七年級數(shù)學(xué)培優(yōu)班講義（教師版

1、初一數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識講義一、 第一講 和絕對值有關(guān)的問題知識結(jié)構(gòu)框圖：二、 絕對值的意義：(1)幾何意義：一般地，數(shù)軸上表示數(shù)a的點到原點的距離叫做數(shù)a的絕對值，記作|a|。(2)代數(shù)意義：正數(shù)的絕對值是它的本身；負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；零的絕對值是零。 也可以寫成： 說明：（）|a|0即|a|是一個非負(fù)數(shù)；（）|a|概念中蘊(yùn)含分類討論思想。三、 典型例題例1（數(shù)形結(jié)合思想）已知a、b、c在數(shù)軸上位置如圖：則代數(shù)式 | a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（ A ） A-3a B 2ca C2a2b D b解：| a | + | a+b | + | c-a

2、 | - | b-c |=-a-(a+b)+(c-a)+b-c=-3a分析：解絕對值的問題時，往往需要脫去絕對值符號，化成一般的有理數(shù)計算。脫去絕對值的符號時，必須先確定絕對值符號內(nèi)各個數(shù)的正負(fù)性，再根據(jù)絕對值的代數(shù)意義脫去絕對值符號。這道例題運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，由a、b、c在數(shù)軸上的對應(yīng)位置判斷絕對值符號內(nèi)數(shù)的符號，從而去掉絕對值符號，完成化簡。例2已知：，且， 那么的值（ C ）A是正數(shù)B是負(fù)數(shù)C是零D不能確定符號解：由題意，x、y、z在數(shù)軸上的位置如圖所示： 所以 分析：數(shù)與代數(shù)這一領(lǐng)域中數(shù)形結(jié)合的重要載體是數(shù)軸。這道例題中三個看似復(fù)雜的不等關(guān)系借助數(shù)軸直觀、輕松的找到了x、y、z

3、三個數(shù)的大小關(guān)系，為我們順利化簡鋪平了道路。雖然例題中沒有給出數(shù)軸，但我們應(yīng)該有數(shù)形結(jié)合解決問題的意識。例3（分類討論的思想）已知甲數(shù)的絕對值是乙數(shù)絕對值的3倍，且在數(shù)軸上表示這兩數(shù)的點位于原點的兩側(cè)，兩點之間的距離為8，求這兩個數(shù)；若數(shù)軸上表示這兩數(shù)的點位于原點同側(cè)呢？分析：從題目中尋找關(guān)鍵的解題信息，“數(shù)軸上表示這兩數(shù)的點位于原點的兩側(cè)”意味著甲乙兩數(shù)符號相反，即一正一負(fù)。那么究竟誰是正數(shù)誰是負(fù)數(shù)，我們應(yīng)該用分類討論的數(shù)學(xué)思想解決這一問題。解：設(shè)甲數(shù)為x，乙數(shù)為y由題意得：， （1）數(shù)軸上表示這兩數(shù)的點位于原點兩側(cè)：若x在原點左側(cè)，y在原點右側(cè)，即 x0，則 4y=8 ，所以y=2 ,x=

4、 -6若x在原點右側(cè)，y在原點左側(cè)，即 x0，y0，則 -4y=8 ，所以y=-2,x=6（2）數(shù)軸上表示這兩數(shù)的點位于原點同側(cè)：若x、y在原點左側(cè)，即 x0，y0，y0，則 2y=8 ，所以y=4,x=12例4（整體的思想）方程 的解的個數(shù)是（ D ）A1個 B2個 C3個 D無窮多個分析：這道題我們用整體的思想解決。將x-2008看成一個整體，問題即轉(zhuǎn)化為求方程的解，利用絕對值的代數(shù)意義我們不難得到，負(fù)數(shù)和零的絕對值等于它的相反數(shù)，所以零和任意負(fù)數(shù)都是方程的解，即本題的答案為D。 例5（非負(fù)性）已知|ab2|與|a1|互為相互數(shù)，試求下式的值分析：利用絕對值的非負(fù)性，我們可以得到：|ab2

5、|=|a1|=0，解得：a=1,b=2于是 在上述分?jǐn)?shù)連加求和的過程中，我們采用了裂項的方法，巧妙得出了最終的結(jié)果同學(xué)們可以再深入思考， 如果題目變成求 值，你有辦法求解嗎？有興趣的同學(xué)可以在課下繼續(xù)探究。例6（距離問題）觀察下列每對數(shù)在數(shù)軸上的對應(yīng)點間的距離 4與，3與5，與，與3. 并回答下列各題：（1）你能發(fā)現(xiàn)所得距離與這兩個數(shù)的差的絕對值有什么關(guān)系嗎？答：_相等 .（2）若數(shù)軸上的點A表示的數(shù)為x，點B表示的數(shù)為1，則A與B兩點間的距離可以表示為 分析：點B表示的數(shù)為1，所以我們可以在數(shù)軸上找到點B所在的位置。那么點A呢？因為x可以表示任意有理數(shù)，所以點A可以位于數(shù)軸上的任意位置。那么

6、，如何求出A與B兩點間的距離呢？ 結(jié)合數(shù)軸，我們發(fā)現(xiàn)應(yīng)分以下三種情況進(jìn)行討論。當(dāng)x-1時，距離為-x-1, 當(dāng)-1x0，距離為x+1綜上，我們得到A與B兩點間的距離可以表示為（3）結(jié)合數(shù)軸求得的最小值為 5 ，取得最小值時x的取值范圍為 -3x_2_.分析：即x與2的差的絕對值，它可以表示數(shù)軸上x與2之間的距離。即x與-3的差的絕對值，它也可以表示數(shù)軸上x與-3之間的距離。如圖，x在數(shù)軸上的位置有三種可能：圖1 圖2 圖3圖2符合題意（4） 滿足的的取值范圍為 x-1 分析： 同理表示數(shù)軸上x與-1之間的距離，表示數(shù)軸上x與-4之間的距離。本題即求，當(dāng)x是什么數(shù)時x與-1之間的距離加上x與-4

7、之間的距離會大于3。借助數(shù)軸，我們可以得到正確答案：x-1。說明：借助數(shù)軸可以使有關(guān)絕對值的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)軸上有關(guān)距離的問題，反之，有關(guān)數(shù)軸上的距離問題也可以轉(zhuǎn)化為絕對值問題。這種相互轉(zhuǎn)化在解決某些問題時可以帶來方便。事實上， 表示的幾何意義就是在數(shù)軸上表示數(shù)A與數(shù)B的點之間的距離。這是一個很有用的結(jié)論，我們正是利用這一結(jié)論并結(jié)合數(shù)軸的知識解決了（3）、（4）這兩道難題。 四、 小結(jié)1理解絕對值的代數(shù)意義和幾何意義以及絕對值的非負(fù)性2體會數(shù)形結(jié)合、分類討論等重要的數(shù)學(xué)思想在解題中的應(yīng)用第二講：代數(shù)式的化簡求值問題一、知識鏈接1 “代數(shù)式”是用運(yùn)算符號把數(shù)字或表示數(shù)字的字母連結(jié)而成的式子。它包括整

8、式、分式、二次根式等內(nèi)容，是初中階段同學(xué)們應(yīng)該重點掌握的內(nèi)容之一。2用具體的數(shù)值代替代數(shù)式中的字母所得的數(shù)值，叫做這個代數(shù)式的值。注：一般來說，代數(shù)式的值隨著字母的取值的變化而變化3求代數(shù)式的值可以讓我們從中體會簡單的數(shù)學(xué)建模的好處，為以后學(xué)習(xí)方程、函數(shù)等知識打下基礎(chǔ)。 二、典型例題例1若多項式的值與x無關(guān)，求的值.分析：多項式的值與x無關(guān)，即含x的項系數(shù)均為零因為所以 m=4將m=4代人，利用“整體思想”求代數(shù)式的值例2x=-2時，代數(shù)式的值為8，求當(dāng)x=2時，代數(shù)式的值。分析： 因為當(dāng)x=-2時， 得到，所以當(dāng)x=2時，=例3當(dāng)代數(shù)式的值為7時,求代數(shù)式的值.分析：觀察兩個代數(shù)式的系數(shù)由

9、得 ，利用方程同解原理，得 整體代人，代數(shù)式的求值問題是中考中的熱點問題，它的運(yùn)算技巧、解決問題的方法需要我們靈活掌握，整體代人的方法就是其中之一。例4 已知，求的值.分析：解法一（整體代人）：由 得 所以：解法二（降次）：方程作為刻畫現(xiàn)實世界相等關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，還具有降次的功能。由，得，所以： 解法三（降次、消元）：（消元、減項） 例5（實際應(yīng)用）A和B兩家公司都準(zhǔn)備向社會招聘人才，兩家公司招聘條件基本相同，只有工資待遇有如下差異：A公司，年薪一萬元，每年加工齡工資200元；B公司，半年薪五千元，每半年加工齡工資50元。從收入的角度考慮，選擇哪家公司有利？分析：分別列出第一年、第二年、第n年

10、的實際收入（元）第一年：A公司 10000； B公司 5000+5050=10050第二年：A公司 10200； B公司 5100+5150=10250第n年：A公司 10000+200(n-1）； B公司：5000+100(n-1)+5000+100(n-1)+50=10050+200(n-1)由上可以看出B公司的年收入永遠(yuǎn)比A公司多50元，如不細(xì)心考察很可能選錯。例6三個數(shù)a、b、c的積為負(fù)數(shù)，和為正數(shù)，且，則 的值是_ 。解：因為abc0，所以a、b、c中只有一個是負(fù)數(shù)。不妨設(shè)a0，c0則ab0，ac0所以x=-1+1+1-1-1+1=0將x=0代入要求的代數(shù)式，得到結(jié)果為1。同理，當(dāng)b

11、0，c0時，即x， 5x-2=3， 5x=5， x=1 因為x=1符合大前提x，所以此時方程的解是x=1當(dāng)5x-2=0時，即x=， 得到矛盾等式0=3，所以此時方程無解當(dāng)5x-20時，即x， 5x-2= -3，x= 因為x=符合大前提x0時，即x1，x-1=-2x+1，3x=2，x=因為x=不符合大前提x1，所以此時方程無解當(dāng)x-1=0時，即x=1，0=-2+1，0 =-1，此時方程無解 當(dāng)x-10時，即x1，1-x=-2x+1，x=0因為x=0符合大前提xAD B.ACBD D. CD310. 如圖所示,L1,L2,L3交于點O,1=2,3:1=8:1,求4的度數(shù).( 方程思想)答案：361

12、1 如圖所示,已知ABCD,分別探索下列四個圖形中P與A,C的關(guān)系,請你從所得的四個關(guān)系中任選一個加以說明. (1) (2) (3) (4)（1）分析：過點P作PE/AB APE+A+C=360（2）P=A+C（3）P=C-A,（4）P=A-C12如圖，若AB/EF，C= 90，求x+y-z 度數(shù)。分析：如圖，添加輔助線證出：x+y-z=9013已知：如圖， 求證：分析：法一法二：由AB/CD證明PAB=APC， 所以EAP=APF 所以AE/FP 所以第七講：平面直角坐標(biāo)系一、知識要點：1、特殊位置的點的特征（1）各個象限的點的橫、縱坐標(biāo)符號（2）坐標(biāo)軸上的點的坐標(biāo)： 軸上的點的坐標(biāo)為,即縱

13、坐標(biāo)為0;軸上的點的坐標(biāo)為，即橫坐標(biāo)為0;2、具有特殊位置的點的坐標(biāo)特征設(shè)、兩點關(guān)于軸對稱，且;、兩點關(guān)于軸對稱，且;、兩點關(guān)于原點軸對稱，且。3、距離（1）點A到軸的距離：點A到軸的距離為|；點A到軸的距離為|；（2）同一坐標(biāo)軸上兩點之間的距離：A、B，則；A、B，則；二、典型例題1、已知點M的坐標(biāo)為（x，y），如果xyc,b+ca,c+ab（兩點之間線段最短）由上式可變形得到： acb，bac，cba即有：三角形的兩邊之差小于第三邊2 高由三角形的一個頂點向它的對邊所在的直線作垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高。3 中線：連接三角形的頂點和它對邊的中點的線段，稱為三角形的中線4 角平

14、分線三角形一個內(nèi)角的角平分線與這個角對邊的交點和這個角的頂點之間線段稱為三角形的角平分線二、典型例題（一）三邊關(guān)系1已知三角形三邊分別為2,a-1,4,那么a的取值范圍是( ) A.1a5 B.2a6 C.3a7 D.4a62小穎要制作一個三角形木架，現(xiàn)有兩根長度為8m和5m的木棒。如果要求第三根木棒的長度是整數(shù)小穎有幾種選法？可以是多少？分析：設(shè)第三根木棒的長度為x， 則3x（AB+AC）分析：因為 BD+ADAB、CD+ADAC 所以 BD+AD+ CD+AD AB+AC 因為AD是BC邊上的中線，BD=CD 所以AD+BD（AB+AC）（二）三角形的高、中線與角平分線問題：（1）觀察圖形

15、，指出圖中出現(xiàn)了哪些高線？ （2）圖中存在哪些相等角？注意基本圖形：雙垂直圖形4如圖，在直角三角形ABC中，ACAB，AD是斜邊上的高，DEAC，DFAB，垂足分別為E、F，則圖中與C（C除外）相等的角的個數(shù)是（ ） A5 B4 C3 D2 分析：5如圖，ABC中，A = 40，B = 72，CE平分ACB，CDAB于D， DFCE，求CDF的度數(shù)。分析：CED=40+34=74所以CDF=746一塊三角形優(yōu)良品種試驗田，現(xiàn)引進(jìn)四種不同的種子進(jìn)行對比試驗，需要將這塊地分成面積相等的四塊，請你設(shè)計出四種劃分方案供選擇，畫圖說明。分析：7ABC中，ABC、ACB的平分線相交于點O。（1）若ABC

16、= 40，ACB = 50，則BOC = 。（2）若ABC +ACB =116，則BOC = 。（3）若A = 76，則BOC = 。（4）若BOC = 120，則A = 。（5）你能找出A與BOC 之間的數(shù)量關(guān)系嗎？8已知: BE, CE分別為 ABC 的外角 MBC, NCB的角平分線,求: E與A的關(guān)系 分析：E=90-A9已知: BF為ABC的角平分線, CF為外角ACG的角平分線, 求: F與A的關(guān)系分析：F=A思考題：如圖：ABC與ACG的平分線交于F1；F1BC與F1CG的平分線交于F2；如此下去, F2BC與F2CG的平分線交于F3；探究Fn與A的關(guān)系（n為自然數(shù)） 第九講：與

17、三角形有關(guān)的角一、相關(guān)定理（一）三角形內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和為180（二）三角形的外角性質(zhì)定理：1 三角形的任意一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角和2 三角形的任意一個外角大于任何一個與它不相鄰的內(nèi)角（三）多邊形內(nèi)角和定理：n邊形的內(nèi)角和為 多邊形外角和定理：多邊形的外角和為360二、典型例題問題1：如何證明三角形的內(nèi)角和為180？ 1如圖,在ABC中,B=C,BAD=40,且ADE=AED,求CDE的度數(shù).分析：CDE=ADC-2 1=B+40-2 1=B+40-（1+C） 21=40 1=202如圖：在ABC中，CB，ADBC于D，AE平分BAC 求證：EAD（CB） 3已知：CE是AB

18、C外角ACD的角平分線，CE交BA于E 求證：BACB分析：問題2：如何證明n邊形的內(nèi)角和為 4多邊形內(nèi)角和與某一個外角的度數(shù)總和是1350，求多邊形的邊數(shù)。5科技館為某機(jī)器人編制一段程序，如果機(jī)器人在平地上按照圖4中的步驟行走，那么該機(jī)器人所走的總路程為（ ）A. 6米B. 8米 C. 12米D. 不能確定 第十講：二元一次方程組一、相關(guān)知識點1、 二元一次方程的定義：經(jīng)過整理以后，方程只有兩個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)都是1，系數(shù)都不為0，這樣的整式方程稱為二元一次方程。2、二元一次方程的標(biāo)準(zhǔn)式： 3、 一元一次方程的解的概念：使二元一次方程左右兩邊的值相等的一對和的值，叫做這個方程的一個解。4、 二元一次方程組的定義：方程組中共含有兩個未知數(shù)，每個方程都是一次方程，這樣的方程組稱為二元一次方程組。5、 二元一次方程組的解：使二元一次方程組的二個方程左右兩邊的值相等的兩個未知數(shù)的值，叫做二元一次方程組的解。二、典型例題1下列方程組中，不是二元一次方程組的是（C ） 2有這樣一道題目：判斷是否是方程組的解？小明的解答過程是：將，代入方程，等式成立所以是方程組的解小穎的解答過程是：將，分別代入方程和中，得，所以不是方程組的解你認(rèn)為上面的解答過程哪