2010高三數(shù)學一輪復習精品算術平均數(shù)與幾何均數(shù)

1、2010高三數(shù)學一輪復習精品（四）：算術平均數(shù)與幾何均數(shù)、基礎知識1、算術平均數(shù):如果a,bR ，那么乞_衛(wèi)叫做這兩個正數(shù)的算術平均數(shù)。22、幾何平均數(shù):如果a,bR ，那么ab叫做這兩個正數(shù)的幾何平均數(shù)。定理：如果a,bR ，那么a2 b2 _ 2ab （當且僅當a=b時取“=”號）推論：如果a,bR ，那么, ab （當且僅當a=b時取“=”號）2基本不等式:口 a2 +b2 a +b =2則ab 一V 221+1a b當且僅當a=b時取“=”號二、例題選講題型1、利用基本不等式比較大小例1、P223變式若 a b 1, P = . Ig a lg b, Q = 1 lg a lg b ,

2、R = lg 空-，試比較 P, Q。R 的大小。 2 2解： a b 1,. lg a lg b 01 lg a lg b ； lg a lg b，即 Q P又-ab,lg -blg ab =1 lg a lg b ， . R Q2 2 2即R Q P題型2、利用基本不等式證明不等式例2、考例2已知 a,b,c R，求證a2 b2 一 Jb2 c2 Jc2 a2 _ 2 a b c證明：a2+b2 打a+bY蘭2l 2丿|a +b 蘭同理二 /b2+c2+c ) ”培c2+a22 ，三式相加得，a2 b2 ； b2c . c2a . 2 a b c練習：P224變式 證明不等式：若 a,bw

3、 R,a G,b 1，則 ajl _b2 +bjl _a2 蘭 12 ，2 , 2 222 a lb b 1 - a 彳證：a 1 -bb -a12 2111例3、已知a,b,c為不等正數(shù)，且 abc=1，求證：一 ab 、c :：:a b c證一：； a,b,c為不等正數(shù)，且 abc=1、a . b c 一b c211證二：；a,b,c為不等正數(shù)，且 abc=1111, bc ca ba ca bc babc ac ab =a b c222- abc2 fa2bc ；ab2c = 、a . b 、c所以 a 亠b , c : 1a b c小結(jié)：根據(jù)不等式結(jié)構(gòu)特點靈活選用基本不等式。練習：P2

4、24變式 已知 a,b R 且 a+b=1求證：i11 i1 1_ 9a b證一：+ 1=4+畀也+12+W=4 + 2 也+1卒+4+1=9 丿l a 人b 丿i a人b丿la b丿_ 1證二：因為 a, b R 且 a+b=1，所以 a b 一 2 ab，二 2ab11 1 1 = a 1 b 1 =ab a b 1=1.2_1.S=1.4 “ga babababab. ab題型3、利用基本不等式求最值51例4、（ 1）已知x ，求函數(shù)y =4x2的最大值。44x5（2）已知a,b為實常數(shù)，求函數(shù) y二x-a亠ix-b ?的最小值。分析：利用基本不等式求最值要注意一正、二定、三等號相等。解

5、(1) x :：5,. 5_4x 04二 y =4x2+ = _ 5_4x+ 3 蘭 一2+3 = 14x - 5 i5 4x 丿當且僅當5 4x，即x=1時”成立5 4x-當 x=1 時 ymax 二 12 2 2 2 2(2) 丁 y = (xa f +(xb ) = 2x 2(a+b)x + a +b時,ymin =2 a-b-2a b22a b 22 a-ba2b22另解：a2 +(x-b) =(x) +(b-x)卜 h 當且僅當 x-a=b-x,即卩x=a -時，ymin二上 2 2結(jié)論：滿足一正、二定、三相等和定積最大，積定和最小。題型4、基本不等式的綜合應用例5、P225考例5已

6、知A、B兩地相距200km，一只船從 A地逆水到B地，水速為8km/h，船在靜水中的速度為v km/h(80)，貝U ykv2當v=12時，720 720 二k 122得 k=5設全程燃料費為y,依題意有y = % J00 =1000v =1000 V +8+- L1000 v-8+- +16卜 32000v-8 v8、_ v-8 丿、_ v-8 丿64當v -8，即v=16時取等號v 88v 乞 v0所以當v -16時，v=16時全程燃料費最省當 v : 16時，令 t = v -8v 8任取 8 : Vi : 72 二 V則 0 : v)8 : 8,0 ： v2 : 86464.1 0 (vi -8 v2-8 )ti -t- vi - v2!1W -8 v2 -8即t二v -8 旦在8,v上為減函數(shù)，當v 8v=V0 時，y取最小值1000v2v -8綜合得：當v _16時,v=16km/h，全程燃料費最省,32000 為元，當 v ： 16 時,V=V0時，全程燃料費最省，為1000v2丿元。另解：當v ： 16時，令t = v - 8 -64v8t =1-64v-828 : v v0 ：162.0 ： v8 : 8,0 ： v8: 64-64(v-8丫：0 t = v -8 -6纟在8, v0】上為減函數(shù)v-8以下相同小結(jié)