托勒密定理及圓的其它定理

1、Fdtae托勒密定理定理圖定理的內(nèi)容 托勒密(Ptolemy)定理指出，圓的內(nèi)接凸四邊形兩對對邊乘積的和等 于兩條對角線的乘積。原文：圓的內(nèi)接四邊形中，兩對角線所包矩形的面積等于一組對邊所包矩形的面積與另一組對邊所包矩形的面積之和。從這個定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理實質(zhì)上是關(guān)于 共圓性的基本性質(zhì).定理提出定理的內(nèi)容 。摘出并完善后的托勒密 (Ptolemy)定理指出，圓的內(nèi)接凸四邊形兩對對 邊乘積的和等于兩條對角線的乘積。定理表述：圓的內(nèi)接四邊形中，兩對角線所包矩形的面積等于一組對邊所包矩形的面積與另一組對邊所包矩形的面積之和。從這個定理可以推出正弦、余弦的

2、和差公式及一系列的三角恒等式， 托勒密定理實質(zhì)上是關(guān)于共圓性的基本性質(zhì).定理內(nèi)容指圓內(nèi)接 凸四邊形兩對對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積。證明一、(以下是推論的證明，托勒密定理可視作特殊情況。)在任意凸四邊形 ABCD中(如右圖)，作 ABE使/BAE CADZ ABE2 ACD,連接 DE.則厶 AB0A ACD所以 BE/CD二AB/AC,即 BE- AC=AB CD (1)由厶AB0AACD 得 AD/AC=AE/AB，又/ BACM EAD,所以 ABSA AED.BC/ED=AC/AD即卩 ED- AC=BC AD (2)+，得AC(BE+ED)=ABCD+AD BC又因為BE+EDB

3、D(僅在四邊形 ABCD是某圓的內(nèi)接四邊形時，等號成立，即“托勒密定 理”)復(fù)數(shù)證明用a、b、c、d分別表示四邊形頂點 A、B、C、D的復(fù)數(shù)，貝U AB CD AD BC AC BD的長度分別是：(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c)、(a-c)、(b-d)。 首先注意到 復(fù)數(shù)恒等式：(a - b)( c - d) + ( a - d)( b - c) = ( a - c)( b -d)，兩邊取模，運用三角不等式得。 等號成立的條件是(a-b)(c-d) 與 (a-d)(b-c) 的輻角相等，這與 A B、C、D四點共圓等價。四點不限于同一平面。平面上，托勒密不等式是三角不等式的反演形

4、式。二、設(shè)ABCD是圓內(nèi)接四邊形。 在弦BC上,圓周角/ BAC = / BDC而在 AB上，/ ADB= / ACB 在 AC上取一點 K,使得/ ABK = / CBD 因為/ ABK + / CBK = / ABC = / CBD + / ABD 所以/ CBK = / ABD因此 ABK 與 DBC相似，同理也有厶 ABD KBC 因此 AK/AB = CD/BD 且 CK/BC= DA/BD; 因此 AK- BD = AB- CD 且 CK- BD = BC- DA 兩式相加，得(AK+CK- BD = AB- CD + BC- DA 但 AK+CK = AC,因此 AC- BD =

5、 AB - CD + BC- DA 證 畢。三、托勒密定理：圓內(nèi)接四邊形中，兩條對角線的乘積(兩對角線所包 矩形的面積)等于兩組對邊乘積之和 (一組對邊所包矩形的面積與另一組對邊所 包矩形的面積之和)已知：圓內(nèi)接四邊形 ABCD求證：AC- BD=AB CD+AD BC證明：如圖1,過C作CP交BD于P,使/仁/2,又/ 3=74， ACEA BCP 得 AC: BC=AD BP, AC- BP=AD BC 。又7 ACB7 DCP/ 5=Z 6,山 ACBA DCP 得 AC: CD=AB DP, AC- DP=AB CD 。 + 得 AC(BP+DP)=ABCD+AD BC 即 AC- B

6、D=AB CD+AD BC四、廣義托勒密定理：設(shè)四邊形ABCD四邊長分別為a,b,c,d,兩條對角線長分別為m,n，則有：mA2* nA2=aA2*Z2+bA2*dA2-2abcd*cos(A+C)推論1. 任意凸四邊形 ABCD必有 AC- BDC AB- CD+AD BC,當(dāng)且僅當(dāng) ABCD 四點共圓時取等號。2. 托勒密定理的逆定理同樣成立：一個凸四邊形兩對對邊乘積的和等 于兩條對角線的乘積，則這個凸四邊形內(nèi)接于一圓、推廣托勒密不等式：凸四邊形的兩組對邊乘積和不小于其對角線的乘積， 取等號當(dāng)且僅當(dāng)共圓或共線。簡單的證明：復(fù)數(shù)恒等式： (a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)

7、(b-d)，兩邊取模，得不等式 AC- BEX |(a -b)(c-d)|+|(b-c)(a- d)|=AB - CD+BC AD運用要點1. 等號成立的條件是(a-b)(c-d) 與(a-d)(b-c) 的輻角相等，這與 A、B、 C、D四點共圓等價。2. 四點不限于同一平面。歐拉定理：在一條線段上 AD上，順次標(biāo)有 B、C兩點，則AD- BC+AB CD=AC BD弦切角定理弦切角定義頂點在圓上，一邊和圓相交，另II圖示一邊和圓相切的角叫做弦切角。（弦切角就是切線與弦所夾的角）如右圖所示，直線PT切圓0于點C，BC、AC為圓0的弦，/ TCB，/ TCA ,/ PCA，/ PCB都為弦切角

8、。弦切角定理弦切角定理：弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的圓心角的度數(shù)的一半.弦切角定理證明：證明一：設(shè)圓心為0,連接 0C, 0B,。/ TCB=90- / 0CB/ BOC=180-2 / 0CB , / B0C=2 / TCB （定理：弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧所對的圓心角的度數(shù) 的一半）/ B0C=2 / CAB （圓心角等于圓周角的兩倍）/ TCB= / CAB （定理：弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的圓周角）證明已知： AC是O 0的弦，AB是O 0的切線，A為切點，弧是弦切角/BAC所夾的弧求證：（弦切角定理）證明：分三種情況：（1 ） 圓心0在/ BAC的一邊AC上/ AC為直徑，AB切

9、O O于A ,弧 CmA=弧 CA為半圓，/ CAB=90=弦CA所對的圓周角圖 7-113D）ABB點應(yīng)在A點左側(cè)(2) 圓心O在/ BAC的內(nèi)部. 過A作直徑AD交O O于D, 若在優(yōu)弧m所對的劣弧上有一點E那么，連接 EC、ED、EA則有：/ CED= / CAD、/ DEA= / DAB/ CEA= / CAB(弦切角定理)BAC的外部過A作直徑AD交O O于D那么 / CDA+ / CAD= / CAB+ / CAD=90/ CDA= / CAB（弦切角定理）弦切角推論推論內(nèi)容若兩弦切角所夾的弧相等，則這兩個弦切角也相等應(yīng)用舉例例1:如圖，在 Rt ABC中，/ C=90，以AB為弦

10、的O O與AC相切于點 A，/ CBA=60, AB=a 求 BC 長.解：連結(jié)OA , OB.在 Rt ABC 中，/ C=90/ BAC=30 BC=1/2a（RT 中30角所對邊等于斜邊的一半）例2:如圖，AD是 ABC中/ BAC的平分線，經(jīng)過點 A的O O與BC切于點 D , 與AB , AC分別相交于 E, F.求證：EF / BC.證明：連 DF.AD 是/ BAC 的平分線 / BAD= / DAC/ EFD= / BAD/ EFD= / DACO O 切 BC 于 D / FDC= / DAC/ EFD= / FDCEF / BC例3:如圖， ABC內(nèi)接于O O, AB是O

11、O直徑，CD丄AB于D , MN切O O于C,求證：AC平分/ MCD , BC平分/ NCD.證明： AB是O O直徑/ ACB=90/ CD 丄 AB/ ACD= / B ,/ MN 切O O 于 C/ MCA= / B ,/ MCA= / ACD ,即AC平分/ MCD , 同理：BC平分/ NCD.相交弦定理遵I概念相交弦定理圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等。（經(jīng)過圓內(nèi)一點引兩條弦，各弦被這點所分成的兩段的積相等）相交弦說明幾何語言：若弦AB、CD交于點P則PAPB=PC PD （相交弦定理）推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項幾何

12、語言：若AB是直徑，CD垂直AB于點P,則PCA2=PA PB （相交弦定理推論）如何證明證明：連結(jié) AC , BD，由圓周角定理 的推論，得/ A= / D，/ C= / B。（圓周角推論 2:同（等）弧所對圓周角相等.） PAC PDB , PA : PD=PC : PB ,PAPB=PC PD注：其 逆定理 可作為證明圓的內(nèi)接四邊形的方法 P點若選在圓內(nèi)任意一點更具一般性。其逆定理也可用于證明四點共圓。兇為 ZA= ZD，ZC=ZB所以:APACAG/PF=W 仁/ 2A.G.C.P 共圓=/ 2=7 3PEL AC,PF丄 BC=P.E.F.C 共圓=7 3=7 4=/ 仁/ 4PF丄

13、 BC=PR=RQBHL AC,AHL BC=2 5=Z 6 A.B.G.C 共圓=/ 6=Z 7=/ 5=Z 7AGL BC=BC垂直平分 GH=/ 8=Z 2=Z 4/ 8+/ 9=90, Z 10+/ 4=90=/ 9二/ 10=HQ/DF=pm=mh第二個問，平分點在九點圓上，如圖：設(shè)O,G,H分別為三角形 ABC的外心，重心和垂心。則O是，確定九點圓的中點三角形XYZ的垂心，而 G還是它的重心。那么三角形 XYZ的外心O1，也在同一直線上，并且 HG/GO=GO/GO1=2所以 O1 是 OH的中點。三角形ABC和三角形XYZ位似，那么它們的外接圓也位似。兩個圓的 圓心都在 OH上，

14、并且兩圓半徑比為1:2所以G是三角形ABC外接圓和三角形 XYZ外接圓（九點圓）的反位似 中心（相似點在位似中心的兩邊 ）,H是正位似中心（相似點在位似中心的 同一邊）。所以H到三角形ABC的外接圓上的連線中點必在三角形DEF的外接圓上。垂徑定理E求助編輯百科名片垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分這條弦所對的兩條弧 如圖DC為直徑AB垂直于DC則AE=EB弧AC等于弧BC定義垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的弧。逆定理：平分弦（不是直徑）或平分弧的直徑垂直于弦。證明如圖，在O O中，DC為直徑，AB是弦，AB丄DC , AB、CD交于 E，求證:AE=BE，弧 AC=弧 BC,

15、弧 AD=弧 BDg)垂徑定理證明圖連 OA、OB/ OA、OB是半徑 OA=OB OAB是等腰三角形/ AB 丄 DC AE=BE，/ AOE= / BOE （等腰三角形三線合一）弧 AD=弧 BD，/ AOC= / BOC弧 AC=弧 BC推論推論一：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于這條弦，并且平分這條弦所對的兩段弧推論二：弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分這條弦所對的弧推論三：平分弦所對的一條弧的直徑垂直平分這條弦，并且平分這條弦所對的另一條弧推論四：在同圓或者等圓中，兩條平行弦所夾的弧相等（證明時的理論依據(jù)就是上面的五條定理）但是在做不需要寫證明過程的題目中，可以用下面的方法進行判斷：一條

16、直線，在下列5條中只要具備其中任意兩條作為條件，就可以推出其他三條結(jié)論1. 平分弦所對的優(yōu)弧2. 平分弦所對的劣?。ㄇ皟蓷l合起來就是：平分弦所對的兩條弧）3. 平分弦（不是直徑）4. 垂直于弦5. 經(jīng)過圓心圓的有關(guān)性質(zhì)知識點圓、圓的對稱性、點和圓的位置關(guān)系、不在同一直線上的三點確定一個圓、三角 形的外接圓、垂徑定理逆定理、圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系、圓周角定理、 圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)大綱要求1. 正確理解和應(yīng)用圓的點集定義，掌握點和圓的位置關(guān)系；2. 熟練地掌握確定一個圓的條件，即圓心、半徑；直徑；不在同一直線上三點。一個圓的圓心只確定圓的位置，而半徑也只能確定圓的大小，兩個條件確定一條直

17、線，三個條件確定一個圓，過三角形的三個頂點的圓存在并且唯一；3. 熟練地掌握和靈活應(yīng)用圓的有關(guān)性質(zhì)：同（等）圓中半徑相等、直徑相等直 徑是半徑的2倍；直徑是最大的弦；圓是軸對稱圖形，經(jīng)過圓心的任一條直線都是對稱 軸；圓是中心對稱圖形，圓心是對稱中心；圓具有旋轉(zhuǎn)不變性；垂徑定理及其推論； 圓心角、圓周角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系；4. 掌握和圓有關(guān)的角：圓心角、圓周角的定義及其度量；圓心角等于同（等） 弧上的圓周角的2倍；同（等）弧上的圓周角相等；直徑（半圓）上的圓周角是直角；90 勺圓周角所對的弦是直徑；5. 掌握圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理：它溝通了圓內(nèi)外圖形的關(guān)系，并能應(yīng)用它解 決有關(guān)問題；6.

18、 注意：（1）垂徑定理及其推論是指：一條弦在過圓心” 垂直于另一條 弦”平分這另一條弦”平分這另一條弦所對的劣弧”“平分這另一條弦所對的優(yōu)弧”的五個條件中任意具有兩個條件，則必具有另外三個結(jié)論（當(dāng)為條件時 要對另一條弦增加它不是直徑的限制），條理性的記憶，不但簡化了對它實際代表的10條定理的記憶且便于解題時的靈活應(yīng)用，垂徑定理提供了證明線段相等、角相等、垂直關(guān)系等的重要依據(jù)；（2 ）有弦可作弦心距組成垂徑定理圖形；見到直徑要想到它所對的圓周角是直角，想垂徑定理；想到過它的端點若有切線，則與它垂直，反之，若有垂線則是切線，想到它被圓心所平分；（3）見到四個點在圓上想到有4組相等的同弧所對的圓周角

19、，要想到應(yīng)用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)?？疾橹攸c與常見題型1 判斷基本概念、基本定理等的正誤，在中考題中常以選擇題、填空題的形式考查學(xué)生對基本概念和基本定理的正確理解，如：下列語句中，正確的有（）（A）相等的圓心角所對的弧相等（B）平分弦的直徑垂直于弦（C）長度相等的兩條弧是等?。―）弦過圓心的每一條直線都是圓的對稱軸2論證線段相等、三角形相似、角相等、弧相等及線段的倍分等。此種結(jié)論的 證明重點考查了全等三角形和相似三角形判定，垂徑定理及其推論、圓周角、圓心角的 性質(zhì)及切線的性質(zhì)，弦切角等有關(guān)圓的基礎(chǔ)知識，常以解答題形式出現(xiàn)。二，知識點相交弦定理、切割線定理及其推論大綱要求1 正誤相交弦定理、切割線定

20、理及其推論；2 了解圓幕定理的內(nèi)在聯(lián)系；3熟練地應(yīng)用定理解決有關(guān)問題；4. 注意（1）相交弦定理、切割線定理及其推論統(tǒng)稱為圓幕定理，圓幕定理是圓和相似三角形結(jié)合的產(chǎn)物。這幾個定理可統(tǒng)一記憶成一個定理：過圓內(nèi)或圓外一點作圓的兩條割線，則這兩條割線被圓截出的兩弦被定點分（內(nèi)分或外分）成兩線段長的積相等（至于切線可看作是兩條交點重合的割線）。使用時注意每條線段的兩個端點一個是公共點，另一個是與圓的交點；（2）見圓中有兩條相交想到相交弦定理；見到切線與一條割線相交則想到切割 線定理；若有兩條切線相交則想到切線長定理，并熟悉此時圖形中存在著一個以交點 和圓心連線為對稱軸的對稱圖形?？疾橹攸c與常見題型證明

21、等積式、等比式及混合等式等。此種結(jié)論的證明重點考查了相似三角形，切割線定理及其推論，相交弦定理及圓的一些知識。常見題型以中檔解答題為主，也有 一些出現(xiàn)在選擇題或填空割線定理定義割線定理從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓交點的距離的積相等。從圓外一點 P引兩條割線與圓分別交于A.B.C.D 則有LALB=LCLD。如下圖所示。（LT是切線）相關(guān)及證明概述割線定理為圓冪定理之一，其他二為:切割線定理相交弦定理證明如圖直線 ABP和CDP是自點 P引的O O的兩條割線，則 PAPB=PC PD證明：連接AD、BCAB0p-fD J 一C/ A和/ C都對弧BD由圓周角定理，得 / A=

22、/ C又/ APD= / CPB ADPCBP AP:CP=DP:BP, 也就是 APBP=CP DP比較害熾定理與相交弦定理，切割線定理通稱為圓冪定理。切線長定理從圓外一點引圓的兩條 切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連 線，平分兩條切線的夾角。如圖中，切線長 AC=ABvZ ABOH ACO=90BO=CC半徑AO=AO公共邊 Rt AB Rt ACO（ H丄） AB=ACZ AOBZ AOCZ OABZ OAC切線長定理推論：圓的外接四邊形的兩組對邊的和相等（一）觀察、猜想、證明，形成定理1、 切線長的概念.如圖，P是。0外一點，PA PB是。0的兩條切線， 我們把線段PA PB叫做

23、點P到。0的切線長.引導(dǎo)學(xué)生理解：切線和切線 長是兩個不同的概念，切線是直線，不能度量；切線長是線段的長，這條線段的兩個端點分別是圓外一點和切點，可以度量2、觀察 利用電腦變動點 P的位置，觀察圖形的特征和各量之間的關(guān) 系.3、 猜想 引導(dǎo)學(xué)生直觀判斷，猜想圖中PA是否等于PB. PA=PB.4、 證明猜想，形成定理.猜想是否正確。需要證明.組織學(xué)生分析證明方法.關(guān)鍵是作出輔助線OA OB要證明PA=PB想一想：根據(jù)圖形，你還可以得到什么結(jié)論？Z OPAZ OPB如圖）等.切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心 和這一點的連線平分兩條切線的夾角.5、歸納：把前面所學(xué)的切線

24、的 5條性質(zhì)與切線長定理一起歸納切線 的性質(zhì)6、切線長定理的基本圖形研究如圖，PA, PB是。0的兩條切線，A, B為切點直線 0P交。0于點D, E,交AP于C(1)寫出圖中所有的垂直關(guān)系；(2)寫出圖中所有的全等三角形；(3)寫出圖中所有的相似 三角形；(4)寫出圖中所有的等腰三角形.說明：對基本圖形的深刻研究和認(rèn)識是在學(xué)習(xí)幾何中關(guān)鍵，它是靈活 應(yīng)用知識的基礎(chǔ)。推廣：連接BC, BCLAO圓的內(nèi)接多邊形如果所有的邊長都相等，那么它是否是正多邊形 ？圓的內(nèi)接多邊形如果所有的內(nèi)角都相等，那么它是否是正多邊形 ？圓的外切多邊形如果所有的邊長都相等，那么它是否是正多邊形？圓的外切多邊形如果所有的內(nèi)角都相等，那么它是否是正多邊形 ？以上說法正確的有：(1.4)1.4.正確，解析：各邊相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形；各角相等的圓內(nèi)接多邊形不是正多邊形.各邊相等的圓外切多邊形不是正多邊形?？键c：正多邊形和圓.分析：根據(jù)在同圓或等圓中相等的弦所對的圓周角相等，相等的圓周角所對的弦相等即可證明.解答：解：圓內(nèi)接多邊形的各邊相等，各邊所對的圓周角必然相等，各邊相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形；圓內(nèi)接多邊形的各角相等，各角所對的弦必然相等，但是有一種情況比較特殊，當(dāng)四個角都是直角時，這