高中數(shù)學一輪復習微專題第⑥季三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)：第7節(jié)三角函數(shù)的對稱性奇偶性與周期性

1、第7節(jié)三角函數(shù)的對稱性與周期性【基礎(chǔ)知識】對稱性：1.對稱軸與對稱中心：y=sinx的對稱軸為x=kp+p，對稱中心為(kp,0)2kz；y=tanx對稱中心為,0kz.x=kp-j(kz)，即其對稱中心為,0(kz)y=cosx的對稱軸為x=kp，對稱中心為(kp+p,0)kz；2kp22.對于y=asin(wx+f)和y=acos(wx+f)來說，對稱中心與零點相聯(lián)系，對稱軸與最值點聯(lián)系.y=asin（wx+j)的圖象有無窮多條對稱軸，可由方程wx+j=kp+p(kz)解出；它2還有無窮多個對稱中心，它們是圖象與x軸的交點，可由wx+j=kp(kz)，解得kp-jwwtt3.相鄰兩對稱軸間

2、的距離為，相鄰兩對稱中心間的距離也為,函數(shù)的對稱軸一定經(jīng)過圖象22的最高點或最低點奇偶性：1函數(shù)的奇偶性的定義；對定義域內(nèi)任意x，如果有f(-x)=f(x)，則函數(shù)是偶函數(shù)，如果有f(-x)=-f(x)，則函數(shù)是奇函數(shù)，否則是非奇非偶函數(shù)2奇偶函數(shù)的性質(zhì)：（1）定義域關(guān)于原點對稱；2）偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱；3f(x)為偶函數(shù)f(x)=f(|x|)4若奇函數(shù)f(x)的定義域包含0，則f(0)=05.y=sinx為奇函數(shù)，y=cosx為偶函數(shù)，y=tanx為奇函數(shù).周期性：1.周期函數(shù)的定義一般地，對于函數(shù)f(x)，如果存在一個非零常數(shù)t，使得定義域內(nèi)的每一個x值，都

3、有f(x+t)=f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)t叫做這個函數(shù)的周期2.最小正周期對于一個周期函數(shù)f(x)，如果它所有的周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小的正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期2.y=sinx,y=cosx周期為2p,y=tanx周期為p.2(kz)，凡是該圖象與直線y=b的交點都是該圖象的對稱中心,關(guān)鍵【規(guī)律技巧】三角函數(shù)對稱性先化成y=asin（wx+j)+b的形式再求解其圖象的對稱軸是直線wx+j=kp+p是記住三角函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象并結(jié)合整體代入的基本思想即可求三角函數(shù)的對稱軸與對稱中心三角函數(shù)周期性1.一般根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義解答，首先必須考慮函數(shù)

4、的定義域，如果函數(shù)的定義域不關(guān)于原點對稱，則函數(shù)一定是非奇非偶函數(shù)；如果函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，則繼續(xù)求f(-x)；最后比較f(-x)和f(x)的關(guān)系，如果有f(-x)=f(x)，則函數(shù)是偶函數(shù)，如果有f(-x)=-f(x)，則函數(shù)是奇函數(shù)，否則是非奇非偶函數(shù)。2.如何判斷函數(shù)f(wx+j)的奇偶性:根據(jù)三角函數(shù)的奇偶性，利用誘導公式可推得函數(shù)2(kz)；f(wx+j)的奇偶性，常見的結(jié)論如下：(1)若y=asin(wx+j)為偶函數(shù)，則有j=kp+p(kz);若為奇函數(shù)則有2j=kp(kz)；(2)若y=acos(wx+j)為偶函數(shù)，則有j=kp(kz);若為奇函數(shù)則有j=kp+p(3)若

5、y=atan(wx+j)為奇函數(shù)則有j=kp(kz).周期性：1.求三角函數(shù)的周期的方法（1）定義法：使得當x取定義域內(nèi)的每一個值時，都有f(x+t)=f(x).利用定義我們可采用取值進行驗證的思路，非常適合選擇題；（2）公式法：f(x)=asin(wx+j)和f(x)=acos(wx+j)的最小正周期都是t=2p|w|，f(x)=atan(wx+j)的周期為t=pw.要特別注意兩個公式不要弄混；(3)圖象法：可以畫出函數(shù)的圖象，利用圖象的重復的特征進行確定，一般適應(yīng)于不易直接判斷，但是能夠容易畫出函數(shù)草圖的函數(shù)；(4)絕對值或平方對三角函數(shù)周期性的影響：一般說來，某一周期函數(shù)解析式加絕對值或

6、平方，其周期性是：弦減半、切不變既為周期函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)自變量加絕對值，其周期性不變，其它不定.如y=sin2x,y=sinx的周期都是p,但y=sinx+cosx的周期為2，而y=|2sin(3x-pp6)+1p|,y=|2sin(3x-)+2|，y=|tanx|的周期不變.262.使用周期公式，必須先將解析式化為y=asin(wx+j)+h或y=acos(wx+j)+h的形v，正切函數(shù)的最小正周期公式是t=式；正弦余弦函數(shù)的最小正周期是t=2p一定要注意加絕對值。pv；注意om【典例講解】5【例1】(1)已知0，0，直線x和x是函數(shù)f(x)sin(x)的圖44象的兩條相鄰的對稱軸，則(

7、)a.b.433c.d.24(2)函數(shù)y2cos2x1是()4a最小正周期為的奇函數(shù)b最小正周期為的偶函數(shù)c最小正周期為的奇函數(shù)2d最小正周期為的偶函數(shù)2【答案】(1)a(2)a【規(guī)律方法】只(1)求f(x)asin(x)(0)的對稱軸，需令xk(kz)，求x；求f(x)2的對稱中心的橫坐標，只需令xk(kz)即可(2)求最小正周期時可先把所給三角函數(shù)式化為yasin(x)或yacos(x)2的形式，則最小正周期為t；奇偶性的判斷關(guān)鍵是解析式是否為yasinx或yacos|xb的形式4【變式探究】(1)如果函數(shù)y3cos(2x)的圖象關(guān)于點，0中心對稱，那么|3的最小值為()a.b.c.d.6

8、432(2)若函數(shù)f(x)sinx3(0，2)是偶函數(shù)，則()(a)y=cos(2x+)(b)y=sin(2x+)(c)y=sin2x+cos2x235a.b.c.d.2323【答案】(1)a(2)c【針對訓練】1、下列函數(shù)中，最小正周期為且圖象關(guān)于原點對稱的函數(shù)是（）pp22(d)y=sinx+cosx【答案】a【解析】對于選項a，因為y=-sin2x,t=2p2=p，且圖象關(guān)于原點對稱，故選a.2、已知函數(shù)f(x)=a-x2,(xe，e為自然對數(shù)的底數(shù))與g(x)=2lnx的圖象上存在1e關(guān)于x軸對稱的點，則實數(shù)a的取值范圍是（）a1,11+2b+2,e2-2c1,e2-2de2-2,+)

9、e2e2f(x)=2lnx-x2，求導得f(x)=2【答案】c【解析】由已知，得到方程a-x2=-2lnx，等價于-a=2lnx-x2在1,e上有解，設(shè)e2(1-x)(1+x)1-2x=，因為xe，所以f(x)在xxex=1有唯一的極值點，因為f()=-2-11ee2，f(e)=2-e2，f(x)的極大值為f(1)=-1，aw=2,q=pcw=111且知f(e)0)為偶函數(shù)，0q0)個單位長度后，所得到的圖象關(guān)于y軸對稱，則m的最小值是12bapp6cp3d5p6【答案】b4、下列四個函數(shù)中，以p為最小正周期，且在區(qū)間(p,p)上單調(diào)遞減函數(shù)的是（2ay=sin2xby=2cosx）cy=co

10、s【答案】dx2dy=tan(-x)6、在函數(shù)y=sinx、y=sin(x+2p2pxx)、y=cos(2x+)、y=sin2-cos2中，最3322小正周期為p的函數(shù)的個數(shù)為（）a1b2c3d4【答案】b)的周期為2p，y=cos(2x+)的周【解析】y=sinx不是周期函數(shù)，y=sin(x+2p2p33-cos2=cosx周期為p期為p，y=sin2xx221、已知函數(shù)fx=sin2x+j,其中j為實數(shù),若f(x)f()對xr恒成立,且=-1a.f12b.ff【練習鞏固】()()p6pf()0,w0）.若f(x)在區(qū)間p,p62p上具有單調(diào)性，且f()=f(2【答案】p2pp)=-f()，則f(x)的最小正周期為.364、下列坐標所表示的點不是函數(shù)y=tan(-xp)26的圖象的對稱中心的是（）p05p2p4pa，b-，c，d，0003333【答案】c5、下列對于函數(shù)f(x)=3+cos2x,x(0,3p)的判斷正確的是（）a函數(shù)f(x)的周期為pb對于ar,函數(shù)f(x+a)都不可能為偶函數(shù)c$x(0,3p),使f(x)=400p5pd函數(shù)f(x)在區(qū)間2,4內(nèi)單調(diào)遞增【答案】c【解析】因為f(x)=3+cos2x在r上的周期為p，但在(0,3p)上無周期；當a=3p2時，,)為偶函數(shù)；當x=p,2p時，f(x)=4；22函數(shù)y=f(x+a)=3-cos