全等三角形知識梳理

1、幫你梳理全等三角形 山東 李其明 一、結(jié)構(gòu)梳理 全等圖形 定義、命題公理、定理概念 應(yīng)用 尺規(guī)作圖 解決實際問題 豐富的生活情境 證明特征 全等三角形全等三角形特征 特例 全等三角形條件 直角三角形 全等條件 推理、應(yīng)用 二、知識梳理 （一）概念梳理 全等圖形1定義：兩個能夠完全重合的圖形稱為全等圖形，全等圖形的形狀和大小都相同例如中的2圖1中的兩個圖形形狀相同，但大小不同，不能重合在一起，因此不是全等圖形，圖 兩個圖形面積相同，但形狀不同，也不是全等圖形 2 圖 1 圖 全等三角形2這是學(xué)好全等三角形的基礎(chǔ)根據(jù)全等形定義：能夠完全重合的兩個三角形叫全等三角 也形象、2）圖形的大小相等符號“”

2、1）圖形的形狀相同；（形完全重合有兩層含義：（ =”表示圖形大小相等直觀地反映了這一點“”表示圖形形狀相同，“ 定義、命題與定理3 能明確指出概念含義或特征的句子，稱為定義定義： ）有一個角是直角的三角形，叫做直角三角形（1例如： ）有六條邊的多邊形，叫做六邊形（2 3）在同一平面內(nèi)，兩條不相交的直線叫做平行線（ 、“一些”、“大概”比如定義的特征：定義必須是嚴(yán)密的一般避免使用含糊不清的術(shù)語，正確的定義能把被定義的事物或名詞與其他的事物或名詞等不能在定義中出現(xiàn)“差不多” 區(qū)別開來 命題proposition 定義：判斷它是正確的或是錯誤的句子叫做命題（） 分類：正確的命題稱為真命題，錯誤的命題

3、稱為假命題。結(jié)構(gòu)：許多命題是由題設(shè)（或條件）和結(jié)論兩部分組成的題設(shè)是已知事項，結(jié)論是由已知事項推出的事項這種命題?？蓪懗伞叭绻敲础钡男问狡渲?，用“如果”“兩開始的部分是題設(shè)，用“那么”開始的部分是結(jié)論例如，在命題“對頂角相等”中，個角是對頂角”是題設(shè)，“這兩個角相等”是結(jié)論 公理與定理 一部分?jǐn)?shù)學(xué)名詞和一部分公認(rèn)的真命題作為證實其他命題的起始依據(jù)，其中數(shù)學(xué)名詞稱為原名，公認(rèn)的真命題稱為公理。即數(shù)學(xué)中有些命題的正確性是人們在長期實踐中總結(jié)出來的，并把它們作為判斷其他命題真假的原始依據(jù)，這樣的真命題叫做公理 有些命題可以從公理或其他真命題出發(fā)，用邏輯推理的方法判斷它們是正確的，并且可以進(jìn)一步作為

4、判斷其他命題真假的依據(jù)，這樣的真命題叫做定理（theorem） 例如，運用公理“兩角及其夾邊分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等”，可以得到定理：“兩角及其一角的對邊分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等” 證明 （1）證明的概念 根據(jù)題設(shè)、定義以及公理、定理等，經(jīng)過邏輯推理，來判斷一個命題是否正確，這樣的推理過程叫做證明 （2）證明的一般步驟 理解題意； 根據(jù)題意正確畫出圖形； 根據(jù)題意寫出“已知”和“求證”； 分析題意，探索證明的思路； 依據(jù)尋求的思路，運用數(shù)學(xué)符號和數(shù)學(xué)語言條理清晰地寫出證明過程； 檢查表達(dá)過程是否正確、完善 4尺規(guī)作圖 （1）什么叫做尺規(guī)作圖？ 限定用直尺和圓規(guī)來畫圖，稱為尺規(guī)作圖 （2

5、）基本用尺規(guī)作圖 作線段，使它等于已知線段的長； 作角，使它等于已知角； 畫一條直線的垂線； 畫一條線段的垂直平分線； 畫一個角的角平分線 （二）性質(zhì)與判定梳理 1全等圖形性質(zhì)：全等多邊形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角分別相等 全等三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角分別相等 2全等三角形的判定 這是學(xué)好全等三角形的關(guān)鍵只給定一個條件或兩個條件畫三角形時，都不能保證所畫出的三角形全等，只要有三個條件對應(yīng)相等就可以，于是判定兩個三角形全等的方法有： （1）三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等，簡記為：SSS ； （2）兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等，簡記為：ASA； （3）兩角和其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等，簡

6、記為：AAS； （4）兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等，簡記為：SAS 若是直角三角形，則還有斜邊、直角邊公理（HL）。由此可以看出，判斷三角形全等，無論用哪一條件，都要有三個元素對應(yīng)相等，且其中至少要有一對應(yīng)邊相等 （5）注意判定三角形全等的基本思路 從判定兩個三角形全等的方法可知，要判定兩個三角形全等，需要知道這兩個三角形分別有三個元素（其中至少一個元素是邊）對應(yīng)相等，這樣就可以利用題目中的已知邊（角）去迅，不致盲目地而能有目標(biāo)地完善三角形全等的條件從而得速準(zhǔn)確地確定要補充的邊（角） 到判定兩個三角形全等的思路有：SAS找夾角?HL找直角? ? 已知兩邊?SSS找另一邊?AAS?邊

7、為角的對邊?找任一角?ASA?找這條邊上的另一角? 已知一邊一角 ?邊就是角的一條邊AAS找這條邊上的對角?SAS找該角的另一邊?ASA?找兩角的夾邊? ? 已知兩角 AAS?找任一邊? ）學(xué)會辨認(rèn)全等三角形的對應(yīng)元素（6再確定對應(yīng)角先找出全等三角形的對應(yīng)頂點，辨認(rèn)全等三角形的對應(yīng)元素最有效的方法是，對應(yīng)，則三角形C與D、與EB與F、和對應(yīng)邊，如已知ABCEFD，這種記法意味著A對應(yīng)，對應(yīng)邊所夾的角就是對應(yīng)角，此外，還有如下AC與EDEF、BC與FD、的邊AB與）全等三）全等三角形的公共邊是對應(yīng)邊，公共角是對應(yīng)角，對頂角是對應(yīng)角；（2規(guī)律：（1 角形的兩個對應(yīng)角所夾的邊是對應(yīng)邊，兩條對應(yīng)邊所夾

8、的角是對應(yīng)角 3如何證明一個命題是假命題 如果要證明或判斷一個命題是假命題，怎么辦？ 只要舉出一個符合命題題設(shè)而不符合結(jié)論的例子就可以了，這稱為“舉反例” （三）基本圖形梳理軸對稱等圖形變?nèi)葓D形都是由圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、注意組成全等三角形的基本圖形， 換而得到的，所以全等三角形的基本圖形大致有以下幾種： 如圖3，下面幾種圖形屬于平移型： 平移型1 它們可看成有對應(yīng)邊在一直線上移動所構(gòu)成的，故該對應(yīng)邊的相等關(guān)系一般可由同一直線上的線段和或差而得到 2對稱型 如圖4，下面幾種圖形屬于對稱型： 圖3 圖4 它們的特征是可沿某一直線對折，直線兩旁的部分能完全重合（軸對稱圖形），重合的頂點就是全等三角形

9、的對應(yīng)頂點 3旋轉(zhuǎn)型 如圖5，下面幾種圖形屬于旋轉(zhuǎn)型： 它們可看成是以三角形的某一頂點為中心旋轉(zhuǎn) 所構(gòu)成的，故一般有一對相等的角隱含在 對頂角、某些角的和 或差中 圖5 三、易混、易錯點剖析 1探索兩個三角形全等時，要注意兩個特例 ）1（6圖 1）三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等，但三角對應(yīng)相等的（ 1）中的兩個三角形的每個兩個三角形不一定全等；如圖6（ 0 ，但這兩個三角形顯然不全等；角都是60 2）兩邊和其中一邊的對角對應(yīng)相等的兩個（ 中，中的）ABC和ABD三角形不一定全等，如圖6（2 ，但它們顯然不全等，B=B雖然有AB=AB，AC=AD 2在判定三角形全等時，還要注意的問題 6（2）圖

10、在判定三角形全等時，應(yīng)做到以下幾點： （）根據(jù)已知條件與結(jié)論認(rèn)真分析圖形； （）準(zhǔn)確無誤的確定每個三角形的六個元素； （）根據(jù)已知條件，確定對應(yīng)元素，即找出相等的角或邊； （）對照判定方法，看看還需什么條件兩個三角形就全等； （）想辦法找出所需的條件來 命題難辨問題3只要對一件事情做出了判誤，將判斷一個語句是否是命題與命題的真假混淆，無論正、斷的語句都是命題；對于某些命題不能準(zhǔn)確找出條件和結(jié)論，為此，可先將該命題該成“如 果，那么”的形式，再來區(qū)別 4證明雜亂無章問題沒有具體對于命題的證明有時只憑經(jīng)驗或觀察或特殊情況下進(jìn)行說明，最后寫出結(jié)果，的推理過程或推理過程沒有條理，雜亂無章，在證明命題時

11、，必須嚴(yán)格按照證明的步驟，從 條件或已知的結(jié)論出發(fā)，一步一步地、有理有據(jù)的推理 5尺規(guī)作圖亂寫亂畫問題對于尺規(guī)作圖有的同學(xué)不是按尺規(guī)作圖的要求，隨手亂畫，不規(guī)矩、不條理，語言表達(dá) 能力差，作圖痕跡不明顯等問題 四、熱點、考點透視 ；全等三角形的判定熱點1延長線），E、F分別是平行四邊形ABCD的邊BA、DC7例1（2006年樂山市）如圖（1 于HBC交AD于G，交AE=CF上的點，且，EF（不添加任 對，它們分別是（1）圖中的全等三角形有；E 何輔助線） 1（）問中選出一對你認(rèn)為全等的三角形進(jìn)行證明2）請在（GAD 我選擇的是：1）2，AEGCFH和BEHDFG （解：BCH（2）如求證明：A

12、EGCFH 證明：在平行四邊形ABCD中，有BAG=HCD， F 00所以EAG=180BAG=180HCD=FCH 圖7（1） 又因BADC，所以E=F又因AE=CF，所以AEGCFH 圖6 點評：本題簡單地考察學(xué)生對圖形的識別能力以及證明能力， 主要是根據(jù)全等三角形的判定條件去尋找，然后再作出證明 熱點2：尺規(guī)作圖及應(yīng)用 例2（2006年浙江省湖州市）已知RtABC中，C=90o （1）根據(jù)要求作圖（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫畫法） 圖7（2） ；D于BC交AD的平分線BAC作 的垂直平分線交AB于E；F，垂足為H，交AC于作線段AD 連接ED 的相似三角形和一對全等三角形：1）的基礎(chǔ)上

13、寫出一對相似比不為1（2）在（ _； 并選擇其中一對加以證明 （1）畫圖略解： BCA等ACD；BDEDHE（2）相似三角形有：AHFACD；AHEACD； DHE；AHFDHE全等三角形有：AHFAHE；AHE 證明：（略）進(jìn)一步考查學(xué)生的 點評：本題首先考查學(xué)生的作圖能力，然后在尺規(guī)作圖的基礎(chǔ)上， 全等與相似三角形的判定與證明能力 ：全等三角形的應(yīng)用熱點300 ，和三角板ABC例3（2006年棗莊市）兩個全等的含30, 60角的三角板ADE，ME的中點如圖8（1）放置，E，A，C三點在一條直線上，連結(jié)BD，取BDM，連結(jié) MC試判斷EMC的形狀，并說明理由 解：EMC是等腰直角三角形 0

14、，DAEBAC90DE=AC證明：由題意，得：0 DM=MB，連接AMDAB=90.1 1）圖8（00 ，MDE=MAC=105，DB=DMMA=,MDA=MAB=452EMA+又EMC=EMA+AMC=DMECAM ，EM=MC, =AMC ，EDM 0 是等腰直角三角形所以EMC，CMEMDME=90 點評：這是一道小小的以學(xué)生比較熟悉的學(xué)具為背景的 拼圖、猜想、證明題，它的特點是：貼近生活，背景簡單， 易于操作，結(jié)論易得，證明方法多種多樣，能考查學(xué)生的善于發(fā)現(xiàn)，敢于猜想，只要稍微動手測量，問題便不難解決 熱點4：條件組裝自編命題 （2） 圖8 中，有下列四個等式：ABD和ACE9例4（2

15、006年內(nèi)江市）如圖，在A BD=CE. 241=1AB=AC 2AD=AE 31 請你以其中三個等式作為題設(shè)，余下的作為結(jié)論，2 寫出一個真命題（要求寫出已知，求證及證明過程） （提示：答案不唯一）B E 點評：本題是條件組裝題，答案不唯一，它重點考查學(xué)生的 創(chuàng)新意識和能力，四個命題進(jìn)行組合，有六種情況，這六種情況中圖9 C 有的是假命題，請同學(xué)們注意分辨 五、鏈接中考C E年攀枝花市）如圖10，點在AB上，AC=AD，20061（ 請你添加一個條件，使圖中存在全等三角形，并給予證明。E A B ， 所添條件為 ? 你得到的一對全等三角形是 D BD?DECE?、CAB?BCDAB?、10

16、圖 等條件中的一個。（提示：可選擇 ADB?ADE或?ACB?ACE? 可得到證明過程略）， EBEDE，垂足為2006年中考題）如圖11，AB=CD=ED，AD=EB，2（江蘇省淮安市 求證：ABDEDB(1). 為矩形只需添加一個條件，即_，可使四邊形ABCD(2). 請加以證明11 圖 (1)證明略提示：或C=90A=CADC=90BE=BC或A=ADC或或(2)添加ABCD，或添加AD=BC或. .證明略或ABC=90等A=ABC或ADB=DBC或ABD=BDC或DG作AC邊上的點D122006年江陰市）已知，如圖，ABC是等邊三角形，過3（ AE、BD，使DEDC，連接GDBC，交AB于點G，在的延