高中數(shù)學(xué)教案（北師大版必修5）

1、等比數(shù)列的概念教學(xué)目標(biāo)1理解等比數(shù)列的定義，并能以方程思想作指導(dǎo)，理解和運(yùn)用它的通項(xiàng)公式2逐步體會(huì)類比、歸納的的思想，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生概括、抽象思維等能力3培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)密的思維習(xí)慣，促進(jìn)個(gè)性品質(zhì)的良好發(fā)展教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)重點(diǎn)：等比數(shù)列概念的形成及通項(xiàng)公式的應(yīng)用難點(diǎn)：對(duì)概念的深刻理解教學(xué)過程設(shè)計(jì)（一）引入新課師：前面我們已經(jīng)研究了一類特殊的數(shù)列等差數(shù)列，今天我們一起研究第二類新的數(shù)列等比數(shù)列（板書）三 等比數(shù)列（二）講解新課師：等比數(shù)列與等差數(shù)列在名字上非常類似，只有一字之差，一個(gè)是差，一個(gè)是比，你能否仿照等差數(shù)列，舉例說明你對(duì)等比數(shù)列的理解（要求學(xué)生能主動(dòng)利用類比思想，通過具體例子說明對(duì)概念的理解）

2、生：數(shù)列1，3，9，27，師：你為什么認(rèn)為它是等比數(shù)列呢？生：因?yàn)檫@個(gè)數(shù)列相鄰兩項(xiàng)的比都是相等的，所以是等比數(shù)列（先引導(dǎo)學(xué)生用自己的語言描述等比數(shù)列的特征，但暫時(shí)不作評(píng)論，以防限制其他學(xué)生的思維）師：這是你對(duì)等比數(shù)列的理解，不過這個(gè)例子中的項(xiàng)是一項(xiàng)比一項(xiàng)大，能否再舉一個(gè)一項(xiàng)比一項(xiàng)小的師：你對(duì)等比數(shù)列的理解呢？生：數(shù)列中每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比都是同一個(gè)常數(shù)師：他們對(duì)等比數(shù)列理解基本相同的，能否再換個(gè)樣子，舉一個(gè)例子（若理解沒有什么變化，就不必讓學(xué)生再重復(fù)了）師：下面再舉例子又增加點(diǎn)要求，既然要去研究它，說明它一定有實(shí)際應(yīng)用價(jià)值，那么能否再舉一個(gè)生活中的等比數(shù)列例子生：如生物學(xué)中細(xì)胞分裂問題：1個(gè)細(xì)胞

3、經(jīng)過一次分裂變?yōu)?個(gè)細(xì)胞，這兩個(gè)細(xì)胞再繼續(xù)分裂成為4個(gè)細(xì)胞這樣分裂繼續(xù)下去，細(xì)胞個(gè)數(shù)從1到2到4到8，把每次分裂后所得細(xì)胞個(gè)數(shù)排列好可形成一個(gè)數(shù)列1，2，4，8，16，這個(gè)數(shù)列就是等比數(shù)列師：這個(gè)例子舉得很好，不僅能夠發(fā)現(xiàn)生活中的數(shù)學(xué)問題，還能把數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用在其它學(xué)科，其實(shí)等比數(shù)列的應(yīng)用是非常廣泛的，說明它確有很高的研究?jī)r(jià)值說了這么多，也發(fā)現(xiàn)了等比數(shù)列的特征，能否試著給等比數(shù)列下個(gè)定義呢？生：如果一個(gè)數(shù)列的每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比都等于一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列師：作為定義這種敘述還有一點(diǎn)不足，為保證這樣比都作得出來，這每一項(xiàng)應(yīng)從數(shù)列的第二項(xiàng)起，否則第一項(xiàng)沒有前一項(xiàng)，也就做不出這個(gè)比，調(diào)整

4、之后，再找一位同學(xué)準(zhǔn)確描述一下等比數(shù)列生：如果一個(gè)數(shù)列，從第二項(xiàng)起每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比都等于一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列師：好，就把它作為等比數(shù)列的定義記錄下來（板書）1定義 如果一個(gè)數(shù)列，從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比都是同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做公比，記作q（教師在敘述的同時(shí)，再?gòu)?qiáng)調(diào)為突出所做出的比都相等，應(yīng)寫為同一個(gè)常數(shù)更準(zhǔn)確）師：記住這句話并不難，關(guān)鍵是如何理解它，并利用它解決問題，先回到剛才幾個(gè)例子看它們是否是等比數(shù)列，如果是，公比是多少？師：好，公比會(huì)找了，再來看這樣一件事，等比數(shù)列從定義上與等差數(shù)列有很多密切關(guān)系使我們想到，有沒有這樣的數(shù)列，它既是等差

5、數(shù)列也是等比數(shù)列呢？生：有，如數(shù)列1，1，1，1，是一個(gè)以0為公差的等差數(shù)列，也是以1為公比的等比數(shù)列師；除了這個(gè)數(shù)列以外，還能再舉一個(gè)嗎？等比數(shù)列師：他們舉的例子都是對(duì)的，而且從例子中數(shù)列的特征，使我們聯(lián)想到，形如a，a，a，（ar）的數(shù)列好像都滿足既是等差又是等比數(shù)列，是這樣嗎？（可讓學(xué)生作短暫的討論，再找學(xué)生回答）生：形如a，a，a，這樣的數(shù)列一定是等差數(shù)列（這一點(diǎn)可以由等差數(shù)列的定義加以證明）但它未必是等比數(shù)列師：能具體解釋一下嗎？生：當(dāng)a=0時(shí)，數(shù)列每一項(xiàng)均為零，都不能作比，因此不是等比數(shù)列，a0時(shí)，此數(shù)列是等比數(shù)列師：這個(gè)回答非常準(zhǔn)確，通過對(duì)這個(gè)問題的研究，對(duì)于我們進(jìn)一步認(rèn)識(shí)等比數(shù)

6、列有什么幫助嗎？從中得到什么啟示嗎？生：等比數(shù)列中的每一項(xiàng)都不能為零，因?yàn)樵诙x中，數(shù)列中每一項(xiàng)都要做分母，所以均不能為零師：這一點(diǎn)實(shí)際上是隱含在定義的敘述之中的，從另一個(gè)角度上講，數(shù)列各項(xiàng)均不為零是這個(gè)數(shù)列成等比數(shù)列的什么條件呢？生：是必要非充分條件師：這是我們對(duì)等比數(shù)列進(jìn)一步理解得到第一點(diǎn)共識(shí)（板書）2對(duì)定義的理解（1）“an0”是數(shù)列an成等比數(shù)列的必要非充分條件師：這一點(diǎn)是對(duì)等比數(shù)列的項(xiàng)的特殊要求，這與等差數(shù)列也是不同的下面從另外一個(gè)角度研究一下定義，數(shù)學(xué)定義一般都是用文字語言敘述表達(dá)的，但是在使用時(shí)往往需要符號(hào)化，因此下面試用數(shù)學(xué)符號(hào)語言來描述它？師：這種描述過于具體，能否用簡(jiǎn)單的一

7、個(gè)式子來概括這么多個(gè)比的等師：由于n可取任意自然數(shù)，故an+1可表示數(shù)列中每一項(xiàng)，an 可表示相應(yīng)的前一項(xiàng)，因此這一個(gè)比可以代表無數(shù)多個(gè)比的相等，所以這個(gè)式子與定義是等價(jià)的師：這個(gè)比式也可作為我們判斷一個(gè)數(shù)列an是否是等比數(shù)列的依據(jù)這樣我們就完成了對(duì)等比數(shù)列的定義的研究、回顧一下研究過程主要做了這樣兩件事：一是利用類比方法得到了等比數(shù)列的定義；二是得用抽象概括將定義翻譯為符號(hào)語言，并能利用它證明一個(gè)數(shù)列是否是等比數(shù)列下面要進(jìn)一步研究等比數(shù)列，必須先搞清怎么表示一個(gè)等比數(shù)列，要表示數(shù)列，需先確定這個(gè)數(shù)列，確定一個(gè)等比數(shù)列幾個(gè)條件呢？生：兩個(gè)條件師：哪兩個(gè)條件？生：可以是首項(xiàng)和公比師：如果等比數(shù)列

8、an，首項(xiàng)為a1，公比為q，你會(huì)用什么方法來表示這個(gè)等比數(shù)列呢？生：可以表示為a1，a2，a3，a4這是常用的列舉法師：剛才舉例時(shí)用的就是這種表示方法，除此之外，還有其它表示法嗎？師：這兩種表示法各有所長(zhǎng)，但使用最方便的還是通項(xiàng)公式法即如果已知an是等比數(shù)列，首項(xiàng)是a1，公比是q，如何用n的解析式表示數(shù)列中的第n項(xiàng)呢？（板書）3等比數(shù)列的通項(xiàng)公式（1）已知等比數(shù)列an，首項(xiàng)為a1，公比為q，則an=？生：an=a1qn-1（nn+）師：你是怎么得到的生：根據(jù)已知條件，數(shù)列可以寫成a1，a1q，a1q2，a1q3，從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律，歸納出第n次an=a1qn-1師：歸納的結(jié)論是正確的，且用的方法，調(diào)

9、動(dòng)的知識(shí)都非常好，尋找通項(xiàng)即尋找項(xiàng)的一般規(guī)律，先看特殊項(xiàng)，寫出幾項(xiàng)，再歸納出一般結(jié)論這種方法是不完全歸納法，因此這個(gè)結(jié)論的正確性是需要證明的（請(qǐng)同學(xué)們課下完成）（板書）an=a1qn-1（nn+）（2）對(duì)公式的認(rèn)識(shí)與理解師：對(duì)于這個(gè)通項(xiàng)公式，可以從幾個(gè)方面去認(rèn)識(shí)它呢？（這不是第一次遇到這類公式，學(xué)生應(yīng)知道從什么角度去認(rèn)識(shí)公式）生：可以從函數(shù)觀點(diǎn)去認(rèn)識(shí)，把通項(xiàng)公式看作關(guān)于n的解析式師：與什么函數(shù)的解析式相類似生：指數(shù)函數(shù)師：它類似于指數(shù)函數(shù)解析式，說明它在某些方面可能與指數(shù)函數(shù)有聯(lián)系生：還可以把它看作一個(gè)方程，用方程思想來求解其中的量師：方程中有四個(gè)量，知三求一是最簡(jiǎn)單的公式應(yīng)用，不過當(dāng)已知a1

10、，q和an，求n時(shí)，此時(shí)的方程是個(gè)指數(shù)方程，求解時(shí)需多加注意如an是等比數(shù)列，首項(xiàng)是2，公比是2，那么256是數(shù)列中第幾項(xiàng)？生：因?yàn)閍n=a1qn-1，則an=22n-1=2n又an=256，得256=2n解得n=8師：其它的例子不再舉了但如果只知二，那么就能求二，但求二恐怕一個(gè)方程就不能解決了，需要方程組才能解決這也就是通項(xiàng)公式的不同層次的應(yīng)用了，下面一起看這樣一個(gè)題目（板書）例1 一個(gè)等比數(shù)列的第二項(xiàng)是2，第三項(xiàng)與第四項(xiàng)的和是12，求它的第八項(xiàng)的值師：拿到這個(gè)題目，你打算怎樣設(shè)計(jì)你的求解方案，或者說對(duì)這個(gè)題目有什么想法生：想求出首項(xiàng)和公比師：為什么要求出它們呢？生：有了首項(xiàng)和公比，就有了通

11、項(xiàng)公式，就可以求出數(shù)列中任何一項(xiàng)師：好，這就是計(jì)算中要抓基本量的思想首項(xiàng)和公比就是等比數(shù)列的兩個(gè)基本量下面我們具體開始解，大家共同完成這個(gè)題目的求解生：設(shè)等比數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公比為q由已知得師：怎么解這個(gè)方程組呢？生：得q+q2=6解得q=-3或q=2師：最后結(jié)果是正確的，但在具體求解過程中還有值得改進(jìn)的地方此題要求的是a8，即a1q7=a1qq6=2q6故只要把q求出即可求出a8的值這樣在解方程組時(shí)就不必求出a1，從而使運(yùn)算過程得以簡(jiǎn)化（板書）解：設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為a1，公比為q則由已知得得q2+q=6解得q=-3或q=2則a8=a1q7=a1qq6=2q6=2（-3）6=1458或a

12、8=2q6=226=27=128故數(shù)列第八項(xiàng)是1458或128師：通過這個(gè)小題的計(jì)算，發(fā)現(xiàn)這類型題目主要是方程思想的應(yīng)用應(yīng)用過程中主要是三個(gè)基本步驟：設(shè)、列、求，通過剛才的實(shí)踐，你們覺得在這三步上應(yīng)該注意什么呢？生：設(shè)未知數(shù)應(yīng)注意設(shè)等比數(shù)列的基本量首項(xiàng)和公比在解方程組時(shí)，通常會(huì)用到乘除消元的方法師：總結(jié)得不錯(cuò)，在注意以上幾點(diǎn)的同時(shí)，還應(yīng)注意利用分析綜合法尋求已知和所求之間的聯(lián)系，以達(dá)到簡(jiǎn)化運(yùn)算的目的下面我們一起看例2（板書）例2 在各項(xiàng)為負(fù)的數(shù)列an中，如果2an=3an+1，且項(xiàng)，如果不是說明理由（此題先讓學(xué)生講明思路，根據(jù)時(shí)間完成主要內(nèi)容即可）師：這個(gè)題目應(yīng)從哪里入手解決呢？生：應(yīng)先判斷這

13、個(gè)數(shù)列是否是等比或等差數(shù)列師：為什么要做這件事呢？生：因?yàn)橹懒耸鞘裁礃拥臄?shù)列，就可以找出其通項(xiàng)公式，就可以判斷某個(gè)數(shù)是否是數(shù)列中的項(xiàng)師：如果判斷它是否是等差或等比數(shù)列呢？師：好，這種思路是可行的，除此之外還有其他思路嗎？生：可以利用2an=3an+1（nn+）找到2a1=3a2，2a2=3a3，師：這種方法把一般關(guān)系具體化，有一定可取之處，但有一定的偶然性，因此兩種思路比較而言，另一種方案更具一般性下面請(qǐng)同學(xué)把這種方案具體實(shí)施一下（讓一個(gè)學(xué)生就說一個(gè)重要環(huán)節(jié)，并及時(shí)指出表述上的問題）師：這兩步是等價(jià)的嗎？生：不等價(jià)，應(yīng)保證an0才等價(jià)師：題目中能保證an0嗎？生：根據(jù)條件“各項(xiàng)均為負(fù)”可以保

14、證an0師：在表述上應(yīng)怎樣調(diào)整呢？（提醒學(xué)生，開方時(shí)必須指明a10，才能保證只有一解）師：在這個(gè)題目求解過程中注意這樣幾點(diǎn)：（1）判斷數(shù)列是等比數(shù)列時(shí)，將條件變形為比的形式，注意變形的等價(jià)性；（2）判斷某個(gè)數(shù)是否是數(shù)列中的項(xiàng)，只需將該數(shù)代入通項(xiàng)公式，并解此方程，看是否有正整數(shù)解（四）小結(jié)師：這節(jié)課主要學(xué)習(xí)了一個(gè)重要概念等比數(shù)列和一個(gè)重要的公式等比數(shù)列的通項(xiàng)公式（1）對(duì)于這個(gè)概念要注意與等差數(shù)列的類比中把握它們的區(qū)別與聯(lián)系（2）對(duì)于通項(xiàng)公式除了記住內(nèi)容，了解推導(dǎo)之外，關(guān)鍵是能用方程觀點(diǎn)去認(rèn)識(shí)，并應(yīng)用它解決有關(guān)問題（五）布置作業(yè)課本習(xí)題（略）課堂教學(xué)設(shè)計(jì)說明等比數(shù)列是在等差數(shù)列之后介紹的，因此它的數(shù)學(xué)方法不能簡(jiǎn)單地重復(fù)等差數(shù)列應(yīng)當(dāng)既（體現(xiàn)）出兩者的聯(lián)系，又有所變化且有所提高因此在教學(xué)方法上突出了類比思想的使用，教師為學(xué)生創(chuàng)造好使用的條件，引導(dǎo)學(xué)生自己研究相關(guān)內(nèi)容如定義、表示方法通項(xiàng)公式及對(duì)公式的認(rèn)識(shí)，通過學(xué)生的