第3章3.3.2第2課時線性規(guī)劃的實際應用

1、第2課時線性規(guī)劃的實際應用 學習目標 核心素養(yǎng) 理解并初步運用線性規(guī)劃的圖解 法解決一些實際問題.（重點、難 點） 借助線性規(guī)劃的實際應用，培養(yǎng)數(shù)學建 模和直觀想象素養(yǎng). 自主預習播新和 一 I新知初探 應用線性規(guī)劃解決實際問題的類型 思考：一家銀行的信貸部計劃年初投入 25 000 000元用于企業(yè)投資和個人貸 款，希望這筆資金至少可帶來30 000元的收益，其中從企業(yè)貸款中獲益12%, 從個人貸款中獲益10%，假設信貸部用于企業(yè)投資的資金為 x元，用于個人貸款 的資金為y元那么x和y應滿足哪些不等關系？ 提示分析題意，我們可得到以下式子 x + y 3 000 000, x 0， y 0.

2、 口初試身論二 x 4y 3， 1.已知目標函數(shù)z= 2x+ y,且變量x,y滿足約束條件 3x+ 5y 1， A . Zmax= 12， Zmin = 3 B . Zmax= 12，無最小值 C Zmin= 3, 無最大值 D. z既無最大值又無最小值 D 畫出可行域如圖所示,z= 2x+y,即y= 2x+ z在平移過程中的縱截 距z既無最大值也無最小值. 2 完成一項裝修工程，請木工需付工資每人每天50元，請瓦工需付工資每 人每天40元.現(xiàn)有工人工資預算每天 2 000元，設請木工x人，請瓦工y人，則請工人的約束條件是 . x, y N* 答案 50 x+ 40y 900, yx 7， 則

3、 y+x 21， x, y N， 畫出可行域（如圖中陰影部分內(nèi)的整點），則目標函數(shù)z= 1 600 x+ 2 400y在點 （5，12）處取得最小值zmin = 36 800元 合作探究H 1 線性規(guī)劃的實際應用問題 探究問題 1.某公司有60萬元資金，計劃投資甲、乙兩個項目，按要求對項目甲的投 資不小于對項目乙投資的3倍，且對每個項目的投資不能低于5萬元.設投資甲、 乙兩個項目的資金分別為x、y萬元，那么x、y應滿足什么條件？ x+y 3y， x 5， y 5. 2 若公司對項目甲每投資1萬元可獲得0.4萬元的利潤，對項目乙每投資1 萬元可獲得0.6萬元的利潤，設該公司所獲利潤為z萬元，那么

4、z與x，y有何關 系？ 提示根據(jù)公司所獲利潤二投資項目甲獲得的利潤+投資項目乙獲得的 利潤，可得z與x，y的關系為z= 0.4x+ 0.6y. 3. x，y應在什么條件下取值，x，y取值對利潤z有無影響？ x+ y 2 提示x，y必須在線性約束條件X-3y，下取值.x，y取不同的值， x 5， y 5 直接影響z的取值. 【例1】 某家具廠有方木料90 m3,五合板600 m2，準備加工成書桌和書 櫥出售.已知生產(chǎn)每張書桌需要木料 0.1 m3,五合板2 m2，生產(chǎn)每個書櫥需要木 料0.2 m3，五合板1 m2，出售一張書桌可獲利潤80元，出售一個書櫥可獲利潤 120元.怎樣安排生產(chǎn)可使所獲利

5、潤最大. 思路探究：可先設出變量，建立目標函數(shù)和約束條件，轉化為線性規(guī)劃問題 來求解. 解設生產(chǎn)書桌x張，生產(chǎn)書櫥y個，利潤為z元，則目標函數(shù)為z= 80 x + 120y，根據(jù)題意知， 0.1x+ 0.2yW 90， 2x + y0，y0， x N，y N， x+ 2y0，y0， x N，y N， 13 作直線1: 80 x+ 120y= 0,并平移直線I，由圖可知，當直線I過點C時，z 得 C（100，400），所以 zmax= 80X 100+ 120X 400 x+ 2y= 900, 取得最大值，解 2x+ y= 600, =56 000,即生產(chǎn)100張書桌，400個書櫥，可獲得最大利

6、潤. 母題探究 (變結論)例題中的條件不變，如果只安排生產(chǎn)書桌可獲利潤多少？如果只安 排生產(chǎn)書櫥呢？ 解(1)若只生產(chǎn)書桌，則y= 0,此時目標函數(shù)z= 80 x，由圖可知zmax= 80 X 300= 24 000,即只生產(chǎn)書桌,可獲利潤24 000元. (2)若只生產(chǎn)書櫥，則x= 0,此時目標函數(shù)z= 120y,由圖可知zmax= 120X 450 =54 000,即只生產(chǎn)書櫥,可獲利潤54 000元. 解答線性規(guī)劃應用題的一般步驟 (1)審題一一仔細閱讀，對關鍵部分進行“精讀”，準確理解題意，明確有 哪些限制條件，起關鍵作用的變量有哪些.由于線性規(guī)劃應用題中的變量比較多， 為了理順題目中

7、量與量之間的關系，有時可借助表格來理順. (2)轉化 設兀.與出約束條件和目標函數(shù) 1，從而將實際冋題轉化為數(shù)學 上的線性規(guī)劃問題. (3)求解 解這個純數(shù)學的線性規(guī)劃問題. 作答 就應用題提出的問題作出回答. | 類蝦2丿 線性規(guī)劃中的最優(yōu)整數(shù)解問題 【例2】 某運輸公司有7輛載重量為6 噸的A型卡車，4輛載重量為10 噸的B型卡車，有9名駕駛員.在建筑某段高速公路的工程中，此公司承包了 每天運送360噸瀝青的任務.已知每輛卡車每天往返次數(shù)為：A型車8次，B型 車6次，每輛卡車每天往返的成本費為： A型車160元，B型車280元.每天派 出A型車與B型車各多少輛時，公司花的成本費最低？ 思路

8、探究：本題的線性約束條件及目標函數(shù)分別是什么？根據(jù)實際問題 的需要，該題是否為整點問題？ 解設公司每天所花成本費為z元，每天派出A型車x輛，B型車y輛， x 7, yw 4, x+y 360, x 0, y o, x N , y N, 作出不等式組的可行域，如圖. 7 Q li x(.囂 作直線 1: 160 x+ 280y= 0,即 1: 4x+ 7y= 0. 將I向右上方移至11位置時，直線11經(jīng)過可行域上的M點，且此時直線與 原點的距離最近，z取得最小值. 48x+ 60y= 360 由方程組， x= 7 x= 7 解得 y= 0.4 但y= 0.4不是整數(shù)，故取x= 7, y= 1,此

9、時z取得最小值. 所以，當每天派出A型車7輛、B型車1輛時，公司所花費用最低. 尋找整點最優(yōu)解的三種方法 (1)平移找解法：先打網(wǎng)格，描整點，平移直線I,最先經(jīng)過或最后經(jīng)過的整 點便是最優(yōu)整點解，這種方法應充分利用整點最優(yōu)解的信息，結合精確的作圖 才行，當可行域是有限區(qū)域且整點個數(shù)又較少時，可逐個將整點坐標代入目標函數(shù)求值，經(jīng)比較求最優(yōu)解. (2) 小范圍搜尋法：即在求出的非整點最優(yōu)解附近的整點都求出來，代入目 標函數(shù)，直接求出目標函數(shù)的最大(小)值. (3) 調整優(yōu)值法：先求非整點最優(yōu)解及最優(yōu)值，再調整最優(yōu)值，最后篩選出 整點最優(yōu)解. 某廠有一批長為18 m的條形鋼板，可以割成1.8 m和1

10、.5 m長的零件.它們 的加工費分別為每個1元和0.6元售價分別為20元和15元，總加工費要求不 超過8元問如何下料能獲得最大利潤. 解設割成的1.8 m和1.5 m長的零件分別為x個、y個，利潤為z元， 則 z= 20 x+ 15y (x+ 0.6y) 即 z= 19x+ 14.4y 1.8x+ 1.5y 18， 且 x+ 0.6y 8， x, y N， 1.8x+ 1.5y= 18, 作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖，又由 x+ 0.6y= 8， 解出x= 20， 60 尸T， 所以 M 20，60， 因為x, y為自然數(shù)，在可行域內(nèi)找出與M最近的點為(3, 8)，此時z= 19X 3 +

11、14.4X 8= 172.2(元). 又可行域的另一頂點是(0, 12), z= 19X 0+ 14.4X 12= 172.8(元): 過頂點(8, 0)的直線使 z= 19X 8+ 14.4X 0= 152(元). 20 60 M y, y 附近的點(1, 10), (2, 9), 直線 z= 19x+ 14.4y 過點(1, 10)時，z= 163;過點(2, 9)時 z= 167.6. 所以當x= 0, y= 12時，z= 172.8元為最大值. 答：只截1.5 m長的零件12個，可獲得最大利潤. |課堂址g 1. 畫圖對解決線性規(guī)劃問題至關重要，關鍵步驟基本上是在圖上完成的, 所以作圖

12、應盡可能準確，圖上操作盡可能規(guī)范. 2. 在實際應用問題中，有些最優(yōu)解往往需要整數(shù)解 (比如人數(shù)、車輛數(shù)等)，應 結合可行域與目標函數(shù)微 調. 當堂達標固SH基 1. 判斷正誤 (1) 將目標函數(shù)的直線平行移動，最先通過或最后通過的頂點便是最優(yōu)解. () (2) 當線性目標函數(shù)的直線與可行域的某條邊平行時，最優(yōu)解可能有無數(shù)個. () 答案“v 2. 一農(nóng)民有基本農(nóng)田2畝，根據(jù)往年經(jīng)驗，若種水稻，則每季每畝產(chǎn)量為 400公斤；若種花生，則每季每畝產(chǎn)量為 100公斤，但水稻成本較高，每季每畝 240元，而花生只需80元，且花生每公斤賣5元，稻米每公斤賣3元，現(xiàn)該農(nóng) 民手頭有400元，那么獲得最大收

13、益為 . 1 650 設該農(nóng)民種x畝水稻，y畝花生時能獲得利潤z元，則 x+ y 2, X+ y 2, 240 x+ 80yW 400,3x+y 0,x 0, y 0,y 0, 作出可行域如圖陰影部分所示 將目標函數(shù)變形為y= 17x+4,作出直線y= 17x,在可行域內(nèi)平移直 線y=-哄, 可知當直線過點 B時，z有最大值, x+ y= 2,3 1 由解得B 2, 2 ,故當x= 1.5, y= 0.5時，zmax= 1 650元，故該 3x+ y= 5, 農(nóng)民種1.5畝水稻，0.5畝花生時，能獲得最大利潤,最大利潤為1 650元. 3某廠在計劃期內(nèi)要安排生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，這些產(chǎn)品分別需要

14、在A, B, C, D四種不同的設備上加工，按工藝規(guī)定，產(chǎn)品甲和產(chǎn)品乙分別在各種設備上 需要加工的臺時數(shù)如下： 設備 產(chǎn)品 A B C D 甲 2 1 4 0 乙 2 2 0 4 已知各設備在計劃期內(nèi)有效臺時數(shù)分別為12, 8, 16, 12（1臺設備工作1小 時稱為1臺時），該廠每生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品可得到利潤 2元，每生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品可 得到利潤3元，若要獲得最大利潤，則生產(chǎn)甲產(chǎn)品和乙產(chǎn)品的件數(shù)分別為 4, 2 設在計劃期內(nèi)生產(chǎn)甲產(chǎn)品x件，乙產(chǎn)品y件，則由題意得約束條件 J -4 x+工冋丁 r=3 =2 -2 0 -2 .2 %. 2x+ 4 2x+ 2yW 12, x+ 2y 8, 4x 16, 4y 0, y 0, x N , y N, x+ y 6, x+ 2y 8, x 0, y 0, x N , y N, 作出可行域如圖陰影部分所示,目標函數(shù)為z= 2x+ 3y,由圖可知當直線z x+ y= 6,x= 4, =2x+ 3y經(jīng)過點A時，z有最大值，解得即安排生產(chǎn)甲產(chǎn)品 x+ 2y= 8,y=2, 4件，乙產(chǎn)品2件時，利潤最大. 4 某工廠制造A種儀器45臺，B種儀器55臺，現(xiàn)需用薄鋼板給每臺儀器 配一個外殼.已知鋼板有甲、乙兩種規(guī)格：甲種鋼板每張面積2 m2,每張可作A 種儀器外殼3個和B種儀器外殼5個，乙種鋼板每張面