橢圓經(jīng)典例題

1、橢圓標準方程典型例題 例1巳知橢圓用+3,2一6加=0的一個焦點為（0, 2）求加的值. 分析：把橢圓的方程化為標準方程，由c = 2,根據(jù)關(guān)系a2=b2+c2可求出加的值. 2 2 解：方程變形為+ = 1.因為焦點在y軸上，所以2加6，解得也3 6 2m 又c = 2 所以 2?一6 = 2，m = 5 適合.故m = 5 . 例2巳知橢圓的中心在原點，且經(jīng)過點P（3,O）, a = 3b,求橢圓的標準方程. 分析：因橢圓的中心在原點，故其標準方程有兩種情況.根據(jù)題設(shè)條件，運用待定系數(shù)法， 求出參數(shù)和b （或2和方2）的值，即可求得橢圓的標準方程. / V2, 解：當焦點在X軸上時，設(shè)其方

2、程為+ = l（6/Z?0）. cr h onY2 由橢圓過點P（3,0）,知=+ = = 1又ci = 3b,代入得h2=9 a2 =9,故橢圓的方程為 + y2 = . cC b9 2 2 當焦點在y軸上時，設(shè)其方程為二+二=10） cr b， Q Q了 2 由橢圓過點P（3,o）,知r + r = l又a = 3b9聯(lián)立解得/=81,員=9,故橢圓的方程為+ = 1. a2 b2819 例3 A43C的底邊BC = 6t AC和A3兩邊上中線長之和為30,求此三角形重心G的軌跡和頂點A的軌跡. 分析：（1）由已知可得|GC|+|GB| = 20,再利用橢圓定義求解. （2）由G的軌跡方程

3、G、A坐標的關(guān)系，利用代入法求A的軌跡方程.解：（1）以所在的直線為X軸,EC中點為原點建立直角坐標系設(shè)G點坐標為（r y）,由|GC| + |GZ?| = 20, 知G點的軌跡是以8、C為焦點的橢圓，且除去軸上兩點.因。=10, c = 8.有b = 6. 兀2 ）2 故臭方程為函+才1（卄0） 設(shè)心y）, G（V,旳，則和+寧=心工0）. 100 Jo 2， 2 2 由題意有/5 . 從PFPF2知可垂直焦點所在的對稱軸，所以在RtPF2Fx中，sinZP斥篤=需 可求出 ZP/迅=彳，2c = |/v訃cos =乎，從而b2=a2-c2=-. x2 3v23r2 v2 所求橢圓方程為+

4、= 1或 + = 1. 5 1010 5 例5巳知橢圓方程 + = （ab0）9長軸端點為人，A,焦點為化，P是 cr b 橢圓上一點，ZAPA2=O9 AFPF2=a.求：斤P佗的面積（用“ I八a表示）.分析：求面積要結(jié)合余弦定理及定義求角a的兩鄰邊，從而利用Ss=-absinC求面積. 2 解：如圖，設(shè)P(X, y),由橢圓的對稱性，不妨設(shè)P(x, y),由橢圓的對稱性，不妨設(shè)P在第一象限.由余弦 定理知：応佗f =|P時+爲f _2用|P巧|cosa = 4c2. 由橢圓定義知：PF + PF = 2a，則彳一得用.竹| =仃二花. 故S#陽詁阿卜可sina 1 lb1 sin a 2

5、 1 +cosa .9U. =lr tan 2 例6巳知動圓P過定點A(-3,0),且在定圓B：(x-3)2+y2=64的內(nèi)部與其相內(nèi)切，求動圓圓心P的軌跡方程. 分析：關(guān)鍵是根據(jù)題意，列出點P滿足的關(guān)系式. 解：如圖所示，設(shè)動圓P和定圓內(nèi)切于點M .動點P到兩定點， 即定點4-3,0)和定圓圓心B(3,0)距離之和恰好等于定圓半徑， BP|A4| + |PB| = |PA/| + |PB| = |BA/| = 8. A點P的軌跡是以A, B 為兩焦點, 2 2 半長軸為4,半短軸長為/7 = 742-32 =厲的橢圓的方程： + y = l. 說明：本題是先根據(jù)橢圓的定義，判定軌跡是橢圓，然

6、后根據(jù)橢圓的標準方程，求軌跡的方程這是求軌跡方程 的一種重要思想方法 例7巳知橢圓y+r =1, 求過點召占且被P平分的弦所在直線的方亀 (2)求斜率為2的平行弦的中點軌跡方程; (3) 過4(2,1)引橢圓的割線，求截得的弦的中點的軌跡方程; (4) 橢圓上有兩點P、Q, O為原點，且有直線OP、O0斜率滿足kop.koQ=J, 求線段P0中點M的軌跡方程. 分析：此題中四問都跟弦中點有關(guān)，因此可考慮設(shè)弦端坐標的方法. 解：設(shè)弦兩端點分別為M（冊，yj, N（，J，線段MN的中點R（x, y）,則 彳+2)f=2, x；+2y；=2, x + x2 = 2 右 叢+)遷2片 一得（州+ X2

7、購一吃）+ 2（” +力Xx 一 2） = ，+ 由題意知召H無，則上式兩端同除以X -%.,有（X+總）2（升+ ”）一 =0, X廠吃 將代入得x + 2y衛(wèi)二蘭=0 +代入，得嵌T，故所求直線方程為：2皿亠0. 冊一尤2 V1 - V2 將代入橢圓方程x2+2y2=2得6于一6、，一丄=0, A = 36-4x6x-0符合題意，2x + 4y-3 = 0為所求. 44 (2) 將衛(wèi)二空=2代入得所求軌跡方程為: x + 4y = 0.（橢圓內(nèi)部分） 將丄二2 = 代入得所求軌跡方程為: X| -x2x-2 x2+2y2-2x-2y = 0.(橢圓內(nèi)部分) (4) 由+得:口衛(wèi)+ 2 d)

8、=2, , 將平方并整理得 , 昇+衣=4）以一2比）, 將代入得: +（4宀2）?。?2, 再將 y2 =xx2 代入式得：2x2 -xrv2 +4)2 _2( %血)=2 , x2+r=i. 2 此即為所求軌跡方程.當然，此題除了設(shè)弦端坐標的方法，還可用其它方法解決. 例8巳知橢圓4 x2 + y2=l及直線y = x + （1）當加為何值時，直線與橢圓有公共點 （2）若直線被橢圓截得的弦長為蘭 ,求直線的方程. 解：（1）把直線方程y = x + m 根據(jù)弦長公式得:Ji+T -4x.解得in = 0.方程為 y = x. 代入橢圓方程4 x2 + y2= 1得4x2+(x + m)2

9、= l, （2）設(shè)直線與橢圓的兩個交點的橫坐標為x, j2 ,由（1）得x +x2 =- , xrv2 = 說明：處理有關(guān)直線與橢圓的位置關(guān)系問題及有關(guān)弦長問題，釆用的方法與處理玄線和圓的有所區(qū)別. 這里解決直線與橢圓的交點問題，一般考慮判別式厶；解決弦長問題，一般應用弦長公式. 用弦長公式，若能合理運用韋達定理（即根與系數(shù)的關(guān)系），可大大簡化運算過程. 例9以橢圓臺+十=1的焦點為焦點，過直線/： A-y + 9 = 0一點/W作橢圓，要便所作橢圓的長軸最短, 點m應在何處并求出此時的橢圓方程.y / 分析：橢圓的焦點容易求出，按照橢圓的定義，本題實際上就是要在已知直線上找一點，使該點到克線

10、同側(cè)的兩 已知點（即兩焦點）的距離之和最小，只須利用對稱就可解決. v2 v2 解：如圖所示，橢圓+ = 1的焦點為百（一3,0）,巧（3,0） 123 點林關(guān)于直線/： x-y+9 = 0的對稱點F的坐標為（一9, 6）,直線尸竹的方程為x + 2y-3 = 0. y 2 3 = 0 解方程組牙y + 9JQ得交點M的坐標為（一5, 4）.此時用+ |M坊|最小. 所求橢圓的長軸：加=|M用+ M鬥| = |F的| = 6你=又c = 3, x V* 因此，所求橢圓的方程為忑+免九 例10 巳知方程7+ = -1表示橢圓，求k的取值范圍. k_5 3_k -50, 解：由(3 kvO,得3k

11、5,且k$4. k 5*3 k、 滿足條件的k的取值范圍是3vv5,且kH4 說明：本題易出現(xiàn)如下錯解：由-50, 3 0, 得3vv5,故k的取值范圍是3kb0這個條件，當a = b時，并不表示橢圓. 例11已知Fsina-ycosahl (0a 0. 1_cosa sin a sin a cosa 3 因此 sin a 0 且 tana0,這是容易忽視的地方. sin acosa (2)由焦點在y軸上，知, b1 =-.(3)求a的取值范圍時，應注意題目中的條件OSav”. cosasin a 例12求中心在原點，對稱軸為坐標軸，且經(jīng)過A(侖，-2)和3(-2盯，1)兩點的橢圓方程. 分析

12、：由題設(shè)條件焦點在哪個軸上不明確，橢圓標準方程有兩種情形，為了計算簡便起見， 可設(shè)其方程為=1(/7?0, n0),且不必去考慮焦點在哪個坐標軸上，直接可求出方程. 解：設(shè)所求橢圓方程為mx2+ny2=l（m0. n0）.由從仗一 2）和B（-2屈1）兩點在橢圓上可得 /n(V3)2+/z-(-2)2 =1, m-2y/3)2+n-2=l 3/n + 4n = 1, 即o）則x = ，y = y0 - 因為 P（x0 , y0）在圓 x2 + y2 = 1 上，所以 x02 + y02 = 1. 將x=2x, y0 = y代入方程xj + yj = 1得4x2 + y2 = 1.所以點M的軌跡

13、是一個橢圓4 x2 + y2 = 說明：此題是利用相關(guān)點法求軌跡方程的方法，這種方法具體做法如下：首先設(shè)動點的坐標為（x,y）, 設(shè)已知軌跡上的點的坐標為（心，兒），然后根據(jù)題目要求，使X, y與旺，兒建立等式關(guān)系， 從而由這些等式關(guān)系求出心和兒代入已知的軌跡方程，就可以求出關(guān)于x, ，的方程， 化簡后即我們所求的方程.這種方法是求軌跡方程的最基本的方法，必須掌握. 例14巳知長軸為12,短軸長為6,焦點在x軸上的橢圓，過它對的左焦點和作傾斜解為彳的直線交橢圓于4, 兩點，求弦AB的長. 分析：可以利用弦長公式AB = Jl+訃-x2| = J（l + H）g+X2）24“勺求得, 也可以利用

14、橢圓定義及余弦定理，還可以利用焦點半徑來求. 解：（法1）利用直線與橢圓相交的弦長公式求解. AB = V1+T|a-1-x2| = yj(i + k2)(xi+x2)2 -4XjX2.因為 a =6, Z? = 3,所以c = 3/3.因為焦點在x 軸上, 所以橢圓方程為+ = 1左焦點F（3j5.O）,從而直線方程為y = V3x + 9. 369 由直線方程與橢圓方程聯(lián)立得：13x2+72x + 36x8 = 0.設(shè)“ 為方程兩根，所以x+x2 = 72、行 13 36x8 3 從而AB = J1 + 卜一兀2| =、/(1 + ”)(尤+吃)2 4兀七 48 77 所以m = 6 4-

15、V3 同理在阿耳中，用余弦定理得“= 6 4 + V3 所以AB = 48 in + n = 13 （法2）利用橢圓的定義及余弦定理求解. 2 2 由題意可知橢圓方程為話+才=1，設(shè)=BF = n,則卜爲| = 12-加，困爲| = 12-/1. 即(12-/?)2 =m2 + 363 2 加6館； 2 在“杠竹中，07寸=卜用+遲f2|A可片列cos彳 （法3）利用焦半徑求解. 先根據(jù)直線與橢圓聯(lián)立的方程13x2+72V3x + 36x8 = 0求出方程的兩根比，七，它們分別是A，3的橫坐標. 再根據(jù)焦半徑AF = a+exx, BF=a+ex2,從而求出卜沖=卜可+ |8用. 例15橢圓務

16、+寧=1上的點M到焦點片的距離為2, N為MF】的中點，則|QV| （0為坐標原點）的值為 A4 B. 2C8D 2 解：如圖所示，設(shè)橢圓的另一個焦點為耳，由橢圓第一定義得 |M用+ |M可=加=10,所以 |M可= 10_|M用=10-2=8, 又因為ON為4陌的的中位線，所以|ON|=丄MF2=4,故答案為A. 2 說明：（1）橢圓定義：平面內(nèi)與兩定點的距離之和等于常數(shù)（大于応場|）的點的軌跡叫做橢圓. 橢圓上的點必定適合橢圓的這一定義，叫M用+ |M可=勿，利用這個等式可以解決橢圓上的點與焦點的有 關(guān)距離. 例16巳知橢圓巧+】，試確定加的取值范圍，使得對于宜線嚴45,橢圓C上有不同的兩

17、點 關(guān)于該直線對稱. 分析：若設(shè)橢圓上A , 3兩點關(guān)于直線/對稱，則已知條件等價于：（1）直線A8丄/： （2）弦A3的中點M在/上. 利用上述條件建立加的不等式即可求得加的取值范圍. M：（法1）設(shè)橢圓 A（Xj, jj）, B（x2 , y2）兩點關(guān)于直線/對稱，直線AB與/交于M（x0 , yQ）點 1 y = x-b/z, 4 消去y得 lT+T = t u、 8/7 r 0X|+X4/7112 Cl Jo a-. +=. 疋 X。= ）o = o + ” = 13213 J 413 13 m . 4 ./mm產(chǎn)4,設(shè)直“的方程為由方程組 13x2 -8/7-T+167?2 -48

18、= 0 即點M的坐標為牢罟 213 ）.點M在直線y = 4x+m上， = 4x巻+也.解得n = 2/13 將式代入式得13x2 + 26戲+169m2-48 = 0 2 m 1313 V A, B是橢圓上的兩點, 4 = （26加尸一4x13（169加彳一羽）o.解得一 13413 （法 2）同解法 1 得出 =m , /. x0 =（m） = 一7, 413 4 113113_ y0 =-x0 - m = -3m , 即M 點坐標為（. 皿為橢圓上的兩點，點在橢圓的內(nèi)部，畔+科 213213 解得一肓5卞 （法3）設(shè)心 J）, B（x2 , y2）是橢圓上關(guān)于/對稱的兩點,直線與/的交點M的坐標為（兒，九） ： A 9 B在橢圓上!亠二f = 1 I三一=1兩式相減得3（召+丟）（召一兀,）+ 4（y】+ “X” 一兒）=0