MATLAB在矩陣計算中的應用

1、學院：數(shù)學與統(tǒng)計學院專業(yè)：數(shù)學與應用數(shù)學學號：0姓名：唐一峰分數(shù)：論文設計題目：MATLAB在矩陣運算中的應用（_2014_屆）MATLAB課程論文（設計）目 錄第一章 引言第二章 Matlab矩陣運算簡介第三章 向量和矩陣的創(chuàng)建方法第四章 Matlab矩陣運算優(yōu)勢第五章 后記MATLAB在矩陣計算中的應用數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)0唐一峰指導老師：胡志軍關鍵詞 MATLAB 矩陣第一章 引言本個學期我們學習了matlab教程，這本書在更高層次上系統(tǒng)介紹matlab語言在高等應用數(shù)學的各個分支中的應用包含的應用數(shù)學分支為微積分、線性代數(shù)、積分變換和復變函數(shù)、非線性方程與最優(yōu)化、常微分方程與偏微分方程、

2、數(shù)據(jù)插值與函數(shù)逼近、概率論與數(shù)理統(tǒng)計以及新的非傳統(tǒng)方法，MATLAB提供了一種全新的計算機編程語言，MATLAB中的數(shù)據(jù)元素是不需要指定維數(shù)的矩陣，因此解決同樣的數(shù)值計算問題，使用MATLAB要比使用其他編程語言提高編程效率幾倍。MATLAB對于問題的表達方式幾乎與問題的數(shù)學表達形式完全一致，這大大降低了對使用者的計算機編程能力的要求，實踐證明，普通大學生可以在短短幾十分鐘內完成一個數(shù)學編程，并且能夠熟練掌握它，使得應用數(shù)學的科學研究與計算變得更高的效率、更富有創(chuàng)造性。本文僅僅以MATLAB在矩陣計算中的應用為主要研究對象，對于我們在高等代數(shù)課本中常見的矩陣進行比較系統(tǒng)全面的研究，矩陣幾乎是整

3、個數(shù)學的基礎之一，因此，快速的對矩陣進行計算，無疑在某種程度上數(shù)學的發(fā)展，本文展示了部分常見的、特別的矩陣，展示了矩陣的結構計算，以此告訴大家，矩陣的龐大的計算不再是難題，掌握MATLAB就能面對一切復雜矩陣不再犯難。第二章 MATLAB矩陣運算簡介2.1矩陣的代數(shù)運算如果一個矩陣A有n行、m列元素，則稱A矩陣為n*m矩陣；若n=m，則又稱矩陣A為方陣。MATLAB語言中定義了下面各種矩陣的基本代數(shù)運算：矩陣轉置在數(shù)學公式中一般把一個矩陣的轉置記作AT,假設A矩陣為一個n*m矩陣，則其轉置矩陣B的元素定義為bji=aij，i=1,n,j=1,m,故B的為m*n矩陣。如果A矩陣含有復數(shù)元素，則對

4、之進行轉置時，其轉置矩陣B的元素定義為bji=aij*,i=1,m,亦即首先對各個元素進行轉置，然后在逐項求取其共軛復數(shù)值。這種專制方式又稱為Hermit轉置，矩陣的轉置則可以由A.求出。例如：A=1,2,3;4,5,6;7,8,9那么B=A則結果顯示為B=加減法運算假設在MATLAB工作環(huán)境下有兩個矩陣A和B則可以由C=A+B和C=A-B命令執(zhí)行矩陣加減法。若A和B的維數(shù)相同，它會自動的將A和B矩陣的元素相應的相加減，從而得出正確的結果，并賦給C變量。若兩者之一為標量，則應該將其遍加（減）于另一個矩陣。在其他情況下，MATLAB將自動的給出錯誤信息，提示用戶兩個矩陣的維數(shù)不匹配。例如：A=1

5、,2,3;4,5,6;7,8,9B=1,4,7;2,5,8;3,6,9則C=A+B的結果顯示為C=1418如果鍵入X=-1,0,2則y=x-1的結果為y=-2-11矩陣的乘法假設有兩個矩陣A和B，其中A的列數(shù)與B矩陣的行數(shù)相同，或其一為標量，則稱A,B矩陣是可乘的，或稱A和B矩陣的維數(shù)是相容的。假設A為n*m矩陣，而B為m*r矩陣，則C=AB為n*r矩陣，其各個元素為cij=k=1maikbkj,其中i=1，2，,n,j=1,2,r。MATLAB語言中兩個矩陣的乘法由C=A*B直接求出，且這里并不需要指出A和B矩陣的維數(shù)。如果A和B矩陣的維數(shù)相容，則可以準確無誤地獲得乘積矩陣C；如果二者的維數(shù)

6、不相容則將給出錯誤信息，通知用戶兩個矩陣是不可乘的。例如：當左乘矩陣的列數(shù)等于右乘矩陣的行數(shù)時，兩矩陣可以進行乘法，在MATLAB中，矩陣A乘以矩陣B應表示成A*B.X=-102 Y=-2-11則X*Y的結果顯示為4，而X*Y的結果顯示為X*Y=21-1000-4-22數(shù)乘矩陣運算，就是用數(shù)乘以矩陣的每一個元素，例如：Y=pi*X或Y=X*pi，其結果為Y=-3.14160.00006.2832矩陣的左除和右除MATLAB中用“”運算符號表示兩個矩陣的左除，AB為方程AX=B的解X,若A為非奇異方程，則X=A-1B。如果A矩陣不是方陣，也可以求出AB,這時將使用最小二乘解法求取AX=B中的X矩

7、陣。同理，MATLAB中定義了“/”，用于表示兩個矩陣的右除，相當于求方程XA=B的解。A為非奇異方程時B/A為BA-1，但在計算中方法上存在差異，更精確的有B/A=（AB）。例如：求解以下非齊次線性方程組2x1+x2-5x3+x4=8x1-3x2-6x4=9x1+4x2-7x3+6x4=0在MATLAB命令空間中，分別輸入系數(shù)矩陣，右端列向量A=2,1,-5,1;1,-3,0,-6;0,2,-1,2;4,-7,6B=8;9;-5;0鍵入命令det(A),可得到系數(shù)矩陣的行列式值為27，故系數(shù)矩陣A非奇異，方程組有唯一解；再鍵入命令x=Ab,其結果顯示為X=3.0000-4.0000-1.00

8、001.00002.2矩陣的邏輯運算在MATLAB語言中,如果一個數(shù)的值為0，則可以認為它為邏輯0，否則為邏輯1。MATLAB提供了3種邏輯運算符：&、|、。假設矩陣A和矩陣B均為n*m矩陣，則在MATLAB下定義了如下邏輯運算法則：在邏輯運算中，確認非零元素為真，用1表示，零元素為假，用0表示。設參與邏輯運算的是兩個標量a和b，那么a&b a,b全為非零時，運算結果為1，否則為0.a|b a,b中只要有一個非零時，運算結果為1；只有當a,b全為零時，運算結果為零。a 當a為零時，運算結果為1；當0非零時，運算結果為0。若參加邏輯運算的是兩個同維矩陣，那么運算將對矩陣相同位置上的元素按標量規(guī)則

9、逐個進行。最終運算結果是一個與原矩陣同維的矩陣，其元素由0或1組成。若參與邏輯運算的一個是標量一個是矩陣，那么運算將在標量與矩陣中的每個元素之間按標量規(guī)則逐個進行，最終運算結果是一個與矩陣同維的矩陣，其元素是由0或1組成。若對一個矩陣做邏輯非運算，那么將對矩陣中的每個元素按標量規(guī)則逐個取邏輯非，最終運算的結果是一個與元矩陣同維的矩陣，其元素由0或1組成。在算術、關系、邏輯運算中，算術運算優(yōu)先級最高，邏輯運算優(yōu)先級最低。例如：若鍵入A=0,2,3;0,2,0;B=0,0,0;2,3,4;A&BA|BA則其結果分別為ans=ans=ans=2.3矩陣的比較運算MATLAB語言定義了各種比較關系，如

10、C=AB,當A和B矩陣滿足aijbij時，cij=1,否則cij=0。MATLAB語音還支持等于關系，用=表示，大于等于關系，用=關系，還支持不等于=關系，其意義是很明顯的可以直接使用。MATLAB還提供了一些特殊的函數(shù)，在編程中也是很實用的。其中，find()函數(shù)可以查詢出滿足某關系的數(shù)組下標。例如，若想查出矩陣C中數(shù)值等于1的元素下表，則可以給出find(C=1)命令如下：A=1，2，3；4，5，6；7，8 0；%輸入實數(shù)矩陣Find(A=5)%找出矩陣元素大于等于5的下標ans=3568可以看出，該函數(shù)相當于先將A矩陣按列構成列向量，然后再判斷哪些元素大于或等于5，返回其下標。而find

11、(isnan(A)函數(shù)將查出A變量中為NaN的個元素下標還可以用下面的個事同時返回行和列坐標。i，j=find(A=5);I,jans=此外，all（）和any()函數(shù)也是很實用的查詢函數(shù)。all(A=5)ans=000any(A=5)ans=1111前一個命令當A矩陣的某列元素全等于5時，相應元素為1，否則為0.二后者在某列中含有大于或等于5時，相應元素為1，否則為0.第三章 矩陣的創(chuàng)建方法MATLAB軟件提供了強大的矩陣運算和數(shù)組運算的功能，主要進行數(shù)字矩陣的運算，矩陣可以用以下幾種不同方式輸入到MATLAB:直接列出矩陣元素通過程序產(chǎn)生建立M文件從外部數(shù)據(jù)文件中裝入，例如：輸入矩陣A=在

12、MATLAB命令空間中，通過鍵盤輸入A=1,2,3;4,5,6;7,8,9當按下Enter鍵時，屏幕上就會顯示出結果：A=這里，矩陣各行中的元素用逗號分隔，各行之間再用分號分隔。在MATLAB命令空間中，可以通過編程來輸入矩陣，單擊菜單命令filenewmfile，進入MATLAB程序編輯器，輸入以下程序代碼并將程序以命名字prog1_1.m存盤。For i=1:1:3For j=1:1:3A(I,j)=(i-1)*3+j;EndA在MATLAB命令空間中，只要輸入prog1_1，按下Enter鍵后，屏幕上也會顯示出矩陣A。當然也可以通過程序編輯器為需要輸入的矩陣建立一個M文件，對于上述矩陣，

13、可輸入程序代碼A=1,2,3;4,5,6;7,8,9仍以文件名prog1_1.m存盤。當在命令窗口中鍵入prog1_1，按下Eenter鍵后，屏幕上也會顯示出矩陣A，對于一些大型的、數(shù)據(jù)無規(guī)律的矩陣的輸入，通常采用這樣的方法。MATLAB中有一種擴展名為mat的文件，它是一種外部數(shù)據(jù)的文件，這類文件可使用load命令將它裝載到MATLAB命令空間。第四章 MATLAB矩陣運算的優(yōu)勢 MATLA語言是當前國際上自動控制領域的首選計算機語言，也是很多理工科專業(yè)最適合的計算機數(shù)學語言。掌握該語言不但有助于更深入理解和掌握數(shù)學問題的求解思想，提高求解數(shù)學問題的能力，而且還可以充分利用該語言，在其他專業(yè)

14、課程的學習中得到積極的幫助。和其他程序相比，MATLAB具有如下優(yōu)勢：簡潔高效性 MATLAB程序設計語言集成度高，語句簡介，往往用C+等高等語言編寫的數(shù)百條語句，用MATLAB語言一條語句就能解決問題，其程序可靠性高、易于維護，可以大大提高解決問題的效率和水平?？茖W運算功能 MATLAB語言以矩陣為基本單位，可以直接作用于矩陣運算。另外，最優(yōu)化問題、數(shù)值積分問題、微分方程值解問題、數(shù)據(jù)處理問題等都能直接用MATLAB語言求解。繪圖功能 MATLAB語言可以用最直觀的語句將實驗數(shù)據(jù)或計算結果用圖形的方法顯示出來，并可以將以往難以顯示出來的隱函數(shù)直接用曲線繪制出來。MATLAB語言還允許用戶用科室的方式編寫圖形用戶界面，這使得用戶可以容易的利用該語言編寫通用程序。龐大的工具箱與模塊集 MATLAB是被控制界的學者“捧紅”的，是控制界通用的計算機語言，在應用數(shù)學及控制領域幾乎所有的研究方向均有自己的工具箱，而且由領域內知名專家編寫，可信度比較高。隨著MATLAB的日益普及，在其他工程領域也出現(xiàn)了工具箱，這也大大促進了MATLAB語言在各個領域的應用。強大的動態(tài)系統(tǒng)仿真功能 Simulink提供的面向框圖的仿真及其概念性仿真功能，使得用戶能容易的建立復雜系統(tǒng)模型，準確的對其進行仿真分析。Simulin的概念性方陣模塊集允許用戶在一個框架下對其含有控制環(huán)節(jié)、機械