2020版高中數(shù)學(xué) 第二講 證明不等式的基本方法本講整合課件 新人教A版選修4-5

1、-1- 本講整合 知識(shí)建構(gòu)綜合應(yīng)用真題放送 知識(shí)建構(gòu)綜合應(yīng)用真題放送 專題一專題二專題三專題四專題五 專題一比較法 比較法證明不等式的依據(jù)是:不等式的意義及實(shí)數(shù)比較大小的充 要條件.作差比較法證明的一般步驟是:作差;恒等變形;判斷 結(jié)果的符號(hào);下結(jié)論.其中,變形是證明推理中一個(gè)承上啟下的關(guān) 鍵,變形的目的在于判斷差的符號(hào),而不是考慮差能否化簡(jiǎn)或值是 多少,變形所用的方法要具體情況具體分析,可以配方,可以因式分 解,可以運(yùn)用一切有效的恒等變形的方法. 知識(shí)建構(gòu)綜合應(yīng)用真題放送 專題一專題二專題三專題四專題五 應(yīng)用1設(shè)ab,求證:a2+3b22b(a+b). 提示：用作差比較法證明.作差比較法的步

2、驟是:作差;變 形;判斷差與0的大小關(guān)系;下結(jié)論,其中最關(guān)鍵的步驟是. 證明：(a2+3b2)-2b(a+b)=a2+3b2-2ab-2b2=a2-2ab+b2=(a-b)2.因?yàn)?ab,所以a-b0. 從而(a-b)20,于是(a2+3b2)-2b(a+b)0. 所以a2+3b22b(a+b). 知識(shí)建構(gòu)綜合應(yīng)用真題放送 專題一專題二專題三專題四專題五 A.abcB.cba C.cabD.bac 提示：作商比較法的步驟是:作商;變形;判斷商與1的大小 關(guān)系;下結(jié)論.其中是關(guān)鍵步驟,同時(shí)要注意分子、分母的正 負(fù). 知識(shí)建構(gòu)綜合應(yīng)用真題放送 專題一專題二專題三專題四專題五 專題二綜合法 綜合法證

3、明不等式的依據(jù):已知的不等式以及邏輯推證的基本理 論.證明時(shí)要注意:作為依據(jù)和出發(fā)點(diǎn)的幾個(gè)重要不等式(已知或已 證)成立的條件往往不同,應(yīng)用時(shí)要先考慮是否具備應(yīng)有的條件,避 免錯(cuò)誤,如一些帶等號(hào)的不等式,應(yīng)用時(shí)要清楚取等號(hào)的條件,即對(duì) 重要不等式中“當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立”的理由要理解掌握.綜合 法證明不等式的思維方向是“順推”,即由已知的不等式出發(fā),逐步推 出其必要條件(由因?qū)Ч?,最后推導(dǎo)出所要證明的不等式成立. 知識(shí)建構(gòu)綜合應(yīng)用真題放送 專題一專題二專題三專題四專題五 應(yīng)用已知a,b,c為ABC的三條邊,求證:a2+b2+c20,b0,求證:a5+b5a3b2+a2b3. 提示：此題可以用

4、分析法、綜合法和比較法來證明,這里我們用 分析法證明. 證明：要證a5+b5a3b2+a2b3成立, 即證(a5-a3b2)+(b5-a2b3)0成立, 即證a3(a2-b2)+b3(b2-a2)0成立, 即證(a3-b3)(a2-b2)0成立. 而a0,b0,當(dāng)ab0或ba0時(shí), a3-b3與a2-b2的符號(hào)都相同, 所以(a3-b3)(a2-b2)0成立. 所以原不等式成立. 知識(shí)建構(gòu)綜合應(yīng)用真題放送 專題一專題二專題三專題四專題五 專題四反證法 運(yùn)用反證法證明不等式,主要有以下兩個(gè)步驟:作出與所證不 等式相反的假設(shè);從條件和假設(shè)出發(fā),應(yīng)用正確的推理方法,推出 矛盾的結(jié)論,否定假設(shè),從而證

5、明原不等式成立. 反證法常用于直接證明困難或以否定形式出現(xiàn)的命題.涉及“都 是”“都不是”“至少”“至多”等形式的命題,也常用 反證法. 知識(shí)建構(gòu)綜合應(yīng)用真題放送 專題一專題二專題三專題四專題五 應(yīng)用用反證法證明鈍角三角形最大邊上的中線小于該邊長(zhǎng)的一 半. 知識(shí)建構(gòu)綜合應(yīng)用真題放送 專題一專題二專題三專題四專題五 所以在ABD中,ADBD,從而BBAD. 同理CCAD. 所以B+CBAD+CAD, 即B+CCAB. 因?yàn)锽+C=180-CAB, 所以180-CABCAB, 則CAB0,b0,a3+b3=2.證明: (1)(a+b)(a5+b5)4; (2)a+b2. 證明:(1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6 =(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4) =4+ab(a2-b2)24. (2)因?yàn)?a+