第七章共形映射復(fù)變函數(shù)論教學(xué)課件資料

1、返回下頁 第七章共形映射 前面用分析的方法研究解析函數(shù) 本章從幾何上研究解析函數(shù) 即解析函數(shù)構(gòu)成的映射有什么幾何特點(diǎn) 像與原像的關(guān)系 如何實(shí)現(xiàn)不同圖形之間的變換 復(fù)雜圖形如何簡單化 復(fù)雜問題如何簡單化 返回上頁下頁 內(nèi)容：內(nèi)容： 第一節(jié)解析變換的特性 第二節(jié)分式線性變換 第三節(jié)某些初等函數(shù)所構(gòu)成的共形映射 (略) 第四節(jié)關(guān)于共形變換的黎曼存在定理和邊界對 應(yīng)定理(簡介) 目標(biāo)或要求： 掌握單葉解析函數(shù)的映射性質(zhì)； 掌握分式線性變換及其映射性質(zhì)； 了解黎曼存在定理和邊界對應(yīng)定理。 返回上頁下頁 第一節(jié)第一節(jié) 解析變換的特性解析變換的特性 ? 1 1 解析變換的保域性 ? 2 解析變換的保角性 導(dǎo)

2、數(shù)的幾何意義 ? 3 單葉解析變換的共形性 返回上頁下頁 解析變換的保域性解析變換的保域性 定理7.1(保域定理) 設(shè)w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析且不恒為常數(shù)， 則D的象 G=f(D)也是一個(gè)區(qū)域。 證 先證G為開集 或? w0? G, w0是G的內(nèi)點(diǎn)w0 ?w* ? N (w0),?z*? D使w*=f(z*) ?w*=f(z)在D內(nèi)有解 因? w0? G,?z0? D使w0=f(z0) 由解析函數(shù)的零點(diǎn)孤立性知, ? C:|z-z 0|=0 , 則0 下證 N(w0)? G, 當(dāng)z? C時(shí)，| f(z)-w0| 由儒歇定理 即f(z)-w*=0在D內(nèi)有解, 從而w* ? G 令 使上w 0=

3、f(z)無異于z0的零點(diǎn) 且在 f(D)=G D v u0 w平面 w=f(z) N(w0) w0 z0 y x 0 z平面 即要證G的每一個(gè)點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn) ? N(w0)? G 即z0是f(z)-w0的一個(gè)零點(diǎn) C f(C) ? w * ? N(w0) f(z)-w*= f(z)-w0+w0-w* w* ?f(z)- w*在D內(nèi)有零點(diǎn) N(f(z)-w*,C)=N(f(z)-w0,C) | w 0 w* | 返回上頁下頁 保域定理續(xù)保域定理續(xù) 再證G的連通性, 即G內(nèi)任兩點(diǎn)w1=f(z1) , w2=f(z2), 由于D是區(qū)域, 連接z1,z2, z1=z(a) , z2=z(b) 。 函數(shù)w=

4、f(z)把折線L映射成 G內(nèi)連接w1,w2的逐段光滑曲線 由于為G內(nèi)有界閉集， 可被G內(nèi)有限個(gè)開圓盤所覆蓋, 從而在G內(nèi)可作出連接 w1,w2的折線。 f(D)=G D v u0 w平面 w=f(z) w1 z1 y x 0 z平面 w2 z2 L 可用全含于G內(nèi)的折線連接起來 在D內(nèi)有折線L: z=z(t) t? a,b , 根據(jù)有限覆蓋定理, 得證！ 推論7.2 設(shè)w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)單葉解析, 則D的象 G=f(D)也是一個(gè)區(qū)域。 定理7.3 設(shè)函數(shù)w=f(z)在z=z0解析， 且f?(z0)0, 如果w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)單葉解析， 則它把區(qū)域D一一變換成區(qū)域G=f(D), 于是f(

5、z)有一個(gè)在G內(nèi)確定的反函數(shù)。 與定理6.11互逆. 則f(z)在z0的一個(gè)鄰域內(nèi)單葉解析。 單葉非常數(shù) 同分析中的反函數(shù)存在定理. 返回上頁下頁 保域定理的注解保域定理的注解 此定理除可說明解析變換的保域性外 ,還可用于解決有關(guān)常數(shù) 的問題. 函數(shù)解析保域,則函數(shù)非常數(shù) 由定理,前面對最大模原理和一些例題的幾何解釋是合理的. 此定理的在擴(kuò)充復(fù)平面上的推廣: w=f(z)在擴(kuò)充z平面上的區(qū)域D內(nèi)除極點(diǎn)外處處解析(亞純函數(shù)),且 不為常數(shù),則D的象G=f(D) 是擴(kuò)充w平面上的一個(gè)區(qū)域。 非單葉解析函數(shù)在導(dǎo)數(shù)不為0的鄰域,不能從一葉進(jìn)入另一葉. 單葉函數(shù)將簡單曲線(周線)變?yōu)楹唵吻€(周線).

6、此定理可確定像所在的區(qū)域. 當(dāng)給定像和原像一條件,就可確定像所在的區(qū)域 y x 0 z平面平面v u0 w平面平面 w=f(z) w z 區(qū)域? 區(qū)域. 周線? 周線. C w 函數(shù)解析不保域,則函數(shù)常數(shù) 返回上頁下頁 解析變換的保角性 導(dǎo)數(shù)的幾何意義 設(shè)函數(shù)w=f(z)是區(qū)域D內(nèi)的解析, z0? D , 過z0的一條簡單光滑曲線C：z=z(t) (t0tt1) C在w=f(z)的像:w=f(z(t)=w(t) (t0tt1),w0=f(z(t0) w?(t0)=f ?(z0)z?(t0)0, 即導(dǎo)數(shù)非0的解析函數(shù)將簡單光滑曲線變?yōu)楹唵喂饣€. 導(dǎo)數(shù)幅角的幾何意義 曲線C在z=z0的切線與實(shí)

7、軸的夾角是z?(t0)的幅角argz?(t0) 曲線在w=w0的切線與實(shí)軸的夾角是w?(t0)的幅角argw?(t0) =argw?(t0)=argf?(z0)z?(t0)=arg f?(z0)+argz?(t0)= + z0 =z(t0), z?(t0)0 y x 0 z平平面 v u0 w平平面 w=f(z) C z0 w0 記: f ?(z0)=Rei 因此,在w 0處、C在z0處切線與實(shí)軸的夾角相差, 與曲線C及切線無關(guān). = - 只與函數(shù)在z0處的導(dǎo)數(shù)有關(guān)。 f ?(z0)0, w0= f (z0) 返回上頁下頁 導(dǎo)數(shù)幅角的幾何意義續(xù)導(dǎo)數(shù)幅角的幾何意義續(xù) 單葉解析函數(shù)w=f(z)作為

8、映射時(shí), 曲線間夾角（即切線的夾角）的大小及方向保持不變， 這一性質(zhì)稱為旋轉(zhuǎn)角不變性。 arg f?(z0)稱為變換w=f(z)在z0的旋轉(zhuǎn)角, 僅與z0和函數(shù)f(z)有關(guān)， 與過z0的曲線C無關(guān)。 旋轉(zhuǎn)角對曲線來說是固定不變的。 C的象曲線在w0=f(z0)處的切線正向 可由原象曲線C在z0的切線正向旋轉(zhuǎn)一個(gè)旋轉(zhuǎn)角 arg f ?(z0) 得到。 返回上頁下頁 ? 上面對導(dǎo)數(shù)的幅角所了幾何解釋,下面討論導(dǎo)數(shù)模的幾何意義. 由 | f?(z0)|可以近似地表示這種比值。 |z-z 0|、|f(z)-f(z0)|分別表示z、 w平面上向量z-z0、f(z)-f(z0)的長度 這里向量z-z 0及

9、f(z) -f(z0)的起點(diǎn)分別取在z0及f(z0) 。 當(dāng)|z-z 0|很小時(shí),|f?(z0)|近似地表示, |f(z)-f(z0)|對|z-z0|的伸縮倍數(shù)， 此倍數(shù)僅與z0和函數(shù)f(z)有關(guān), 這一性質(zhì)稱為伸縮率不變性 w=f(z)還把z平面上半徑充分小的圓 近似地映射成w平面上圓 導(dǎo)數(shù)模的幾何意義導(dǎo)數(shù)模的幾何意義 0 0 0 0 ( )( ) ( ) zz | f zf z | | f z | lim | z z | ? ? ? ? 的極限 | | )()(| 0 0 zz zfzf ? ? 知| f ?(z0)|是比值 在映射w=f(z)下 與過z0的曲線C、向量z-z 0的方向無關(guān)

10、 |f ?(z0)| 稱為在點(diǎn)z0的伸縮率。 ?| 0 zz ),0(| )( | 00 ?zfww y x 0 z平面 v u0 w平面 w=f(z) C z0 w0 w=w 0+ ? w z=z 0+ ? z 0 ( )| f z |? 返回上頁下頁 試求變換w=f(z)=z 2+2z在點(diǎn)z=-1+2i處的旋轉(zhuǎn)角及伸縮率,并 說明它將z平面的那一部分放大？那一部分縮小。 解解 w=f ?(z)=2z+2 f?(-1+2i)=4i0 故在-1+2i處 旋轉(zhuǎn)角為arg f?(-1+2i)= /2 伸縮率為|f?(-1+2i)|=4 因?yàn)閨f?(z)|=2|z+1| 故|f?(z)|1 因此w=

11、f(z)將以-1為心，1/2為半徑的圓周 外部放大， 內(nèi)部縮小。 例(P280例7.1) ? |z-(-1)|1/2 返回上頁下頁 保角變換 兩曲線的夾角: 設(shè)f?(z0)0,過z0有兩條簡單光滑曲線:C1：z=z1(t)、 C2：z=z2(t) w=f(z)把它們映射成簡單光滑曲線:1:w=f(z1(t)、2:w=f(z2(t) C1、C2在z=z0的切線與實(shí)軸的夾角分別是argz1 ?(t 0)、argz2 ? (t 0) 1、2在w=w 0 =f(z0)的切線與實(shí)軸的夾角分別是 arg f?(z0)+argz1 ?(t 0)、arg f?(z0)+argz2 ?(t 0) 所以，在w0處

12、1到2的夾角恰好等于在z0處C1到C2的夾角： arg f?(z0)+argz2 ?(t 0)- arg f?(z0)+argz1 ?(t 0)= argz2 ?(t 0)-argz1 ?(t 0) y x 0 z平面 v u0 w平面 w=f(z) C1 C2 z0 1 2 w 0 因此,用導(dǎo)數(shù)非0的解析函數(shù)作映射時(shí),曲線間夾角的大小及方向 保持不變保角性. 2 1 1 2 2 - 1 1-2 返回上頁下頁 定義定義7.1 設(shè)w=f(z)在z=z0的鄰域內(nèi)有定義，且具有 伸縮率不變性； 過z=z0的任意曲線保持其夾角的大小與方向， 則稱w=f(z)在z=z0是保角的,或稱w=f(z)在z=z

13、0是處的保角變換； 若w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)處處保角， 則稱w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)是保角的,或w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)是保角變換. 說明：說明： 保角變換為相似變換，邊成比例，角相等； 保角變換是對區(qū)域內(nèi)部的，邊界的保角需要另外討論； 保角是以同一點(diǎn)為前提； f?(z)0處保角， f?(z)=0處的保角需要另外討論。 總結(jié)前面結(jié)論有： 返回上頁下頁 定理7.4(解析函數(shù)的保角性) 若w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析, 則它在導(dǎo)數(shù)不為零的點(diǎn)處是保角的。 從而在這些點(diǎn)各自的充分小鄰域內(nèi)也保角。 結(jié)合定理6.11得： 推論7.5 若w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)單葉解析，則它在D內(nèi)保角。 例(P282例7.2) 證

14、明w=eiz將相互正交的直線族Re z=C1與Im z=C2 依次變?yōu)橄嗷フ坏闹本€族v=utan C 1與圓周族u2+v 2=e-2C 2 證 直線族Re z=C1與Im z=C2是相互正交的 在變換w=eiz下，像為： u+iv u= e-C2cosC1、v= e-C2sinC1 而在z平面上w?=ie iz 0 所以v=utan C 1與u2+v 2=e-2C 2也相互正交 =eiz=e i(C1+iC2) = e-C2eiC1= e-C2 (cosC1+isinC 1) 即：v=utan C 1、 u2+v 2=e-2C 2 即變換w=eiz在z平面上保角， 返回上頁下頁 單葉解析變換

15、的共形性單葉解析變換的共形性 定義 定義7.2 若w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)是單葉且保角的， 則稱w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)是共形的， 或稱w=f(z)是區(qū)域D內(nèi)的共形映射。 例(P282例7.2) 討論解析函數(shù)w=zn(n:自然數(shù))的保角性和共形性。 解 n=1時(shí), n1時(shí), 又w=zn的單葉性區(qū)域?yàn)? 在這樣的區(qū)域內(nèi)是共形, 但其中各點(diǎn)鄰域共形。 注： 與區(qū)域有關(guān) w?=10, 且w=z單葉,在z平面上處處保角和共形。 w?=nzn-1,若z0, 則w?0, 在z平面上除z=0外處處保角, 頂點(diǎn)在原點(diǎn),張度不超過2/n的角形區(qū)域, 張度超過2/n的角形區(qū)域不共形, 若函數(shù)w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析

16、, 由連續(xù)函數(shù)的“保序性”, 另有z0的鄰域構(gòu)成單葉性區(qū)域, 在區(qū)域D內(nèi)共形(整體),必在D內(nèi)處處共形(局部). 若函數(shù)w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)單葉且解析， 則它在D內(nèi)是保角的. 則它在導(dǎo)數(shù)非零點(diǎn)z0處保角. 在z0的鄰域?qū)?shù)非零, 保角. 所以w=f(z)在z0的鄰域共形(局部). 反之不成立 從而共形. 返回上頁下頁 單葉解析變換的共形性單葉解析變換的共形性 定理7.6 設(shè)w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)單葉解析，則： w=f(z)將D共形映射成區(qū)域G=f(D); 反函數(shù)z= f -1(w)在區(qū)域G內(nèi)單葉解析, 且f -1 ?(w)=1/ f ?(z) (z? D ,w=f(z)? G) 證推論7.2

17、、7.5即得。 由w=f(z)在D內(nèi)單葉, f ?(z) 0 (z? D), ? w 0 ? G 、w? G (ww0), z= f -1(w)z0= f -1(w0),作 設(shè)f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 由w=f(z)在D內(nèi)解析,故在D內(nèi)有CR條件ux=vy、uy=-vx 于是 得在w0的鄰域內(nèi)存在連續(xù)反函數(shù) 所以在 w0的鄰域內(nèi)有w? w0時(shí)z? z0故 11 0 0 ( )()fwfw w w ? ? ? 0 00 11 00 00 ( )() 1 wwzz fwfww w limlim zzw w ? ? ? ? ? ? ? 0 0 00 1( )( ) 1 ( ) zz f

18、 zf z lim zzf z ? ? ? ? ? ? 故w=f(z)為D到G的一一變換, 得z= f -1(w)在區(qū)域G內(nèi)單葉 由w=f(z)為D到G的一一變換,所以 0 0 zz ww ? ? ? 0 0 1 w w zz ? ? ? x=x(u,v)、y=y(u,v) 由分析中隱函數(shù)存在定理 即z= f -1(w) 返回上頁下頁 G 共形映射的幾何意義 設(shè)w=f(z)是區(qū)域D內(nèi)的共形映射，其像為G=f(D) 那么w=f(z)把D內(nèi)充分小曲邊三角形， 映射成G內(nèi)充分小曲邊三角形?。 由共形映射的保角性， 和?的對應(yīng)邊長近似成比例、對應(yīng)角相等 因此這兩個(gè)三角形是近似地相似形。 這就是共形映射

19、的意義保形 y x 0 z平面平面 v u0 w平面平面 w=f(z) D z=f -1(w) ? a b c a? ? b? ? c? ? 返回上頁下頁 單葉解析變換共形性的說明單葉解析變換共形性的說明 與分析中對應(yīng)結(jié)論類同，給出了求反函數(shù)導(dǎo)數(shù)的公式； 對于求反函數(shù)導(dǎo)數(shù)的公式， 由定理7.3，條件只要f ?(z) 0 ； 可用此結(jié)論將像與原像的圖形聯(lián)系起來， 逆也成立，即， 則w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)單葉解析 或： w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)單葉解析 ?w=f(z)將區(qū)域D共形映射成區(qū)域G=f(D) 如w=f(z)將區(qū)域D共形映射成區(qū)域G=f(D)， 則其反函數(shù)z= f -1(w)將區(qū)域G共形映射

20、成區(qū)域D 兩函數(shù)均為共形映射 共形映射復(fù)合仍為共形映射， 共形映射理論的基本任務(wù)為， 兩區(qū)域間的共形映射是否存在? 初等函數(shù)構(gòu)成的映射特別是分式線性變換是最基本的. 保域、保角； 如w=f(z)將區(qū)域D共形映射成區(qū)域G=f(D)， 此可解決復(fù)雜的共形映射問題. 如存在,共形映射是否惟一? 返回上頁下頁 第二節(jié) 分式線性變換 ? 1 分式線性變換及其分解 ? 2 分式線性變換的共形性 ? 3 分式線性變換的保交比性 ? 4 分式線性變換的保圓周性 ? 5 分式線性變換的保對稱點(diǎn)性 ? 6 分式線性變換的應(yīng)用 返回上頁下頁 分式線性變換及其分解分式線性變換及其分解 分式線性變換的概念 分式線性變換

21、(函數(shù))是指下列形狀的函數(shù)： 其中 a,b,c,d是復(fù)常數(shù)，而且 ad-bc 0。記為w=L(z) 注解： 條件 ad-bc0不可少，否則w=L(z) 為常數(shù)； 在c=0時(shí)，也稱它為整線性變換(函數(shù))； 在擴(kuò)充復(fù)平面，補(bǔ)充定義： c0時(shí)， L(-d/c)=、 L()= a/c 逆變換(反函數(shù))也是分式線性變換,為: 滿足:(-a) :(-d)?(-a)-bc= ad-bc0 分式線性變換將擴(kuò)充復(fù)平面單葉地變成擴(kuò)充平面； 分式線性變換在擴(kuò)充復(fù)平面上除可去奇點(diǎn)和一階極點(diǎn)外解析, 由保域定理的注解得分式線性變換在擴(kuò)充復(fù)平面上是保域的； 分式線性變換由德國數(shù)學(xué)家莫比烏斯 (M?bius)提出,所以也稱

22、 為莫比烏斯變換； 分式線性變換的復(fù)合仍是分式線性變換 . azb w, czd ? ? ? ? ? 1 dw b z L w, cw a ? ? ? ? c=0時(shí)， L()= 返回上頁下頁 分式線性變換的分解分式線性變換的分解 分解 c=0時(shí) c0時(shí) azb w d ? ? azb w czd ? ? ? 1 czd? ? ?令 ab z dd ? a zb? 1bcada cczdc ? ? ? 1 cd czd ? ? wcd?則 分式線性變換w=L(z)可分解為以下二種類型變換的復(fù)合： 整線性變換：w=kz+h(k0) 反演變換： 1 w z ? 返回上頁下頁 整線性變換 對整線性變換

23、：w=kz+h (k0) 令k=ei(0) 則w= eiz+h 整線性變換可分解為以下三種類型變換的復(fù)合： 旋轉(zhuǎn)：= e i z 伸縮 ： = 平移：平移：w= +h 整線性變換使像與原像相似 且像與原像的方向相同 y x 0 z平面平面 A C B A 1 C1 B1 A1 C1 B1 A1 C1 B1 返回上頁下頁 反演變換 對反演變換可分解為以下兩種類型變換的復(fù)合： 關(guān)于圓周的對稱映射： 圓心與無窮遠(yuǎn)點(diǎn)對稱 關(guān)于實(shí)軸的對稱映射 ： 作圖： 0|z|1時(shí) 1|z|AC 方程兩邊同除 如果A=0， 方程表示的曲線經(jīng)過， 規(guī)定:在擴(kuò)充復(fù)平面,直線為半徑是+,圓心在的圓,兩端點(diǎn)在相交. 反演變換

24、w=1/ z 即w平面的圓，或直線（如果C=0）。 定理7.10分式線性變換將平面上的圓周(直線)變?yōu)?作用：可用分式線性變換,實(shí)現(xiàn)任何圓周、直線之間的變換！ 將圓周與直線互相變換，只需要將圓周上1點(diǎn)與對應(yīng)即可。 且在一定條件下，惟一！ 0Azzzz C? zz 所以整線性變換具有的保圓(周)性 0Cwwww A? 0 C A zzzz ? ? 得 令z ?得0=0 或方程表示的曲線為一條直線 把上圓或直線映射成為 綜上所述，即得： 圓周或直線. 如3點(diǎn)對應(yīng)等！ 返回上頁下頁 D? 1 D? 2 D2 D2 D1 y x 0 z平面 確定像區(qū)域和原像區(qū)域?qū)?yīng)關(guān)系確定像區(qū)域和原像區(qū)域?qū)?yīng)關(guān)系 設(shè)

25、分式線性變換w=L(z)把擴(kuò)充z平面上的圓或直線(也可為 周線)C映射成擴(kuò)充w平面上的圓或直線(也可為周線)C?。 C及C?把擴(kuò)充復(fù)平面分別分成兩個(gè)沒有公共點(diǎn)的區(qū)域: D1,D2及D? 1 ,D? 2,其邊界分別是C及C?。 此分式線性變換把D1映射成D? 1 ,D? 2中的一個(gè), 把D2映射成D? 1 ,D? 2中的另個(gè)； 映射后的區(qū)域的象究竟是 D? 1還是 D?2,可按下方法確定。 方法一方法一由區(qū)域的內(nèi)點(diǎn)的像定區(qū)域的像由區(qū)域的內(nèi)點(diǎn)的像定區(qū)域的像 如w0? D? 1, 如w0? D? 2, v u0 w平面平面 w=f(z) w0 z0 C C C? C? D1 D? 1 設(shè)z0? D1

26、 , w0=L(z0) 則D? 1=L(D1)、 則D? 1=L(D2)、 D? 2=L(D2) D? 2=L(D1) w0 返回上頁下頁 D? 1 D? 2 D2 D2 D1 y x 0 z平面 方法二由區(qū)域邊界的像定區(qū)域的像 在C上依次取z1,z2 ,z3三點(diǎn), 像為C?上w1=L(z1) ,w2 =L(z2) , w3=L(z3)三點(diǎn) 在z平面上，觀察者繞C依z1 ? z 2 ? z 3方向前進(jìn)， 在w平面上，觀察者繞C?依w1? w2? w3方向前進(jìn)， C左側(cè)區(qū)域的像為C?左側(cè)的區(qū)域 C右側(cè)區(qū)域的像為C?右側(cè)的區(qū)域 如, 如, v u0 w平面 w=f(z) C C C? C? D1

27、D? 1 則D? 1=L(D1)、 則D? 1=L(D2)、 D? 2=L(D2) D? 2=L(D1) z2 z3 z1 w2 w3 1 1 w2 當(dāng)為直線時(shí),兩端點(diǎn)中一個(gè)可為 ; 3點(diǎn)的取法和編號可任意, 但要保持像和原像點(diǎn)的對應(yīng)關(guān) 系、編號和前進(jìn)次序的一致性. 返回上頁下頁 分式線性變換保對稱點(diǎn)性分式線性變換保對稱點(diǎn)性 關(guān)于圓周的對稱點(diǎn) 定義7.5 設(shè)已給圓周 如果兩個(gè)有限點(diǎn)z1， z2在過 a的同一射線上， 并且 則稱：z1，z2是關(guān)于圓周C對稱的(點(diǎn))。 注解： 規(guī)定圓心a與是關(guān)于圓周C對稱的； 圓周上的點(diǎn)的對稱點(diǎn)是它本身； 對給定點(diǎn),其對稱點(diǎn)惟一； 幾何意義和作對稱點(diǎn)； 關(guān)于直線的

28、對稱點(diǎn)為原有的定義； 對稱點(diǎn)的求法: z1, z2關(guān)于圓周 對稱,即z1, z2滿足: (0)C :| za |RR? ? 2 12 | za| | za|R? R z1 2 z1 2 z2 z1 a (0)C :| za |RR? ? 2 1 R za za ? ? 關(guān)于圓心在原點(diǎn)半徑為1的 圓周對稱: 為前面介紹的 21 1z/ z? 返回上頁下頁 分式線性變換保對稱點(diǎn)性分式線性變換保對稱點(diǎn)性 定理7.11 在擴(kuò)充的z平面上, 不同兩點(diǎn)z1，z2關(guān)于圓周C對稱點(diǎn)的充要條件是： 通過z1，z2的任意圓周都與圓C周直交。 為一平面幾何結(jié)論. 定理7.12 在擴(kuò)充的z平面上, z1、z2關(guān)于z平

29、面上圓周C對稱, 分式線性變換:w=L(z)把z平面上C映射成w平面上的圓周C?， 則：像w1=L(z1)、w2=L(z2)關(guān)于圓周C?對稱點(diǎn)。 證 過w1、w2的任何圓周?是由過 z1、z2的圓周映射得來的。 由定理7.11，過z1、z2的任何圓周與圓周C直交， 由分式線性變換的共形性, 再由定理7.11, 作用 作圓間變換的重要依據(jù)； 增加像與原像的關(guān)系。如已知一點(diǎn)及其像, 則它們的對稱點(diǎn)也構(gòu)成原像與像的關(guān)系。 即與C直交 過w1、w2的任何圓周?與圓周C?直交. w1、w2關(guān)于圓周C對稱。 返回上頁下頁 分式線性變換的應(yīng)用分式線性變換的應(yīng)用 應(yīng)用說明 由于分式線性變換具有保圓性，在處理邊

30、界為直線 (段)、圓(弧)的區(qū)域間變換時(shí)，分式線性變換是很有 用的。 應(yīng)用時(shí)應(yīng)注意： 五保保域、保形、保圓、保交比、保對稱； 在用分式線性變換處理圓 (直線)間的變換時(shí)，經(jīng)過 ( 有) 的像或原像為直線，否則為圓； 實(shí)際參數(shù)只有三個(gè)； 可先定邊界的對應(yīng)變換 ,再定區(qū)域的對應(yīng)變換； 確定易定像和原像的對應(yīng)關(guān)系； 特別注意圓心和的應(yīng)用。 返回上頁下頁 重要分式線性變換重要分式線性變換 半平面? ? 半平面 邊界都是直線. 例(P296例7.6) 求上半z平面到上半w平面的分式線性變換 由于此變換將實(shí)軸變換為實(shí)軸， 故a、b、c、d都是實(shí)數(shù)， 否則，變換將會(huì)把實(shí)數(shù)變換為虛數(shù) 由于此變換將上半z平面變

31、換為上半w平面， 此變換將實(shí)軸變換為實(shí)軸時(shí)，兩實(shí)軸同向， L(z)應(yīng)隨z的增加而增加，即 也可從導(dǎo)數(shù)的幾何意義上理解， 兩實(shí)軸同向， 實(shí)軸的像未旋轉(zhuǎn)， ? ? azb wL z czd ? ? ? ad-bc0， a、b、c、d至少一個(gè)非0， ? 2 0 dwadbc dz czd ? ? ? 得：ad-bc 0 即：ad-bc 0所以：argw?=0 這里也介紹了定 區(qū)域?qū)?yīng)的兩種 方法 返回上頁下頁 上(下)半平面? ? 下(上)半平面的分式線性變換 參數(shù)：a、b、c、d都是實(shí)數(shù), 原像和像的對應(yīng)關(guān)系 實(shí)軸? 實(shí)軸 A. ad-bc 0 B. ad-bc 0共形映射成單位圓|w|0)變換為

32、圓心w=0 此變換將實(shí)軸Imz=0變換為圓周|w|=1 根據(jù)分式線性變換保對稱性,增加像與原像的對應(yīng)關(guān)系 原像像 a ?0 對稱點(diǎn) 于是可設(shè)分式線性變換為: 由實(shí)軸Imz=0變換為圓周|w|=1, 為單位圓周|w|=1上的點(diǎn),即 所以,|k|=1, 半平面? ? 圓 ? ? azb wL z czd ? ? ? ad-bc0， a、b、c、d至少一個(gè)非0, a 關(guān)于圓周對稱 ? ? 關(guān)于實(shí)軸對稱 ? za wk za ? ? ? ? ? 0wLka / a? 1ka / a ? 其中k是一個(gè)待定復(fù)參數(shù). 取實(shí)軸上一點(diǎn),如z=0,則其像 可設(shè)k=ei其中是一個(gè)待定的實(shí)參數(shù) 返回上頁下頁 上(下)

33、半平面? ? 單位圓|w|=1內(nèi)(外)的分式線性變換 參數(shù):a ? ?原點(diǎn), 是實(shí)數(shù), 原像和像的對應(yīng)關(guān)系 實(shí)軸? 圓周|w|= 1 A. Ima0 B. Ima0 當(dāng)為圓周|w-b|=R, 由其它條件定參數(shù). 反函數(shù)z=L-1(w)實(shí)現(xiàn)單位圓|w|=1內(nèi)(外)到上(下)半平面的變換. ? ? i za wL ze za ? ? ? ? 只三個(gè)實(shí)數(shù)參數(shù)a的2個(gè),的1個(gè); 上半平面? |w|1 (圓外) 下半平面? |w|1 (圓外) 下半平面? |w|1 |w|=1 |w|()0 返回上頁下頁 邊界為圓周和圓周. 例(P298例7.8) 求把單位圓|z|1共形映射成單位圓|w|1的分式線 性變

34、換L(z),并使圓內(nèi)一點(diǎn)z=a(|a|1 y x0 z平面 單位圓|w|=1內(nèi)(外) ? ? 單位圓|w|=1內(nèi)(外)的分式線性變換 參數(shù):a ?原點(diǎn), 是實(shí)數(shù), 原像和像的對應(yīng)關(guān)系 圓周|z|= 1 ? 圓周|w|= 1 A. |a|1 當(dāng)圓周|w-b?|=R?|w-b|=R 由其它條件定參數(shù). 反函數(shù)z=L-1(w)也實(shí)現(xiàn)|w|=1內(nèi)(外)到|w|=1內(nèi)(外)的變換. ? ? 1 i za wL ze az ? ? ? ? 只三個(gè)實(shí)數(shù)參數(shù)a的2個(gè),的1個(gè); |z|1 (圓內(nèi)) ? |w|1 (圓內(nèi)) |z|1 (圓外) |z|1 (圓外) ? |w|1 (圓外) |z|1 (圓外)? |w

35、|1 |w|=1 |w|1 a a 縮放為圓周|z|=1?|w|=1, |w-b|=R |w|=R 如為|w|=R,則 只要將ei改為R ei z=L-1(w) 或內(nèi)點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)角,如arg w?(a)=+(-) 變換惟一 |z|=1 |z|1 |z-b?|=R? |z|=R? 邊界上1對點(diǎn)對應(yīng),如1對內(nèi)點(diǎn)對應(yīng),加 |a|)1 返回上頁下頁 分式線性變換的其它應(yīng)用分式線性變換的其它應(yīng)用 例(P299例7.9) 求上半z平面到上半w平面的分式線性變換L(z), 并滿足L(i)=1+i, L(0)=0 解 解法一直接應(yīng)用重要的分式線性變換 設(shè)分式線性變換為: 由L(0)=0得: 用a除L(z)的分子、

36、分母,可記 e、f 都是實(shí)數(shù) 由L(i)=1+i得: f e=0、f+e=1 得所求分式線性變換為: ? ? azb wL z czd ? ? ? ad-bc0 a、b、c、d都是實(shí)數(shù), ? ? fez z zLw ? ? fei i i ? ?1 即: f e+i(f+e)=i 比較實(shí)虛部得： 解得: f =1/2、e=1/2 ? ? 2 1/ 21/ 21 zz wL z zz ? ? b/d=0, 即b=0, 且a、d0, 返回上頁下頁 解法二應(yīng)用分式線性變換的保對稱和保交比性 根據(jù)分式線性變換保對稱性,增加像與原像的對應(yīng)關(guān)系 原像像 i ?1+ i 對稱點(diǎn) 1 - i 0?0 根據(jù)分式

37、線性變換保交比性得: (0,i,-i,z)= (0,1+i,1-i,w) 即： 解得： 關(guān)于實(shí)軸對稱 ? ? 關(guān)于實(shí)軸對稱 ? - i 對稱點(diǎn)為自己 ? 01000 : 111 wizi wiiiziii ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 1 z wL z z ? ? 返回上頁下頁 求上半z平面變?yōu)閳A:|w-w 0|0 解解 解法一解法一通過平移縮放后應(yīng)用重要的分式線性變換通過平移縮放后應(yīng)用重要的分式線性變換 作平移縮放變換： z平面? w平面? w1平面 i?w0 z平面中上半平面到w1平面中圓|w1|1的變換為: 復(fù)合 由 所求變換為: 例(P300例7.10) 0 1 ww w R

38、 ? ? 1 i z i w e z i ? ? ? ? i z i e z i ? ? ? ? 0 i w wz i e Rz i ? ? ? ? 0 i z i w Rew z i ? ? ? ? ? ? ? ? 22 2 20 2 iii z i z iz ii w iReReRe / i z ii ? ? ? ? ? ? 將w平面中圓|w-w 0|R變換為 w1平面中圓|w1|1 ?0 z平面z= i變換為 w1平面中圓|w1|1的圓心w1=0 得 得ei=i, 即=/2 0 z i w Riw z i ? ? ? y x0 z平面 i w=L(z) v u0 w平面 |w-w 0|=

39、Rw0 v1 u1 w1平面 |w1|=1 0 w1=w1(w) 返回上頁下頁 解法二應(yīng)用分式線性變換的保對稱性 根據(jù)分式線性變換保對稱性,增加像與原像的對應(yīng)關(guān)系 原像像 i ?w0 對稱點(diǎn) 可設(shè)所求分式線性變換為： 由|w-w 0|R可設(shè)： 于是可設(shè)所求分式線性變換為： 后面同解法一相同 所求分式線性變換為： 關(guān)于圓周對稱 ? ? 關(guān)于實(shí)軸對稱 ? - i 0 z i w aw z i ? ? ? a=Rei 0 i z i w Rew z i ? ? ? ? 0 z i w Riw z i ? ? ? 注意由特殊點(diǎn) 的對應(yīng)關(guān)系設(shè) 變換！ 返回上頁下頁 第四節(jié)關(guān)于共形變換的黎曼存在定理 和邊

40、界對應(yīng)定理 ? 1 黎曼存在定理 ? 2 邊界對應(yīng)定理 返回上頁下頁 黎曼(Riemann) 存在定理 問題 在解決某些實(shí)際問題以及數(shù)學(xué)理論問題時(shí), 往往要把有關(guān)解析函數(shù)的定義域共形映射成較簡單的區(qū)域, 以便進(jìn)行研究及計(jì)算. 共形映射的基本問題： 對于給定的區(qū)域D和定義在D上的解析函數(shù) w=f(z), 求象集G=f(D),并討論f(z)是否將D共形地映射為G； 前面已解決！ 定理7.6的結(jié)論：單葉解析函數(shù)共形 任給兩個(gè)區(qū)域D和G, 是否存在解析函數(shù)w=f(z), 使得f(z)將D共形地映射為G。 存在的條件是什么？ 惟一的條件是什么？ 這是定理7.6的逆問題， 一般稱為基本問題。 返回上頁下頁

41、 D G 關(guān)于基本問題關(guān)于基本問題 一般用單位圓作為一個(gè)中間區(qū)域 由：區(qū)域D ? 單位圓? 區(qū)域G 則基本問題可為： 這種解析函數(shù)存在的條件是什么？ 答案是否定的.如在擴(kuò)充的z平面,D的邊界只有一點(diǎn)(,如非, 可用變換1/(z-a)換為), 否則, f(z)為整函數(shù),而其值都在單位圓內(nèi), 則由f(z)有界和劉維爾定理得f(z)為常數(shù)， 所以f(z)不可能單葉， ( )h z? )(wg? 1 ( )wg? ? ? 1 ( ( )wgh z ? ? y x 0 z平面v u0 w平面 1|? 平面 可實(shí)現(xiàn)：區(qū)域D? 區(qū)域G 對任一區(qū)域D,是否存在解析函數(shù)w=f(z), 使得f(z)將D共形地映射

42、單位圓內(nèi)部。 惟一的條件是什么？ 則無共形映射w=f(z)將D映射單位圓. 更不能共形。 返回上頁下頁 共形映射的存在與惟一性共形映射的存在與惟一性 定理7.13(黎曼存在與惟一性定理) 若擴(kuò)充z平面上的區(qū)域D滿 足： 則 必存在D內(nèi)的單葉、解析函數(shù)w=f(z)， 它將D共形映射為單位圓|w|1 且當(dāng)a? D ， w=f(z)滿足： f(a)=0 ； argf ?(a)= ( ：實(shí)數(shù)) 。 則 函數(shù)w=f(z)是惟一的。 說明： 證明超出了大綱，也比較復(fù)雜，可參考教材的注釋(P313-314); 擴(kuò)充z平面上的單連通區(qū)域?yàn)橐恢芫€的內(nèi)部，或外部； 定理前部為存在性，后部為惟一性； 當(dāng)無惟一性條件時(shí)，共形映射存在但不惟一； 惟一性條件的幾何意義，共形映射將D內(nèi)一點(diǎn)a映射為單位 圓的圓心，并且a點(diǎn)像的旋轉(zhuǎn)為 ； 即共形映射的惟一性僅依賴于3個(gè)實(shí)數(shù)參數(shù)， 這與前面介紹的重要分式線性變換相同； 單連通；邊界點(diǎn)不止一點(diǎn)。 返回上頁下頁 惟一性條件的其它形式3個(gè)實(shí)數(shù)參數(shù) 單連通區(qū)域D到單連通區(qū)域G的共形映射惟一性條件可為下面 之一： f(a)=b 、 argf ?(a)= ( ：實(shí)數(shù)) 。 其中：a? D ， b? G 給定一內(nèi)點(diǎn)的像和旋轉(zhuǎn)角； f(