(shù)值是很麻煩的。特殊模塊中的 gamma()可用于 計算 :importscipyspecialassgamma()sgamma()s gamma(j)# gamma 函數(shù)支持復數(shù) (j)Sgamma()INF 常量和特殊函數(shù)函數(shù)是實數(shù)和復數(shù)范圍內階乘函數(shù)的擴展。 它的增長速度非常快，因為的階乘已經超出了雙精度浮點數(shù)的表示范圍， 所以結果是無限的。為了計算更大的范圍，可以使用sgammaln (): sgammaln (x)來計算 ln 的值(|)。它使用一種特殊的

4、算法來直接計算函數(shù)的對數(shù)值，因此它可以代表一個更大的范圍。Sgammaln()常數(shù)和特殊函數(shù)的特殊模中的一些函數(shù)在數(shù)學意義上不是特殊函數(shù)，如計算log(x)值的 logp(x)。這是由于浮點數(shù)的精度有限，無法準確表示非常接近的實數(shù)。例如， e 的值不能用浮點數(shù)表示，所以 log(e)的值是，而當使用 logp()時，它可以非常精確地計算出來 :當 x 很小時， logp(x) 近似等于 x。Elog(e)Slogp(e)e 優(yōu)化最小二乘擬合假設有一組實驗數(shù)據(jù)(伊稀)，它應該預先滿足一定的函數(shù)關系 yi=f(xi) 。通過這些已知信息，需要確定函數(shù) f 的一些參數(shù)。例如，如果函數(shù) f 是線性函數(shù)

5、 f(x)=kxb ，則參數(shù) k 和 b 是要確定的值。優(yōu)化如果用 P 來表示函數(shù)中要確定的參數(shù)， 那么目標就是找到一組 P，從而優(yōu)化下面函數(shù)S 的值 :這個算法叫做最小二乘優(yōu)化。可在優(yōu)化模塊中使用Leastsq()對數(shù)據(jù)進行最小二乘擬合計算。leastsq()的用法很簡單，只需把計算誤差的函數(shù)和要確定的參數(shù)的初始值傳給它。以下是用最小二乘法擬合線性函數(shù)的過程()。優(yōu)化使用最小二乘法擬合直線，并顯示誤差曲面(scipylesshsquarelinpy)importnumpyasfrommschhopizeimporttastesqx =NP array(，Defresiduals):計算以 P

6、 為參數(shù)的直線與原始數(shù)據(jù)之間的誤差 K，B = PRETURNY(K * XB)# MISTANT SQ ，使參數(shù)的初始值為殘差輸出數(shù)組的最小平方和()，R =最小二乘(殘差)， 函數(shù)的作用是 :傳遞一個誤差計算函數(shù)和一個初始值。 初始值作為誤差計算函數(shù)的第一參數(shù)傳入計算結果 r。第一個元素是包含兩個元素的元組。 第一個元素是表示擬合參數(shù) k 、b 的數(shù)組，如果第二個元素等于整數(shù)之一、 、，則擬合成功。否則，將返回mesg程序的輸出 :殘差的參數(shù) p()是擬合直線的參數(shù)函數(shù)， 它返回原始數(shù)據(jù)和擬合直線之間的誤差。K=Sb= 優(yōu)化讓我們看另一個擬合正弦波數(shù)據(jù)的例子:使用最小二乘法擬合有噪聲的正復

7、數(shù)波數(shù)據(jù)(scipyleastsquaresinpy)，使用最小二乘法擬合有噪聲的正弦波數(shù)據(jù)。盡管通過擬合獲得的參數(shù)可能與實際參數(shù)完全不同，但是由于正弦函數(shù)的周期性，擬合結果與實際函數(shù)一致。importnumpyasnpfromsicoptimizeimportlestsqdeffunc(x，p):用于數(shù)據(jù)擬合的函數(shù) :a * sin (* pi * k * xta) a，k，Theta = preturna *npsin(* nppi * k * xta) 優(yōu)化函數(shù) (p，y，x y ，x):實驗數(shù)據(jù) x，y 和擬合函數(shù)之間的差值 p 是系數(shù) returnnyfunc (x ， p)x =

8、nplinspice(* nppi、)a，k， Theta =函數(shù) theta) #真實數(shù)據(jù) #實驗數(shù)據(jù) y = y *nprandomrand (len (x) p =，#函數(shù)擬合參數(shù)optimize#對于第一個猜測調用 leastsq進行數(shù)據(jù)擬合，殘差是函數(shù)#p 對于計算誤差是擬合參數(shù)的初始值。#args是實驗數(shù)據(jù) PLSQ =最小平方 (住宅， P，args = (Y，X) # 除初始值外，還調用 args 參數(shù)來指定殘差中使用的其他參數(shù)(X ，Y 的全局變量直接用于線擬合 )，元組的第一個元素也作為擬合參數(shù)數(shù)組 printu 的實參數(shù)返回。 Label = U 實數(shù) )plplplot

9、(x ，y，label=u 有噪聲的實驗數(shù)據(jù) )plplplot(x ，func(x，plsq)，優(yōu)化程序中要擬合的 func()是一個正弦函數(shù)，其參數(shù) p 是一個包含三個決定正弦波的參數(shù)的數(shù)組:A 、k 、，分別對應于正弦函數(shù)的振幅、頻率和相角。一組包含噪聲的數(shù)據(jù) :(x ，y)，其中數(shù)組 y 將隨機噪聲加到標準正弦波數(shù)據(jù) y 上。通過用最小二乘法擬合有噪聲的實驗數(shù)據(jù) (x，y)，它可以找到陣列 x 和真實數(shù)據(jù) y 之間的正弦關系，即確定參數(shù)，例如 A 、k 、。這里， (y，x)被傳遞給 args參數(shù)。Leastsq()將這兩個附加參數(shù)傳遞給殘差()。因此，殘差 ()有三個參數(shù) p 作為正

10、弦函數(shù)參數(shù)y，x 作為表示實驗數(shù)據(jù)的數(shù)組。程序輸出如下 :雖然擬合參數(shù)與實際參數(shù)完全不同，但由于正弦函數(shù)的周期性， 擬合參數(shù)得到的函數(shù)與實際參數(shù)對應的函數(shù)是一致的。實參數(shù) :，擬合參數(shù)優(yōu)化優(yōu)化函數(shù)最小優(yōu)化模塊還提供了許多算法來尋找函數(shù)最小值:fmin 、fmin powerwell 、fmin CG 、fminBG 等。以下是觀察這些fmin *(1) 如何找到函數(shù)最小值的一個例子。在這個例子中，函數(shù) f(x ，y)計算的最小值是 :f(x ，y)=(x)(yx) 。為了提高運算速度和精度， 一些 fmin() 有一個 fprime 參數(shù)，它是一個計算目標函數(shù) f 對每個自變量的偏導數(shù)的函數(shù)。

11、優(yōu)化函數(shù)對變量 x 和 y 的偏導數(shù)是 :這個函數(shù)叫做羅森布魯克(Rosenbrock)函數(shù)，它通常用來測試最小化算法的收斂速度。它有一個非常平坦的山谷地區(qū)。 收斂到這個山谷區(qū)域相對容易，但是在山谷區(qū)域中尋找最小的點相對困難。根據(jù)函數(shù)的計算公式，不難看出函數(shù)的最小值在(，)。以下程序計算 f(x ，y)的最小值，并在搜索最小值時繪制由f表示的曲面和搜索路徑。當 fmin* 函數(shù)計算最小值 (scipyfmindemopy)時，優(yōu)化觀察路徑。使用 fmin() 計算函數(shù)的最小值，并繪制路徑以使用 matplotlib 搜索最小值。importscipyoptizeasoptimportnumpy

12、anmportsyspoints =deff(p):x ，Y = pz =(x)* * *(yx * *)* * pointappend(x，Y，z)returnzoptizedfprime(p):x，Y = pdx = * x * x *(yx * *)dy = * Y * x * * returnnparay(dx，dy) initpoint =( ，)try:method = sysargvexcept:method = fminfgs optimizafminfunc = opdictFMIN POWELL: RESULT = FMIN FUNC (F， initpoint) # 參數(shù)

13、是目標函數(shù)和初始值 Elifmethiodinfmincg ，F(xiàn)MINLBFGSB ，F(xiàn)MINTNC: RESULT = FMIN FUNC (F ，initpoint ，The FP prime)# 參 數(shù) 是 目 標 函 數(shù) 、 初 始 值 和 導 數(shù) 函 數(shù) Elifmethodincobyla:RESULT = fminfunc(F ， initpoint) ， 否則:printfimplicationnotfoundsys exit()optimize ef F() 計算 f(x，y)的函數(shù)值。為了記錄最小化過程中的計算軌跡，每個計算點都被添加到f()中的全局列表點中。Fprime(

14、)計算兩個獨立變量的f(x ，y)在 p 處的偏導數(shù)函數(shù)值。最小初始值設置為 (，)，該程序從優(yōu)化模塊的字典中獲取命令行參數(shù)指定的最小值函數(shù)。不同的fmin *(1) 參數(shù)是不同的，例如，有些算法不需要fprime()。通過求解卷積的逆運算，優(yōu)化下面的程序來演示fmin 的功能，并比較 FMIN 、FMINPowell 、FMINCG 、FMINBFGS 。對于離散線性時不變系統(tǒng)h，如果它的輸入是x，它的輸出y 可以用 x 和 h 的卷積表示 :y=x(*)h 已知系統(tǒng)的輸入 x 和輸出 y 計算已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù) h 或傳遞函數(shù) h，輸出 y 計算系統(tǒng)的輸入 x。這個操作叫做反卷積。Fmin

15、 計算反卷積方法只能用于極少數(shù)的序列，但評價fmin函數(shù)的性能仍然是好的。(scipytestfminpy)OptimizeimiportscipyOptimizeasoptimportnumpYasnpDedminconvolve(fmin func ，X， h，y，yn，x): # x (*) h = y ，(*) 表示卷積， yn 是在 y 的基礎上添加一些干擾噪聲的結果， X 是求解 X 的初始值 defconvolfunc(h):#計算 ynx(*)h 的冪，fmin 將使該冪最小化返回 npsum(ynn 卷積 (X ，h) * *) # 調用 fmin 函數(shù) x)print fm

16、infuncname print optimize # the # output x(*)h 和 y printerrorfy 之間的相對誤差 :， Np sum(Np 卷積 (x，h)y)* *)Np sum(y * *)# h 和 h printerrorofh 之間的相對誤差 :，Np sum(hh)* *)Np sum(h * *)print defest n(m ，n，nscale):隨機生成 x，h，y，yn，x 系列，并調用各種 fmin 函數(shù)來求解 x 長度的 bm 和 h 長度的 n。 Nscale 是干擾的強度 x = nprandomrand(m)H =nprandomr

17、and(n)y =npconvolve(x ， H)yn=ynprandland(len(y)*NScalex = nprandomrand(n)優(yōu)化以下是程序的輸出:testminconvolve(optfmin ，x，H，y，yn，x) testminconvolve (optfminpower，x，H，y，yn，x)testfminconvolve(optfmincg ，x，H，y，yn， yn)它的參數(shù)x 是一個數(shù)組，它的值是方程的一組可能的解。Func 返回一組初始值，其中通過將x 代入方程得到的每個方程的誤差 x 是一個未知數(shù)。假設要求解以下方程 :f(u ，U，u)=，f(u ，

18、U，u)=， f(u，U，u)= 優(yōu)化，那么函數(shù)可以定義如下: 使用下列函數(shù)求解非線性方程:(scipyfsolvepy) deffunc (x): u， U，u = xruenf (u，U，U)，f (u，U，U)，f(u，U，U)，U，U)optizefromschoptimizeimportfsolvefromthimportindeff(x) 這 是 未 知結果的初始值 =fsolve(f，printtresultprintf(result) 優(yōu)化的輸出是 : 由于調用函數(shù) f 時 fsolve 函數(shù)傳遞的參數(shù)是數(shù)組，如果數(shù)組中的元素直接用于計算，計算速度將會降低。 因此，在 Pyth

19、on 中，float 函數(shù)用于將數(shù)組中的元素轉換為標準浮點數(shù)，然后調用標準數(shù)學庫中的函數(shù)進行計算。當求解方程時， fsolve 將自動計算方程的雅可比矩陣。如果方程中有許多未知量， 但與每個方程相關的未知量很少， 即雅可比矩陣是稀疏的，則傳遞函數(shù)來計算雅可比矩陣將大大提高運算速度。在仿真程序中，需要求解大量的近似未知的非線性方程。每個方程平均與一個未知數(shù)相關， 通過傳遞雅可比矩陣的計算函數(shù)，計算速度成倍提高。優(yōu)化雅可比矩陣的雅可比矩陣是一階偏導數(shù)以某種方式排列的矩陣。它給出了微分方程和給定點之間的最佳線性近似， 因此它類似于多元函數(shù)的導數(shù)。例如，前面的函數(shù)F，F(xiàn)，F(xiàn) 和未知數(shù) u，u，u 的雅

20、可比矩陣 如 下 : 優(yōu)化optizefromsochoptimizeimportfsolvrommathimportin ，cosdefj (x): x，X，x = xtolist () return ，X，* x * cos (x * x) ，* x * cos(x * x) ， (scipyfsolvejacobianpy)優(yōu)化雅可比矩陣的函數(shù)J()，它與 F()一樣，是一組其X 參數(shù)未知的值。它計算非線性方程的雅可比矩陣通過 fprime 參數(shù)將 j() 傳遞給 fsolve()。由于本例中的未知數(shù)很少， 雅可比矩陣的計算不能顯著提高計算速度。插值是一種通過已知的離散數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)未知數(shù)據(jù)的

21、方法。與擬合不同，它要求曲線通過所有已知數(shù)據(jù)。SciPy 的插值模塊提供了許多插值數(shù)據(jù)的功能。用B 樣條曲線對一維數(shù)據(jù)進行插值可以用interpd()來完成。調用形式如下 :實際上它不是一個函數(shù)而是一個類:參數(shù)類型是一個插值類型。給出插值的b 樣條曲線的階數(shù)可以具有以下候選值:interpd(x，y，kind=#linear#) 插值插值 elsquozerorsque 、rsquonear:步長插值等效于b 樣條曲線的階數(shù)。線性插值使用一條直線來連接所有采樣點，這相當于使用擴展庫中的相關函數(shù)來計算二次B樣條曲線RSQUOSILINEARSQUAO ，而 LSQUOLINEARSQUAO直接使

22、用用Python 編寫的函數(shù)來計算它們，結果是相同的。# quadratic squo 、# cubic: 可以使用整數(shù)值直接指定高階曲線和 B 樣條曲線。Interpd 對象可以計算 x 值范圍內任意點的函數(shù)值。它可以像函數(shù)一樣直接調用像NumPy 一樣的 ufunc 函數(shù)，并且可以計算數(shù)組中的每個元素并返回一個新的數(shù)組。插值插值使用插值以不同的順序插值數(shù)據(jù)。(scipyinterpdpy)importnumpyasnpfromscipyimportinterpolateimportpylabasplx=nplinspispace(，)y=npsin(x)xnew=nplinspispace

23、(，)plplplplplplplplplot(x ，y，ro #)for kindin # near # # # zero# # # linear # # # quandradic #:f = interpolateinpinterped(x ，y，kind =kind)ynew = f(xnew)plplot(xnew ，ynew，label = str (kind) 插值插值插值插值程序使用循環(huán)來首先，使用數(shù)據(jù)點創(chuàng)建一個interpd 對象 f，并通過 kind 參數(shù)指定其順序。調用 f() 計算一系列插值結果。Pllegend (loc = #右下角 #) plshow()插值插值樣條

24、插值 :使用兩個基本步驟: () 首先使用splrep()計算要插值的曲線的樣條系數(shù)(splprep 用于 n 維空間 ) ()使用 splev()計算給定點的樣條插值結果。tck = scipyinterpolsplip(x ，y，w = none，XB = none，xe = none，k = ，task =，s = none，t = none，fulloutput = ，per =，quiet =)參數(shù) s用于確定平滑點數(shù)，通常為mSQRT(m)，m 是曲線點數(shù)。如果插值不需要平滑，則s = 1。插值插值 esplrep()輸出一個單元數(shù)組 (t，c，k)的一個元素，其中 t 是曲線點

25、c，計算系數(shù) k 是樣條順序，這通常是順序，但可以改變 k。其中 der 用于樣條計算或實際計算順序必須滿足條件DER =K插值插值下面是一個用直線和基線在正弦波上插值點的例子。(ScipyBSpline)importnumpyanpimportpylabasplfromcipyimportinterpolatex = nplinspace(，*nppinppi) ，y=npsin(x)xnew=nplinspace(，*nppinppi ，(x，y)tck = interplantsprep(x，y)ybsplit = interplantsprep(x，y)ybsplit =interpl

26、antsprev(x， y， o， label = u raw 數(shù)據(jù) )plplplplplplot(xnew ，flinter(xnew) ，Label=u linear interpolation)插值插值插值插值plplplot(xnew，ybSpline ，label=UBSplineinterpolation)pllegend()plshow()interpolation interplate extrapolation 和spline fitting 前面描述的 interpd 類要求其參數(shù) x 是增量序列，并且只能在 x 的值范圍內進行插值， 它不能用于外推， 即不能計算 x 的

27、值范圍之外的數(shù)據(jù)點。單葉線類插值比插值更先進。 它支持外推。其調用形式如下 : 單變量樣條 (X ，Y，W =無， BBOXS = 無，無， K =，S =無)插值 ex、 y 是保存數(shù)據(jù)點的 XY 坐標的數(shù)組，其中 X 必須是遞增序列。w 是分配給每個數(shù)據(jù)點的權重值。由 bboxs 序列指定的近似區(qū)間的邊界K 是樣條曲線的階。S 是一個平滑參數(shù)，它使最終生成的樣條曲線滿足條件SUM(W (YSP 線(X) LES ，也就是說，當 S 時，樣條曲線不一定通過每個數(shù)據(jù)點。為了使曲線通過所有數(shù)據(jù)點， 必須將 S 參數(shù)設置為單變量樣條(X，Y ，W = NONE，BBOXS = NONE ，NONE

28、，K =，S = NONE)插值插值使用單變量插值線 :(Scipypuslinepy)ImpNumPYanportPylaBasPlFromScipImport 插 值EX = NP )sy = interplantanivaritestpline(x ， y ， s =)(sx)interplant plfigure(figure size =( ， )plplplplplplot(x ， y ， label = u 數(shù) 據(jù)點)plplplplplot(sx ，sy，label = u 無噪聲曲線 )pllegend()plplplplplplot(x ，y，label=u 數(shù)據(jù)點 )pl

29、plplplot(sx ， sy， linewidth=， Label = u 數(shù)據(jù)點)plplplplot(x ，npsin(x)，Label = u 無噪聲曲線 )pllegend()plshow()插值為有噪聲的輸入數(shù)據(jù)選擇合適的 S 參數(shù)可以使樣條曲線在沒有噪聲時接近波形?？梢哉J為是用樣條曲線擬合數(shù)據(jù)。插值插值二維插值使用插值 ()執(zhí)行二維插值。它的調用形式如下 :x、y、z 都是一維數(shù)組。如果多維數(shù)組被傳入，它首先被轉換成一維數(shù)組類型參數(shù)。將插值操作的順序指定為 RSQUOLINE ARROW 、RSQUOCUCBICLSQO 或 rsquoquinticrsquo。二維插值 (sc

30、ipyinterpdpy)使用 interpd 函數(shù) interpd (x，y，z，kind = # linearsquo)，插值插值演示二維插值。importnumpyasnpfromschyimportimportimportimportyplabaspldeffunc(X，y): return (xy) * npexp (* (x * * y * *) # 將 xy 軸分成 * 的網格 Y，X = NPM grid:j:JF vals = func(X ，Y)#計算每個網格點的函數(shù)值 #二維插值 NEWFNC = 插值 # (X ，Y，fvals，KIND = LSQUOCCUBICLS

31、QO)插值 XNEW = NP LINSPACE( ，YNEW = NP LINSPACEpl subspot()plimshow(f val ， extent=， cmap=plcmjet ，interpolation=#nearest#，origin = lower)pl subspot()plimshow(fnew，extent=，cmap=plcmjet，Interpolation = # nearest #，origin = lower)plshow()interpolate func 是一個計算曲面上每個點的高度的函數(shù)。獲得的二維陣列的第一軸對應于Y 軸，第一軸對應于X 軸。int

32、erpd 對象可以像函數(shù)一樣調用， 以計算密集網格中插值曲面的高度值。這里的參數(shù)是兩個一維數(shù)組分別指定網格的XY 軸坐標，而不通過網格創(chuàng)建網格坐標數(shù)組。Interpd 只能插值網格形狀的采樣值。 如果隨機散列采樣點需要插值，則需要徑向基函數(shù)插值算法。徑向基函數(shù)支持多維散列點的插值。插值插值使用徑向基函數(shù)插值二維隨機采樣點。(scipyrbfpy)importnumpyasnpfromscompumportimportimportimportpillaspldeffunc(x，y): return (xy) * npexp (* (x * * y * *) #計算最后一個隨機分布點 x=npra

33、ndomuniform(，Size =) y = nprandomuniform(，size =)fvals = func (x ，y)插值插值使用Rbf new func = InterPlantRbf(x ，y，fvals，function = # multi quadrac #)ynew，xnew = npmgrid extend=，cmap = plcmjet，Origin = lower)pl subset()pl spread(x，y，fvals，cmap = plcmjet) plmshow (fnew，extend =，cmap = plcmjet，origin= lower)

34、 plshow()插值使用隨機點創(chuàng)建一個徑向基函數(shù)，并通過函數(shù)參數(shù)指定使用的徑向基函數(shù)。徑向基函數(shù)對象也可以像函數(shù)一樣調用， 用于計算密集網格上的點的值。它的兩個參數(shù)是指定XY 軸坐標的兩個數(shù)組。與 interpd 對象不同，它不會在網格上自動生成點，因此這兩個數(shù)組是使用 Megrid 對象創(chuàng)建的，以便使用等距正交網格。數(shù)值積分集成模塊提供了幾種數(shù)值積分算法， 包括常微分方程數(shù)值積分。本節(jié)以球體體積和洛倫茲吸引子軌跡的計算為例， 介紹積分模塊的使用。球的體積數(shù)值積分是定積分的數(shù)值解。 例如，某一形狀的面積可以通過數(shù)值積分來計算。首先考慮如何計算半徑為半圓的面積。根據(jù)圓的面積公式，它的面積應該等

35、于 。單位半圓的曲線方程是下面的半圓 ()可以通過數(shù)值積分來計算圓的面積和球的體積。 最簡單的數(shù)值積分算法是將待積分區(qū)域分成許多小矩形，然后計算這些矩形的和。以下方法用于將 x 軸上的積分分成相等的部分， 然后計算面積和 :def half circle(x):return(x * *)* * n = x = NPL spice( ，n)dx = xxy =half circle(x)* dx * npsum(y)#由半圓上的每個點形成的多邊形面積也可以通過數(shù)值trapz()來計算 :trapz()計算以 (x，y)為頂點坐標的折線與x 軸之間的面積。如果您在 SciPy 的積分模塊中使用數(shù)值

36、積分函數(shù)quad()，您將得到非常精確的 結果:nptrapz(y ， x)*#兩倍于fromstipyimportintegratepihalf 的面積， err =積分 quad(半圓，)pihalf*數(shù)值積分 defhalfsphere (x，y): return (x * * y * *) * * 多重定積分的計算可以通過多次調用 quad()來實現(xiàn)。為了便于調用，集成模塊為二重定積分提供 dblquad (),為三重定積分提供 tplquad()。下面以 dblquad() 計算單位半球體積為例來說明 dblquad()的用法。單位半球上的點 (x，y，z)滿足以下等式 :XYz=

37、因此，下面的半球體 ()可以通過 xy 軸坐標計算球體上的點的 z 軸坐標值 :數(shù)值積分的交點 Y 軸平面和球體是一個單位圓，所以二重積分的計算間隔是單位圓。也就是說，對于 x 軸，從到執(zhí)行積分， 對于 y 軸，從半圓 (x) 到半圓 (x)執(zhí)行積分。因此，半球體積的二重積分公式如下 : 下面的程序使用dblquad()計算半球體積 :integratedblquad(半球、x:半圓 (x)，x:半圓 (x)( ，e) nppi * #計算半球體積數(shù)值積分 integratedblquad()通過球體體積公式。調用參數(shù)是 :funcd 是一個需要二重積分的函數(shù)，它有兩個參數(shù)假設 :x 和 y。

38、A 和 B 參數(shù)指定積分函數(shù)的第一個變量 (即 X) 的積分間隔，而 gfun 和 hfun 參數(shù)指定第二個變量 (即 Y)的積分間隔。Gfun 和 hfun 是函數(shù)。他們通過變量X 計算變量 Y 的積分區(qū)間，這樣函數(shù)就可以在XY 平面上的任何區(qū)間內積分。Dblquad(funcd，a，b，gfun，hfun)數(shù)值積分積分解常微分方程組積分模塊還提供函數(shù)odeint()來積分常微分方程組。讓我們看看如何用它來計算洛倫茲吸引子的軌跡。洛倫茲吸引子由以下三個微分方程定義 :這三個方程定義了三維空間中每個坐標點的速度矢量。從某個坐標出發(fā)， 沿速度矢量積分， 可以計算出該空間中無質量點的運動軌跡。當

39、、是具有不同常數(shù)的三個參數(shù)時， 可以計算不同的軌跡 :x(t) 、y(t)、z(t)。當參數(shù)為某一值時，軌跡出現(xiàn)混沌現(xiàn)象。即使初始值稍有不同，也會顯著影響軌跡。以 下 是Lorenz吸 引 子 的 軌 跡 計 算 和 繪 圖 程序 :(Scipoudeindlorenz)fromtipyintegradeportodeinimportantumpuyasnpd orenz(W，T，P，R，b): #給定位置矢量 W 和三個參數(shù) P，R，B，計算值 x， y # dxdt，dydt，dzdt。Z=wtolist()# 直接對應于 lorenz 的計算公式returnp*(yx) ， x*(rz)

40、y ， x*yb*z數(shù)值積分INTEGRATET =NPARGE(，#創(chuàng)建時間點 #調用 ode 來求解 lorenz，使用兩個不同的初始值 TRACK = ODINT(Lorenz ，(，)，T，ARGS =(，)TRACK = ODINT(Lorenz ， ( ， ， ) ， T ， args =( ， )# 從 mpltoolkitsmportdimportasidimportatmatchplotlibplotaspltfigure 繪圖它的任務是計算一個坐標點在所有方向上的微分值，這可以根據(jù)洛侖茲吸引子公式直接得到。用不同的初始位移值調用Odeint()兩次來求解微分方程。Odein

41、t()有許多參數(shù) :lorenz:它是一個計算某個位置所有方向速度的函數(shù)。(，):位置初始值它是計算常微分方程所需的每個變量的初始值。t:表示時間的數(shù)組odeint()求解該數(shù)組中的每個時間點， 以獲得所有時間點的位置。參數(shù) :這些參數(shù)直接傳遞給 lorenz()，因此它們在整個集成過程中是恒定的。數(shù)值積分最終通過 matplotlib 的三維繪制模塊繪制出 odeint() 后得到的軌跡。即使初始值只相差兩條軌跡，它們也是完全不同的。統(tǒng)計科學的統(tǒng)計模塊包含各種概率分布的隨機變量。 隨機變量分為連續(xù)變量和離散變量。所有連續(xù)隨機變量都是 rvcontinuous 派生類的對象，所有離散隨機變量都是 rvdiscrete 派生類的對象。連續(xù)和離散概率分布可以通過使用以下語句獲得 stats 模塊中 的 所 有 連 續(xù) 隨 機 變 量 :fromstipyimportstatskfork 、 vinstatsdictiontems()ifisinstance(v ， stats RV continuous)lsquogenhalflowitstquota 、 RSQUOTIANGRSQUO 、 RSQUOL