2022版高考數(shù)學一輪復習第二章函數(shù)導數(shù)及其應(yīng)用第九講函數(shù)與方程學案含解析新人教版

1、第九講函數(shù)與方程知識梳理雙基自測知識點一函數(shù)的零點1函數(shù)零點的定義對于函數(shù)yf(x)(xD)，把使_f(x)0_成立的實數(shù)x叫做函數(shù)yf(x)(xD)的零點注：函數(shù)的零點不是點是函數(shù)f(x)與x軸交點的橫坐標，而不是yf(x)與x軸的交點2幾個等價關(guān)系方程f(x)0有實數(shù)根函數(shù)yf(x)的圖象與_x軸_有交點函數(shù)yf(x)有_零點_.3函數(shù)零點的判定(零點存在性定理)如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有_f(a)f(b)0_，那么函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點，即存在c(a，b)，使得_f(c)0_，這個c也就是方程f(x)0的根知識點二二分法1對于在區(qū)間

2、a，b上連續(xù)不斷且_f(a)f(b)0_的函數(shù)yf(x)，通過不斷地把函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間_一分為二_，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近_零點_，進而得到零點近似值的方法叫做二分法2給定精確度，用二分法求函數(shù)f(x)零點近似值的步驟如下：(1)確定區(qū)間a，b，驗證f(a)f(b)0，給定精確度；(2)求區(qū)間(a，b)的中點c；(3)計算f(c)；若f(c)0，則c就是函數(shù)的零點；若f(a)f(c)0，則令bc(此時零點x0(a，c)；若f(c)f(b)0，則令ac(此時零點x0(c，b)(4)判斷是否達到精確度，即：若|ab|，則得到零點近似值a(或b)；否則重復(2)(3)(4)1有關(guān)函數(shù)零

3、點的結(jié)論(1)若連續(xù)不斷的函數(shù)f(x)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則f(x)至多有一個零點(2)連續(xù)不斷的函數(shù)，其相鄰兩個零點之間的所有函數(shù)值保持同號(3)連續(xù)不斷的函數(shù)圖象通過零點時，函數(shù)值可能變號，也可能不變號(4)由函數(shù)yf(x)在閉區(qū)間a，b上有零點不一定能推出f(a)f(b)0，如圖所示所以f(a)f(b)0是yf(x)在閉區(qū)間a，b上有零點的充分不必要條件事實上，只有當函數(shù)圖象通過零點(不是偶個零點)時，函數(shù)值才變號，即相鄰兩個零點之間的函數(shù)值同號(5)若函數(shù)f(x)在a，b上單調(diào)，且f(x)的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，則f(a)f(b)0)的圖象與零點的關(guān)系000二次函數(shù)yax2bxc

4、(a0)的圖象與x軸的交點(x1,0)，(x2,0)(x1,0)無交點零點個數(shù)兩個零點一個零點無零點題組一走出誤區(qū)1判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“”或“”)(1)函數(shù)的零點就是函數(shù)的圖象與x軸的交點()(2)二次函數(shù)yax2bxc(a0)在當b24ac0時沒有零點()(3)函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(函數(shù)圖象連續(xù)不斷)，則f(a)f(b)0，則f(x)在(a，b)內(nèi)沒有零點()(5)函數(shù)y2x與yx2只有兩個交點()解析(1)函數(shù)的零點是函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標(2)當b24ac0.(4)若在區(qū)間a，b內(nèi)有多個零點，f(a)f(b)0也可以(5)yx2與y2x在y軸左側(cè)一個

5、交點，y軸右側(cè)兩個交點，如在x2和x4處都有交點題組二走進教材2(必修1P92AT2改編)已知函數(shù)f(x)的圖象是連續(xù)不斷的，且有如下對應(yīng)值表：x12345f(x)42147在下列區(qū)間中，函數(shù)f(x)必有零點的區(qū)間為(B)A(1,2)B(2,3)C(3,4)D(4,5)解析由所給的函數(shù)值的表格可以看出，x2與x3這兩個數(shù)字對應(yīng)的函數(shù)值的符號不同，即f(2)f(3)0，f(1)f(2)f(4)0，則下列命題正確的是(D)A函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)有零點B函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,2)內(nèi)有零點C函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,2)內(nèi)有零點D函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,4)內(nèi)有零點(2)(2021開封模擬)

6、函數(shù)f(x)xln x3的零點所在的區(qū)間為(C)A(0,1)B(1,2)C(2,3)D(3,4)(3)若abc，則函數(shù)f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的兩個零點分別位于區(qū)間(B)A(，a)和(a，b)內(nèi)B(a，b)和(b，c)內(nèi)C(b，c)和(c，a)內(nèi)D(c，)和(，a)內(nèi)解析(1)因為f(1)f(2)f(4)0，所以f(1)、f(2)、f(4)中至少有一個小于0.若f(1)0，則在(0,1)內(nèi)有零點，在(0,4)內(nèi)必有零點；若f(2)0，則在(0,2)內(nèi)有零點，在(0,4)內(nèi)必有零點；若f(4)0，則在(0,4)內(nèi)有零點故選D(2)解法一：利用零點存在性定理因為函數(shù)

7、f(x)是增函數(shù)，且f(2)ln 210，所以由零點存在性定理得函數(shù)f(x)的零點位于區(qū)間(2,3)內(nèi)，故選C解法二：數(shù)形結(jié)合函數(shù)f(x)xln x3的零點所在區(qū)間轉(zhuǎn)化為g(x)ln x，h(x)x3的圖象的交點橫坐標所在范圍如圖所示，可知f(x)的零點在(2,3)內(nèi)(3)易知f(a)(ab)(ac)，f(b)(bc)(ba)，f(c)(ca)(cb)又ab0，f(b)0，又該函數(shù)是二次函數(shù)，且圖象開口向上，可知兩個零點分別位于區(qū)間(a，b)和(b，c)內(nèi)，故選B名師點撥確定函數(shù)零點所在區(qū)間的方法(1)解方程法：當對應(yīng)方程f(x)0易解時，可先解方程，然后再看求得的根是否落在給定區(qū)間上(2)利

8、用函數(shù)零點的存在性定理：首先看函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上的圖象是否連續(xù)，再看是否有f(a)f(b)0.若有，則函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)必有零點(3)數(shù)形結(jié)合法：通過畫函數(shù)圖象，觀察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點來判斷考向2函數(shù)零點個數(shù)的確定師生共研例2 (1)函數(shù)f(x)的零點個數(shù)為(B)A3B2C7D0(2)(理)已知f(x)則函數(shù)y2f2(x)3f(x)1的零點個數(shù)為_5_.(文)(2021云南昆明一中摸底)若函數(shù)f(x)|x|，則函數(shù)yf(x)|x|的零點個數(shù)是(D)A5個B4個C3個D2個解析(1)解法一：(直接法)由f(x)0得或解得x2或xe.因此函數(shù)f(x)共有2個零

9、點解法二：(圖象法)函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，由圖象知函數(shù)f(x)共有2個零點(2)(理)令2f2(x)3f(x)10，解得f(x)1或f(x)，作出f(x)的簡圖：由圖象可得當f(x)1或f(x)時，分別有3個和2個交點，則關(guān)于x的函數(shù)y2f2(x)3f(x)1的零點的個數(shù)為5.(文)在同一坐標系中作出f(x)|x|、g(x)|x|的圖象，由圖可知選D名師點撥函數(shù)零點個數(shù)的判定有下列幾種方法(1)直接求零點：令f(x)0，如果能求出解，那么有幾個解就有幾個零點(2)零點存在性定理：利用該定理不僅要求函數(shù)在a，b上是連續(xù)的曲線，且f(a)f(b)0時，f(x)exx3，則f(x)的零點個數(shù)為

10、(C)A1B2C3D4(3)(理)(2020河南名校聯(lián)考)函數(shù)f(x)則函數(shù)g(x)3f(x)28f(x)4的零點個數(shù)是(A)A5B4C3D6(文)(2021鄭州質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)xcos x，則f(x)在0,2上的零點個數(shù)為_3_.解析(1)由已知得yf(x)3x令x2x0，解得x0或x1.令13x0(x0)可得3x2x10.因為1120，所以方程3x2x10無實根所以yf(x)3x的零點個數(shù)是2.(2)f(x)exx3在(0，)上為增函數(shù)，fe0，f(x)在(0，)上只有一個零點，由奇函數(shù)性質(zhì)得f(x)在(，0)上也有一個零點，又f(0)0，所以f(x)有三個零點，故選C(3)(理)本

11、題考查函數(shù)的零點與方程根的個數(shù)的關(guān)系函數(shù)g(x)3f(x)28f(x)43f(x)2f(x)2的零點，即方程f(x)和f(x)2的根函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，由圖可得方程f(x)和f(x)2共有5個根，即函數(shù)g(x)3f(x)28f(x)4有5個零點(文)如圖，作出g(x)x與h(x)cos x的圖象，可知其在0,2上的交點個數(shù)為3，所以函數(shù)f(x)在0,2上的零點個數(shù)為3.考向3函數(shù)零點的應(yīng)用多維探究角度1與零點有關(guān)的比較大小例3 已知函數(shù)f(x)2xx，g(x)xx，h(x)log2x的零點分別為x1，x2，x3，則x1，x2，x3的大小關(guān)系為(D)Ax1x2x3Bx2x1x3Cx1x3

12、x2Dx3x2x1解析由f(x)2xx0，g(x)xx0，h(x)log2x0，得2xx，xx，log2x，在平面直角坐標系中分別作出y2x與yx的圖象；yx與yx的圖象；ylog2x與y的圖象，由圖可知：1x10,0x21.所以x3x2x1.角度2已知函數(shù)的零點或方程的根求參數(shù)例4 (2018全國)已知函數(shù)f(x)g(x)f(x)xa.若g(x)存在2個零點，則a的取值范圍是(C)A1,0)B0，)C1，)D1，)解析令h(x)xa，則g(x)f(x)h(x)在同一坐標系中畫出yf(x)，yh(x)圖象的示意圖，如圖所示若g(x)存在2個零點，則yf(x)的圖象與yh(x)的圖象有2個交點由

13、圖知a1，a1.名師點撥1比較零點大小常用方法：(1)確定零點取值范圍，進而比較大??；(2)數(shù)形結(jié)合法2已知函數(shù)有零點(方程有根)求參數(shù)值常用的方法和思路：(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數(shù)的圖象，然后觀察求解變式訓練2(1)(角度1)(2021安徽蚌埠月考)已知函數(shù)f(x)3xx，g(x)log3xx，h(x)x3x的零點依次為a，b，c，則a，b，c的大小關(guān)系為(B)AabcBacbcDcab(2)(角度2)(2021杭州學軍中學月

14、考)已知函數(shù)f(x)(aR)，若函數(shù)f(x)在R上有兩個零點，則a的取值范圍是(D)A(，1)B(，1C1,0)D(0,1分析(1)解法一：依據(jù)零點存在定理，確定a，b，c所在區(qū)間，進而比較大?。唤夥ǘ悍謩e作出y3x、ylog3x、yx3與yx的圖象，比較其交點橫坐標的大小即可解析(1)解法一：f(1)311，f(0)1，a，又glog3，g(1)1，b，顯然c0，acb，故選B解法二：數(shù)形結(jié)合法，在同一坐標系中分別作出y3x、ylog3x、yx的圖象，結(jié)合圖象及c0可知ac0，a0，c0時，f(x)2x1，由f(x)0得x，要使f(x)在R上有兩個零點，則必須2xa0在(，0上有解又當x(

15、，0時，2x(0,1故所求a的取值范圍是(0,1考點二二分法及其應(yīng)用自主練透例5 (1)用二分法研究函數(shù)f(x)x33x1的零點時，第一次經(jīng)計算f(0)0，可得其中一個零點x0_(0,0.5)_，第二次應(yīng)計算_f(0.25)_.(2)在用二分法求方程x32x10的一個近似解時，現(xiàn)在已經(jīng)將根鎖定在區(qū)間(1,2)內(nèi)，則下一步可判定該根所在的區(qū)間為_.(3)在用二分法求方程x22的正實數(shù)根的近似解(精確度0.001)時，若我們選取初始區(qū)間是1.4,1.5，則要達到精確度要求至少需要計算的次數(shù)是_7_.解析(1)因為f(0)0，由二分法原理得一個零點x0(0,0.5)；第二次應(yīng)計算ff(0.25)(2

16、)區(qū)間(1,2)的中點x0，令f(x)x32x1，f40，則根所在區(qū)間為.(3)設(shè)至少需要計算n次，由題意知100.由2664,27128，知n7.名師點撥1用二分法求函數(shù)零點的方法：定區(qū)間，找中點，中值計算兩邊看，同號去，異號算，零點落在異號間周而復始怎么辦？精確度上來判斷2利用二分法求近似解需注意的問題(1)在第一步中：區(qū)間長度盡量小；f(a)，f(b)的值比較容易計算且f(a)f(b)0時x2xa即x2xa0有兩個不等正根，不妨記為x2，x3，則14a0，即a，從而a2且x2x3a.x1x2x3，故選A解法二：作出yf(x)及ya的圖象，顯然0a，不妨設(shè)x1x2x3顯然x10，x30，x1x2x30排除C、D，又當x2趨近x3時，x2x3趨近，x1趨近，故x1x2x3趨近.故選A名師點撥以函數(shù)圖象、圖象的變換方法及函數(shù)的零點等相關(guān)知識為基礎(chǔ)，通過作圖、想象，發(fā)現(xiàn)該問題的