高三復(fù)習(xí)經(jīng)典專題6：周期數(shù)列問題

1、精品好資料學(xué)習(xí)推薦周期數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用我們在學(xué)習(xí)函數(shù)時，通常會圍繞著函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性和周期性進(jìn)行研究；那么，數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)，它是否有周期性呢？有周期性的數(shù)列又有哪些特點(diǎn)呢？下面是我在教學(xué)中總結(jié)出的幾點(diǎn)認(rèn)識，僅供大家參考1、周期數(shù)列的概念及主要性質(zhì)類比周期函數(shù)的概念，我們可定義：對于數(shù)列，如果存在一個常數(shù)，使得對任意的正整數(shù)恒有成立，則稱數(shù)列是從第項(xiàng)起的周期為的周期數(shù)列若，則稱數(shù)列為純周期數(shù)列，若，則稱數(shù)列為混周期數(shù)列，的最小值稱為最小正周期，簡稱周期通過周期數(shù)列的定義以及所學(xué)過的周期函數(shù)的性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)周期數(shù)列滿足以下性質(zhì)：（1）如果是數(shù)列的周期，則對于任意的，也是數(shù)列的周期（2）若數(shù)

2、列滿足（，且），則6是數(shù)列的一個周期（3）已知數(shù)列滿足（，且為常數(shù)），分別為的前項(xiàng)的和，若（，），則，特別地：數(shù)列的周期為6，（即：）則（4）若數(shù)列滿足，則數(shù)列是周期數(shù)列；若數(shù)列滿足，則數(shù)列是周期數(shù)列若數(shù)列滿足，則數(shù)列是周期數(shù)列特別地：數(shù)列滿足，則數(shù)列周期T=2；數(shù)列滿足，則數(shù)列周期T=3數(shù)列滿足，則數(shù)列周期T=2；數(shù)列滿足，則數(shù)列周期T=3（5）若數(shù)列滿足a+d=0,則數(shù)列是周期T=2；例：數(shù)列滿足則數(shù)列是周期T=2；2、周期數(shù)列性質(zhì)的簡單應(yīng)用（1）求周期數(shù)列的通項(xiàng)公式例1（04山東數(shù)學(xué)競賽）、已知數(shù)列滿足，求分析：周期數(shù)列的通項(xiàng)公式通常都可以分段表示，所以只需求出它的一個最小正周期即可解：

3、，從而；即數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列又，所以例2、若數(shù)列滿足；若，則的值為（）A B C D解析：緊扣分段函數(shù)的定義，代入a1=求得a2=，并依次求出故此數(shù)列是周期為3的周期性數(shù)列，故故選B（2）求周期數(shù)列中的項(xiàng)例3（由第十四屆希望杯改編）、已知數(shù)列中，且對于大于的正整數(shù)，總有，則等于（） A-5 B-2 C2 D3解析：由性質(zhì)（2）知，數(shù)列是以6為周期的周期數(shù)列，而，再由性質(zhì)（3）可得，故選A例4（上海中學(xué)數(shù)學(xué)雜志2000年的第1期）、已知實(shí)數(shù)列滿足（為實(shí)數(shù)），()，求解：()可變形為我們發(fā)現(xiàn)與三角式十分相似，因此可把此三角式認(rèn)為是原遞推關(guān)系的原型通過運(yùn)算，發(fā)現(xiàn)本題中可取=，顯然此數(shù)列的周期

4、是6而，再由性質(zhì)（3），得注：此類問題也可采用不動點(diǎn)法求解，有興趣的朋友不妨試一下（3）求周期數(shù)列的前項(xiàng)和例5、設(shè)數(shù)列中，且對，有=（）成立，試求該數(shù)列前100項(xiàng)和解：由已知條件，對任何自然數(shù)，有=，把式中的換成，得=兩式相減得，因?yàn)椋运允且?為周期的周期數(shù)列，而，再由性質(zhì)（3），得例6（上海08質(zhì)檢題）、若數(shù)列滿足，為的前項(xiàng)和，且，求解析：由及性質(zhì)（2），可知所以數(shù)列是以6為周期的周期數(shù)列由，知，再結(jié)合，可求得，；由遞推關(guān)系式可進(jìn)一步求得，因?yàn)?，由性質(zhì)（3），得（4）求周期數(shù)列的極限例7、（06北京）在數(shù)列中，是正整數(shù)，且，則稱為“絕對差數(shù)列”若“絕對差數(shù)列”中，數(shù)列滿足，分別判斷當(dāng)時，數(shù)列和的極限是否存在，如果存在，求出其極限值解析：因?yàn)樵诮^對差數(shù)列中，所以自第20項(xiàng)開始，該數(shù)列是，即自第 20 項(xiàng)開始，每三個相鄰的項(xiàng)周期地取值3，0，3所以當(dāng)時，的極限不存在當(dāng)時，所以周期數(shù)列練習(xí)1、已知數(shù)列滿足，.則 ( )A.1 B.2 C.D.2、個連續(xù)自然數(shù)按規(guī)律排成下表：（）0 3 4 7 8 11 1 2 5 6 9 10根據(jù)規(guī)律，從2011到2012的箭頭方向依次為（）。A. B. C.D.3、已知數(shù)列滿足，則已知數(shù)列滿足，則4、已