算法設計與分析基礎習題參考答案.doc

1、習題1.1 5.證明等式gcd(m,n)=gcd(n,m mod n)對每一對正整數(shù)m,n都成立.Hint:根據(jù)除法的定義不難證明: 如果d整除u和v, 那么d一定能整除uv; 如果d整除u,那么d也能夠整除u的任何整數(shù)倍ku.對于任意一對正整數(shù)m,n,若d能整除m和n,那么d一定能整除n和r=m mod n=m-qn；顯然，若d能整除n和r，也一定能整除m=r+qn和n。數(shù)對(m,n)和(n,r)具有相同的公約數(shù)的有限非空集，其中也包括了最大公約數(shù)。故gcd(m,n)=gcd(n,r)6.對于第一個數(shù)小于第二個數(shù)的一對數(shù)字,歐幾里得算法將會如何處理?該算法在處理這種輸入的過程中,上述情況最多

2、會發(fā)生幾次?Hint:對于任何形如0=m0 temp2*a x1(-b+sqrt(D)/temp x2(-b-sqrt(D)/temp return x1,x2 else if D=0 return b/(2*a) else return “no real roots”else /a=0 if b0 return c/b else /a=b=0 if c=0 return “no real numbers” else return “no real roots”5. 描述將十進制整數(shù)表達為二進制整數(shù)的標準算法a.用文字描述b.用偽代碼描述解答： a.將十進制整數(shù)轉換為二進制整數(shù)的算法 輸入：一

3、個正整數(shù)n輸出：正整數(shù)n相應的二進制數(shù)第一步：用n除以2，余數(shù)賦給Ki(i=0,1,2.)，商賦給n第二步：如果n=0，則到第三步，否則重復第一步第三步：將Ki按照i從高到低的順序輸出b.偽代碼 算法 DectoBin(n)/將十進制整數(shù)n轉換為二進制整數(shù)的算法/輸入：正整數(shù)n/輸出：該正整數(shù)相應的二進制數(shù)，該數(shù)存放于數(shù)組Bin1.n中i=1while n!=0 do Bini=n%2;n=(int)n/2;i+;while i!=0 doprint Bini;i-;9.考慮下面這個算法,它求的是數(shù)組中大小相差最小的兩個元素的差.(算法略)對這個算法做盡可能多的改進.算法 MinDistanc

4、e(A0.n-1)/輸入:數(shù)組A0.n-1/輸出:the smallest distance d between two of its elements習題1.3 考慮這樣一個排序算法,該算法對于待排序的數(shù)組中的每一個元素,計算比它小的元素個數(shù),然后利用這個信息,將各個元素放到有序數(shù)組的相應位置上去.a.應用該算法對列表”60,35,81,98,14,47”排序b.該算法穩(wěn)定嗎?c.該算法在位嗎?解:a. 該算法對列表”60,35,81,98,14,47”排序的過程如下所示:b.該算法不穩(wěn)定.比如對列表”2,2*”排序c.該算法不在位.額外空間for S and Count4.(古老的七橋問題

5、)習題1.41.請分別描述一下應該如何實現(xiàn)下列對數(shù)組的操作,使得操作時間不依賴數(shù)組的長度.a.刪除數(shù)組的第i個元素(1=ib=1(若a=2), 顯然, 若算法需要n次模運算, 則有un=gcd(a, b), un+1=0. 我們比較數(shù)列un和菲波那契數(shù)列Fn, F0=1=un, F1=1=uk+1+uk+2, 由數(shù)學歸納法容易得到uk=Fn-k, 于是得到a=u0=Fn, b=u0=Fn-1. 也就是說如果歐幾里得算法需要做n次模運算, 則b必定不小于Fn-1. 換句話說, 若 b(1.618)n/sqrt(5), 即b(1.618)n/sqrt(5), 所以模運算的次數(shù)為O(lgb)-以b為

6、底數(shù) = O(lg(2)b)-以2為底數(shù)，輸入規(guī)模也可以看作是b的bit位數(shù)。習題2.27.對下列斷言進行證明:(如果是錯誤的,請舉例)a. 如果t(n)O(g(n),則g(n)(t(n)b.0時,(g(n)= (g(n)解:a. 這個斷言是正確的。它指出如果t(n)的增長率小于或等于g(n)的增長率，那么 g(n)的增長率大于或等于t(n)的增長率 由 t(n)cg(n) for all nn0, where c0 則： for all nn0b. 這個斷言是正確的。只需證明。設f(n)(g(n),則有： for all n=n0, c0 for all n=n0, c1=c0即：f(n)(

7、g(n)又設f(n)(g(n),則有： for all n=n0,c0 for all n=n0,c1=c/0即：f(n)(g(n)8證明本節(jié)定理對于下列符號也成立：a.符號b.符號證明：a。we need to proof that if t1(n)(g1(n) and t2(n)(g2(n), then t1(n)+ t2(n)(maxg1(n), g2(n)。由 t1(n)(g1(n)， t1(n)c1g1(n) for all n=n1, where c10由 t2(n)(g2(n)， T2(n)c2g2(n) for all n=n2, where c20那么，取c=minc1,c2

8、,當n=maxn1,n2時： t1(n)+ t2(n)c1g1(n)+ c2g2(n) c g1(n)+c g2(n)cg1(n)+ g2(n) cmax g1(n), g2(n)所以以命題成立。b. t1(n)+t2(n) (證明：由大的定義知，必須確定常數(shù)c1、c2和n0，使得對于所有n=n0，有：由t1(n)(g1(n)知，存在非負整數(shù)a1,a2和n1使： a1*g1(n)=t1(n)=a2*g1(n)-(1)由t2(n)(g2(n)知，存在非負整數(shù)b1,b2和n2使： b1*g2(n)=t2(n)=b2*g2(n)-(2)(1)+(2):a1*g1(n)+ b1*g2(n)=t1(n)

9、+t2(n) = a2*g1(n)+ b2*g2(n)令c1=min(a1,b1),c2=max(a2,b2)，則 C1*(g1+g2)= t1(n)+t2(n) =c2(g1+g2)-(3)不失一般性假設max(g1(n),g2(n)=g1(n).顯然，g1(n)+g2(n)2g1(n)，即g1+g20，g1(n)+g2(n)g1(n),即g1+g2max(g1,g2)。則（3）式轉換為：C1*max(g1,g2) = t1(n)+t2(n) =n0時上述不等式成立。證畢。10. 切忌算法走的步數(shù)和人真實走的步數(shù)的區(qū)別，算法是不需要走回頭路的。習題2.4解下列遞推關系 （做a,b）當n1時a

10、. 解：當n1時b.解：對于計算n!的遞歸算法F(n)，建立其遞歸調用次數(shù)的遞推關系并求解。解：考慮下列遞歸算法，該算法用來計算前n個立方的和：S(n)=13+23+n3。算法S(n) /輸入：正整數(shù)n /輸出：前n個立方的和if n=1 return 1else return S(n-1)+n*n*na. 建立該算法的基本操作次數(shù)的遞推關系并求解b. 如果將這個算法和直截了當?shù)姆沁f歸算法比，你做何評價？解：a.6. 漢諾塔的非遞歸問題請見F:work繼續(xù)教育算法設計與分析基礎7. a. 請基于公式2n=2n-1+2n-1，設計一個遞歸算法。當n是任意非負整數(shù)的時候，該算法能夠計算2n的值。

11、b. 建立該算法所做的加法運算次數(shù)的遞推關系并求解 c. 為該算法構造一棵遞歸調用樹，然后計算它所做的遞歸調用次數(shù)。 d. 對于該問題的求解來說，這是一個好的算法嗎？解:a.算法power(n)/基于公式2n=2n-1+2n-1,計算2n/輸入:非負整數(shù)n/輸出: 2n的值If n=0 return 1Else return power(n-1)+ power(n-1)c.8.考慮下面的算法 算法 Min1(A0.n-1) /輸入:包含n個實數(shù)的數(shù)組A0.n-1 If n=1 return A0 Else tempMin1(A0.n-2) If tempAn-1 return temp Els

12、e return An-1a.該算法計算的是什么?b.建立該算法所做的基本操作次數(shù)的遞推關系并求解解:a.計算的給定數(shù)組的最小值for all n1n=1b.9.考慮用于解決第8題問題的另一個算法,該算法遞歸地將數(shù)組分成兩半.我們將它稱為Min2(A0.n-1)算法 Min(Ar.l) If l=r return Al Else temp1Min2(Al.(l+r)/2) Temp2Min2(Al.(l+r)/2+1.r) If temp1temp2 return temp1 Else return temp2a.建立該算法所做的的操作次數(shù)的遞推關系并求解b.算法Min1和Min2哪個更快?有

13、其他更好的算法嗎?解:a.習題2.54.假設n格梯子有f(n)種方法。 則： f(1) = 1 f(2) = 2 對n2，有： f(n) = （先上一格，再上n-1格的方法數(shù)） + （先上兩格，再上n-2格的方法數(shù)） 即 f(n) = f(n-1) + f(n-2) 所以f(n)是Fibonacci數(shù)列的第n+1項？ #include long fib(int n) if (n = 1 | n = 2) return 1; return fib(n - 1) + fib(n - 2); main() int n; scanf(%d, &n); printf(%ldn, fib(n+1); re

14、turn 0; 習題2.6考慮下面的排序算法,其中插入了一個計數(shù)器來對關鍵比較次數(shù)進行計數(shù).算法SortAnalysis(A0.n-1)/input:包含n個可排序元素的一個數(shù)組A0.n-1/output:所做的關鍵比較的總次數(shù)count0for i1 to n-1 do vAi ji-1 while j0 and Ajv do countcount+1 Aj+1Aj jj+1 Aj+1vreturn count比較計數(shù)器是否插在了正確的位置?如果不對,請改正.解:應改為:算法SortAnalysis(A0.n-1)/input:包含n個可排序元素的一個數(shù)組A0.n-1/output:所做的關

15、鍵比較的總次數(shù)count0for i1 to n-1 do vAi ji-1 while j=0 and Ajv do countcount+1 Aj+1Aj jj-1 if j=0 count=count+1 Aj+1vreturn count7. b gcd（m,n）算法性能最壞情況下為兩個整數(shù)為斐波那鍥數(shù)列,即k時間最長時，最小的整數(shù)對必定為斐波那鍥數(shù)列。9. 我認為埃拉托色尼篩的效率為根號n。10. gcd(a,b)復雜性估計 c = a % b ; c a/2; 在算法中即表現(xiàn)為n（余數(shù)）每兩次循環(huán)至少減少為原來的一半，所以該算法時間復雜度估算為 2logn = O( logn );

16、 由于能力有限，更精確復雜的時間復雜度的計算還沒有掌握。在最壞的情況下（如m和n是兩個相鄰的斐波那契數(shù)時）可以稍微改進成1.44logn。歐幾里德算法在平均情況下的性能需要大量篇幅的高度復雜的數(shù)學分析，其迭代的平均次數(shù)約為（12ln2lnn）/pi2+1.47。習題3.14. a.設計一個蠻力算法,對于給定的x0,計算下面多項式的值:P(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0并確定該算法的最差效率類型.b.如果你設計的算法屬于(n2),請你為該算法設計一個線性的算法.C.對于該問題來說,能不能設計一個比線性效率還要好的算法呢?解:Algorithms BruteForcePolynom

17、ialEvaluation(P0.n,x)/由高冪到低冪用蠻力法計算多項式p在給定點x的值/輸入:P0.n是多項式按低冪到高冪的常系數(shù),以及定值x/輸出: 多項式p在給定點x的值p=0.0for i=n to 0 do power=1 for j=1 to i do power=power*x p=p+Pi*powerreturn p算法效率分析:基本操作:兩個數(shù)相乘,且M(n)僅依賴于多項式的階ntha above algorithms is very inefficient, because we recompute powers of x again and again as if th

18、ere were no relationship among them.In fact ,we can move from the lowest term to the highest and compute xi by using xi-1.Algorithms BetterBruteForcePolynomialEvaluation(P0.n,x)/由高冪到低冪用蠻力法計算多項式p在給定點x的值/輸入:P0.n是多項式按低冪到高冪的常系數(shù),以及定值x/輸出: 多項式p在給定點x的值 P=P0 power=1 for i1 to n do powerpower*x pp+Pi*power r

19、eturn p基本操作乘法運算總次數(shù)M(n):c.不行.因為計算任意一個多項式在任意點x的值,都必須處理它的n+1 個系數(shù).例如: (x=1,p(x)=an+an-1+.+a1+a0,至少要做n次加法運算) 5.應用選擇排序對序列example按照字母順序排序.6.選擇排序是穩(wěn)定的嗎?(不穩(wěn)定) 回到主題，現(xiàn)在分析一下常見的排序算法的穩(wěn)定性，每個都給出簡單的理由。 (1)冒泡排序 冒泡排序就是把小的元素往前調或者把大的元素往后調。比較是相鄰的兩個元素比較，交換也發(fā)生在這兩個元素之間。所以，如果兩個元素相等，我想你是不會再無聊地把他們倆交換一下的；如果兩個相等的元素沒有相鄰，那么即使通過前面的兩

20、兩交換把兩個相鄰起來，這時候也不會交換，所以相同元素的前后順序并沒有改變，所以冒泡排序是一種穩(wěn)定排序算法。 (2)選擇排序 選擇排序是給每個位置選擇當前元素最小的，比如給第一個位置選擇最小的，在剩余元素里面給第二個元素選擇第二小的，依次類推，直到第n-1個元素，第n個元素不用選擇了，因為只剩下它一個最大的元素了。那么，在一趟選擇，如果當前元素比一個元素小，而該小的元素又出現(xiàn)在一個和當前元素相等的元素后面，那么交換后穩(wěn)定性就被破壞了。比較拗口，舉個例子，序列5 8 5 2 9， 我們知道第一遍選擇第1個元素5會和2交換，那么原序列中2個5的相對前后順序就被破壞了，所以選擇排序不是一個穩(wěn)定的排序算

21、法。 (3)插入排序 插入排序是在一個已經(jīng)有序的小序列的基礎上，一次插入一個元素。當然，剛開始這個有序的小序列只有1個元素，就是第一個元素。比較是從有序序列的末尾開始，也就是想要插入的元素和已經(jīng)有序的最大者開始比起，如果比它大則直接插入在其后面，否則一直往前找直到找到它該插入的位置。如果碰見一個和插入元素相等的，那么插入元素把想插入的元素放在相等元素的后面。所以，相等元素的前后順序沒有改變，從原無序序列出去的順序就是排好序后的順序，所以插入排序是穩(wěn)定的。 (4)快速排序 快速排序有兩個方向，左邊的i下標一直往右走，當ai acenter_index。如果i和j都走不動了，i j。 交換aj和a

22、center_index，完成一趟快速排序。在中樞元素和aj交換的時候，很有可能把前面的元素的穩(wěn)定性打亂，比如序列為 5 3 3 4 3 8 9 10 11， 現(xiàn)在中樞元素5和3(第5個元素，下標從1開始計)交換就會把元素3的穩(wěn)定性打亂，所以快速排序是一個不穩(wěn)定的排序算法，不穩(wěn)定發(fā)生在中樞元素和aj交換的時刻。 (5)歸并排序 歸并排序是把序列遞歸地分成短序列，遞歸出口是短序列只有1個元素(認為直接有序)或者2個序列(1次比較和交換),然后把各個有序的段序列合并成一個有序的長序列，不斷合并直到原序列全部排好序?？梢园l(fā)現(xiàn)，在1個或2個元素時，1個元素不會交換，2個元素如果大小相等也沒有人故意交換

23、，這不會破壞穩(wěn)定性。那么，在短的有序序列合并的過程中，穩(wěn)定是是否受到破壞？沒有，合并過程中我們可以保證如果兩個當前元素相等時，我們把處在前面的序列的元素保存在結果序列的前面，這樣就保證了穩(wěn)定性。所以，歸并排序也是穩(wěn)定的排序算法。 (6)基數(shù)排序 基數(shù)排序是按照低位先排序，然后收集；再按照高位排序，然后再收集；依次類推，直到最高位。有時候有些屬性是有優(yōu)先級順序的，先按低優(yōu)先級排序，再按高優(yōu)先級排序，最后的次序就是高優(yōu)先級高的在前，高優(yōu)先級相同的低優(yōu)先級高的在前?；鶖?shù)排序基于分別排序，分別收集，所以其是穩(wěn)定的排序算法。 (7)希爾排序(shell) 希爾排序是按照不同步長對元素進行插入排序，當剛開

24、始元素很無序的時候，步長最大，所以插入排序的元素個數(shù)很少，速度很快；當元素基本有序了，步長很小，插入排序對于有序的序列效率很高。所以，希爾排序的時間復雜度會比o(n2)好一些。由于多次插入排序，我們知道一次插入排序是穩(wěn)定的，不會改變相同元素的相對順序，但在不同的插入排序過程中，相同的元素可能在各自的插入排序中移動，最后其穩(wěn)定性就會被打亂，所以shell排序是不穩(wěn)定的。 (8)堆排序 我們知道堆的結構是節(jié)點i的孩子為2*i和2*i+1節(jié)點，大頂堆要求父節(jié)點大于等于其2個子節(jié)點，小頂堆要求父節(jié)點小于等于其2個子節(jié)點。在一個長為n的序列，堆排序的過程是從第n/2開始和其子節(jié)點共3個值選擇最大(大頂堆

25、)或者最小(小頂堆),這3個元素之間的選擇當然不會破壞穩(wěn)定性。但當為n/2-1, n/2-2, .1這些個父節(jié)點選擇元素時，就會破壞穩(wěn)定性。有可能第n/2個父節(jié)點交換把后面一個元素交換過去了，而第n/2-1個父節(jié)點把后面一個相同的元素沒有交換，那么這2個相同的元素之間的穩(wěn)定性就被破壞了。所以，堆排序不是穩(wěn)定的排序算法。 7.用鏈表實現(xiàn)選擇排序的話,能不能獲得和數(shù)組版相同的(n2)效率?Yes.Both operationfinding the smallest element and swapping it can be done as efficiently with the linked

26、list as with an array. 9.a.請證明,如果對列表比較一遍之后沒有交換元素的位置,那么這個表已經(jīng)排好序了,算法可以停止了.b.結合所做的改進,為冒泡排序寫一段偽代碼.c.請證明改進的算法最差效率也是平方級的.Hints:第i趟冒泡可以表示為:如果沒有發(fā)生交換位置,那么:b.Algorithms BetterBubblesort(A0.n-1)/用改進的冒泡算法對數(shù)組A0.n-1排序/輸入:數(shù)組A0.n-1/輸出:升序排列的數(shù)組A0.n-1countn-1 /進行比較的相鄰元素對的數(shù)目flagtrue /交換標志while flag do flagfalse for i=0

27、 to count-1 do if Ai+1Ai swap(Ai,Ai+1) flagtrue countcount-1c最差情況是數(shù)組是嚴格遞減的,那么此時改進的冒泡排序會蛻化為原來的冒泡排序.10.冒泡排序是穩(wěn)定的嗎?(穩(wěn)定)習題3.2對限位器版的順序查找算法的比較次數(shù):在最差情況下在平均情況下.假設成功查找的概率是p(0=p=1)Hints:Cworst(n)=n+1在成功查找下,對于任意的I,第一次匹配發(fā)生在第i個位置的可能性是p/n,比較次數(shù)是i.在查找不成功時,比較次數(shù)是n+1,可能性是1-p.4. 本題翻譯有問題，原題類似與：前一段時間看到一道 Google 的面試題在各大論壇被

28、炒得很火，題目如下：“有一個100層高的大廈，你手中有兩個相同的玻璃圍棋子。從這個大廈的某一層扔下圍棋子就會碎，用你手中的這兩個玻璃圍棋子，找出一個最優(yōu)的策略，來得知那個臨界層面?！鳖}目雖然看起來簡單，但是仔細想想，此題中蘊含的算法道理以及實用價值還是很值得好好研究一下。石頭在網(wǎng)上也看到了不少熱心朋友的解法（CSDN、ChinaUnix），看過之后感覺還是挺有啟發(fā)的，于是總結一下，主要的算法有以下幾種： 等分段求最小值：這種算法先假設把大樓分成等高的x 段，這樣在最差的情況下，要確定臨界段，我們需要投擲 100/x-1 次，確定了臨界段之后要確定臨界層，我們需要再投擲 x-1 次。這樣，問題就

29、成了求函數(shù) f(x)=(100/x-1)+(x-1) 的最小值問題。由于 f(x) 存在最小值且只有一個駐點，所以當 x=10 時 f(x) 取得最小值，最小值為18。 假設投擲次數(shù)是均勻分布的，那么為了使最壞情況的投擲數(shù)最小，我們希望無論臨界段在哪里，總的投擲數(shù)都不變（也就是說將投擲數(shù)均勻分布）。這樣我們就可以假設第一次投擲的層數(shù)是 f，轉化成數(shù)學模型，可以得到如下方程式 f+(f-1)+.+2+1=99，即 f(f+1)/2=99 的最小整數(shù)解，解出結果等于14。程序算法如下：按結果分析看來，方法一的最小值的確比較?。?0）但是問題是最大值無法確定（比如假設臨界層在第99層則需要仍19下）

30、；而方法二的算法好在能得出一個固定的臨界層值，這樣便于一些問題的處理?？偟膩碚f，石頭認為兩種方法各有所長，雖然方法二看起來的確更接近出題者的本意，但是如果將棋子本身破碎的概率也考慮進去就不一定了（當然，一般來說層數(shù)越高破碎的概率應該越大，但是我們試想一下如果假設棋子破碎的幾率是和層數(shù)成反比，那么使用方法一是否會有更好的效果呢？）。然而不管出題者的意圖是什么，我覺得這個題目所引出的數(shù)學模型還是很有實用意義的，特別在一些數(shù)據(jù)挖掘應用中。我猜想這些算法是不是與 Google 數(shù)據(jù)庫的技術內幕有什么聯(lián)系呢 . 前幾天和一個業(yè)內的前輩談起下一代互聯(lián)網(wǎng)的技術趨勢，說到了所謂的“算法時代”的話題，看來關注一

31、些有趣的算法也不錯呢 . 不知不覺時間又晚了，還是先休息吧 ：）6.給出一個長度為n的文本和長度為m的模式構成的實例,它是蠻力字符串匹配算法的一個最差輸入.并指出,對于這樣的輸入需要做多少次字符比較運算.Hints:文本:由n個0組成的文本模式:前m-1個是0,最后一個字符是1比較次數(shù): m(n-m+1)7.為蠻力字符匹配算法寫一個偽代碼,對于給定的模式,它能夠返回給定的文本中所有匹配子串的數(shù)量.Algorithms BFStringmatch(T0.n-1,P0.m-1)/蠻力字符匹配/輸入:數(shù)組T0.n-1長度為n的文本,數(shù)組P0.m-1長度為m的模式/輸出:在文本中匹配成功的子串數(shù)量co

32、unt0for i0 to n-m do j0 while jm and Pj=Ti+j jj+1 if j=m countcount+1return count8.如果所要搜索的模式包含一些英語中較少見的字符,我們應該如何修改該蠻力算法來利用這個信息.Hint:每次都從這些少見字符開始比較,如果匹配, 則向左邊和右邊進行其它字符的比較.習題3.3奇數(shù)派問題：證明如下：容易驗證當n=3時成立；假設n=k時如果成立，那當n=k+2時，k+2個人記為點 A1，A2，A（k+2），d=min(AiAj),不妨設A（k+1）A（k+2）的距離為d，則A（k+1）和A（k+2）相互是距離最近的點，收到彼

33、此的派：如果A（k+1）和A（k+2）還收到其他人的派，其他k個人至多有k-1個派，利用抽屜原理，其他k個人中必有一個人沒有派；如果A（k+1）和A（k+2）沒有收到其他人的派，其他k個人相互在擲派，利用歸納假設，其他k個人中必有一個沒有派，n=k+2時命題成立。7. 凸包問題找那些x、y坐標最小或者最大的10.該問題可以用下圖表示：該問題即轉化為把3x+5y這條直線平行移動，越在上面k值越大，即轉為求陰影部分的某個極點。習題3.4注意該題的假設（所以不需要排列組合算法再去生成旅行線路），只需要對每條線路求出最短路徑的長度再比較這些路徑，所以，該問題的基本操作為加法。下面談談排列組合的遞歸和非

34、遞歸算法：（一時興起，與本題無關）全排列的遞歸算法給定數(shù)字1n，輸出從中選出m個數(shù)的排列和組合。為了簡單起見，采用遞歸算法來描述，首先解決排列問題：這個算法不太漂亮，用到了兩個全局變量：int ARR = 1,2,3,4,5; / 用來輸出的全局緩沖區(qū)int PERM_LEN; / 排列的長度voidpermutation( int arr, int n, int m ) int i;if( m= 0 ) for(i=0;iPERM_LEN;+i) printf( %d,ARRi);printf(n);return;for(i=0; in; +i)swap( arri, arr0 );perm

35、utation( arr+1, n-1, m-1 );swap( arri, arr0 );算法比較簡單，不詳細說明了。組合的遞歸算法void comb( int n, int m ,int buff, int count )if( m = 0 )/ 遞歸退出條件,打印回車for( int i=0;icount;+i)printf(%d , buffi );printf(n);return;for( int i=0; i= n - m; +i )buffcount+ = n-i;comb( n-i-1, m-1,buff,count );-count;2. 假設輸入n個頂點用數(shù)組表示為vn，而

36、輸入的路徑權重用二維數(shù)組t表示找出全排列的一半，即所有排列中只考慮v1在v2前面的排列,假設每種排列存入臨時數(shù)組K，用S寄存最小路徑。對每個排列，執(zhí)行(2)算出排列的路徑長度，如排列為kn，路徑長度為q=tk0,k1+tk1,k2+，如果該長度小于S,則S為q。3根據(jù)圖論，連通圖是否具有歐拉回路的充要條件是：G的每一個頂點的度是偶數(shù)。所以，只要判斷鄰接矩陣中每行的和是否是偶數(shù)即可。很容易得到這樣一個分配實例，用它的成本矩陣描述為1 22 9該分配只有兩種方案，1+9或者2+2(1) 求出n個正整數(shù)的和K，如K為奇數(shù)，肯定無解。如為偶數(shù)，取K/2。 (2) 對n個數(shù)進行排序，編號為a1 an,最

37、大數(shù)編號為n。(3) 子集中元素個數(shù)為1，從an開始找，直到akp）枚舉所有的排列，看看是否有序。(1)窮舉法：枚舉所有的幻方組合，看看是否滿足條件(2)網(wǎng)上幻方制作方法：（Magic_Square.pdf）（1）窮舉所有的對應表，按對應表把算式進行對應，如果的確相等，即該算數(shù)對應正確。題中字母共有8個，即所有情況為從10個字母中選出8個，同時S M不能為0，即取時的方法共為9（s不能為0）*8（m不能為0）*8!種。（2）見/wiki/Verbal_arithmetic。The solution to this puzzle is O = 0, M

38、 = 1, Y = 2, E = 5, N = 6, D = 7, R = 8, and S = 9用回溯法豪無疑問，M肯定為1，而S必定為9，或者8，S為9時，推出o必定為0，就這樣一步步推下去，不行就回溯。習題4.11.a.為一個分治算法編寫偽代碼,該算法求一個n個元素數(shù)組中最大元素的位置.b.如果數(shù)組中的若干個元素都具有最大值,該算法的輸出是怎樣的呢?c.建立該算法的鍵值比較次數(shù)的遞推關系式并求解.d.請拿該算法與解同樣問題的蠻力算法做一個比較解:a.Algorithms MaxIndex(Al.r)Input:A portion of array A0.n-1 between indi

39、ces l and r(lr)Output: The index of the largest element in Al.rif l=r return lelse temp1MaxIndex(Al.(l+r)/2)temp2MaxIndex(A(l+r)/2.r)if Atemp1Atemp2 return temp1else return temp2b.返回數(shù)組中位于最左邊的最大元素的序號.c.鍵值比較次數(shù)的遞推關系式: C(n)=C( n/2 )+C( n/2 )+1 for n1 C(1)=0 設n=2k，C(2k)=2C(2k-1)+1 =22 C(2k-2)+1+1=22C(2k-

40、2)+2+1 =222C(2k-3)+1+2+1=23C(2k-3)+ 22+2+1 =. =2iC(2k-i)+ 2i-1+2 i-2 +.+2+1 =. =2kC(2k-k)+ 2k-1+2 k-2 +.+2+1=2k1=n-1可以證明C(n)=n-1對所有n1的情況都成立（n是偶數(shù)或奇數(shù)）d.比較的次數(shù)相同，但蠻力算法不用遞歸調用。2、a.為一個分治算法編寫偽代碼，該算法同時求出一個n元數(shù)組的最大元素和最小元素的值。b.請拿該算法與解同樣問題的蠻力算法做一個比較。c.請拿該算法與解同樣問題的蠻力算法做一個比較。解答： a.同時求出最大值和最小值，只需要將原數(shù)組一分為二，再使用相同的方法找

41、出這兩個部分中的最大值和最小值，然后經(jīng)過比較就可以得到整個問題的最大值和最小值。 算法 MaxMin(Al.r,Max,Min) /該算法利用分治技術得到數(shù)組A中的最大值和最小值/輸入：數(shù)值數(shù)組Al.r/輸出：最大值Max和最小值Minif(r=l) MaxAl；MinAl; /只有一個元素時elseif rl=1 /有兩個元素時if AlArMaxAr; MinAlelseMaxAl; MinArelse /rl1MaxMin(Al,(l+r)/2,Max1,Min1); /遞歸解決前一部分MaxMin(A(l+r/)2.r,Max2,Min2); /遞歸解決后一部分if Max1Max2

42、Max= Max2 /從兩部分的兩個最大值中選擇大值if Min22C(1)=0, C(2)=1C(n)=C(2k)=2C(2k-1)+2=22C(2k-2)+2+2=22C(2k-2)+22+2=222C(2k-3)+2+22+2=23C(2k-3)+23+22+2.=2k-1C(2)+2k-1+2k-2+.+2 /C(2)=1=2k-1+2k-1+2k-2+.+2 /后面部分為等比數(shù)列求和=2k-1+2k-2 /2(k-1)=n/2,2k=n=n/2+n-2=3n/22b.蠻力法的算法如下： 算法 simpleMaxMin(Al.r)/用蠻力法得到數(shù)組A的最大值和最小值/輸入：數(shù)值數(shù)組Al

43、.r/輸出：最大值Max和最小值MinMax=Min=Al;for i=l+1 to r do if AiMax MaxAi;else if Aibd，由于底決定n的次方，所以不能略。6.應用合并排序對序列E,X,A,M,P,L,E按字母順序排序.3218.a.對合并排序的最差鍵值比較次數(shù)的遞推關系式求解.(for n=2k)b.建立合并排序的最優(yōu)鍵值比較次數(shù)的遞推關系式求解.(for n=2k)c.對于4.1節(jié)給出的合并排序算法,建立它的鍵值移動次數(shù)的遞推關系式.考慮了該算法的鍵值移動次數(shù)之后,是否會影響它的效率類型呢?解:遞推關系式見4.1節(jié).最好情況(列表升序或降序)下:Cbest(n)=2Cbest(n/2)+n/2 for n1 (n=2k)Cbest(1)=0鍵值比較次數(shù)M(n)M(n)=2M(n/2)+2n for n1M(1)=09 修改合并排序，在、C兩個數(shù)組合并時，一但比較時發(fā)現(xiàn)的元素小于C，站在C的角度考慮，C后面的元素都大于B,假設前面的元素都考慮過了，則此處沒有導