3D道路中信號發(fā)射裝置位置確定問題數學建模論文1

1、數學建模論文3d道路中信號發(fā)射裝置的位置確定問題摘要隨著社會經濟的發(fā)展，現在的城市交通問題比較突出。為了很好的解決這一問題，建立起智能交通管理的觀念應運而生。而智能交通管理的建立，離不開信號的發(fā)射與接收。因此如何設置一些無線信號發(fā)射裝置及時向行駛在道路上的機動車傳送交通信息以及如何實現信號的全覆蓋以及信號的穩(wěn)定是我們本文要討論的問題。對于問題一，先要從所有道路中分出機動車道和非機動車道。機動車道通常比較直，也比較長。而過于彎曲的通常只是人行道或自行車道（非機動車道）。因此可以對121條道路進行聚類分析，聚類的2個指標為每條道路的長度（相鄰點的距離之和）以及采集點的密集度（通過作圖，可以觀察到越

2、是彎曲的道路采集點越密集，因此把道路的彎曲度轉化為采集點的密集度），聚類的結果是可以得到48個機動車道。然后再通過regress函數回歸以及數據擬合實現對每類機動車道建立一個近似的描述模型，使得對每條道路在給定經度（緯度）坐標下即可確定緯度（經度）坐標及相應的海拔高度。對于問題二，根據題意知道路接收的信號強度只與采樣點與發(fā)射裝置的距離有關，因此可以把“各條機動車道之間的信號接收比較接近”這個指標轉化為“各條機動車上所有采樣點與發(fā)射裝置的距離的平均值比較接近”。通過查閱資料將經緯度差轉換距離長度，令中的最大值盡量的小，即。通過matlab編程即可求出發(fā)射裝置的位置，在考慮海拔高度時，只需將發(fā)射裝

3、置的位置變?yōu)榧纯伞Ｗ詈笄蟮貌豢紤]海拔高度時信號裝置的位置坐標為b（9.7824，56.7720），考慮海拔高度時的位置坐標為d（9.7459，56.7586，73.5645）。對于問題三，要注意到原來的信號裝置a對結果的影響。我們仍然用道路所有采樣點與發(fā)射裝置的距離的平均值來表征信號接收的穩(wěn)定性。首先求出所有非機動車道到原來的信號裝置a的平均距離，然后再設所有非機動車道距離新的信號裝置b的平均距離，此時非機動車道的信號接受強度可以用來表征。然后用問題二中同樣的方法即可確定出新增信號發(fā)射裝置的位置。最后求得新建信號裝置的位置坐標為e（9.7459，56.7586，73.5645）。關鍵字：數據處

4、理 聚類分析 regress線性回歸 平均距離 最佳位置一、問題重述為了方便城市交通管理，需要設置一些無線信號發(fā)射裝置及時向行駛在道路上的機動車傳送交通信息。附件中的數據是某一個地區(qū)的道路數據信息。每一行數據對應于一個道路上的采樣點的位置信息。其中第一個指標是采樣點所在的道路索引編號，第二、三個指標是相應的經度（東經）和緯度（北緯），第四個指標是海拔高度（單位：米）。機動車道通常比較直，也比較長。而過于彎曲的通常只是人行道或自行車道（非機動車道）。原來的信號發(fā)射裝置位于這片區(qū)域的中心（9.75,56.75），海拔高度為200米。假定道路接收的信號強度只與采樣點與發(fā)射裝置的距離有關。試考慮以下問

5、題：1.1. 首先對所有道路進行分類，除非機動車道外。對其它每類道路建立一個近似的描述模型，使得對每條道路在給定經度（緯度）坐標下即可確定緯度（經度）坐標及相應的海拔高度。1.2. 不考慮海拔高度因素。如何調整發(fā)射裝置的位置，使得各條機動車道之間的信號接收比較接近？如果考慮海拔高度因素，需要調整發(fā)射裝置的位置和高度嗎？1.3. 專門為非機動車道增加一個信號發(fā)射裝置，使得在所有非機動車道上的信號接收比較穩(wěn)定。應該如何確定它的位置？注：若一條道路上的采樣點少于或者等于3個的可以刪掉這條道路。二、問題分析2.1問題一的分析問題一中，我們要分別解決兩個問題。第一個問題，最關鍵的問題就是如何把機動車道和

6、非機動車道分類出來，由于題目提供的信息是機動車道通常比較直、也比較長，而過于彎曲的通常只是人行道或自行車道（非機動車道），因此我們將用道路長度和道路彎曲程度這兩個影響因素對道路進行聚類分析。對于第一個影響因素道路長度，我們用道路上相鄰采集點的距離相加作為第一個指標；對于第二個影響因素道路彎曲程度，我們用道路上采集點的密集程度作為第二個指標。然后，利用這兩個指標進行聚類分析，分出機動車道與非機動車道。之后，在對機動車道進行分類。第二個問題，就是如何對機動車道分類并建立相應的模型，使得對每條道路在給定經度（緯度）坐標下即可確定緯度（經度）坐標及相應的海拔高度。具體做法，就是對第一個問題分類出來的4

7、8個機動車道分別對經度與緯度、經度與海拔高度進行regress一元回歸和數據擬合分析，得出經度與維度的關系以及經度與海拔高度的關系。2.2問題二的分析因為題目要求是使得各條機動車道之間的信號接收比較接近，也就是對各機動車道接收的信號強度進行比較。而信號強度只與采樣點與發(fā)射裝置的距離有關，所以只需比較各機動車道與發(fā)射裝置的平均距離即可。通過查閱資料將經緯度差轉換距離長度，令中的最大值盡量的小，即。通過matlab編程即可求出發(fā)射裝置的位置，在考慮海拔高度時，只需將發(fā)射裝置的位置變?yōu)榧纯伞?.3問題三的分析 由于原來的信號裝置a對非機動車道路有影響，所以我們首先求出所有非機動車道到原來的信號裝置a

8、的平均距離，然后再設所有非機動車道距離新的信號裝置c的平均距離，此時非機動車道的信號接受強度可以用來表征。然后用問題二中同樣的方法即可確定出新增信號發(fā)射裝置的位置。三、模型假設1、將每條道路上相鄰采集點之間的距離近似的看作是直線。2、假設本題中經緯線之間的距離為直線，即不考慮地球曲率。3、假設題目所給數據沒有錯誤。4、假設信號是以球面波的形式擴散的，信號強度與距離的平方成反比四、符號說明符號 符號說明 原來的信號裝置，即坐標為（9.75,56.75，200）的信號裝置 第二問調整后的信號發(fā)射裝置第二問調整后考慮海拔時的信號發(fā)射裝置 第三問新增的信號發(fā)射裝置 第條機動/非機動車道距離信號裝置的平

9、均距離（不同的問題的值可能不同）原發(fā)射裝置a到各非機動車道的距離 第條道路的長度 第條道路的采集點的個數 第條道路采集點的密集程度即道路的彎曲程度 道路道上的第個采集點的經度線上的坐標 道路道上的第個采集點的緯度線上的坐標 第條非機動車道路的接受信號五、模型的建立與求解5.1 數據的預處理5.1.1根據附件中的數據畫出該地區(qū)的二維交通道路圖根據題目所給的附件中某一個地區(qū)的道路數據信息，用matlab編程畫出該地區(qū)道路分布圖。matlab程序代碼見附件1，運行結果如下：圖1：該地區(qū)的交通道路5.1.2 將經緯度換算成長度單位通過查閱文獻資料，我們得知換算公式如下：緯度1度=大約111千米一個經度

10、單位=（一個緯度單位的長度）*（該地區(qū)緯度的余弦值）因此如果考慮3d道路兩點之間的真實距離,如與,為經度，為緯度，為海拔高度（單位：米），那么與之間的實際距離為： 5.1.3道路接收的信號強度與采樣點到發(fā)射裝置的距離的關系通過查閱資料文獻，得知與之間的關系為： 為了簡化計算，我們令（這樣做可簡化計算，但不影響結果），即有5.2第一問模型的建立與求解5.2.1基于每條道路道路的長度與每條道路采集點密集程度兩個指標的聚類分析。（在第一問中，計算道路長度時暫時不考慮海拔高度，因為這對結果影響不大）指標一：我們假設道路上相鄰采集點之間的連線為直線，那么每條道路的長度就是每條道路上所有相鄰采集點之間長度

11、的總和。即有： （為道路上采集點的個數）指標二：由圖1觀察可知，道路上彎曲程度越大的地方采集點的密集程度就越大，彎曲程度比較小的道路采集點則比較稀疏。因此，我們定義一個新的密集度函數來表示道路的彎曲程度。的表達式為：由以上2個指標來對所有的道路進行聚類分析，我們求得機動車道德數量為48條，具體結果如下表：表1：48條機動車道編號34327588 39966948 45368693 74029516 74029559 7403330676726823 78401675 87574512 93140093 93140099 9314010493140110 4339204 94408417 944

12、08425 94414166 9441417094414171 94785458 94785459 94787285 94793569 9479357094793571 94802268 94807552 94807570 94807578 9824045799529608 99529660 99529669 99539346 112293206 126452721126452910 126452913 127009808 127009816 127009826 127010722127010724 127010832 127347067 127347077 127347084 1423978

13、01 這48條道路的二維示意圖如下：圖2：所有機動車道路示意圖5.2.2 對機動車道進行分類分類方法一：南北走向、東西走向分類方法二：道路的起伏程度（海拔高度）分類方法三：主干道、分支5.2.3 對每條機動車道建立的近似描述模型對于有的道路經度（緯度）與緯度（經度）、海拔如果呈線性關系，則用regress線性回歸求得方程表達式；如果不是呈線性關系，比較復雜，則考慮用matlab數據擬合工具箱來進行數據擬合。由于道路較多，這里只選取一條道路進行計算演示，其他道路同理可得。比如，對于編號為34327588的機動車道：首先是經度與緯度之間的關系：圖3：對于編號為34327588的機動車道進行擬合再次

14、是經度和海拔之間的關系：擬合效果不錯，求得此道路經度、緯度、海拔之間的關系式為：對于所有機動車道近似描述模型如下表：表2：所有機動車道近似描述模型序號道路編號、與的關系式134327588239966948345368693474029516x與y擬合效果不好；x ，z擬合效果不好5740295596740333067767268238784016759875745121093140093x與y擬合效果不好；x ，z擬合效果不好119314009912931401041393140110x與y擬合效果不好；x ，z擬合效果不好144339204x與y擬合效果不好；x ，z擬合效果不好15944

15、084171694408425x與y擬合效果不好；x ，z擬合效果不好1794414166x與y擬合效果不好；x ，z擬合效果不好1894414170x與y擬合效果不好；x ，z擬合效果不好19944141712094785458219478545922947872852394793569249479357025947935712694802268x與y擬合效果不好；x ，z擬合效果不好27948075522894807570x與y擬合效果不好；x ，z擬合效果不好2994807578x與y擬合效果不好；x ，z擬合效果不好3098240457x與y擬合效果不好；x ，z擬合效果不好31995

16、2960832995296603399529669x與y擬合效果不好；x ，z擬合效果不好3499539346x與y擬合效果不好；x ，z擬合效果不好35112293206x與y擬合效果不好；x ，z擬合效果不好36126452721x與y擬合效果不好；x ，z擬合效果不好3712645291038126452913x與y擬合效果不好；x ，z擬合效果不好39127009808x與y擬合效果不好；x ，z擬合效果不好40127009816x與y擬合效果不好；x ，z擬合效果不好4112700982642127010722x與y擬合效果不好；x ，z擬合效果不好43127010724x與y擬合效

17、果不好；x ，z擬合效果不好44127010832x與y擬合效果不好；x ，z擬合效果不好45127347067x與y擬合效果不好；x ，z擬合效果不好46127347077x與y擬合效果不好；x ，z擬合效果不好4712734708448142397801x與y擬合效果不好；x ，z擬合效果不好5.2.4結論分析：通過建立數學模型，用matlab編程計算可得機動車道的條數為48條，但是本數學模型并不是100%吻合的，所以可以結合實際情況以及圖1來人工剔除一些道路。5.3第二問模型的建立與求解5.3.1 不考慮海拔高度因素的情況設調整后的發(fā)射裝置的坐標為(1)首先求機動車道距離信號發(fā)射裝置的平

18、均距離由于不考慮海拔高度，故可以直接用經緯度來計算長度。設機動車道距離信號發(fā)射裝置的平均距離為（）為第條機動車道上的采集點的個數為第條機動車道上的第個采集點的經度為第條機動車道上的第個采集點的緯度（2）建立目標函數與算法實現令， （*）當的值最小的時候即，此時對應的（x,y）的坐標即為調整后的發(fā)射裝置的坐標為（x,y）式（*）可以用48*47的矩陣的形式表示出來，如下：用matlab編程求解，程序代碼見附件3，求得的調整后的信號裝置的位置坐標為（9.7824，56.7720）具體位置如下圖點b點所示（圖中綠色線路為所有機動車道）圖4：點b位置示意圖5.3.2考慮海拔高度因素的情況設調整后信號發(fā)

19、射裝置的位置坐標為（x,y,z）（1）求調整后的發(fā)射裝置到各動車道的距離，記為（其中）可以得到第j條非機動車道第i個采集點到發(fā)射裝置的距離為 進一步可以得到平均距離 =，即得到了每條機動車道到原發(fā)射裝置的距離（2）求每條機動車道的信號強度由前文的數據預處理知道，第j條非機動車道路的接受信號為 （3）建立目標函數令， （*）當的值最小的時候即，此時對應的（x,y,z）的坐標即為新增發(fā)射裝置的位置坐標式（*）可以48*47的用矩陣的形式表示出來，如下用matlab編程求解，程序代碼見附件4，求得調整后信號裝置的位置坐標為（9.7459，56.7586，73.5645）具體位置如下圖d點所示（圖中綠

20、色線路為所有機動車道）圖5：點d位置示意圖5.3.3結論分析：首先是不考慮海拔高度時，求得的點b位置大概在中心點的東北方向；考慮海拔高度的影響后，求得的點d的位置在中心點的西北方向，但是距離中心點a比較接近。另外，從這兩小問可以看出海拔對與信號裝置的位置的確定有很大的影響。5.4第三問模型的建立與求解由第一問的結果可得，121條道路中有73條道路是非機動車道。設為非機動車道新增的信號發(fā)射裝置為 ，原發(fā)射裝置為5.4.1求各非機動車到原發(fā)射裝置以及新增發(fā)射裝置的距離 設第條非機動車道上有個采集點，先求出每個道路上的所有采集點到發(fā)射裝置的距離然后再求平均值，把這個距離作為非機動車道到發(fā)射裝置的距離

21、。（1）求原發(fā)射裝置到各非機動車道的距離，記為（其中）依題意我們可以得到第條非機動車道第個采集點到裝置a的距離為進一步可以得到平均距離 =，即得到了每條非機動車道到原發(fā)射裝置的距離（2）求新增的發(fā)射裝置到各非機動車道的距離，記為（其中）同理可以得到第j條非機動車道第i個采集點到裝置c的距離為： 進一步可以得到平均距離 =，即得到了每條非機動車道到原發(fā)射裝置的距離5.4.2求每條非機動車道的信號強度i由前文的數據預處理知道，第j條非機動車道路的接受信號為 5.4.3建立目標函數與算法實現令， （*）當的值最小的時候即，此時對應的（x,y,z）的坐標即為新增發(fā)射裝置的位置坐標.式（*）可以用73*

22、72的矩陣的形式表示出來，如下用matlab編程求解，程序代碼見附件5，求得新增的信號裝置的位置坐標為e（9.7543，56.7463，24.3376）具體位置如下圖藍色點所示（圖中紅色圈集為非機動車道）圖6：點e位置示意圖5.4.4結論分析：從計算結果可以看出，新建信號裝置點e在原中心點a的東南方向，并且距離a比較近。本文除了要考慮新增裝置外，還要考慮原有信號裝置對73道非機動車道的影響。六、模型的評價與推廣對于第一問，本模型的優(yōu)點在于創(chuàng)造性的建立了2個區(qū)分機動車道與非機動車道的指標，因此使得道路的分類比較準確，經觀察、比較、計算可以大致計算出本模型的結果與實際的吻合度可達到85%以上。從理

23、論上講，本模型還可以繼續(xù)優(yōu)化，建立更加精準的指標模型，使得吻合度更高。另外，在第一問中，計算道路長度時為了簡化計算沒有考慮海拔高度（這個對結果的影響不大），如果時間比較充裕，可以考慮海拔高度的影響。對于第二問，本文采取的是計算各條機動車上所有采樣點與發(fā)射裝置的距離的平均值比較接近，通過這個來表征各條機動車道之間的信號接收情況。有計算結果可知，求得的信號裝置的位置基本吻合題意。對于第三問，首先求出所有非機動車道到原來的信號裝置a的平均距離，然后再設所有非機動車道距離新的信號裝置c的平均距離，此時非機動車道的信號接受強度可以用來表征。用此模型可以得出一個比較優(yōu)化的結果。對于這個表征的模型，我們可以

24、思考用更加優(yōu)化的模型來表征信號接收的穩(wěn)定性。參考文獻1趙東方數學模型與計算m，科學出版社，20062姜啟源，謝金星，葉俊數學模型（第四版）m，高等教育出版社，20113韓中庚數學建模方法及其應用m，高等教育出版社，20054王澤文數學實驗與數學建模案例m，高等教育出版社，2012附件：附件1：繪制該地區(qū)道交通圖名為scatter_road.m的m文件 load(matrix);i=1;temp1=i;number_of_road=0;while i3 scatter(matrix(temp1:temp2,2),matrix(temp1:temp2,3); number_of_road=numb

25、er_of_road+1; hold on; end temp1=i; endendaxis equalnumber_of_road附件2：第二問不考慮海拔時求調整后信號發(fā)射裝置的位置bclear;load(test);load(matrix);load(bianhao_choose_n);% id1_temp=0.047860039526820;% id1_temp=0.046725217398710;id1_temp=100;m=5000; %a1=min(matrix(:,2);b1=max(matrix(:,2);a2=min(matrix(:,3);b2=max(matrix(:,3

26、);for iter=1:m iter x=a1+(b1-a1)*rand;% y=a2+(b2-a2)*rand;% center=x,y;%x,y i=1;temp1=i;ave_distance=zeros(size(bianhao_choose_n);flag=1;while i3 for i2=1:length(test) if bianhao_choose_n(i2)=matrix(temp1,1) %matrix for temp=temp1:temp2 temp_dist=dist(matrix(temp,2:3),center);% if flaglength(bianhao

27、_choose_n)+1 ave_distance(flag)=ave_distance(flag)+temp_dist(2); end end if flagchou jaychou(jay,chou)=abs(ave_distance(jay)-ave_distance(chou); end end endjaychou=max(jaychou);jaychou=max(jaychou);% if jaychou id1_temp id1_temp=jaychou; center_best=center;end % id1,id2=max(ave_distance);% if id1id1

28、_temp% id1_temp=id1;% center_best=center;% end end附件3：第二問考慮海拔時求調整后信號發(fā)射裝置的位置dclear;load(test);load(matrix);load(bianhao_choose_n);id1_temp=100;m=5000;a1=min(matrix(:,2);b1=max(matrix(:,2);a2=min(matrix(:,3);b2=max(matrix(:,3);a3=min(matrix(:,4);b3=max(matrix(:,4);for iter=1:m iter x=a1+(b1-a1)*rand;

29、y=a2+(b2-a2)*rand; z=a3+(b3-a3)*rand; center=x,y,z;i=1;temp1=i;ave_distance=zeros(size(bianhao_choose_n);flag=1;while i3 for i2=1:length(test) if bianhao_choose_n(i2)=matrix(temp1,1) %matrix for temp=temp1:temp2 temp_dist=length3d(matrix(temp,2),matrix(temp,3),matrix(temp,4),center(1),center(2),cent

30、er(3);%3d if flaglength(bianhao_choose_n)+1 ave_distance(flag)=ave_distance(flag)+temp_dist; end end if flagchou jaychou(jay,chou)=abs(ave_distance(jay)-ave_distance(chou); end end endjaychou=max(jaychou);jaychou=max(jaychou);% if jaychou id1_temp id1_temp=jaychou; center_best=center;endend % id1,id

31、2=max(ave_distance);% if id1id1_temp% id1_temp=id1;% % % center_best=center;% % end% % end附件4：第三問新增信號發(fā)射裝置的位置eclear;load(test2);load(matrix);load(bianhao_choose_n_exclude);id1_temp=100;m=5000;a1=min(matrix(:,2);b1=max(matrix(:,2);a2=min(matrix(:,3);b2=max(matrix(:,3);a3=min(matrix(:,4);b3=max(matrix(:,4); % ,:dist_centercenter_old=9.75,56.75,200;i=1;temp1=i;dist_center=zeros(size(bianhao_choose_n_exclude);flag=1;while i3 for i2=1:length(test2) if bianhao_choose_n_exclude(i2)=matrix(temp1,1) %matrix for temp=temp1:temp2 temp_dist=length3d(mat