數(shù)學(xué)練習(xí)題考試題高考題教案2010年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精品學(xué)案（人教版A版）――函數(shù)圖象及數(shù)字特征

1、2010年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精品學(xué)案（人教版a版）函數(shù)圖象及數(shù)字特征一【課標(biāo)要求】1掌握基本初等函數(shù)的圖象的畫法及性質(zhì)。如正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一元一次函數(shù)、一元二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等；2掌握各種圖象變換規(guī)則，如：平移變換、對稱變換、翻折變換、伸縮變換等；3識(shí)圖與作圖：對于給定的函數(shù)圖象，能從圖象的左右、上下分布范圍，變化趨勢、對稱性等方面研究函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性。甚至是處理涉及函數(shù)圖象與性質(zhì)一些綜合性問題；4通過實(shí)例，了解冪函數(shù)的概念；結(jié)合函數(shù)的圖像，了解它們的變化情況。二【命題走向】函數(shù)不僅是高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，還是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，所以在高考中，函

2、數(shù)知識(shí)占有極其重要的地位。其試題不但形式多樣，而且突出考查學(xué)生聯(lián)系與轉(zhuǎn)化、分類與討論、數(shù)與形結(jié)合等重要的數(shù)學(xué)思想、能力。知識(shí)覆蓋面廣、綜合性強(qiáng)、思維力度大、能力要求高，是高考考數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法、考能力、考素質(zhì)的主陣地從歷年高考形勢來看：（1）與函數(shù)圖象有關(guān)的試題，要從圖中（或列表中）讀取各種信息，注意利用平移變換、伸縮變換、對稱變換，注意函數(shù)的對稱性、函數(shù)值的變化趨勢，培養(yǎng)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想來解題的能力，會(huì)利用函數(shù)圖象，進(jìn)一步研究函數(shù)的性質(zhì)，解決方程、不等式中的問題；（2）函數(shù)綜合問題多以知識(shí)交匯題為主，甚至以抽象函數(shù)為原型來考察；（3）與冪函數(shù)有關(guān)的問題主要以為主，利用它們的圖象及性質(zhì)解決實(shí)

3、際問題；預(yù)測2010年高考函數(shù)圖象：（1）題型為1到2個(gè)填空選擇題；（2）題目多從由解析式得函數(shù)圖象、數(shù)形結(jié)合解決問題等方面出題；函數(shù)綜合問題：（1）題型為1個(gè)大題；（2）題目多以知識(shí)交匯題目為主，重在考察函數(shù)的工具作用；冪函數(shù)：單獨(dú)出題的可能性很小，但一些具體問題甚至是一些大題的小過程要應(yīng)用其性質(zhì)來解決；三【要點(diǎn)精講】1函數(shù)圖象（1）作圖方法：以解析式表示的函數(shù)作圖象的方法有兩種，即列表描點(diǎn)法和圖象變換法，掌握這兩種方法是本講座的重點(diǎn)。作函數(shù)圖象的步驟：確定函數(shù)的定義域；化簡函數(shù)的解析式；討論函數(shù)的性質(zhì)即單調(diào)性、奇偶性、周期性、最值（甚至變化趨勢）；描點(diǎn)連線，畫出函數(shù)的圖象。運(yùn)用描點(diǎn)法作圖象

4、應(yīng)避免描點(diǎn)前的盲目性，也應(yīng)避免盲目地連點(diǎn)成線要把表列在關(guān)鍵處，要把線連在恰當(dāng)處這就要求對所要畫圖象的存在范圍、大致特征、變化趨勢等作一個(gè)大概的研究。而這個(gè)研究要借助于函數(shù)性質(zhì)、方程、不等式等理論和手段，是一個(gè)難點(diǎn)用圖象變換法作函數(shù)圖象要確定以哪一種函數(shù)的圖象為基礎(chǔ)進(jìn)行變換，以及確定怎樣的變換，這也是個(gè)難點(diǎn)（2）三種圖象變換：平移變換、對稱變換和伸縮變換等等；平移變換：、水平平移：函數(shù)的圖像可以把函數(shù)的圖像沿軸方向向左或向右平移個(gè)單位即可得到；1）y=f(x)y=f(x+h)；2）y=f(x) y=f(x-h)；、豎直平移：函數(shù)的圖像可以把函數(shù)的圖像沿軸方向向上或向下平移個(gè)單位即可得到；1）y=

5、f(x) y=f(x)+h；2）y=f(x) y=f(x)-h。對稱變換：、函數(shù)的圖像可以將函數(shù)的圖像關(guān)于軸對稱即可得到；y=f(x) y=f(-x)、函數(shù)的圖像可以將函數(shù)的圖像關(guān)于軸對稱即可得到；y=f(x) y= -f(x)、函數(shù)的圖像可以將函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱即可得到；y=f(x) y= -f(-x)、函數(shù)的圖像可以將函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱得到。y=f(x) x=f(y)、函數(shù)的圖像可以將函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱即可得到；y=f(x) y=f(2a-x)。翻折變換：、函數(shù)的圖像可以將函數(shù)的圖像的軸下方部分沿軸翻折到軸上方，去掉原軸下方部分，并保留的軸上方部分即可得到； 、函數(shù)的圖像可以將

6、函數(shù)的圖像右邊沿軸翻折到軸左邊替代原軸左邊部分并保留在軸右邊部分即可得到 伸縮變換：、函數(shù)的圖像可以將函數(shù)的圖像中的每一點(diǎn)橫坐標(biāo)不變縱坐標(biāo)伸長或壓縮（）為原來的倍得到；y=f(x)y=af(x)、函數(shù)的圖像可以將函數(shù)的圖像中的每一點(diǎn)縱坐標(biāo)不變橫坐標(biāo)伸長或壓縮（）為原來的倍得到。f(x)y=f(x)y=f()（3）識(shí)圖：分布范圍、變化趨勢、對稱性、周期性等等方面2冪函數(shù)在第一象限的圖象，可分為如圖中的三類：圖在考查學(xué)生對冪函數(shù)性的掌握和運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)解決問題時(shí)，所涉及的冪函數(shù)中限于在集合中取值冪函數(shù)有如下性質(zhì)：它的圖象都過（1，1）點(diǎn)，都不過第四象限，且除原點(diǎn)外與坐標(biāo)軸都不相交；定義域?yàn)閞或的冪

7、函數(shù)都具有奇偶性，定義域?yàn)榈膬绾瘮?shù)都不具有奇偶性；冪函數(shù)都是無界函數(shù)；在第一象限中，當(dāng)時(shí)為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)為增函數(shù)；任意兩個(gè)冪函數(shù)的圖象至少有一個(gè)公共點(diǎn)（1，1），至多有三個(gè)公共點(diǎn)；四【典例解析】題型1：作圖例1（08江蘇理14）設(shè)函數(shù)，若對于任意的都有成立，則實(shí)數(shù)的值為 【解析】本小題考查函數(shù)單調(diào)性的綜合運(yùn)用若x0，則不論取何值，0顯然成立；當(dāng)x0 即時(shí)，0可化為，設(shè)，則， 所以 在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，因此，從而4；當(dāng)x0 即時(shí)，0可化為， 在區(qū)間上單調(diào)遞增，因此，從而4，綜上4【答案】4點(diǎn)評：該題屬于實(shí)際應(yīng)用的題目，結(jié)合函數(shù)值變化的趨勢和一些特殊點(diǎn)函數(shù)值解決問題即可。要明確函數(shù)圖

8、像與函數(shù)自變量、變量值的對應(yīng)關(guān)系，特別是函數(shù)單調(diào)性與函數(shù)圖象個(gè)關(guān)系；例2（2009廣東卷理）已知甲、乙兩車由同一起點(diǎn)同時(shí)出發(fā),并沿同一路線（假定為直線）行駛甲車、乙車的速度曲線分別為（如圖2所示）那么對于圖中給定的，下列判斷中一定正確的是（ ）a. 在時(shí)刻，甲車在乙車前面 b. 時(shí)刻后，甲車在乙車后面c. 在時(shí)刻，兩車的位置相同d. 時(shí)刻后，乙車在甲車前面答案 a解析 由圖像可知，曲線比在0、0與軸所圍成圖形面積大，則在、時(shí)刻，甲車均在乙車前面，選a. （2）1 x y 1 o a x y o 1 1 b x y o 1 1 c x y 1 1 d o . (2009山東卷理)函數(shù)的圖像大致為

9、( ).答案 a解析 函數(shù)有意義,需使,其定義域?yàn)?排除c,d,又因?yàn)?所以當(dāng)時(shí)函數(shù)為減函數(shù),故選a .【命題立意】:本題考查了函數(shù)的圖象以及函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性等性質(zhì).本題的難點(diǎn)在于給出的函數(shù)比較復(fù)雜,需要對其先變形,再在定義域內(nèi)對其進(jìn)行考察其余的性質(zhì).例3已知函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，則與的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為 （ ） a、2 b、3 c、4 d、5yxo1-115解析：由知函數(shù)的周期為2，作出其圖象如右，當(dāng)x=5時(shí)，f(x)=1,log5x=1;當(dāng)x5時(shí)，f(x)=10，1，log5x1, 與的圖象不再有交點(diǎn)，故選c鞏固設(shè)奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閞，且對任意實(shí)數(shù)x滿足f(x+1)= -f(x)

10、，若當(dāng)x0,1時(shí)，f(x)=2x-1,則f()= .例4（2009江西卷文）如圖所示，一質(zhì)點(diǎn)在平面上沿曲線運(yùn)動(dòng)，速度大小不 變，其在軸上的投影點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度的圖象大致為 ( )a b c d答案 b解析 由圖可知，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)在兩個(gè)封閉曲線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，投影點(diǎn)的速度先由正到0、到負(fù)數(shù)，再到0，到正，故錯(cuò)誤；質(zhì)點(diǎn)在終點(diǎn)的速度是由大到小接近0，故錯(cuò)誤；質(zhì)點(diǎn)在開始時(shí)沿直線運(yùn)動(dòng)，故投影點(diǎn)的速度為常數(shù)，因此是錯(cuò)誤的，故選.題型3：函數(shù)的圖象變換例5（2008全國文，21）21（本小題滿分12分）設(shè)，函數(shù)（）若是函數(shù)的極值點(diǎn)，求的值；（）若函數(shù)，在處取得最大值，求的取值范圍解：（）因?yàn)槭呛瘮?shù)的極值點(diǎn)，所以，即，因此經(jīng)

11、驗(yàn)證，當(dāng)時(shí)，是函數(shù)的極值點(diǎn)4分（）由題設(shè)，當(dāng)在區(qū)間上的最大值為時(shí)，即故得9分反之，當(dāng)時(shí)，對任意，而，故在區(qū)間上的最大值為綜上，的取值范圍為12分點(diǎn)評：借助函數(shù)圖像的變換規(guī)則解決實(shí)際問題。例6（2009四川卷文）已知函數(shù)是定義在實(shí)數(shù)集r上的不恒為零的偶函數(shù)，且對任意實(shí)數(shù)都有 ，則的值是( ) a. 0 b. c. 1 d. 答案 a解析 若0，則有，取，則有： （是偶函數(shù)，則 ）由此得于是題型4：函數(shù)圖象應(yīng)用例7函數(shù)與的圖像如下圖：則函數(shù)的圖像可能是（ ） 解析：函數(shù)的定義域是函數(shù)與的定義域的交集，圖像不經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，故可以排除c、d。由于當(dāng)x為很小的正數(shù)時(shí)且，故。選a。 點(diǎn)評：明確函數(shù)圖像在x

12、軸上下方與函數(shù)值符號改變的關(guān)系，數(shù)值相乘“同號為正、異號為負(fù)”。例8已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d的圖象如圖，求b的范圍。解法一：觀察f(x)的圖象，可知函數(shù)f(x)的圖象過原點(diǎn)，即f(0)=0,得d=0，又f(x)的圖象過(1，0)，f(x)=a+b+c又有f(1)0，即a+bc0 +得b0，故b的范圍是(，0)解法二：如圖f(0)=0有三根0，1，2，f(x)=ax3+bx2+cx+d=ax(x1)(x2)=ax33ax2+2ax，b=3a，當(dāng)x2時(shí)，f(x)0，從而有a0，b0。點(diǎn)評：通過觀察函數(shù)圖像，變形函數(shù)解析式，得參數(shù)的取值范圍。題型5：函數(shù)圖像變換的應(yīng)用例9已知，方程

13、的實(shí)根個(gè)數(shù)為（ ）a2 b3 c4 d2或3或4根據(jù)函數(shù)與方程的關(guān)系，知方程的根的個(gè)數(shù)即為函數(shù)與函數(shù)的圖像交點(diǎn)的個(gè)數(shù)該題通過作圖很可能選錯(cuò)答案為a，這是我們作圖的易錯(cuò)點(diǎn)。若作圖標(biāo)準(zhǔn)的話，在同一個(gè)直角坐標(biāo)系下畫出這兩個(gè)函數(shù)的圖像，由圖知當(dāng)時(shí)，圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為3個(gè)；當(dāng)時(shí)，圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為4個(gè)；當(dāng)時(shí)，圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2個(gè)。選項(xiàng)為d。點(diǎn)評：該題屬于“數(shù)形結(jié)合”的題目。解題思路是將“函數(shù)的零點(diǎn)”問題轉(zhuǎn)化為“函數(shù)的交點(diǎn)問題”，借助函數(shù)的圖象以及函數(shù)的圖象變換規(guī)則求得結(jié)果即可。例10設(shè)，若，且，則的取值范圍是（ ）abcd解析：保留函數(shù)在x軸上方的圖像，將其在x軸下方的圖像翻折到x軸上方區(qū)即可得到函數(shù)的圖像

14、通過觀察圖像，可知在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)，由，且可知，所以，從而，即，又，所以。選項(xiàng)為a。點(diǎn)評：考察函數(shù)圖像的翻折變換。體現(xiàn)了數(shù)學(xué)由簡到繁的原則，通過研究函數(shù)的圖像和性質(zhì)，進(jìn)而得到的圖像和性質(zhì)。題型6：冪函數(shù)概念及性質(zhì)oxy例11函數(shù)互質(zhì)）圖像如圖所示，則（ ）a均為奇數(shù)b一奇一偶c均為奇數(shù)d一奇一偶解析：該題考察了冪函數(shù)的性質(zhì)，由于冪函數(shù)在第一象限的圖像趨勢表明函數(shù)在上單調(diào)遞減，此時(shí)只需保證，即，有；同時(shí)函數(shù)只在第一象限有圖像，則函數(shù)的定義域?yàn)?，此時(shí)定為偶數(shù)，即為偶數(shù)，由于兩個(gè)數(shù)互質(zhì)，則定為奇數(shù)答案：選項(xiàng)為b。點(diǎn)評：該題突破了傳統(tǒng)借形言數(shù)思路，屬于“由圖形得解析式”的題目。為此需

15、要分清冪函數(shù)在幾種不同情況下函數(shù)的圖像的特點(diǎn)，更甚至在同一種情形下取不同數(shù)值對函數(shù)圖像的影響也要了解例12畫出函數(shù)的圖象，試分析其性質(zhì)。解析：先要找出它是哪一種函數(shù)平移而來的，它應(yīng)是由反比例函數(shù)平移而來，（這種變換是解決這類問題的關(guān)鍵），由此說明，是由圖象向右平移3個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位得到的，如圖所示：具體畫圖時(shí)對于圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)位置要大致準(zhǔn)確，即。故圖象一定過（0，1）和兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)。再觀察其圖象可以得到如下性質(zhì)：定義域，單調(diào)區(qū)間上單調(diào)遞增；既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，但是圖象是中心對稱圖形，對稱中心是（3，2）。點(diǎn)評：冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解決該類問題基礎(chǔ)。注意此題兩個(gè)增區(qū)間之間不能用

16、并集號。題型7：抽象函數(shù)問題例13函數(shù)的定義域?yàn)閐：且滿足對于任意，有（）求的值；（）判斷的奇偶性并證明；（）如果上是增函數(shù)，求x的取值范圍。（）解：令（）證明：令令為偶函數(shù)。（） （1）上是增函數(shù)， （1）等價(jià)于不等式組： x的取值范 圍為點(diǎn)評：以抽象函數(shù)為模型，考查函數(shù)概念，圖象函數(shù)的奇偶性和周期性以及數(shù)列極限等知識(shí)，還考查運(yùn)算能力和邏輯思維能力。認(rèn)真分析處理好各知識(shí)的相互聯(lián)系，抓住條件f(x1+x2)f(x1)f(x2)找到問題的突破口，由f(x1+x2)=f(x1)f(x2)變形為是解決問題的關(guān)鍵例14設(shè)函數(shù) 上滿足，且在閉區(qū)間0，7上，只有（）試判斷函數(shù)的奇偶性；（）試求方程在閉區(qū)間

17、2005，2005上的根的個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論解析：（）由，從而知函數(shù)的周期為又，所以故函數(shù)是非奇非偶函數(shù)；(ii) 又故f(x)在0,10和10,0上均有有兩個(gè)解，從而可知函數(shù)在0,2005上有402個(gè)解，在2005.0上有400個(gè)解,所以函數(shù)在2005,2005上有802個(gè)解。點(diǎn)評：充分利用函數(shù)的數(shù)字特征，并將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)的性質(zhì)，再來解題。題型8：函數(shù)圖象綜合問題例15如圖，點(diǎn)a、b、c都在函數(shù)y=的圖象上，它們的橫坐標(biāo)分別是a、a+1、a+2。又a、b、c在x軸上的射影分別是a、b、c,記abc的面積為f(a)，abc的面積為g(a)。 （1）求函數(shù)f(a)和g(a)的表達(dá)式；（2）比較

18、f(a)與g(a)的大小，并證明你的結(jié)論解： (1)連結(jié)aa、bb、cc,則f(a)=sabc=s梯形aaccsaabsccb=(aa+cc)=(),g(a)=sabc=acbb=bb=。f(a)g(a)。點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的解析式、函數(shù)圖象、識(shí)圖能力、圖形的組合等，充分借助圖象信息，利用面積問題的拆拼以及等價(jià)變形找到問題的突破口，解題思路：圖形面積不會(huì)拆拼、數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化。例16（2008湖北理19）如圖，要設(shè)計(jì)一張矩形廣告，該廣告含有大小相等的左右兩個(gè)矩形欄目（即圖中陰影部分），這兩欄的面積之和為18000cm2,四周空白的寬度為10cm，兩欄之間的中縫空白的寬度為5cm，怎樣確定廣告的高與寬的尺寸（單位：cm），能使矩形廣告面積最?。勘拘☆}主要考查根據(jù)實(shí)際問題建立數(shù)學(xué)模型，以及運(yùn)用函數(shù)、不等式等知識(shí)解決實(shí)際問題的能力.（滿分12分）解法1：設(shè)矩形欄目的高為a cm，寬為b cm，則ab=9000.廣告的高為a+20，寬為2b+25，其中a0，b0.廣告的面積s(a+20