第三章地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

1、第三章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教學(xué)目的和要求：1.掌握地圖投影的基本概念及其分類，以及投影變形等基本知識(shí)。2.掌握一些常見地圖投影的構(gòu)成、變形分布規(guī)律及其應(yīng)用。3.了解地圖投影選擇和識(shí)別方法。本章重點(diǎn)：地圖投影的相關(guān)概念、地圖投影分類、常見投影的特點(diǎn)及分類。本章難點(diǎn)：地圖投影的概念、地圖投影的選擇。教學(xué)時(shí)數(shù)：13學(xué)時(shí)第一講 4學(xué)時(shí)第一節(jié) 地圖投影的概念地圖投影是地圖學(xué)重要組成部分之一，是構(gòu)成地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，在地圖學(xué)中的地位是相當(dāng)重要的。地圖投影研究的對(duì)象就是如何將地球體表面描寫到平面上，也就是研究建立地圖投影的理論和方法，地圖投影的產(chǎn)生、發(fā)展、直到現(xiàn)在，已有一千多年的歷史，研究的領(lǐng)域也相當(dāng)廣泛，實(shí)際上

2、它已經(jīng)形成了一門獨(dú)立的學(xué)科。我們作為師范院校的學(xué)生，是非投影專業(yè)的，學(xué)習(xí)投影的目的和要求與投影專業(yè)的學(xué)生有著很大區(qū)別，我們學(xué)習(xí)投影的目的主要是了解和掌握最常用的最基本投影的性質(zhì)和特點(diǎn)以及他們的變形分布規(guī)律，從而能夠正確的辨認(rèn)使用各種常用的投影。一、地球的形狀和大小地球作為地圖投影的投影對(duì)象，有其獨(dú)特的形狀和大小，我們?cè)诘厍蚋耪撜n里已經(jīng)講過(guò)，這里不再細(xì)述。地球的形狀是個(gè)球體，準(zhǔn)確地說(shuō)使地球替他是一個(gè)近似于旋轉(zhuǎn)的橢圓體，稱為地球橢球體，測(cè)繪工作中采用地球橢球體。地球橢球體的大小，由于推求所用資料、年代和方法不同，許多科學(xué)家所測(cè)定地球橢球體的大小也不盡相同，我國(guó)1952年以前采用海福特橢球體，從19

3、53年起采用克拉索夫斯基托球體，它的長(zhǎng)半徑（赤道半徑）a=m，短半徑b=m ，偏率 d=a-b/a=1：298.3這是原蘇聯(lián)科學(xué)家克拉索夫斯基1940年測(cè)定的。由于地球橢球體長(zhǎng)短半徑差值很小，約21km，在制作小比例尺地圖時(shí)，因?yàn)榭s小的程度很大，若制作1：1000萬(wàn)地圖，地球橢球體縮小1000萬(wàn)倍，這時(shí)長(zhǎng)短半徑之差只是2.1mm，所以在制作小比例尺地圖時(shí)，可忽略地球扁率，將地球視為圓球體，地球半徑為6371km。制作大比例尺地圖時(shí)必須將地球視為橢球體。 二、地圖表面和地球球面的矛盾地圖是將地球球面上各個(gè)地理要素按照一定的數(shù)學(xué)法則，運(yùn)用符號(hào)系統(tǒng)并經(jīng)過(guò)制圖綜合縮繪于平面上的圖形，這就是說(shuō)地圖通常是

4、繪在平面介質(zhì)上的，而地球橢球體表面是曲面，因此制圖時(shí)首先需要把曲面展成平面，然而，球面是個(gè)不可展的曲面，要把球面直接展成平面，必然要發(fā)生斷裂或褶皺，正如生活中剝桔子皮那樣，剝開的桔皮是斷裂的，不能拼成一個(gè)完整的平面，若硬把桔皮拼在一起，就會(huì)產(chǎn)生褶皺，無(wú)論是將球面沿經(jīng)線或月牙切開，或是沿緯線切開，或是在極點(diǎn)結(jié)合，或是在赤道結(jié)合，他們都是有裂隙的。三、地圖投影的概念球面上任一點(diǎn)的位置是用地理坐標(biāo)（、）表示的，而平面上點(diǎn)的位置是用直角坐標(biāo)（縱坐標(biāo)是x,橫坐標(biāo)是y）表示的，所以要將地球球面上的點(diǎn)轉(zhuǎn)移到平面上，必須采用一定的數(shù)學(xué)方法來(lái)確定地理坐標(biāo)與平面坐標(biāo)之間的關(guān)系。這種在球面和平面之間建立點(diǎn)與點(diǎn)之間函

5、數(shù)關(guān)系的數(shù)學(xué)方法，稱為地圖投影。球面上任意一點(diǎn)的位置決定于它的經(jīng)緯度，所以實(shí)際投影時(shí)是先將一些經(jīng)緯線的交點(diǎn)展繪在平面上，再將相同經(jīng)度的點(diǎn)連成經(jīng)線，相同緯度的點(diǎn)連成緯線，構(gòu)成經(jīng)緯線網(wǎng)。有了經(jīng)緯線網(wǎng)后，就可以將球面上的地理事物，按照其所在的經(jīng)緯度，用一定的符號(hào)畫在平面上相應(yīng)位置處。由此看來(lái)，地圖投影的實(shí)質(zhì)是將地球橢球面上的經(jīng)緯網(wǎng)按一定的數(shù)學(xué)法則轉(zhuǎn)移到平面上。經(jīng)緯線網(wǎng)是繪制地圖的“基礎(chǔ)”，是地圖的主要數(shù)學(xué)要素。四、地圖投影的方法2. 幾何投影（透視投影）投影在日常生活中的例子是很多的，如電影、幻燈片就是利用點(diǎn)光源把膠片上的影象投影到屏幕上的例子。幾何投影和此類似，假想地球是一個(gè)透明體，光源位于球心，

6、然后把球面上的經(jīng)緯網(wǎng)投影到平面上，就得到一張球面經(jīng)緯網(wǎng)投影。所不同的是，地圖投影面除了平面之外，還有可展成平面的圓柱面和圓錐面；光源除了位于球心之外，還可以在球面、球外，或無(wú)窮遠(yuǎn)處等。象這樣利用光源把地球面上的經(jīng)緯網(wǎng)投影到平面上的方法叫做幾何投影或者幾何透視法。這是人們最早用來(lái)解決地球球面和地圖平面這一對(duì)矛盾的一種方法。演示經(jīng)緯網(wǎng)投影2.解析法隨著科學(xué)生產(chǎn)的發(fā)展，幾何透視法遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能滿足編制各種類型地圖的需要，這樣推動(dòng)了地圖投影的發(fā)展，出現(xiàn)了解析法。所謂解析法就是不借助于幾何投影面（而僅僅借助于幾何投影的方式），按照某些條件用數(shù)學(xué)分析法確定球面與平面之間點(diǎn)與點(diǎn)之間一一對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系。 X=f1(

7、、) Y=f2(、)函數(shù)的f1f2具體形式，是由給定的投影條件確定的。有了這種對(duì)應(yīng)關(guān)系式，就可把球面上的經(jīng)緯網(wǎng)交點(diǎn)表示到平面上了。第二節(jié) 地圖投影的變形一、變形的概念由于球面是一個(gè)不可直接展成平面的曲面，因此無(wú)論采用什么投影方法，盡管得到經(jīng)緯網(wǎng)的形狀不同但它們與球面上的經(jīng)緯網(wǎng)形狀不完全相似的。這表明地圖上的經(jīng)緯網(wǎng)發(fā)生了變形。因而根據(jù)地理坐標(biāo)展繪在地圖上的各種地面事物。也必然發(fā)生了變形，為了正確使用地圖，必須了解投影后產(chǎn)生得變形，所以投影變形問(wèn)題是地圖投影的重要組成部分。研究各種投影變形的大小和分布規(guī)律，具有重大的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。二、研究變形的方法研究各種投影的變形規(guī)律是通過(guò)把投影后的經(jīng)緯線網(wǎng)與地

8、球儀上經(jīng)緯線網(wǎng)格比較而實(shí)現(xiàn)的。地球儀是地球的真實(shí)縮小。通過(guò)比較就會(huì)發(fā)現(xiàn)兩者是不會(huì)相同的。為了研究變形方便首先讓我們分析一下地球儀上經(jīng)緯網(wǎng)的特點(diǎn)：1.地球儀上所有經(jīng)線圈都是通過(guò)兩極的大圓；長(zhǎng)度相等；所有緯線除赤道是大圓外，其余都是小圓，并且從赤道向兩極越來(lái)越小，在極地成為一點(diǎn)。換句話說(shuō)緯線長(zhǎng)度不等，赤道最長(zhǎng)，隨著緯度增高，極地為零。2.經(jīng)線表示南北方向；緯線表示東西方向。3.經(jīng)線和緯線是相互垂直的。4.緯差相等的經(jīng)線弧長(zhǎng)相等；同一條緯線上經(jīng)差相等的緯線弧長(zhǎng)相等，在不同的緯線上，經(jīng)差相等的緯線弧長(zhǎng)不等，而從赤道向兩極逐漸縮小。5.同一緯度帶內(nèi)，經(jīng)差相同的經(jīng)緯線網(wǎng)格面積相等，不同緯度帶內(nèi)，網(wǎng)格面積不

9、等，同一經(jīng)度帶內(nèi)，緯度越高，梯形面積越小。由低緯向高緯逐漸縮小。觀看地圖上的投影同學(xué)們打開課本看有關(guān)各種投影后經(jīng)緯線形式插圖或打開世界地圖，經(jīng)投影后經(jīng)緯網(wǎng)的形狀和地球儀上的大不相同，進(jìn)一步比較會(huì)發(fā)現(xiàn)有的圖在長(zhǎng)度、面積、角度等方面發(fā)生了變形，也即產(chǎn)生了誤差。如果我們對(duì)球面上經(jīng)緯線網(wǎng)格的形狀有明確的認(rèn)識(shí)，就可以看出地圖網(wǎng)格變形的大致情況，同時(shí)也就可以看出地理內(nèi)容變形的大致情況。三、投影變形的相關(guān)概念2. 長(zhǎng)度比和長(zhǎng)度變形設(shè)地球球面上有一微小線段ds,投影到平面上為ds,如圖所示。平面上微小線段與球面上相應(yīng)微小線段之比，叫做長(zhǎng)度比。用公式表示為：=ds/ds長(zhǎng)度比是一個(gè)變量，它不僅隨著點(diǎn)的位置不同而

10、變化，還隨著方向的變化而變化。長(zhǎng)度比是指某點(diǎn)某方向上微小線段之比。通常研究長(zhǎng)度比時(shí)，不一一研究各個(gè)方向的長(zhǎng)度比，而只研究一些特定方向的長(zhǎng)度比，即研究最大長(zhǎng)度比（a）和最小長(zhǎng)度比（b）,經(jīng)線長(zhǎng)度比（m）和緯線長(zhǎng)度比（n）。投影后經(jīng)緯線成直交者，經(jīng)緯線長(zhǎng)度比就是最大和最小長(zhǎng)度比。投影后經(jīng)緯線不直交，其夾角為,則經(jīng)緯線長(zhǎng)度比 m、n和最大、最小長(zhǎng)度比a、b之間具有如下關(guān)系：根據(jù)解析幾何中阿波隆尼亞定理m2+n2=a2+b2mnsin=ab用長(zhǎng)度比可以說(shuō)明長(zhǎng)度變形。所謂長(zhǎng)度變形就是長(zhǎng)度比（）與1之差，用表v示長(zhǎng)度變形則：v=-1由此可知，長(zhǎng)度變形有正負(fù)之分，長(zhǎng)度變形為正，表示投影后長(zhǎng)度增加；長(zhǎng)度變形為

11、負(fù)表示投影后長(zhǎng)度縮短；長(zhǎng)度變形為零，則長(zhǎng)度無(wú)變形。2.主比例尺和局部比例尺平常地圖上注記的比例尺，稱之為主比例尺，它是運(yùn)用地圖投影方法繪制經(jīng)緯線網(wǎng)時(shí)，首先把地球橢球體按規(guī)定比例尺縮小如，制1：100萬(wàn)地圖，首先將地球縮小100萬(wàn)倍，而后將其投影到平面上，那么1：100萬(wàn)就是地圖的主比例尺。由于投影時(shí)有變形，所以主比例尺僅能保留在投影后沒有變形的點(diǎn)或線上，而其他地方不是比主比例尺大，就是比主比例尺小。所以大于或小于主比例尺的叫局部比例尺。注意長(zhǎng)度比、長(zhǎng)度變形與地圖比例尺的區(qū)別。3.主方向由于投影要產(chǎn)生變形，所以球面上兩條相互垂直的微小線段投影后不一定正交，例如設(shè)o是球面上兩條互相垂直的微小線段，

12、過(guò)o作兩條垂線ac和 bd，投影后ac和bd。即地球面上角aob和角boc為直角投影后分別為銳角aob和鈍角boc。設(shè)想ac、bd二垂線相對(duì)位置保持不便，并繞o點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)90度時(shí)，直角aob轉(zhuǎn)到原來(lái)boc的位置，這時(shí)投影由原來(lái)的銳角轉(zhuǎn)變成鈍角；同樣的，直角boc轉(zhuǎn)到了cob的位置它的投影由原來(lái)的鈍角變?yōu)殇J角。由此可見，一個(gè)直角在不同的位置下的投影有著不同的的大小，可以由銳角變?yōu)殁g角，或者相反。那么在變化的過(guò)程中，必然有一特殊位置，直角投影后仍保持直交，此二直交直線方向，稱之為主方向。在主方向上，具有極大和極小長(zhǎng)度比。例如我們講過(guò)的高斯-克呂格投影，經(jīng)緯線投影后均保持垂直。所以該投影中

13、，經(jīng)緯線方向就是主方向。經(jīng)緯線投影后位正交，經(jīng)緯線方向均為主方向。但也有一些投影經(jīng)緯網(wǎng)斜交，主方向與經(jīng)緯線方向并不一致。3. 變形橢圓在地球球面上取一微小圓，它在平面上的投影除在接觸點(diǎn)位置外，一般情況下為橢圓（投影演示），下面我們用數(shù)學(xué)方法驗(yàn)證一下。設(shè)o為球面上一點(diǎn)，以它為圓心的微小圓的半徑是單位長(zhǎng)度（為1），M(x,y)圓上一點(diǎn)，圓心曲線方程為x2+y2=1o為o的投影，以主方向作為坐標(biāo)軸，M（x,y）是M（x,y）的投影，令主方向長(zhǎng)度比為a和b，則:x/x= a, y/y= b則:x =x/a, y =y/b(x,y)為圓上一點(diǎn)，將其代如圓的方程，得x2/a2+y2/b2=1這是一個(gè)橢圓方

14、程，這表明該微小圓投影后為長(zhǎng)半徑為a短半徑為b的橢圓，這種橢圓可以用來(lái)表示投影的變形，故叫做變形橢圓。在研究投影時(shí)，可借助變形橢圓與微小圓比較，來(lái)說(shuō)明變形的性質(zhì)和數(shù)量。橢圓半徑與小圓半徑之比，可以說(shuō)明長(zhǎng)度變形。很明顯的看出長(zhǎng)度變形是隨方向的變化而變化，在長(zhǎng)短半徑方向上有極大和極小長(zhǎng)度比a和b，而長(zhǎng)短半徑方向之間，長(zhǎng)度比，為ba，橢圓面積與小圓面積之比，可以說(shuō)明面積變形。橢圓上任意兩條方向線的夾角與小圓上相應(yīng)的兩方向線夾角之差為角度變形。5.面積比與面積變形投影平面上的微小面積與球面上相應(yīng)微小面積之比，稱為面積比。以投影面上變形橢圓的面積dF=ab,相應(yīng)球面上微小圓的面積dF=12為例，以P表示

15、面積比，則：P=dF/dF=ab/=ab上式說(shuō)明面積比等于主方向長(zhǎng)度比的乘積。若經(jīng)緯線方向就是主方向時(shí)：P=mn若經(jīng)緯線方向不是主方向時(shí)，則面積比P=mnsin(為投影后經(jīng)緯線夾角)面積比是個(gè)變量，它隨點(diǎn)位置不同而變化。面積變形就是面積比與1之差，以Vp表示。Vp=p-1面積變形有正有負(fù)，面積變形為零，表示投影后面積無(wú)變形，面積變形為正，表示投影后面積增加；面積變形為負(fù)，表示投影后面積縮小。6.角度變形投影面上任意兩方向線所夾角與球面上相應(yīng)兩方向線夾角之差，稱為角度變形。過(guò)一點(diǎn)可以做許多方向線，每?jī)蓷l方向線均可以組成一個(gè)角度，這些角度投影到平面上之后，往往與原來(lái)的大小不一樣，而且不同的方向線組

16、成的角度產(chǎn)生的變形一般也不一樣。公式驗(yàn)證 見教材53頁(yè)。7.等變形線在各種投影圖上，都存在著誤差或變形。并且各不同點(diǎn)的變形數(shù)量常常是不一樣的，為了便于觀察和了解繪制區(qū)域變形的分布。常用等變形線來(lái)表示制圖區(qū)域的變形分布特征。等變形線就是變形值相等的各點(diǎn)的連線，它是根據(jù)計(jì)算的各種變形的數(shù)值（如p,w）繪于經(jīng)緯線網(wǎng)格內(nèi)的，如面積等變形線。等變形線在不同的投影圖上，具有不同的形狀，在方位投影中，因投影中心點(diǎn)無(wú)變形，從投影中心向外變形逐漸增大，等變形線成同心圓狀分布。等變形線通常是用點(diǎn)虛線來(lái)表示的。（看投影圖上的等變形線）第三節(jié) 地圖投影的分類地圖投影的種類很多，由于分類的標(biāo)志不同，分類的方法也不同。一

17、、按變形性質(zhì)分類地球球面投影到平面時(shí)，產(chǎn)生的變形有長(zhǎng)度、角度和面積三種，根據(jù)變形特征可分為：等角投影、等積投影和任意投影三種。1.等角投影（正形投影）角度變形為0，地球面上的微小圓經(jīng)過(guò)投影后仍為相似的微小圓，其形狀保持不變，只有長(zhǎng)度和面積變形。等角投影的條件是：w=0sin(w/2)=(ab)/（a+b)=0a=b，m=n等角投影在同一點(diǎn)任何方向的長(zhǎng)度比都相等，但在不同地點(diǎn)長(zhǎng)度比是不同的。多用于編制航海圖、洋流圖、風(fēng)向圖等地形圖。2.等積投影 投影后圖形保持面積大小相等，沒有面積誤差。也就是球面上的不同地點(diǎn)微小圓投影后為面積相等的各個(gè)橢圓，但橢圓的形狀不一樣。因此有角度和長(zhǎng)度變形。等積投影的條

18、件是：Vp=p p=1因?yàn)?p=ab所以a=1/b或b=1/a由于這類投影可以保持面積沒有變形，故有利于在圖上進(jìn)行面積對(duì)比。一般用于繪制對(duì)面積精度要求較高的自然地圖和經(jīng)濟(jì)地圖。3.任意投影任意投影是即不等角也不等積的投影。這種投影的特點(diǎn)是面積變形小于等角投影，角度變形小于等積投影。在任意投影中，有一種特殊的投影，叫做等距投影，其條件是m=1。即誤差橢圓上的一個(gè)半徑和球面上相應(yīng)微小圓半徑相等。如圖表示各種變形性質(zhì)不同的地圖投影中變形橢圓的形狀。通過(guò)比較可以看出：等積投影不能保持等角特性，等角投影不能保持等積特性。任意投影不能保持等積等角特性。等積投影的形狀變化比較大，等角投影的面積變形比較大。二

19、、按構(gòu)成方法分類1.幾何投影幾何投影是把地球橢圓面上的經(jīng)緯線網(wǎng)投影到幾何面上，然后將幾何面展為平面而得到的，根據(jù)幾何面的形狀，可進(jìn)一步分為如下幾類：方位投影 以平面作為投影面，使平面與球面相切或相割，將球面上的經(jīng)緯線投影到平面上而成。圓住投影 以圓柱面作為投影面，使圓柱面與球面相切或相割，將球面上的經(jīng)緯線投影到圓柱面上，然后將圓柱面展為平面而成。圓錐投影 以圓錐面作為投影面，使圓錐面與球面相切或相割，將球面上的經(jīng)緯線投影到圓錐面上，然后將圓錐面展為平面而成。2.非幾何投影不借助于任何幾何面，根據(jù)一定的條件用數(shù)學(xué)解析法確定球面與平面之間點(diǎn)與點(diǎn)的函數(shù)關(guān)系。在這類投影中，一般按經(jīng)緯網(wǎng)形狀又可分為偽方

20、位投影、偽圓住投影、偽圓錐投影和多圓錐投影等。重要內(nèi)容提示1.地圖投影、投影變形、變形橢圓、長(zhǎng)度比、長(zhǎng)度變形、面積比、面積變形、角度變形、主方向、主比例尺、局部比例尺、等變形線的概念。2.地圖投影的分類（1）按構(gòu)成方法分類（2）按變形性質(zhì)分類思考題見教材85頁(yè)。第二講 4學(xué)時(shí)第四節(jié) 方位投影一、方位投影的概念和種類方位投影是以平面作為投影面，使平面與地球表面相切或相割，將球面上的經(jīng)緯線投影到平面上所得到的圖形。本節(jié)只介紹常用的切方位投影，將地球半徑視為R的球體。 方位投影可分為透視方位投影和非透視方位投影兩類。1.透視方位投影利用透視法把地球表面投影到平面上的方法稱為透視投影。透視方位投影的點(diǎn)

21、光源或視點(diǎn)位于垂直于投影面的地球直徑及其延長(zhǎng)線上，由于視點(diǎn)位置不同，因而有不同的透視方位投影（演示）當(dāng)視點(diǎn)（光源）位于地球球心時(shí)，即視點(diǎn)距投影面距離為R時(shí)，稱為中心射方位投影或球心投影。當(dāng)視點(diǎn)或光源位于地球表面時(shí)，即視點(diǎn)到投影面距離為2R時(shí)，稱為平社方位投影或球面投影。當(dāng)視點(diǎn)或光源位于無(wú)限遠(yuǎn)時(shí)，投影線（光線）成為平行線，稱為正射投影。根據(jù)投影面和地球球相切位置的不同，透視投影可分為三類：當(dāng)投影面切于地球極點(diǎn)時(shí)，稱為正軸投影。當(dāng)投影面切于赤道時(shí)，稱為橫軸方位投影。當(dāng)投影面切于既不在極點(diǎn)也不在赤道時(shí)，稱為斜軸方位投影。2.非透視方位投影非透視方位投影是借助于透視投影的方式，而附加上一定的條件，如加

22、上等積、等距等條件所構(gòu)成的投影。在這類投影中有等距方位投影和等積方位投影。二、正射正軸方位投影1.投影條件視點(diǎn)位于無(wú)窮遠(yuǎn)，故投影平行直線。投影面假定切于極點(diǎn)。2.特點(diǎn)緯線投影為一組同心圓，而且沒有誤差。經(jīng)線投影為相交于緯線同心圓圓心的直線束，并且經(jīng)線間夾角等于相應(yīng)的經(jīng)差。經(jīng)線投影后縮短，即經(jīng)線方向上的長(zhǎng)度比小于1。長(zhǎng)度變形為負(fù)值。并且在經(jīng)線方向上，自投影中心向外誤差逐漸增大。在緯度為=45度的緯線上各點(diǎn)的經(jīng)線方向上，長(zhǎng)度誤差達(dá)29.3%，在=30度的緯線上各點(diǎn)沿經(jīng)線方向上的誤差達(dá)50%。當(dāng)=45度時(shí)，緯線上各點(diǎn)的最大角度變形為19度45分，=30度時(shí)為38度57分。此投影誤差表現(xiàn)形式為，自投影

23、中心向外，緯線間隔逐漸減小。面積經(jīng)線長(zhǎng)度等變形成為同心圓。3.正軸正射方位投影的作圖法正射方位投影經(jīng)緯網(wǎng)的作法簡(jiǎn)單，關(guān)鍵是求緯線投影半徑，下面介紹一下半徑求法：圖略 如圖所示A是球面上的一點(diǎn)，過(guò)A點(diǎn)作緯圈半徑為CA，CA投影到平面上后為CA，兩者長(zhǎng)度相等，由圖中可知，過(guò)A點(diǎn)的緯圈投影半徑為：=Rcos有了緯線投影半徑，就可以畫出經(jīng)緯線網(wǎng)。根據(jù)按一定的緯度差，根據(jù)作許多同心圓，即為緯線，然后再按規(guī)定的經(jīng)差作自圓心放射的直線來(lái)，即為經(jīng)線。這樣正射方位投影的經(jīng)緯網(wǎng)就做成了。正射投影由于視點(diǎn)位于無(wú)窮遠(yuǎn)，和我們觀察天體時(shí)的情況相似，故它常用來(lái)編制星圖。三、平射正軸方位投影平射正軸方位投影又叫等角方位投影

24、或球面投影。1.投影條件視點(diǎn)位于球面上，投影面切于極點(diǎn)。2.特點(diǎn)緯線投影為以極點(diǎn)為圓心的擴(kuò)大3倍的同心圓，即緯線方向上的長(zhǎng)度比大于1。 赤道上的長(zhǎng)度變形比原來(lái)擴(kuò)大1倍。經(jīng)線投影為以極點(diǎn)為圓心的放射性直線束，經(jīng)線夾角等于相應(yīng)的經(jīng)差，沿經(jīng)線方向上的長(zhǎng)度比大于1，赤道上各點(diǎn)沿經(jīng)線方向上的長(zhǎng)度變形比原來(lái)擴(kuò)大1倍。這種投影的誤差分布規(guī)律是，由投影中心向外逐漸增大。經(jīng)緯線投影后，仍保持正交，所以經(jīng)緯線方向就是主方向，又因?yàn)閙 = n，即主方向長(zhǎng)度比相等，由此可見球面投影完全滿足等角投影條件，所以球面投影為等角投影。沒有角度變形，但面積變形較大，在投影邊緣面積變形是中心的四倍。四 正軸等距方位投影 等距正軸

25、方位投影屬于非透視投影，它是借助于正軸方位投影的方式，而附加上等距的條件，即投影后經(jīng)線保持正長(zhǎng)，經(jīng)線上緯距保持相等。 1、經(jīng)緯網(wǎng)的構(gòu)成緯線投影后為同心圓，經(jīng)線投影為交于緯線同心的直線束，經(jīng)緯線投影后正交，經(jīng)緯線方向?yàn)橹鞣较颉?、特點(diǎn)（1）經(jīng)線投影后保持正長(zhǎng)，所以投影后的緯線間距相等。（2）緯線投影后擴(kuò)大，且自投影中心向外，經(jīng)線擴(kuò)大的程度是增加的，如當(dāng)=30度時(shí)，在緯線方向擴(kuò)大的程度比原來(lái)多21%，當(dāng)=0度時(shí)，達(dá)57%，面積緯線長(zhǎng)度等變形線為以投影中心為圓線的同心圓。 在此投影中，球面上的微圓投影為橢圓，且誤差橢圓的長(zhǎng)半徑和緯線方向一致，短半徑與經(jīng)線方向一致，并且等于微圓半徑r 又由于自投影中心

26、，緯線擴(kuò)大的程度越來(lái)越大，所以變形橢圓的長(zhǎng)半徑也越來(lái)越長(zhǎng)，橢圓就越來(lái)越扁了。等距方位投影屬于任意投影，它既不等積也不等角。等距正軸方位投影常用來(lái)做兩極的投影。五 等積橫軸方位投影在該投影中，投影面切于赤道上，面積沒有誤差，通過(guò)投影中心的中央經(jīng)線和赤道投影為直線，其他經(jīng)緯線都是對(duì)稱于中央經(jīng)線和赤道的曲線。其特點(diǎn)是在中央經(jīng)線上從中心向南向北，緯線間隔是逐漸縮小的，在赤道上，自投影中心向西，向東，經(jīng)線間隔也是逐漸縮小的。該投影常用于制東西半球。 六 等積斜軸方位投影該投影中，投影面切于兩極和赤道間的任意一點(diǎn)上，投影的條件是面積保持不變。在這種投影中，中央經(jīng)線投影為直線，其他經(jīng)線投影為對(duì)稱于中央經(jīng)線的

27、曲線，緯線投影曲線。其特點(diǎn)是在中央經(jīng)線上自投影中心向上、向下緯線間隔是逐漸縮小的，若中央經(jīng)線上的緯線間隔相當(dāng)，那就是等距斜軸方位投影。若間隔是逐漸增大的，是等角斜軸方位投影。等積和等距斜軸方位投影，常用作大洲圖，水陸半球圖，地震圖，航空?qǐng)D和導(dǎo)彈發(fā)射圖。 七 橫軸和斜軸方位投影的變形分布規(guī)律橫軸和斜軸方位投影的變形大小和分布規(guī)律與正軸投影完全一致，在橫軸和斜軸投影中，由于投影面的中心點(diǎn)不在地理坐標(biāo)的極點(diǎn)上，如果仍用地理坐標(biāo)決定地面點(diǎn)的位置，而將這一點(diǎn)投影到平面上，就變得復(fù)雜了。但是如果我們?cè)诘厍虮砻嫔现匦陆⒁环N新的坐標(biāo)系，使新坐標(biāo)系的極點(diǎn)在投影面的中心點(diǎn)上，這樣對(duì)于橫軸和斜軸投影來(lái)說(shuō)，投影面與

28、新極點(diǎn)的關(guān)系，也就和正軸投影的投影面與地理極的關(guān)系一樣了，這樣問(wèn)題就簡(jiǎn)單多了，正軸的公式就可以應(yīng)用到橫軸和斜軸投影中去，而只是地面上點(diǎn)的位置用不同的坐標(biāo)系表示而異。先介紹建立這種球面坐標(biāo)系的方法，設(shè)在地球球面上選擇一點(diǎn)p作為球面坐標(biāo)系的極。投影面在p點(diǎn)與地球面相切，過(guò)新極點(diǎn)p可做許多大圖，命名為垂直圈，再作垂直于垂直圈的各圈，命名為等高圈。這樣垂直圈相當(dāng)于地理坐標(biāo)系的經(jīng)線圈，等高圈相當(dāng)于緯線圈，如圖，這樣等高圈和垂直圈投影后的形式和變形分布規(guī)律和正軸方位投影時(shí)，情況完全一致。所以無(wú)論是正軸方位投影還是橫軸方位投影或是斜軸方位投影，他們的誤差分布規(guī)律是一致的。他們的等變形線都是以投影中心為圓心的

29、同心圓，所不同的是在橫軸和斜軸方位投影中，主方向和等高圈垂直圈一致，而經(jīng)緯線方向不是主方向。 八 幾種方位投影變形性質(zhì)的圖形判別方位投影經(jīng)緯線形式具有共同的特征，判別時(shí)先看構(gòu)成形式（經(jīng)緯線網(wǎng)），判別是正軸、橫軸、斜軸方位投影。正軸投影，其緯線為以中心圓心的同心圓，經(jīng)線為放于投影心的放射狀直線，夾角相等。橫軸投影，赤道與中央經(jīng)線為垂直的直線，其他經(jīng)緯線為曲線。斜軸投影，除中央經(jīng)線為直線外，其余的經(jīng)緯線均為曲線。然后根據(jù)中央經(jīng)線上經(jīng)緯線圖的間隔變化，判別變形性質(zhì)。等角方位投影，在中央經(jīng)線上，緯線間隔從投影中心向外逐漸縮小，等距方位投影，在中央經(jīng)線上緯線間隔相等。如上可判斷方位投影的變形性質(zhì)及推斷出

30、投影的名稱?？偨Y(jié)： 方位投影的特點(diǎn)是：在投影平面上，由投影中心（平面與球面的切點(diǎn)）向各方向的方位角與實(shí)地相等，其等變形線是以投影中心為圓心的同心圓。 繪制地圖時(shí)，總是希望地圖上的變形盡可能小，而且分布比較均勻。一般要求等變形線最好與制圖區(qū)域輪廓一致。因此，方位投影適合繪制區(qū)域輪廓大致為圓形的地圖。 從區(qū)域所在的地理位置來(lái)說(shuō)，兩極地區(qū)和南、北半球圖采用正軸方位投影；赤道附近地區(qū)和東、西半球圖采用橫軸方位投影；其他地區(qū)和水、陸半球圖采用斜軸方位投影。第五節(jié) 圓柱投影一、圓柱投影的概念和種類假定以圓柱面作為投影面，把地球體上的經(jīng)緯線網(wǎng)投影到圓柱面上，然后沿圓柱面的母線把圓柱切開展成平面，就得到圓柱投

31、影。當(dāng)圓柱面和地球體相切時(shí)，稱為切圓柱投影，和地球體相割時(shí)稱為割圓柱投影。由于圓柱和地球體相切相割的位置不同，圓柱投影又分為正軸、橫軸和斜軸圓柱投影三種。正軸圓柱投影圓柱的軸和地球的地軸一致；橫軸圓柱投影圓柱的軸和地軸垂直并通過(guò)地心；斜軸圓柱投影圓柱的軸通過(guò)地心，和地軸不垂直不重合。在上述三種投影方式中，最常用的是正軸圓柱投影，假定視點(diǎn)在球心，正軸圓柱投影中，經(jīng)緯線網(wǎng)的特點(diǎn)是：1、經(jīng)線投影為平行直線，平行線間的距離和經(jīng)差成正比。2、緯線投影成為一組與經(jīng)線正交的平行直線，平行線間的距離視投影條件而異。3、和圓柱面相切的赤道弧長(zhǎng)或相隔的兩條緯線的弧長(zhǎng)為正長(zhǎng)無(wú)變形。圓柱投影按變形性質(zhì)可分為等角圓柱投

32、影、等積圓柱投影和任意圓柱投影。二、等角正軸切圓柱投影（墨卡托投影）等角正軸切圓柱投影是荷蘭地圖學(xué)家墨卡托于1569年所創(chuàng)，所以又稱墨卡托投影。在墨卡托投影中，赤道投影為正長(zhǎng)，緯線投影成和赤道等長(zhǎng)的平行線段，即離赤道越遠(yuǎn)，緯線投影的長(zhǎng)度也越大，為了保持等角條件，必須把地圖上的每一點(diǎn)的經(jīng)線方向上的長(zhǎng)度比和緯線方向上的長(zhǎng)度比相等。所以隨著緯線長(zhǎng)度比的增加，相應(yīng)經(jīng)線方向上的長(zhǎng)度比也得增加，并且增加的程度相等。所以在墨卡托投影中，從赤道向兩極，緯線間隔越來(lái)越大。在墨卡托投影中，面積變形最大，如在緯度60度地區(qū)，經(jīng)線和緯線比都擴(kuò)大了2倍，面積比P=m*n=2*2=4，擴(kuò)大了4倍，愈接近兩極，經(jīng)緯線擴(kuò)大的

33、越多，在=80度時(shí)，經(jīng)緯線都擴(kuò)大了近6倍，面積比擴(kuò)大了33倍，所以墨卡托投影在80度以上高緯地區(qū)通常就不繪出來(lái)了。墨卡托投影被廣泛應(yīng)用于航海和航空方面，這是因?yàn)榈冉呛骄€（或稱斜航線），在此投影中表現(xiàn)為直線，所謂等角航線，就是地球表面上與經(jīng)線相交或相同角度的曲線，或者說(shuō)地球上兩點(diǎn)間的一條等方位線，就是說(shuō)船只要按照等角航向航行，不用改變方位角就能從起點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)。由于經(jīng)線是收斂于兩極的，所以地球表面上的等角航線是除經(jīng)線和緯線以外，以極點(diǎn)為漸近點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)曲線，因墨卡托投影是等角投影，而且經(jīng)線投影為平行直線，那末兩點(diǎn)間的那兩條等方位螺旋線在投影中只能是連接該兩點(diǎn)的一條直線。等角航線在墨卡托投影圖上表現(xiàn)為直

34、線，這一點(diǎn)對(duì)于航海航空具有重要意義。因?yàn)橛羞@個(gè)特征，航行時(shí)，在墨卡托投影圖上只要將出發(fā)地和目的地連一直線，用量角器測(cè)出直線與經(jīng)線的夾角，船上的航海羅盤按照這個(gè)角度指示船只航行，就能達(dá)到目的地。但是等角航線不是地球上兩點(diǎn)間的最短距離，地球上兩點(diǎn)間的最短距離，地球上兩點(diǎn)間的最短距離是通過(guò)兩點(diǎn)的大圓弧，（又稱大圓航線或正航線）。大圓航線它各經(jīng)線的夾角是不等的，因此它在墨卡托投影圖上為曲線。遠(yuǎn)航時(shí)，完全沿著等角航線航行，走的是一條較遠(yuǎn)路線，是不經(jīng)濟(jì)的，但船只不必時(shí)常改變方向，大圓航線是一條最近的路線，但船只航行時(shí)要不斷改變方向，如從非洲的好望角到澳大利亞的墨爾本，沿等角航線航行，航程是6020海里，沿

35、大圓航線航行5450海里，二者相差570海里（約1000公里）。實(shí)際上在遠(yuǎn)洋航行時(shí)，一般把大圓航線展繪到墨卡托投影的海圖上，然后把大圓航線分成幾段，每一段連成直線，就是等角航線。船只航行時(shí)，總的情況來(lái)說(shuō)，大致是沿大圓航線航行。因而走的是一條較近路線，但就每一段來(lái)說(shuō)，走的又是等角航線，不用隨時(shí)改變航向，從而領(lǐng)航十分方便。三、等距正軸切圓柱投影1、投影條件圓柱面切于赤道，故赤道的投影為正長(zhǎng)，經(jīng)線投影后的長(zhǎng)度為正長(zhǎng)。2、特點(diǎn)及誤差分析赤道投影后為正長(zhǎng)無(wú)變形，緯線投影后，均變成于赤道等長(zhǎng)的平行線段，因此離赤道越遠(yuǎn)，緯線投影后產(chǎn)生的誤差也就越大，經(jīng)線投影后為正長(zhǎng)，為垂直于緯線的一組平行線，經(jīng)線方向長(zhǎng)度比

36、為1，經(jīng)線上緯線間隔相等，該投影的主方向就是經(jīng)緯線方向。用誤差橢圓來(lái)分析投影誤差規(guī)律和特點(diǎn)，誤差橢圓的短半徑和經(jīng)線方向一致，且等于球面微圓的半徑，長(zhǎng)半徑和緯線方向一致，且離開赤道越遠(yuǎn)伸長(zhǎng)的就越多，誤差越大。面積變形、角度變形是離開赤道逐漸增大的。3、用作圖法繪制等距圓柱投影等距正軸切圓柱投影的經(jīng)緯線網(wǎng)可用作圖法繪出，繪一橫線作為赤道的投影，按主比例尺計(jì)算出規(guī)定的經(jīng)差所對(duì)應(yīng)的赤道弧長(zhǎng)。按此長(zhǎng)度在赤道上截取各經(jīng)線的交點(diǎn)，過(guò)各點(diǎn)做赤道的垂線，根據(jù)投影條件，經(jīng)線按主比例尺計(jì)算其投影長(zhǎng)度，再在垂線上截取，即得經(jīng)線投影。按規(guī)定的緯差在經(jīng)線上截取相應(yīng)的子午線弧長(zhǎng)，連接各經(jīng)線上緯差相等的各點(diǎn)，即為緯線的投影。

37、當(dāng)規(guī)定的經(jīng)差和緯差相等時(shí)，經(jīng)緯線網(wǎng)投影呈正方形網(wǎng)格，因此等距正軸切圓柱投影又簡(jiǎn)稱圓柱投影或方格投影。第六節(jié) 圓錐投影一、圓錐投影的概念和種類圓錐投影是假定的以圓錐面作為投影面，使圓錐面和地球體相切或相割，將球面上的經(jīng)緯線投影到圓錐面上，然后把圓錐面沿一條母線間開展為平面而成，當(dāng)圓錐面與地球相切時(shí)，稱為切圓錐投影，當(dāng)圓錐面與地球相割時(shí)，稱為割圓錐投影。按圓錐面與地球相對(duì)位置的不同，可分正軸、橫軸、斜軸圓錐投影，但橫軸、斜軸圓錐投影實(shí)際上很少應(yīng)用。所以凡在地圖上注明是圓錐投影的，一般都是正軸圓錐投影。切圓錐投影，視點(diǎn)在球心，緯線投影到圓錐面上仍是圓，不同的緯線投影為不同的圓，這些圓是互相平行的，經(jīng)

38、線投影為相交于圓錐頂點(diǎn)的一束直線，如果將圓錐沿一條母線剪開展為平面，則呈扇形，其頂角小于360度，在平面上緯線不再是圓，而是以圓錐頂點(diǎn)為圓心的同心圓弧，經(jīng)線成為有圓錐頂點(diǎn)向外放射的直線束，經(jīng)線間的夾角與相應(yīng)的經(jīng)差成正比但比經(jīng)差小。 在切圓錐投影上，圓錐面與球面相切的一條緯線投影后是不變形的線。叫做標(biāo)準(zhǔn)緯線。它符合主比例尺，這條緯線通常位于制圖區(qū)域的中間部位。從切線向南向北，變形逐漸增大。在割圓錐投影上，兩條緯線投影后沒有變形，是雙標(biāo)準(zhǔn)緯線，兩條割線符合主比例尺，離開這兩條標(biāo)準(zhǔn)緯線向兩邊逐漸增大，凡是距標(biāo)準(zhǔn)緯線相等距離的地方，變形數(shù)量相等，因此圓錐投影上等變形線與緯線平行。構(gòu)成圓錐投影需確定畫緯

39、線的半徑和經(jīng)線間的夾角，是緯度的函數(shù)用公式表示為=f()。 是經(jīng)差的函數(shù)。用公式表示為=.對(duì)于不同的圓錐投影它是不同的。但對(duì)于某一具體的圓錐投影，它的值是相同的。當(dāng)=1時(shí)，為方位投影，=0時(shí)，為圓柱投影。圓錐投影按變形性質(zhì)分為等角等積和等距圓錐投影三種，下面介紹幾種具體的圓錐投影。二、等角圓錐投影等角圓錐投影的條件是在地圖上沒有角度變形，w=0為了保持等角條件，每一點(diǎn)經(jīng)線長(zhǎng)度比與緯線長(zhǎng)度比相等。m = n。1.在等角切圓錐投影上，相切的緯線沒有變形長(zhǎng)度比為1。其他緯線投影后為擴(kuò)大的同心圓弧并且離開標(biāo)準(zhǔn)緯線越遠(yuǎn)，這種擴(kuò)大的變形程度也就越大，標(biāo)準(zhǔn)線以北變形增加的要比以南快些。經(jīng)線為過(guò)緯線圓心的一束

40、直線。由于m=n所以在緯線方向上擴(kuò)大多少，就在經(jīng)線上擴(kuò)大多少。這樣才能使經(jīng)緯線方向上的長(zhǎng)度比相等。所以在等角圓錐投影上緯線間隔從標(biāo)準(zhǔn)緯線向南向北是逐漸增大的。2.在等角割圓錐投影上，相割的兩條緯線為標(biāo)準(zhǔn)緯線。長(zhǎng)度比為1，沒有變形。兩條標(biāo)準(zhǔn)緯線之間緯線長(zhǎng)度比小于1，即投影后的緯線長(zhǎng)比圓面上相應(yīng)緯線縮短了，便形式離開標(biāo)準(zhǔn)緯線向負(fù)的方向增大。兩條標(biāo)準(zhǔn)緯線之外，緯線長(zhǎng)度比大于1，離開標(biāo)準(zhǔn)緯線長(zhǎng)度變形逐漸增大。經(jīng)線的變形長(zhǎng)度也是如此。所以在等角割圓錐投影上從兩條標(biāo)準(zhǔn)緯線向外，緯線間距是逐漸增大的。從兩條標(biāo)準(zhǔn)緯線逐漸向里，緯線距離是縮小的。等角圓錐投影面積變形大雙標(biāo)準(zhǔn)緯線等角圓錐投影，廣泛應(yīng)用于中緯度地區(qū)

41、的分國(guó)地圖和地區(qū)圖。例如“中國(guó)地圖集”各分省圖就是用的這種投影。“世界地圖集”大部分分國(guó)地圖采用該投影。世界上有些國(guó)家如法國(guó)、比利時(shí)、西班牙也都采用此投影作為地形圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。此外西方國(guó)家出版的許多掛圖地圖集中已廣泛采用等角圓錐投影。 三 等積圓錐投影等積圓錐投影的條件是地圖上面積比不變。1 在等積切圓錐投影上，相切的緯線沒有變形，長(zhǎng)度比為1，其他緯線投影后均擴(kuò)大并且離開標(biāo)準(zhǔn)緯線越遠(yuǎn)，這種變形也就越大。所以投影后要保持面積相等，在緯線方向上變形擴(kuò)大多少倍，那么在經(jīng)線方向上就的縮小多少。所以在等積切圓錐投影圖上，緯線間隔從標(biāo)準(zhǔn)緯線向南向北是逐漸縮小的。2 等積割圓錐投影中，兩條緯線為標(biāo)準(zhǔn)緯線其長(zhǎng)

42、度比等于1，兩條標(biāo)準(zhǔn)緯線之間，緯線長(zhǎng)度比小于1。要保持面積不變因而，經(jīng)線長(zhǎng)度必要相應(yīng)擴(kuò)大，所以在兩條標(biāo)準(zhǔn)緯線之間，緯線間隔愈向中間就越大。在兩條標(biāo)準(zhǔn)緯線之外緯線長(zhǎng)度比大于1。要保持等積，經(jīng)線長(zhǎng)度相應(yīng)的縮小。并且經(jīng)線方向上縮小的程度和相應(yīng)緯線上擴(kuò)大的程度相等。因此在兩條標(biāo)準(zhǔn)緯線向外，緯線間是逐漸縮小的。等積圓錐投影上面積沒有變形，但角度變形比較大，離開標(biāo)準(zhǔn)緯線越遠(yuǎn)角度變形也就越大。等積圓錐投影常用以編制行政區(qū)劃圖，人口密度圖。及社會(huì)經(jīng)濟(jì)地圖或某些自然圖。當(dāng)制圖區(qū)域所跨緯度較大時(shí)，常采用雙雙標(biāo)準(zhǔn)緯線等積圓錐投影。如它是繪制我國(guó)地圖時(shí)常采用投影之一，其他國(guó)家出版的許多圖集也采用該投影。四 等距圓錐投

43、影等距圓錐投影的條件是經(jīng)線投影后保持正長(zhǎng)，即經(jīng)線方向上的長(zhǎng)度比是1。沒有變形。在標(biāo)準(zhǔn)緯線上也均無(wú)變形。除此以外其他緯線均有變形。1 等距切圓錐投影，從標(biāo)準(zhǔn)緯線向南向北緯線長(zhǎng)度比大于1，離開標(biāo)準(zhǔn)緯線越遠(yuǎn)緯線長(zhǎng)度變形、面積變形、角度變形也越大。2 等距割圓錐投影上，兩條標(biāo)準(zhǔn)緯線內(nèi)緯線長(zhǎng)度比小于1，面積變形向負(fù)方向增大，兩條標(biāo)準(zhǔn)緯線之外，緯線長(zhǎng)度比大于1，面積變形向正方向增加。角度變形離標(biāo)準(zhǔn)線越遠(yuǎn)變形越大。等距圓錐投影，在面積變形方面比等角圓錐投影要小，在角度變形上比等積圓錐投影要小這種投影圖上最明顯的特點(diǎn)是：緯線間隔相等。這種投影變形均勻常用于編制各種教學(xué)用圖和中國(guó)大陸交通圖。五 圓錐投影和方位、

44、圓柱投影之間的關(guān)系 方位投影和圓柱投影都可看成是圓錐投影的特例，圓錐體的頂角越大就越按近方位投影。當(dāng)圓錐頂角為180度時(shí)，就是方位投影，相反如果圓錐體的頂角小到0度，則圓錐就變成了圓柱。就得到了圓柱投影。圓錐、圓柱和方位投影的經(jīng)緯線形勢(shì)雖不相同，但投影變形的規(guī)律無(wú)論是正軸、橫軸和斜軸，變形的形式是相似的。變形的性質(zhì)都能從緯線投影上的間距表現(xiàn)出來(lái)。判別以上投影的性質(zhì)時(shí)，卻可根據(jù)緯線間距的增大或減小和相等的情況來(lái)確定?？?結(jié)： 圓錐投影的特點(diǎn)：緯線是同心圓弧，經(jīng)線是放射狀直線束，經(jīng)緯線互相垂直，經(jīng)緯線方向是主方向。等變形線是平行與緯線的同心圓弧，離開標(biāo)準(zhǔn)緯線越遠(yuǎn)變形越大。該投影適合繪制中緯度沿東西

45、方向延伸地區(qū)的地圖。思考題： 編制中國(guó)教學(xué)地圖為什么多采用等距圓錐投影？重要內(nèi)容提示1.方位投影的概念、變形分布規(guī)律、適合制圖的區(qū)位和形狀。2.圓柱投影的概念、變形分布規(guī)律、適合制圖的區(qū)位和形狀。3.圓錐投影的概念、變形分布規(guī)律、適合制圖的區(qū)位和形狀。4.正、橫、斜軸方位投影的特點(diǎn)和應(yīng)用。5.墨卡托投影的特點(diǎn)和應(yīng)用。5.正軸圓錐投影的特點(diǎn)和應(yīng)用。思考題見教材85頁(yè)。第三講 2學(xué)時(shí)第七節(jié) 其他投影一 多圓錐投影1 概念 在切圓錐投影中，離開標(biāo)準(zhǔn)緯線越遠(yuǎn)，變形越大。如果制圖區(qū)域包含緯差較大時(shí)，則在邊遠(yuǎn)未顯出產(chǎn)生相當(dāng)大的變形，因此采用雙標(biāo)準(zhǔn)緯線圓錐投影比單標(biāo)準(zhǔn)緯線圓錐投影變形要小些。如果有更多的標(biāo)準(zhǔn)

46、緯線則變形會(huì)更小些多圓錐投影就是由這樣的設(shè)想建立的。假設(shè)有許多圓錐與球面上的緯線相切，將球面上的經(jīng)緯線投影與這些圓錐面上，然后沿同一母線方向?qū)A錐間開展平并在中央經(jīng)線上排接起來(lái)就得到了所謂多圓錐投影。在多圓錐投影中，由圓錐頂點(diǎn)不是一個(gè)所以緯線投影未同軸圓弧。圓心在中央經(jīng)線上，中央經(jīng)線投影為直線。其他經(jīng)線投影為對(duì)稱中央經(jīng)線的曲線。由于多圓錐投影的經(jīng)緯線系彎曲的曲線，具有良好的球形感，所以它經(jīng)常用于編制世界地圖。2普通多圓錐投影普通多圓錐投影除了中央經(jīng)線和每一條緯線的長(zhǎng)度比等于1外，其余經(jīng)線長(zhǎng)度比均大于1，這個(gè)投影在中央經(jīng)線上緯線間隔相等，在每一條緯線上經(jīng)線間隔相等。普通多圓錐投影屬于任意投影，中

47、央經(jīng)線是一條沒有變形的線離開中央經(jīng)線越遠(yuǎn)變形越大，這個(gè)投影適于做南北方向延伸地區(qū)的地圖。美國(guó)海岸測(cè)量局曾用此投影做美國(guó)海岸附近地區(qū)的地圖。普通多圓錐投影的另一個(gè)用途就是繪制地球儀用的圖形。把整個(gè)地球按一定經(jīng)差分為若干帶，每帶中央經(jīng)線都投影為直線，各帶的投影圖在赤道相接，將這樣的投影圖貼在預(yù)制的球胎上，就是一個(gè)地球儀。3. 國(guó)際百萬(wàn)分之一地圖投影它是由普通多圓錐改良成的。過(guò)去長(zhǎng)時(shí)期國(guó)際上用它編制百萬(wàn)分之一的分幅地圖，這是1909年倫敦國(guó)際地理學(xué)會(huì)議決定的，故又名國(guó)際百萬(wàn)分之一地圖投影。國(guó)際百萬(wàn)分之一地圖具體規(guī)定是在緯度0-60范圍內(nèi)按緯差4度經(jīng)差6度分幅；在經(jīng)度60-76度范圍內(nèi)按緯差4度經(jīng)差1

48、2度分幅；在緯度76-88度范圍內(nèi)按緯差4度經(jīng)差24度分幅；每幅單獨(dú)投影，每幅的南北兩條邊緯線是同軸圓弧其圓心位于中央經(jīng)線上，將這兩條緯線按經(jīng)差1度等分。過(guò)相應(yīng)分點(diǎn)連成的直線即為各條經(jīng)線。其他緯線是4等分各經(jīng)線后，將相應(yīng)分點(diǎn)連成的平滑曲線，經(jīng)緯網(wǎng)的密度為1度。這種投影南北兩條邊緯線長(zhǎng)度比等于1，其余緯線長(zhǎng)度比均小于1。此中央緯線長(zhǎng)度比為最小。在安經(jīng)差6度的分幅中，距中央經(jīng)線經(jīng)差為正負(fù)2度，在按經(jīng)差12度的分幅中距中央經(jīng)線經(jīng)差為正負(fù)4度，在按經(jīng)差24度的分幅中，距中央經(jīng)線經(jīng)差為正負(fù)8度的經(jīng)線長(zhǎng)度比等于1。中央經(jīng)線長(zhǎng)度比小于1，邊緣經(jīng)線長(zhǎng)度比大于1，這種投影按變形性質(zhì)來(lái)說(shuō)屬于任意投影，由于每一幅圖

49、包括的范圍不大，因而變形很小。在我國(guó)范圍內(nèi)長(zhǎng)度變形不超過(guò)0.06%，面積變形不超過(guò)0.12%角度最大變形不超過(guò)5分。故總的來(lái)說(shuō)，這種投影精度還是很高的，但因他不具有等角條件故現(xiàn)被等角圓錐投影所取代。 4.等差分緯線多圓錐投影這個(gè)投影是由我國(guó)地圖出版社于1963年設(shè)計(jì)的一種不等分緯線的多圓錐投影。是我國(guó)編制“世界地圖”常用的一種投影。這種投影的特點(diǎn)是赤道和中央緯線是互相垂直的直線，其他緯線是對(duì)稱于赤道的圓軸圓弧，其圓心均在中央經(jīng)線上，其他經(jīng)線為對(duì)稱于中央經(jīng)線的曲線每一條緯線上各經(jīng)線間的間隔，隨離中央經(jīng)線距離的增大而逐漸縮小按等差遞減。在中央經(jīng)線上緯線的間隔中間一兩邊也縮小，極點(diǎn)為圓弧，其長(zhǎng)度為赤

50、道的1/2。這種投影的變形性質(zhì)屬任意投影。我國(guó)絕大部分地區(qū)的面積變形在10%以內(nèi)，面積比等于1的等變形線自東向西橫貫我國(guó)中部，中央經(jīng)線緯線度44度。交點(diǎn)處沒有角度變形我國(guó)境內(nèi)絕大部分地區(qū)的角度變形最大在10度以內(nèi)，少數(shù)地區(qū)在13度左右，我國(guó)位于地圖的中央部位，圖形較正確圖形上太平洋保持完整，利于顯示我國(guó)與鄰近國(guó)家的水陸聯(lián)系，地圖出版社用這一投影編制過(guò)數(shù)種比例尺的世界政區(qū)圖和其他類型的世界地圖。 二、偽圓柱投影 偽圓柱投影是在圓柱投影經(jīng)緯線形狀的基礎(chǔ)上，規(guī)定其緯線投影的形狀與圓柱投影相似即緯線為平行直線，但經(jīng)線則不同除中央經(jīng)線為直線外，其余的經(jīng)線均為對(duì)稱與中央經(jīng)線的緯線。經(jīng)線的形狀自是任意曲線。

51、但通常選擇為正弦曲線或橢圓曲線。按變形性質(zhì)，偽圓柱投影沒有等角投影。因?yàn)橥队昂蠼?jīng)緯線不正交。只有等積和任意投影兩種。下面分別介紹幾個(gè)偽圓柱投影。1.桑生投影它是一種經(jīng)線為正弦曲線的等積偽圓柱投影。是法國(guó)人桑遜于1650年所創(chuàng)。緯線為間隔相等的平行線經(jīng)線為對(duì)稱與中央經(jīng)線的正弦曲線，在每一條緯線上經(jīng)線間隔相等。這種投影的所有緯線長(zhǎng)度比均等于1。緯線長(zhǎng)度無(wú)變形，中央經(jīng)線長(zhǎng)度比等于1，其他經(jīng)線長(zhǎng)度比均大于1，而且離中央經(jīng)線越遠(yuǎn)，其數(shù)值越大。赤道和中央經(jīng)線是兩條沒有變形的線離開這兩條線變形越大。所以這兩種投影適合于作赤道附近南北延伸的地區(qū)地圖。2.摩爾魏特投影是一種經(jīng)線為橢圓曲線的等積偽圓柱投影。由德國(guó)

52、人摩爾魏特于1805年設(shè)計(jì)而得名。緯線為間隔不等的平行線，在中央經(jīng)線上從赤道向南、北緯線間隔逐漸縮小，中央經(jīng)線為直線，其他經(jīng)線為對(duì)稱與中央經(jīng)線的同中心的橢圓，在離中央經(jīng)線的經(jīng)差正負(fù)90度的經(jīng)線為一個(gè)圓，圓的面積等于地球面積的一半。在赤道上經(jīng)線間隔相等。在這種投影上沒有面積變形。長(zhǎng)度和角度都有變形赤道長(zhǎng)度比等于0.9，中央經(jīng)線和南北緯40度的兩交點(diǎn)是沒有變形的點(diǎn)，從這兩點(diǎn)向外變形逐漸增大，在國(guó)外出版的一些地圖中，這種投影常用在地圖集和地理課本的封面上，英國(guó)1962年出版的飛利浦世界地圖集中的世界地圖采用這種投影。2.古德投影 從偽圓柱投影的變形情況來(lái)看離中央經(jīng)線越遠(yuǎn)變形越大，為了減小遠(yuǎn)離中央經(jīng)線

53、部分的變形增大，美國(guó)地理學(xué)家古德于1923年提出了一種方瓣方法，就是在地圖上幾個(gè)主要制圖區(qū)域的中央都定一條中央經(jīng)線，將地圖分為幾個(gè)部分，按同一主比例尺及統(tǒng)一的經(jīng)緯差展繪地圖，然后沿赤道拼接起來(lái)，這樣每條中央經(jīng)線兩側(cè)投影范圍不寬，變形就小一些。這種分瓣方法可用以上兩種投影及其它偽圓投影。如適用于世界地圖摩爾魏特古德的投影，為了擺正大陸的完態(tài)性，則在海洋部分?jǐn)嗔?，古德分瓣方法如下：北美洲，中央?jīng)線為西經(jīng)100度。南美洲中央經(jīng)線為西經(jīng)60度。非洲中央經(jīng)線東經(jīng)20度。澳大利亞中央經(jīng)線為東經(jīng)150度，如果為了完態(tài)的表示海洋則可在大陸部分?jǐn)嚅_。在國(guó)外出版的世界地圖集中的世界地圖經(jīng)常采用這種投影，如美國(guó)出版

54、的古德世界地圖集中的世界各種自然地圖，大多采用古德投影。 三、偽圓錐投影偽圓錐投影是對(duì)圓錐投影的經(jīng)緯線形狀加以改變而成的。緯線形狀類似圓錐投影為同心圓弧，圓心位于中央經(jīng)線上，但經(jīng)線則不同，除中央經(jīng)線為直線外，其余的經(jīng)線均為對(duì)稱與中央經(jīng)線的曲線。按投影的變形性質(zhì)，偽圓錐投影沒有等角投影，因?yàn)檫@種經(jīng)緯線不直交，偽圓錐投影只有等積投影和任意投影，最常用的是等積偽圓錐投影。下面介紹介紹等積偽圓錐投影。它是由法國(guó)水利工程師彭納于1952年首先提出并應(yīng)用于法國(guó)地形圖而得名。彭納投影的緯線為同心圓弧，其長(zhǎng)度比等于1，中央經(jīng)線為直線其長(zhǎng)度比等于1，其他經(jīng)線為對(duì)稱于中央經(jīng)線的曲線。在每一條緯線上的經(jīng)線間隔相等，

55、在中央經(jīng)線上緯線間隔相等，中央經(jīng)線與所有的緯線正交，中央緯線與所有的經(jīng)線正交。彭納投影沒有面積變形，中央經(jīng)線和中緯線是兩條沒有變形的線，離開這兩條線越遠(yuǎn)變形越大。彭納投影主要用于編制小比例尺的大洲圖。第八節(jié) 地圖投影的辨認(rèn)和選擇 一、地圖投影的辨認(rèn) 地圖投影是地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，它直接影響地圖的使用，地圖是地理工作者不可缺少的工具，有很多地理知識(shí)是從地圖上獲得的，如果在使用地圖時(shí)不了解投影的特性往往會(huì)得出錯(cuò)誤的結(jié)論。例如：在小比例尺等角或等積投影圖上式算距離，在等角投影圖上對(duì)比不同地區(qū)的面積以及在等積投影圖上觀察各地區(qū)的形狀特征等都會(huì)得出錯(cuò)誤結(jié)論。目前國(guó)內(nèi)外出版的地圖，大部分都注明投影的名稱。有的

56、還附有有關(guān)投影的資料，這對(duì)于使用地圖當(dāng)然是很方便的。但是也有一些地圖沒注明投影的名稱和有關(guān)說(shuō)明。因此，需要我們運(yùn)用有關(guān)地圖投影的知識(shí)來(lái)判別投影。地圖投影的辨認(rèn)，主要是對(duì)小比例尺地圖而言，大比例持往往是屬于國(guó)家地形圖系列，投影資料一般易于查知。另外由于大比例尺地圖包括的地區(qū)范圍小，不管采用什么投影，變形都是很小的，使用時(shí)可忽略不計(jì)。地圖投影的辨認(rèn)是一項(xiàng)比較復(fù)雜的工作，有時(shí)比計(jì)算一個(gè)具體投影還要困難，同時(shí)，也不是所有的投影都能采用辨別的方法。但辨認(rèn)一般的常用投影并不是很困難的通常按下列步驟進(jìn)行辨認(rèn)。1.根據(jù)地圖上經(jīng)緯線的形狀確定投影類型。首先對(duì)地圖經(jīng)緯線網(wǎng)作一般觀察，應(yīng)用所學(xué)過(guò)的各類投影的特點(diǎn)確定

57、其投影是屬于哪一類型，如方位、圓柱、圓錐還是偽圓錐、偽圓柱投影等。判別經(jīng)緯線形狀的方法如下：直線只要用直尺比量便可確認(rèn)，判斷曲線是否為圓弧可將透明紙覆蓋在曲線之上，在透明紙上沿曲線按一定間隔定出三個(gè)以上的點(diǎn)，然后沿曲線移動(dòng)透明紙，使這些點(diǎn)位于曲線的不同位置，如這些點(diǎn)處處都與曲線吻合，則證明曲線是圓弧，否則就是其他曲線。判別同心圓弧與同軸圓弧，則可以量測(cè)相鄰圓弧間的垂線距離，若處處相等則為同心圓弧，否則是同軸圓弧。正軸投影是最容易判斷的，如緯線是同心圓，經(jīng)線是交于同心圓的直線束，肯定是方位投影，如果經(jīng)緯線都是平行直線，則是圓柱投影，若緯線是同心圓弧，經(jīng)線是放射狀直線，則是圓錐投影。2.根據(jù)圖上量測(cè)的經(jīng)緯線長(zhǎng)度的數(shù)值確定其變形性質(zhì)。當(dāng)已確定投影的種類后，為了進(jìn)一步判定投影性質(zhì)，量測(cè)和分析緯線間距的變化就能判定出投影的性質(zhì)。如確定為圓錐投影，那么只需量出一條