2018年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(全國(guó)新課標(biāo)Ⅰ卷)理科數(shù)學(xué)試題及詳解精編精校版

1、2018年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（全國(guó)新課標(biāo)1卷）理科數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1 答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上。2回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如 需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。 寫在本試卷上無(wú)效。3 考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有 項(xiàng)是符合題目要求的。1 i1設(shè) z 2i ,則 |z|()1 i1 lA 0 B C 1D. 1221. 答案：C1 i解答：z 2i i , z 1,二選

2、 C.，則 eR A（1 i2.已知集合AC. x| x2.答案：B 解答：A x|xU x|xD x|xU x|x 21,則 CrA x|x 2.3某地區(qū)經(jīng)過(guò)一年的新農(nóng)村建設(shè)，農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入增加了一倍，實(shí)現(xiàn)翻番.為更好地了解該地區(qū)農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入變化情況，統(tǒng)計(jì)了該地區(qū)新農(nóng)村建設(shè)前后農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例，得到如下餅圖:建設(shè)前經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例則下面結(jié)論中不正確的是（）A 新農(nóng)村建設(shè)后，種植收入減少B新農(nóng)村建設(shè)后，其他收入增加了一倍以上 C新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入增加了一倍D 新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過(guò)了經(jīng)濟(jì)收入的一半3.答案：A解答：假設(shè)建設(shè)前收入為a，則建設(shè)后收入為2a，所以

3、種植收入在新農(nóng)村建設(shè) 前為60 %a，新農(nóng)村建設(shè)后為37% 2a ；其他收入在新農(nóng)村建設(shè)前為4% a，新農(nóng)村建設(shè)后為5% 2a，養(yǎng)殖收入在新農(nóng)村建設(shè)前為30% a，新農(nóng)村建設(shè)后為30% 2a故不正確的是A.點(diǎn)為A，圓柱表面上的點(diǎn) N在左視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B，則在此圓柱側(cè)面上，從M到N4 記Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和若3S3S2， a2，則 a5()A.12B10C.10 D.124.答案：B解答：3 23(3印d)2印 d 4a-i4 3 d29a-i 9d6a1 7d3c 2d 06 2d 0 d3，.a5a1 4d2 4(3)10.35.設(shè)函數(shù)f(x) x(a1)x2 ax若f (x)為奇

4、函數(shù)，則曲線yf (x)在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為A. y 2xB.y xc y2xd . yx5.答案：D解答：t f(x)為奇函數(shù),.f ( x)f(x)，即a 1， f(x)x3 x，/. f (0)1，.切線方程為：yx，選 D.6.在 ABC 中，AD為BC邊上的中線，IE為AD的中點(diǎn)，貝UuuuEB()3 uuu1 UUUT1uuu 3uuu3 uuu1 uuir1 uuu3 uurA. AB ACB.AB -ACC.-AB-ACD.AB AC444444446.答案：Aurnuuuuuuluu1 uuuuu11 uuuuuu3uuu 1unr解答：EBABAEABADAB(AB

5、AC)一AB -AC.222447 某圓柱的高為2，底面周長(zhǎng)為16,其三視圖如圖.圓柱表面上的點(diǎn)M在正視圖上的對(duì)應(yīng)的路徑中，最短路徑的長(zhǎng)度為(B 2、5解答：三視圖還原幾何體為一圓柱，如圖，將側(cè)面展開(kāi)，最短路徑為M,N連線的距離，所以MN乙42 22 2 5，所以選B.2 2&設(shè)拋物線C: y2=4x的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)(0)且斜率為一的直線與C交于M , N兩點(diǎn),3r r uuuu uuur則 FM FN =()A . 5B. 6C. 78.答案：D解答：由題意知直線MN的方程為y線方程聯(lián)立有y3(x2)，可得x12y1y4xuuuuuuurunuiuuu2 FM (0,2),FN(3,4) ,

6、 a FM FN2-(x 2)，設(shè) M(X1,y1),N(X2,y2)，與拋物31十X2 或2y244，0 3 24 8.D. 89.已知函數(shù)f(x)xe , xIn x, x0,0, g(x)f (x) x a 若g (x)存在2個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是(A . -, 0)9.答案：C 解答： g(x)B . 0, +8) C. - , +8)f(x) x a存在2個(gè)零點(diǎn)，即yD . 1 , +8)f(x)與y x a有兩個(gè)交點(diǎn),f(x)的圖象如下:要使得y x a與f (x)有兩個(gè)交點(diǎn)，則有 a 1即a 1，二選C.10.下圖來(lái)自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形.此圖由三個(gè)半圓構(gòu)成，

7、 三個(gè)半圓的直徑分別為直角三角形 ABC的斜邊BC,直角邊AB, AC. ABC的三邊所圍成的 區(qū)域記為I,黑色部分記為H,其余部分記為川.在整個(gè)圖形中隨機(jī)取一點(diǎn)，此點(diǎn)取自i,n,m的概率分別記為 P1, p2, p3,則( )A . p1=p2 B . p1 = p3 C . p2=p3D. p1=p2+p310.答案：A解答：取 AB AC 2,則 BC 2,2 ,區(qū)域I的面積為s區(qū)域u的面積為S2121212 22，區(qū)域川的面積為S3-(2 2 2，S32，故 PiP2.x211.已知雙曲線C:3漸近線的交點(diǎn)分別為A. 3211.答案：B解答：漸近線方程為:ONM，如圖,y故選X3,3(

8、xB.2)- N(|,21，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為C的右焦點(diǎn)，過(guò)M、若厶OMN為直角三角形，貝U |MN|=2 3C.-kNM12.已知正方體的棱長(zhǎng)為 1，得截面面積的最大值為(八33o2.3A.B.433，直線即 ON 3F的直線與C的兩條fx，v OMN為直角三角形，假M(fèi)N方程為y 、3(x2).聯(lián)立MON 3，MN每條棱所在直線與平面)C. 口4a所成的角都相等，則a截此正方體所D .二2412.答案：A解答：由于截面與每條棱所成的角都相等，所以平面中存在平面與平面AB1D1平行(如圖)，而在與平面AB.D平行的所有平面中，面積最大的為由各棱的中 點(diǎn)構(gòu)成的截面EFGHMN，而平面EFGHMN

9、的面積c 1.2 .33,3S62 2 2 2trAE2yyoSnSnSi列S663.L5分，共20分。二、填空題：本題共 4小題，每小題13.答案：6解答:畫出可行域如圖所示，可知目標(biāo)函數(shù)過(guò)點(diǎn)Zmax3 2 2 0 6.(2,0)時(shí)取得最大值,1，所以an2 1，所以又因?yàn)閍i61 (1 2 )1 22an 1, 作差得a1 2an 11,2a1 1，所以 a11 2an，所以an為公比為2的等比數(shù)15.2 010 ，則z 3x 2y的最大值為x13 .若x，y滿足約束條件 xy14.答案：63從2位女生，4位男生中選3人參加科技比賽，且至少有 共有種.(用數(shù)字填寫答案)1位女生入選，則不同

10、的選法14 .記Sn為數(shù)列an的前項(xiàng)和若Sn 2an1，則 S615. 答案：16解答：恰有1位女生，有C；C： 12種；恰有2位女生，有C；C；4種，.不同的選法共有12 4 16種.16.已知函數(shù)f x2sin x sin2x ,貝U f x的最小值是16. 答案：2衛(wèi)解答:f(x)f (x) 2(cosx2sin x sin2x，二f (x)最小正周期為T 2 cos2x) 2(2cos x cosx 1)，令 f (x) 0，22cos x cosx 10，二 cosx 或 cosx1.1 5當(dāng)cos ，為函數(shù)的極小值點(diǎn)，即x 或x -2 33當(dāng) cosx 1,x f(3)3 = .

11、fq) 2.3，f(0) f(2 ) 0，f()3f(x)最小值為2丘三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、 證明過(guò)程或演算步驟。 第1721題為必考題, 每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。(一)必考題：60分。17. (12 分)在平面四邊形 ABCD 中， ADC 90， A 45， AB 2， BD 5.(1) 求 cos ADB ;(2) 若 DC 2 2，求 BC.17. 答案：(1);(2) 5.5解答：（1）在ABD中，由正弦定理得:5sin 45sin ADBsin ADBADB 90o, - cos ADB . 1 sin2 ADB.235

12、(2)ADBBDC cos2，cosBDC cos(2ADB) sin8 25 BCBC 552 5 2*2 .BDCADBcos(2ADB) sin ADB ,cos BDC2 2 2DC BD BC2 BD DC18. （12分）如圖，四邊形 ABCD為正方形，E, F分別為AD,BC的中點(diǎn)，以DF為折痕 把厶DFC折起，使點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)P的位置，且PF BF .（1）證明：平面 PEF 平面 ABFD ；（2）求DP與平面ABFD所成角的正弦值18.答案：（1）略；（2）込.4解答：(1) E,F分別為AD,BC的中點(diǎn)，貝U EF/AB , EF BF , 又 PF BF , EF PF F

13、 , BF 平面 PEF ,BE 平面ABFD，平面 PEF 平面ABFD .(2) PF BF , BF /ED , PF ED ,又 PF PD , ED DP D , PF 平面 PED , PF PE ,4設(shè) AB 4,則 EF 4 , PF 2, PE 2、3 ,過(guò)P作PH EF交EF于H點(diǎn), 由平面PEF 平面ABFD , PH平面ABFD ,連結(jié)DH ,由PEPF EF PH , PH 2 2 2 x3, 4而PD.PHy/34 ,sin PDHPD4則PDH即為直線DP與平面ABFD所成的角, DP與平面ABFD所成角的正弦值的坐標(biāo)為(2,0).(1) 當(dāng)丨與x軸垂直時(shí)，求直線

14、 AM的方程；(2) 設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明： OMA OMB .19. 答案：(1)y 2(x 2) ；( 2)略.2解答：(1)如圖所示，將x 1代入橢圓方程得1)其方程為yk(x(2 k2 1)x24k2Xk AMkBMx12kAMkBM ，2 /1，得 y乎(x 2).2可知，結(jié)論成立；當(dāng)1)，A(Xi,yJ,B(X2,y2),2 k2 20，X1X2y2x22OMAk(2 XjX23(Xj手，二 A(1,y聯(lián)立橢圓方程有蘭2 2k2 2k2斜率存在時(shí),k(x 1),即14k22k2 1X2) 4化 2)(X2 2)OMB .X1X2k2k2 121，12k22k2 14)(為 2)(X

15、22)020.( 12 分)某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對(duì)產(chǎn)品作檢驗(yàn)，如檢驗(yàn)出不合格品，則更換為合格品檢驗(yàn)時(shí)，先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗(yàn)，再根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果決定是否對(duì)余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)，設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為 p(0 p 1)，且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨(dú)立.(1)記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f (p),求 f ( p)的最大值點(diǎn)p0 (2)現(xiàn)對(duì)一箱產(chǎn)品檢驗(yàn)了20件，結(jié)果恰有2件不合格品，以(1)中確定的p0作為p的值.已知每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為2元，若有不合格品進(jìn)入用戶手中，則工廠要對(duì)每件不合格品支付25元的賠償費(fèi)用.(i )若不對(duì)該

16、箱余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，這一箱產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和記為X，求EX ;(ii)以檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對(duì)這箱余下的所有產(chǎn)品作 檢驗(yàn)？20. 答案：略解答：(1)由題可知 f(p)c；op2(i p)18 (o p i). f(p) c2o2 p(1 p)1818p2(1 p)17 (1) 2C；op(1 p)17(1 10 p)當(dāng) p (0,)時(shí)，f(p) 0，即 f(p)在(o,2)上遞增;當(dāng) p (10,1)時(shí)，f(p) 0,1即f(p)在瞌1)上遞減11 f(p)在點(diǎn)p處取得最大值，即p0 .1010(2)( i )設(shè)余下產(chǎn)品中不合格品數(shù)量為丫，則X 40 25

17、Y，由題可知11Y : B(180,)， EY np 18018.1010 EX E(40 25Y)40 25EY 40 25 18 490 (元).(ii )由(i )可知一箱產(chǎn)品若全部檢驗(yàn)只需花費(fèi) 400元，若余下的不檢驗(yàn)則要490 元，所以應(yīng)該對(duì)余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn).121. (12分)已知函數(shù)f(X)x(1)討論f (x)的單調(diào)性；X1 x2x1 x2(2)若f (x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)X-I, x2，證明:x1f x2x1 x221.答案：(1)見(jiàn)解析；(2)見(jiàn)解析.1x解答：(1)T f(x)0，aX1-f(X) 0, 0，即aa2422此時(shí)2或aa 、a2x ax 12x f(x)在(0

18、,)上為單調(diào)遞增.2，此時(shí)方程x2 ax 1 0兩根為 244，當(dāng)a 2時(shí)，此時(shí)兩根均為負(fù)， f(X)在x aln X， f (x)，當(dāng)2 a 2時(shí),2(0,)上單調(diào)遞減.當(dāng)a 2時(shí)， 0,此時(shí)f(x)在(0,f(x)在(aa2 42減.綜上可得，(0,a2上單調(diào)遞增.(2)由(1)(aa a222時(shí)，f (x)在(0,)上單調(diào)遞減；a4)上單調(diào)遞增，f(x)在(a)上單調(diào)遞減，f (x)在(aa . a242、a2 422時(shí)，a2 42)上單調(diào)遞減,)上單調(diào)遞f (x)在a 、 a2 4) ,2)2x10x1x2 , 為X2可得,ax 1f (X1)2(x2 xj a(ln x1ln x2)

19、.0兩根為必得a 2 , X1 X2a,X11 1x1 a ln 為(x2 aln x2)X2In x1 ln x2a _f (X2)X1f(xj f(X2)X2 1,令，要證f(xjf(X2)X1X22ln1X2X2X1x2即要證2ln x2令 g(x)2lnIn x1In x2X1X2X21Xx1成立，即X21a 2成立，即要證In x-iIn x2X-|x2X 0(X2 1)In 彳 x-! x21 成立X20(X2 1)，X2X1x2x(x 1)，可得 g(x)在(1,)上為增函數(shù)， g(x) g(1) 0 ,f(xj f(X2)X1X2a 2成立.(二)選考題：共 一題計(jì)分。22.選

20、修 44:在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線G的方程為y k|X| 2 以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為 極軸建立極坐標(biāo)系，曲線 C2的極坐標(biāo)方程為2 2 cos 3 0.(1) 求C2的直角坐標(biāo)方程；(2) 若C1與C2有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)，求10分。請(qǐng)考生在第坐標(biāo)系與參數(shù)方程22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第(10 分)22.答案：(1) (x 1)2 y2 4 ； (2) yC1的方程.4x32 2x y解答：(1)由2 2 cos 3 0可得：(2) G與C2有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)，說(shuō)明直線y2xkx圓心為(1,0)，半徑為2，3 0，化為(x 1)2 y24.2(k 0)與圓C2相切

21、，圓C24-,故G的方程為3y -|x 2323.選修45:不等式選講 已知f (X)(1) 當(dāng) a(2) 若 x(10 分)1|.23.答案：(1)|x 1| |ax1時(shí)，求不等式f(x) 1的解集;(0,1)時(shí)不等式f (x) x成立，1x|x - ； (2) (0,2.a的取值范圍.解答：(1)當(dāng) a 1 時(shí)，f (X) |x 1| |x1|22x21 f(x) 1 的解集為X|x .2(2)當(dāng) a 0 時(shí)，f (x) |x 1| 1，當(dāng) x(0,1)時(shí),f(x)x不成立.當(dāng) a 0 時(shí)，x (0,1)f(x) x 1 (1 ax)當(dāng) 0 a 1 時(shí)，x (0,1), f (x) x 1

22、 (1 ax)（a 1）x x,不符合題意.(a 1)x x 成立.當(dāng) a 1 時(shí)，f (x)1(a 1)x,1 x -a1 (1 a)x 2, x aa) 1 2 1，即 a2.綜上所述，a的取值范圍為（0,2.123456789CBABDABDC13.614. 6315.1616.217.（12 分）解：（1 ）在厶ABD中，由正弦定理得BDABsinA sin ADB5由題設(shè)知，一2，所以sinADB sin 45sinADB5由題設(shè)知，ADB90，所以cosADB1 2、23255（2）由題設(shè)及（1）知，cos BDCsinADB參考答案:10A11B12A在厶BCD中，由余弦定理得B

23、C2 BD2 DC22 BD DC cos BDC25 852 5 2 525.22則 H (0,0,0), P(0,0,D(1,i0),uuu 3 ,3 DP),uuurHP(0,0,)為平面2所以BC 5.18. (12 分)解：(1)由已知可得，BF丄PF, BF丄EF，所以BF丄平面PEF.又BF 平面 ABFD，所以平面 PEF丄平面 ABFD .(2)作PH丄EF，垂足為比由(1)得，PH丄平面 ABFD.uuuruuu以H為坐標(biāo)原點(diǎn)，HF的方向?yàn)閥軸正方向，| BF |為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系H-xyz.DE=1，所以 PE=.又 PF=1 , EF=2，故 PE丄

24、 PF.而當(dāng) x (1,)時(shí)，g(x) 0.ABFD的法向量.設(shè)DP與平面ABFD所成角為，則 sin所以DP與平面ABFD所成角的正弦值為uuur uuu,HP DP ,| _utu |HP|DP|4 *19 . (12分)解：(1 )由已知得F(1,0) , I的方程為x=1.x ,2.2由已知可得，點(diǎn) A的坐標(biāo)為(1,二2)或(1,2恵 廠所以AM的方程為yx 2或y2(2)當(dāng)I與x軸重合時(shí)，OMA當(dāng)I與x軸垂直時(shí)，OM為AB的垂直平分線，所以O(shè)MA當(dāng)I與x軸不重合也不垂直時(shí)，設(shè)I的方程為y k(x 1)(k 0) , A(x1, yj, B( x2, y2),.2, x22，直線MA

25、, MB的斜率之和為kMA kMB J .X12 X22OMB 0 .OM為AB的垂直平分線，所以O(shè)MB .kMA則x,由y1kx1 k, y2 kx2 k 得Zkxx 3k(% x2) 4k(x 2)(X22k(x 1)代入22)y21得(2 k21)x2 4k2x 2k220.4k1 2 *2k22所以，X1X22,X1X22k2 12k2 13334k 4k 12k 8k4k則 2kx1x23k(x-| x2)4k2 k210.從而kMAkMB0，故MA，MB的傾斜角互補(bǔ)，所以O(shè)MAOMB .綜上， OMA OMB .20. (12 分)解：(1) 20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為

26、f(p) C；0p2(1 p)18.因此 f(p) C；2p(1 p)18 18p2(1 p)17 2C；p(1 p)17(1 10p).令f所以(2)(i)X(p)0，得 p 0.1.當(dāng) p (0,0.1)時(shí)，f(p) 0 ;當(dāng)f (p)的最大值點(diǎn)為 p00.1.由(1)知，p 0.1.令Y表示余下的180件產(chǎn)品中的不合格品件數(shù)，依題意知20 2 25Y，即 X 40 25Y .(0.1,1)時(shí)，f(p) 0.Y : B(180,0.1)，所以 EX E(40 25Y)40 25EY 490.(ii) 如果對(duì)余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，則這一箱產(chǎn)品所需要的檢驗(yàn)費(fèi)為 由于EX21.( 12 分)400，故應(yīng)該對(duì)余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)400 元.解：(1)f (x)的定義域?yàn)?0,f (x)(i )若 a單調(diào)遞減.2，則f (x)0，當(dāng)且僅當(dāng)x(x)ax 12.X0，所以 f (x)在(0,)(ii)若 a 2，令 f (x)0得,a a24 或 x2、.a242(0,aa 、a2 丄 za :a24(2、a24、 , a24 a 、a24)U(-2a a2 4,)時(shí)，),( a 4,)單調(diào)遞減，在(空2)時(shí)，f (x)f (x)0.所以 f(x)在a242)單調(diào)遞增.(2)由于由(1