高中數(shù)學奧賽的技巧(上篇

1、奧林匹克數(shù)學的技巧（上篇）有固定求解模式的問題不屬于奧林匹克數(shù)學，通常的情況是，在一般思維規(guī)律的指導下，靈活運用數(shù)學基礎知識去進行探索與嘗試、選擇與組合。這當中，經(jīng)常使用一些方法和原理（如探索法，構造法，反證法，數(shù)學歸納法，以及抽屜原理，極端原理，容斥原理），同時，也積累了一批生氣勃勃、饒有趣味的奧林匹克技巧。在2-1曾經(jīng)說過：“競賽的技巧不是低層次的一招一式或妙手偶得的雕蟲小技，它既是使用數(shù)學技巧的技巧，又是創(chuàng)造數(shù)學技巧的技巧，更確切點說，這是一種數(shù)學創(chuàng)造力，一種高思維層次，高智力水平的藝術，一種獨立于史詩、音樂、繪畫的數(shù)學美?！眾W林匹克技巧是競賽數(shù)學中一個生動而又活躍的組成部分。2-7-1

2、 構造它的基本形式是：以已知條件為原料、以所求結論為方向，構造出一種新的數(shù)學形式，使得問題在這種形式下簡捷解決。常見的有構造圖形，構造方程，構造恒等式，構造函數(shù)，構造反例，構造抽屜，構造算法等。例2-127 一位棋手參加11周（77天）的集訓，每天至少下一盤棋，每周至多下12盤棋，證明這棋手必在連續(xù)幾天內(nèi)恰好下了21盤棋。證明：用表示這位棋手在第1天至第天（包括第天在內(nèi)）所下的總盤數(shù)（），依題意 考慮154個數(shù)：又由，即154個數(shù)中，每一個取值是從1到153的自然數(shù)，因而必有兩個數(shù)取值相等，由于時， 故只能是滿足 這表明，從天到天共下了21盤棋。這個題目構造了一個抽屜原理的解題程序，并具體構造

3、了154個“蘋果”與153個“抽屜”，其困難、同時也是精妙之處就在于想到用抽屜原理。例 2-128 已知為正數(shù)且求表達式的最最小值。解：構造一個ABC，其中三邊長分別為，則其面積為另方面故知，當且僅當C=90時，取值得最小值2，亦即時，取最小值2，如時，。2-7-2 映射它的基本形式是RMI原理。令R表示一組原像的關系結構（或原像系統(tǒng)），其中包含著待確定的原像，令表示一種映射，通過它的作用把原像結構R被映成映象關系結構R*，其中自然包含著未知原像的映象。如果有辦法把確定下來，則通過反演即逆映射也就相應地把確定下來。取對數(shù)計算、換元、引進坐標系、設計數(shù)學模型，構造發(fā)生函數(shù)等都體現(xiàn)了這種原理。建立

4、對應來解題，也屬于這一技巧。例2-129 甲乙兩隊各出7名隊員按事先排好的順序出場參加圍棋擂臺賽，雙方先由1號隊員比賽，負者被淘汰，勝者再與負方2號隊員比賽，直到有一方隊員全被淘汰為止，另一方獲得勝利，形成一種比賽過程，那么所有可能出現(xiàn)的比賽過程的種數(shù)為 。解 設甲、乙兩隊的隊員按出場順序分別為A1，A2，A7和B1，B2，B7。如果甲方獲勝，設獲勝的場數(shù)是，則而且 （*）容易證明以下兩點：在甲方獲生時，（i）不同的比賽過程對應著方程（*）的不同非負整數(shù)解；（ii）方程（*）的不同非負整數(shù)解對應著不同的比賽過程，例如，解（2，0，0，1，3，1，0）對應的比賽過程為：A1勝B1和B2，B3勝A

5、1，A2和A3，A4勝B3后負于B4，A5勝B4，B5和B6但負于B7，最后A6勝B7結束比賽。故甲方獲勝的不同的比賽過程總數(shù)是方程（*）的非負整數(shù)解的個數(shù)。解二 建立下面的對應；集合的任一個7-可重組合對應著一個比賽過程，且這種對應也是一個一一對應。例如前述的比賽過程對應的7-可重組合是所以甲方獲勝的不同的比賽過程的總數(shù)就是集合的7-可重組合的個數(shù)。例2-130 設表示個元素中有個不動點的所有排列的種數(shù)。求證證明 設。對S的每個排列，將它對應向量，其中每個，當排列中第個元素不動時，否則為0。于是中所計數(shù)的任一排列所對應的向量都恰有個分量為1，所以個排列所對應的那些向量中取值為1的分量的總數(shù)為

6、。另一方面，對于每個，使得第個元素不動的排列共有個，從而相應的維向量中，有個向量的第個分量為1。所以，所有向量的取值為1的分量總數(shù)，從而得到 例2-131 在圓周上給定個點，從中任選個點染成黑色。試證一定存在兩個黑點，使得以它們?yōu)槎它c的兩條弧之一的內(nèi)部，恰好含有個給定的點。證明 若不然，從圓周上任何一個黑點出發(fā)，沿任何方向的第個點都是白點，因而，對于每一個黑點，都可得到兩個相應的白點。這就定義了一個由所有黑點到白點的對應，因為每個黑點對應于兩個白點，故共有個白點（包括重復計數(shù)）。又因每個白點至多是兩個黑點的對應點，故至少有個不同的白點，這與共有個點矛盾，故知命題成立。2-7-3 遞推如果前一件

7、事與后一件事存在確定的關系，那么，就可以從某一（幾）個初始條件出發(fā)逐步遞推，得到任一時刻的結果，用遞推的方法解題，與數(shù)學歸納法（但不用預知結論），無窮遞降法相聯(lián)系，關鍵是找出前號命題與后號命題之間的遞推關系。用遞推的方法計數(shù)時要抓好三個環(huán)節(jié)：（1）設某一過程為數(shù)列，求出初始值等，取值的個數(shù)由第二步遞推的需要決定。（2）找出與，等之間的遞推關系，即建立函數(shù)方程。（3）解函數(shù)方程例2-132 整數(shù)1，2，n的排列滿足：每個數(shù)大于它之前的所有的數(shù)或者小于它之前的所有的數(shù)。試問有多少個這樣的排列？解 通過建立遞推關系來計算。設所求的個數(shù)為，則（1）對，如果排在第位，則它之后的個數(shù)完全確定，只能是,2，

8、1。而它之前的個數(shù)，,，有種排法，令,得遞推關系。 （2）由（1），（2）得 例2-133 設是正整數(shù)，表示用21矩形覆蓋的方法數(shù)；表示由1和2組成的各項和為的數(shù)列的個數(shù)；且 ，證明 證明 由的定義，容易得到 又因為，且當時，類似地可證在時也有，從而和有相同的遞推關系和相同的初始條件，所以。用無窮遞降法求解也用到了這一技巧。2-7-4 區(qū)分當“數(shù)學黑箱”過于復雜時，可以分割為若干個小黑箱逐一破譯，即把具有共同性質的部分分為一類，形成數(shù)學上很有特色的方法區(qū)分情況或分類，不會正確地分類就談不上掌握數(shù)學。有時候，也可以把一個問題分階段排成一些小目標系列，使得一旦證明了前面的情況，便可用來證明后面的情

9、況，稱為爬坡式程序。比如，解柯西函數(shù)方程就是將整數(shù)的情況歸結為自然數(shù)的情況來解決，再將有理數(shù)的情況歸結為整數(shù)的情況來解決，最后是實數(shù)的情況歸結為有理數(shù)的情況來解決。的處理也體現(xiàn)了爬坡式的推理（例2-47）。區(qū)分情況不僅分化了問題的難度，而且分類標準本身又附加了一個已知條件，所以，每一類子問題的解決都大大降低了難度。例2-134 設凸四邊形ABCD的面積為1，求證在它的邊上（包括頂點）或內(nèi)部可以找出4個點，使得以其中任意三點為頂點所構成的4個三角形的面積均大于1/4。證明 作二級分類1當四邊形ABCD為平行四邊形時，A，B，C，D即為所求，命題成立。2當四邊形ABCD不是平行四邊形時，則至少有一

10、組對邊不平行，設AD與BC不平行，且直線AD與直線BC相交于E，又設D到AB的距離不超過C到AB的距離，過D作AB的平行線交BC于F，然后分兩種情況討論。（1）如圖2-52，此時可作EAB的中位線PQ、QG，則 即A、G、Q、P為所求。（2）如圖2-53，此時可在CD與CF上分別取P、Q，使。過Q9或P）作QGAP交AB于G。為證，連AP交BE于M，過A作AHBC交CD延長線于H。有得 故A、P、Q、G為所求，這實際上已證明了一個更強的命題：面積為1的凸四邊形一定能嵌入一個面積大于1/2的平行四邊形。例2-135 對內(nèi)角分別為為30、60、90的三角形的頂點和各邊四等分點共12個點，染以紅色或

11、藍色，則必存在同色的三點，以它們?yōu)轫旤c的三角形與原三角形相似。證明 設ABC中，C=90，B=60，C=30，點A1，A2，A3；B1，B2，B3；C1，C2，C3分別是邊AB、BC、CA的四等分點，下面作三級分類。1點A、B、C同色時，結論顯然成立。2點A、B、C異色時，記A為紅色，寫作A（紅），其余各點染色記號類同。（1）A（紅），B（紅），C（藍）時，由ABCB1BAC3B1CC3AA3A2A3B1AA2C2C2B2CA2AB2知，若結論不成立，則有B1（藍）C3（紅）A3（藍）A2（紅）C2（藍）B2（紅）A（藍）。這與A（紅）矛盾。（2）A（紅），B（藍），C（紅）時，由ABCB1A

12、CA3BB1AC3A3C2C3B1C2B2CA2BB2AA2C2知，若結論不成立，則有B1（藍）A3（紅）C3（藍）C2（紅）B2（藍）A2（紅）A（藍）這與A（紅）矛盾。（3）A（紅），B（藍），C（藍）時，又分兩種情況：（3）1當B1（紅）時，由ABCB2B1AB2C2CAA2C2A2BB2知，若結論不成立，則有B2（藍）C2（紅）A2（藍）B（紅）。這與B（藍）矛盾。圖（2-56）（3）2當B1（藍）時，由ABCC3B1CC3AA3A3BB1知，若結論不成立，則有C3（紅）A3（藍）B（紅）與B（藍）矛盾。（圖2-57）2-7-5 染色染色是分類的直觀表現(xiàn)，在數(shù)學競賽中有大批以染色面目出

13、現(xiàn)的問題，其特點是知識點少，邏輯性強，技巧性強；同時，染色作為一種解題手段也在數(shù)學競賽中廣泛使用。下面是一些熟知的結果。1在（點）二染色的直線上存在相距1或2的同色兩點。2在（點）二染色的直線上存在成等差數(shù)列的同色三點。3在（點）二染色的平面上存在邊長為1或的單色正三角形（三個頂點同色的三角形）。4設T1，T2是兩個三角形，T1有一邊長1，T2一邊長。若將平面作（點）二染色，則恒可找到一個全等于T1或T2的單色三角形。5在（點）三染色的平面上，必有相距為1的兩點同色。6在（點）三染色的平面上，必存在一個斜邊為1的直角三角形，它的三個頂點是全同色的或是全不同色的。7在（邊）染色的六階完全圖中必有

14、單三角形（三邊同色）。8在（邊）染色的六階完全圖中至少有兩個單色三角形。例2-136 有一個37棋盤。用黑、白兩種顏色去染棋盤上的方格，每個方格只染一種顏色。證明不論怎樣染色，棋盤上的方格組成的矩形中總有這樣的矩形，其邊與棋盤相應的邊平行，而4個角上的方格顏色相同。證明 稱滿足條件的矩形為單色矩形。由于棋盤上的37=21個方格只染兩種顏色，必有11個同色，不妨設同為黑色?，F(xiàn)設第列上有個黑色方格，一方面，總黑格數(shù)為；另一方面，在第列上首尾兩端都是黑格的矩形有個，總計若題中的結論不成立，則上述個矩形兩兩不同，將它們投影到第一列，那么第1列就存在t個首尾兩端都是黑格的矩形，但第1列最多有個這樣的矩形

15、，有矛盾，故命題成立。例2-137 在邊二染色的K5中沒有單色三角形的充要條件是它可分解為一紅一藍兩個圈，每個圈恰由5條邊組成。證明 由圖2-58可見，充分性是顯然的。考慮必要性，在K5中每點恰引出4條線段，如果從其中某點A1能引出三條同色線段A1A1，A1A3，A1A4，記為同紅，則考慮A2A3A4，若當中有紅邊（），則存在紅色三角形是同藍色三角形，均無與單色三角形矛盾。所以，從每點引出的四條線段中恰有兩條紅色兩條藍色，整個圖中恰有5條紅邊、5條藍邊。現(xiàn)只看紅邊，它們組成一個每點度數(shù)都是2的偶圖，可以構成一個或幾個圈，但是每個圈至少有3條邊，故5條紅邊只能構成一個圈，同理5條藍邊也構成一個圈

16、。例2-138 求最小正整數(shù)，使在任何個無理數(shù)中，總有3個數(shù)，其中每兩數(shù)之和都仍為無理數(shù)。解 取4個無理數(shù)，顯然不滿足要求，故。設是5個無理數(shù)，視它們?yōu)?個點，若兩數(shù)之和為有理數(shù)，則在相應兩點間連一條紅邊，否則連一條藍邊。這就得到一個二染色。只須證圖中有藍色三角形，分兩步：（1）無紅色三角形。若不然，頂點所對應的3個數(shù)中，兩兩之和均為有理數(shù)，不妨設都是有理數(shù)，有但無理數(shù)有理數(shù)，故中無紅色三角形。（2）有同色三角形，若不然，由上例知，中有一個紅圈，頂點所對應的5個數(shù)中，兩兩之和均為有理數(shù)，設為有理數(shù)，則但無理數(shù)有理數(shù)，故中無5條邊組成的紅圈，從而有同色三角形。這時，同色三角形必為藍色三角形，其頂

17、點所對應的3個無理數(shù)，兩兩之和仍為無理數(shù)。綜上所述，最小的正整數(shù)n=52-7-6 極端某些數(shù)學問題中所出現(xiàn)的各個元素的地位是不平衡的，其中的某個極端元素或某個元素的極端狀態(tài)往往具有優(yōu)先于其它元素的特殊性質，而這又恰好為解題提供了突破口，從極端元素入手，進而簡捷地解決問題，這就是通常所說的“極端原理”。使用這一技巧時，常常借用自然數(shù)集的最小數(shù)原理，并與反正法相結合。例2-139 設S為平面上的一個有限點集（點數(shù)5），其中若干點染上紅色，其余的點染上藍色，設任何3個及3個以上的同色的點不共線。求證存在一個三角形，使得（1）它的3個頂點涂有相同顏色；（2）這三角形至少有一邊上不包含另一種顏色的點。證

18、明 對于任意的五點涂上紅色藍色，則必有三點同色，結論（1）成立。若結論（2）不成立，可取頂點同色的三角形中面積最小的一個，因為只有有限個三角形，這是可以做到的，記為ABC，由于此三角形的每一邊上都有異色點，記為A1，B1，C1，則A1B1C1也是同色三角形，且面積小于ABC的面積，這與ABC面積的最小性矛盾。故（2）成立。例2-140 已知實數(shù)列具有下列性質：存在自然數(shù)n，滿足及求證存在自然數(shù)N，使當時，總有證明 構造和式依題設知 這表明，和數(shù)列的各項中只取有限個不同的值：S1，S2，Sn，其中必有最小數(shù)，記作，取N=m+1，則2-7-7 對稱對稱性分析就是將數(shù)學的對稱美與題目的條件或結論相結合，再憑借知識經(jīng)驗與審美直覺，從而確定解題的總體思想或入手方向。其實質是美的啟示、沒的追求在解題過程中成為一股宏觀指導的力量。著名物理學家楊振寧曾高度評價對稱性方法：“當我們默默考慮一下這中間所包含的數(shù)學推理的優(yōu)美性和它的美麗完整性，并以此對比它的復雜的、深入的物理成果，我們就不能不深深感到對對稱定律的力量的欽佩”。例2-141 設