2020年高考理科數(shù)學(xué)試卷(全國1卷)(附詳細(xì)答案)10頁

1、絕密啟用前2020 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)本試卷共 5 頁，23 題（含選考題）。全卷滿分 150 分。考試用時(shí) 120 分鐘。?？荚図樌?注意事項(xiàng)：1. 答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2. 選擇題的作答：每小題選出答案后，用 2B 鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。3. 非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。4. 選考題的作答：先把所選題目的題號(hào)在答題卡上指定的位置用 2B 鉛筆涂黑。答案寫

2、在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。5. 考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并上交。一、選擇題：本題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1若 z = 1+ i ,則( )2A0B1CD2解： z = 1+ i z2 - 2z=z( z - 2)= (1+ i )( i-1)=i2-12= - 2| z2 - 2z|=2. 選D2設(shè)集合 A=x|x2 - 4 0，B=x|2x+a 0, 且AB= x | -2 x 1, 則a =（ ）A -4B-2C2D4解：A=-2,2, B=(-, AB=-2,

3、1=1a=- 2. 選B3.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個(gè)正四棱錐，以該四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個(gè)側(cè)面三角形的面積，則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值為（ ）A. B. C. D.解：設(shè)正四棱錐的底面邊長為a,高為h，斜高為b,則（ 舍負(fù)）. 選 C.4.已知 A 為拋物線C : y2 = 2 px ( p 0) 上一點(diǎn)，點(diǎn) A 到C 的焦點(diǎn)的距離為 12，到 y 軸的距離為 9，則 p = （ ）A2B3C6D9解：. 選 C.5.某校一個(gè)課外學(xué)習(xí)小組為研究某作物種子的發(fā)芽率 y 和溫度 x（單位：）的關(guān)系，在20個(gè)不同的溫度條件下進(jìn)

4、行種子發(fā)芽實(shí)驗(yàn)，由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)( xi , yi )（ i = 1 ， 2 ， 20 ）得到下面的散點(diǎn)圖：由此散點(diǎn)圖，在10 至40 之間，下面四個(gè)回歸方程類型中最適宜作為發(fā)芽率 y 和溫度 x的回歸方程類型的是（ ）A. y = a + bx B. y = a + bx2 C. y = a + bex Dy = a + bln x解：選D6.函數(shù) f ( x) = x4 - 2x3 的圖像在點(diǎn)(1，f (1) 處的切線方程為（）A y = -2x -1 B y = -2x+1 C. y = 2x - 3 D y = 2x+1解： 切線方程為,即. 選B7.設(shè)函數(shù) f ( x) =在-, 的圖像大

5、致如下圖，則 f ( x) 的最小正周期為（ ）A. B. C. D.解：由圖可知 T-(-)2T,即又當(dāng)時(shí)，從而 ，選C8.的展開式中 x3 y3 的系數(shù)為（）A 5B10C15D 20解：的展開式中含 x3 y3 的項(xiàng)為的展開式中 x3 y3 的系數(shù)為, 選C9 已知a (0, ) ，且3cos2a -8cosa = 5 ，則sina = （）A. B. C. D.3cos2a -8cosa = 53（2cos2a -1）-8cosa -5=0（3cosa +2)(cosa -2)=0cosa =這里a (0, ) ，所以，選A.10.已知 A，B，C 為球 O 的球面上的三個(gè)點(diǎn)， O1

6、為ABC 的外接圓若 O1 的面積為4p ，AB=BC=AC= OO1 ，則球 O 的表面積為A 64B48C36D32解：設(shè)AB=BC=AC= OO1 = a，則O1A=又，從而 在RtO1OA中， 選A.11.已知: x2 + y2 - 2x - 2y - 2 = 0 ，直線 l： 2x + y + 2 = 0 ，P 為 l 上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P 作的切線 PA，PB，切點(diǎn)為 A，B，當(dāng) |PM | |AB| 最小時(shí)，直線 AB 的方程為（ ）A 2x - y -1 = 0 B 2x + y -1 = 0 C 2x - y +1 = 0 D 2x + y +1 = 0解：的圓心為M（1，1），

7、半徑為2PA，PB是M的切線，設(shè)PMAB=C，則PAAM，PMAB，即當(dāng) |PM| |AB | 最小時(shí)，PA 最小，此時(shí)，PMl，AB / l,由，即，得設(shè)AB:2x+y+c=0，則 AB:2x+y+1=0， 選 D12.若 ，則（ ）Aa2bBa2bCab2Dab2解：顯然是R+上的增函數(shù)若a 0, b 0) 的右焦點(diǎn)，A 為 C 的右頂點(diǎn)，B 為 C 上的點(diǎn)，且 BF 垂直于 x 軸若 AB 的斜率為 3，則 C 的離心率為 ，即 16.如圖，在三棱錐 P-ABC 的平面展開圖，AC =1，AB =AD = ，AB AC ，AB AD ，CAE = 30 ，則cosFCB = 解：在中，,

8、在等腰中，在中，三、解答題：共 70 分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第 1721 題為必考題， 每個(gè)試題考生都必須作答。第 22、23 題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共 60 分。17（12 分）設(shè)是公比不為 1 的等比數(shù)列， a1 為 a2 ， a3 的等差中項(xiàng)(1)求an 的公比；(2)若 ，求數(shù)列 的前 n 項(xiàng)和解：（1）在等比數(shù)列中，即(2) ，令 -得18(12 分)如圖，D 為圓錐的頂點(diǎn)，O 是圓錐底面的圓心，AE 為底面直徑， AE=AD ABC 是底面的內(nèi)接正三角形，P 為 DO 上一點(diǎn)，(1)證明：平面PBC(2)求二面角B-PC-E的余弦值.(1

9、)證明：不妨設(shè)底面圓的半徑為1，則正三角形ABC的邊長為，AD=2,所以，OD=,從而 OP=.在中， zxy（2）解：分別以所在直線為y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）. 則，E(0,1,0)，A(0,-1,0),由（1）知是平面PBC的法向量，設(shè)平面EPC的法向量是，則 令b=1，得，設(shè)，則二面角B-PC-E的余弦值為.19（12 分）甲、乙、丙三位同學(xué)進(jìn)行羽毛球比賽，約定賽制如下：累計(jì)負(fù)兩場者被淘汰；比賽前抽簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空；每場比賽的勝者與輪空者進(jìn)行下一場比賽，負(fù)者下一場輪空，直至有一人被淘汰；當(dāng)一人被淘汰后，剩余的兩人繼續(xù)比賽，直至其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，

10、比賽結(jié)束經(jīng)抽簽，甲、乙首先比賽，丙輪空設(shè)每場比賽雙方獲勝的概率都為.（1）求甲連勝四場的概率；（2）求需要進(jìn)行第五場比賽的概率；（3）求丙最終獲勝的概率解：（1）甲連勝四場的概率為（2）根據(jù)賽制，至少需要進(jìn)行4場比賽，至多需進(jìn)行5場比賽。甲連勝四場的概率為；乙連勝四場的概率為；丙上場后連勝三場的概率為；所以需要進(jìn)行第五場比賽的概率為1-=丙最終獲勝有兩種情況:比賽四場結(jié)束，且丙最終獲勝的概率為；比賽五場結(jié)束，且丙最終獲勝，則從第二場開始的四場比賽按照丙的勝、負(fù)、輪空的結(jié)果，有三種情況：()勝勝負(fù)勝；（)勝負(fù)空勝；()負(fù)空勝勝.其概率分別為，；共+=. 丙最終獲勝的概率為+=20（12 分）已知

11、 A，B 分別為橢圓 E：(a 1) 的左、右頂點(diǎn)，G 為 E 的上頂點(diǎn)，P為直線 x=6 上的動(dòng)點(diǎn)，PA 與 E 的另一交點(diǎn)為 C，PB 與 E 的另一交點(diǎn)為 D（1）求 E 的方程；（2）證明：直線 CD 過定點(diǎn)解：（1），即E 的方程為（2）設(shè)，則當(dāng)m = 0 時(shí)，直線CD為x軸，縱坐標(biāo)為0.（定點(diǎn)必在x軸上）當(dāng)時(shí)，解方程組得解方程組得當(dāng)時(shí)，軸，此時(shí)，所以，所求定點(diǎn)為.直線下面證明當(dāng)時(shí)，恒成立.顯然恒成立.所以，直線 CD 過定點(diǎn)21已知函數(shù) （1） 當(dāng) a=1 時(shí)，討論 f ( x) 的單調(diào)性；（2）當(dāng) x0 時(shí)， ，求解：（1）當(dāng)時(shí),，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，在（-，0）上單調(diào)遞減，在（0，+）

12、上單調(diào)遞增.（2）當(dāng) x0 時(shí)， ，即若，則，在0，+）上單調(diào)遞減，符合題意.若，則當(dāng)x0,2)時(shí)，單調(diào)遞增，不合題意.若x0（0,)(,2)2(2,+)-0+0-1遞減極小值遞增極大值遞減依題意若，則，由知，符合題意綜上所述： a 的取值范圍是（二）選考題：共 10 分。請考生在第 22、23 題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。22選修 4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程（10 分）在直角坐標(biāo)系 xOy 中，曲線 C1 的參數(shù)方程為 （t 為參數(shù)）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線 C2 的極坐標(biāo)方程為4r cosq -16r sinq + 3 = 0 （1）當(dāng) k=1 時(shí)，C1 是什么曲線？（2）當(dāng) k=4 時(shí)，求 C1 與 C2 的公共點(diǎn)的直角坐標(biāo)解：（1）當(dāng) k=1 時(shí)，表示圓心在原點(diǎn)，半徑為1的圓.（2）當(dāng) k=4 時(shí)，4r cosq -16r sinq + 3 = 0 由得， 代入得從而，故C1 與 C2 的公共點(diǎn)的直角坐標(biāo)為（2）當(dāng) k=4 時(shí)，把 代入 4x-16y+3=0 得 C1 與 C2 的公共點(diǎn)的直角坐標(biāo)為23選修 4-5：不等式選講（10 分） 已知函數(shù) f ( x) = |3x +1| - 2| x -1| y=f (x+1)（1）畫出 y = f (x) 的圖象；（2）